熱力學與統(tǒng)計物理課后答案

1、熱力學與統(tǒng)計物理學課后習題及解答選用教材：汪志誠主編，高等教育出版社第一章熱力學的基本規(guī)律試求理想氣體的體脹系數(shù)，壓強系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)kT解：由理想氣體的物態(tài)方程為PVnRT可得:等溫壓縮系數(shù)：K VV 1nRT1PV( P2) P體脹系數(shù)：1aVVTp壓強系數(shù)：B-PPTv1nR1VPT1nR1PVT體脹證明任何一種具有兩個獨立參量T,P的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實驗測得的系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)kT,根據(jù)下述積分求得：lnVadTKdP11如果a,k，試求物態(tài)方程TPadTKdP解：體脹系數(shù):a1 V ,等溫壓縮系數(shù)：KV T p以T, P為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為：V其全微分為：dV V dT

2、V dPT PP tV T,PO/dT VKdPdVadT KTdPT這是以T,P為自變量的全微分，沿任意的路線進行積分得：lnV根據(jù)題設，將a1,K-,代入：lnV1dTdPTPTP得：InVlnTC,PVCT,其中常數(shù)C由實驗數(shù)據(jù)可確定P1.5描述金屬絲的幾何參量是長度L,力學參量是張力 ,物態(tài)方程是fL,T0,實驗通常在1Pn下進行，其體積變化可以忽略1II線脹系數(shù)定義為：a）等溫楊氏模量定乂為：Y,其中A是LTALT金屬絲的截面積。一般來說,和丫是T的函數(shù)，對僅有微弱的依賴關(guān)系。如果溫度變化范圍不大，可以看作常量。假設金屬絲兩端固定。試證明，當溫度由T-降至T2時，其張力的增加為:ya

3、T2t-0解：由fl,T0,可得：,T TOC o 1-5 h z 微分為：d dLdT,由題意可知：dL0。AYA、，dLaAYLLtTLL又因為：TLTLT即：dAYdT,積分得：&AYg-TJ1.7在25C下，壓強在0至1000Pn之間，測得水的體積為:V18.0660.715103P0.046106P2cmlmol1。如果保持溫度不變，將1mol的水從1pn加壓至1000pn,求外界所作的功。解：將體積與壓強的關(guān)系簡記為：VabPcP2，求導可得：dVb2cPdP溫度不變，將1mol的水從1pn加壓至1000pn,此過程中外界所作的功為:VbVaPdVpBP b 2cP dPPa12

4、2 3bP cP231ooo1-i 33.1J .mol1.10抽成真空的小匣帶有活門，打開活門讓氣體沖入。當壓強達到外界壓強Po時將活門關(guān)上。試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒有與外界交換熱量之前，它的內(nèi)能U與原來大氣中的Uo之差為uUoPoVo,其中Vo是它原來在大氣中的體積。若氣體是理想氣體，求它的溫度和體積。解：假設氣體沖入小匣之前的狀態(tài)為（P,Vo, To）,內(nèi)能是Uo。氣體沖入小匣后的狀態(tài)為（Po, V, T）,這時的內(nèi)能為U;外界對氣體所做的功為：PodVo o由熱力學第一定律：UQW, Qo,可得：U UooPodVoVo即：UUoPoVo（證畢），理想氣體的內(nèi)能：U Uo Cv T T

5、o,由物態(tài)方程:PoVoRToC 得：C/T Cv RTo,所以:R CATo 汛CvCv等壓過程：VVoTY/oTo1.11滿足PVnC常量的過程稱為多方過程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證明，理想氣體在多方過程中的熱容量Cn為：Cnn丫Cv。n1證明：、穿ndUPdVPdVCvdTndTn由理想氣體的物態(tài)方程PVRT,可得：PdVVdPRdT以及理想氣體多方過程pvnC,可得：PnVn1dVVndPoPndVVdP0(3)，用(2)式減(3)式可得：PdVPndVRdTdVRdT n 1 n P（4）,將（4）式代入（1）式可得：CnCv由邁耶公式：CpCvR，以及：乞Y，可得：Cv1R（6

6、）將（6）式代入（5）可得：Cn刖CV,證畢試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量Cn如果是常數(shù)，該過程一定是多CC方過程，多方指數(shù)nJ-o假設氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。CnCV解：由熱力學第一定律：dUdQdW,對于理想氣體：dUCvdT,而dWPdV,dQCndTo代入可得：CvdTC.dTPdV即：CnCvdTPdV（1）,理想氣體的物態(tài)方程：RTPV（2）由（1）式和（2）式可得：（Cn5)； RdVV(3)dP dVdT,代入（3）式，消去一可得(Cn Cv)八(Cn Cp)八P0 :令:nCnCnCPCv即：于吟。，若Cn,Cp,Cv都是常量，則積分得：C證明了該過程是多方

7、過程溫度為0C的1kg水與溫度為100C的恒溫熱源接觸后，水溫達到100C試分別求水和熱源的嫡變以及整個系統(tǒng)的總嫡變。欲使整個系統(tǒng)的嫡保持不變，應如oc何使水溫從0c升至100C?已知水的比熱容為4.18Jg1K1解：為了求水的嫡變，設想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源。其溫度分布在0C升至100C。在這與100C之間。令水依次從這些熱源吸收熱量，使水溫由可逆過程中，水的嫡變?yōu)椋?73mlepdT373373273mCpIn1034.18In1304.6JK273273這一過程中水所吸收的總熱量Q為：QmCpT10004.183732734.18105J為求熱源的嫡變，假設熱源向溫度比100C略

8、低的另一熱源放出熱量Qo在這可逆過程中，熱源的嫡變?yōu)?S熱源執(zhí) 八、4.18 10 j k 13731120.6J K 1整個系統(tǒng)的總嫡變?yōu)椋篠總S水S熱源184JK1。為使水溫從0C升至100C而整個系統(tǒng)的嫡保持不變，將水逐個與溫度分布在0C與100C之間的一系列熱源接觸。這一系列熱源的嫡變之和為：S熱源373mCpdTmCp|n37310004.18In3731304.6JK1熱273T273273整個系統(tǒng)的總嫡變?yōu)椋篠總S水S熱源010A的電流通過一個25的電阻器，歷時1so(i)若電阻器保持為室溫27C,試求電阻器的嫡增加值。(ii)若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為27C,電阻器的

9、質(zhì)量為10g,比熱容Cp為0.84Jg1k1,問電阻器的嫡增加為何？解：(i)以T,P為狀態(tài)參量，該過程是等壓過程，如果電阻器的溫度也保持為室溫27r不變，則電阻器的嫡作為狀態(tài)函數(shù)也就保持不變。(ii)如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產(chǎn)生的熱量Q將全部被電阻器吸收使其溫度由T1升為T2,即：|2RtmCpT2T10I2Rt102251 TOC o 1-5 h z 求得：T2T1竺(300600KmCp100.84電阻器的嫡變?yōu)?T2mCpdTT26001S-mCpIn-(100.84InJK15.8JK1T1TT；300均勻桿的溫度一端為Ti,另一端為T-,試計算達到均勻溫度1T,T-后的熵增。解：坐標為 x 處的初始溫度為： Tx T1x ，設單位長度的定壓熱容為Cx ，則CplCx,因止匕:T1