艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測2

1、PAGE 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級： 2 0 0 5 級姓 名： 程 為 民學(xué) 號： 222005070101092艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測摘 要 本文通過對大量艾滋病患者用藥情況調(diào)查數(shù)據(jù)的分析處理，建立了數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析及推斷模型，對不同數(shù)據(jù)按照實際情況進行合理分類。根據(jù)建立的模型比較艾滋病各種不同療法的優(yōu)劣，并通過多項式擬合的方法做出藥物治療的擬合曲線以預(yù)測其治療的最佳終止時間以及療效。最后綜合病人自身經(jīng)濟條件，利用圖像選擇出一種療效佳、成本又低的療法，實際可行性很高！接著還對模型的穩(wěn)定性、誤差作了深入的分析，評價，并且做出細致的靈敏度分析，還有對模型優(yōu)缺

2、點的分析討論也十分客觀、實際，據(jù)此做出的改進使模型的預(yù)測、評價結(jié)果更準(zhǔn)確，更科學(xué)！ 本文還適當(dāng)利用圖形進行比較，增強問題分析解說的力度和真實準(zhǔn)確性！關(guān)鍵詞 多項式擬合 統(tǒng)計分析 分類處理 一 問題的提出 當(dāng)前人類社會最嚴重的瘟疫之一（艾滋?。?。全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（英文簡稱HIV）引起的。破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴重危害人的生命。從1981年發(fā)現(xiàn)以來的20多年間，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。如何有效防治及治療艾滋病已經(jīng)成為社會關(guān)注的焦點。首先讓我們了解一下治療機理：人類免疫系統(tǒng)的CD4細胞擔(dān)任著“門衛(wèi)”的工作。在抵御

3、HIV的入侵中有重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時，CD4數(shù)量會急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。 因此艾滋病的治療方向：是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。迄今還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對人體有副作用，而且成本也很高。人類很需要尋找一個療效佳、成本低的AIDS療法。在尋找療法的過程中，我們需要根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析來預(yù)測繼續(xù)治療的效果及確定最佳治療終止時間。并對目前常用的幾種療法進行比較分析、評價優(yōu)劣，并得出成本與療效兼優(yōu)的療法。二 問題分析 該問題是一個通過實驗數(shù)據(jù)，預(yù)測

4、AIDS療法治療效果和尋找最佳治療終止時間的問題。在對數(shù)據(jù)進行分析后，考慮到數(shù)據(jù)量大，我們決定采用平均值為基本數(shù)據(jù)進行擬合。對附件一的數(shù)據(jù)進行處理：去除其中的不完全數(shù)據(jù)，計算出在各周CD4和HIV濃度的平均增量，從而得到兩組數(shù)據(jù)，進而用Matlab軟件進行多項式擬合處理，根據(jù)得到的擬合曲線進行預(yù)測和分析，繼而確定最佳治療終止時間。對附件二的數(shù)據(jù)進行處理：有些病人的測量只有初始數(shù)據(jù)，因而看不出療效，對于這類數(shù)據(jù)我們予以排除，這樣可以避免造成較大的誤差。然后再對四種療法分別按照不同年齡段（30歲以下，3040，40歲以上）進行分類統(tǒng)計處理，計算出各組病人在各測試周體內(nèi)CD4的平均增量，得到12組數(shù)

5、據(jù)，對其按年齡段分為三組，運用Matlab軟件進行多項式擬合處理，根據(jù)得到的擬合曲線比較各種療法療效的優(yōu)劣，并對較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療的效果，確定最佳治療終止時間。最后結(jié)合各種療法的價格對這四種療法進行綜合評估。三 模型基本假設(shè)及說明1.我們假設(shè)采集的數(shù)據(jù)科學(xué)合理，有代表性，不受地域等因素影響或者說這種影響所造成的誤差可以忽略不計！2數(shù)據(jù)處理時，排除掉了極個別的不完全數(shù)據(jù)，由于原始數(shù)據(jù)的隨機性，因此并不影響用于計算的數(shù)據(jù)的合理性。3在預(yù)測藥物療效的過程中，只以CD4或HIV的濃度為標(biāo)準(zhǔn)，而不考慮其它因素的影響。4在比較四種療法，評價優(yōu)劣，對附件二進行數(shù)據(jù)處理時，將第8n周及其前后相差一周左右所

6、測得的數(shù)據(jù)統(tǒng)一看作是在第8n周測得的。（n=0、1、2、3、4）5附件二中，同一年齡段病人的身體素質(zhì)視為在同一水平線。6.考慮藥品價格時，不考慮由于不同地區(qū)的運輸而造成的價格差異和改變。7.治療過程中，不考慮病人因別的原因服用其它藥物是否會影響測試結(jié)果。四 模型的建立及求解問題一：將附表1中的不全數(shù)據(jù)去除，統(tǒng)計出在0周和3周都有數(shù)據(jù)的病人，用這些病人在第3周的CD4的平均值減去在第0周的值，得出CD4平均增量Z3，用其在第0周的HIV平均值減去在第3周的平均值，得出HIV的平均減少量J3。再統(tǒng)計出在第0周和第4周都有數(shù)據(jù)的病人，用這些病人在第4周的CD4的平均值減去其在第0周的平均值，得出平均

7、增量Z4，用其在第0周HIV的平均值減去在第4周的平均值，得到HIV平均減少量J4這樣重復(fù)下去,便得到兩組數(shù)據(jù):Z3，Z4，Z5Z42和J3，J4，J5J42.(若某組病人數(shù)量少于10人，則不記這組數(shù)據(jù))。數(shù)據(jù)為：時間（周）CD4增量平均值HIV增量平均值000343.245283021.898449.746724891.834361233546.311475411.929787234764.983606561.984745763868.615384622.114720812976.378461542.25961538522831.823110.968752.2491803282496.384

8、057972.262584.593220342.4836363642656.538461541.3853882.62.06428571439130.34615382.22553191540113.62765962.37469879541100.79411761.795454545考慮到CD4增量平均值比相應(yīng)的HIV增量大很多倍，作出圖形后不便于觀察兩者的關(guān)系，故做出如下處理：將每個CD4增量平均值分別除以其增量平均值的最大值，記為A，（用同樣的方法處理HIV增量平均值，記為B），得到相應(yīng)的表格：時間（周）AB00030.7642020.33177240.7385790.38165150.777

9、0010.35529670.7991290.49854680.8514620.52640990.9098010.585966220.7247440.636766230.90560.851339240.9099560.7394472510.648989260.557650.433756380.8311550.633697390.8960781400.9561380.871737410.7229140.77328再以這兩組數(shù)據(jù)的代號的數(shù)字為自變量，以這兩組數(shù)據(jù)為函數(shù)值進行多項式擬合。以下為所編程序：x=3 4 5 7 8 9 22 23 24 25 26 38 39 40 41;y1=0.7642

10、02 0.738579 0.777001 0.799129 0.851462 0.909801 0.724744 0.9056 0.909956 1 0.5765 0.831155 0.896078 0.956133 0.722914;y2=0.331772 0.381651 0.355296 0.498546 0.526409 0.585966 0.636766 0.851339 0.739447 0.648989 0.433756 0.633697 1 0.871737 0.77328;q5=polyfit(x,y2,5),p5=polyfit(x,y1,5);disp(5次擬合),pol

11、y2str(q5,x)poly2str(p5,x);xx=3:0.1:47;y25=polyval(q5,xx),y15=polyval(p5,xx);plot(x,y1,r-*,x,y2,g-*,xx,y25,k-.,xx,y15);運行此程序所得圖像如下：圖1-1圖1-2說明：紅色實線表示CD4原始數(shù)據(jù)連線圖象，藍色實線表示其5次擬合曲線； 綠色實線表示HIV原始數(shù)據(jù)連線圖象，黑色虛線表示其5次擬合曲線。分析：由圖像1-1易知兩條擬合曲線呈正相關(guān)，可以看出在約40周以后，CD4的增加量減小，且減小速度越來越快；同時HIV的減少量越來越少，且減小速度越來越快。由圖1-2看出：在40周以后圖像

12、不再有上升趨勢。所以40周以后藥物療效逐漸變差甚至完全失去療效。由此可以確定最佳治療終止時間為40周左右。問題二：將附表二中，數(shù)據(jù)少與三組的病人的數(shù)據(jù)刪除。將余下的數(shù)據(jù)按療法分為4組。再將每組中的數(shù)據(jù)按年齡段進行分組（30歲以下，30歲到40歲，40歲以上）。對每組中的數(shù)據(jù)進行如下處理：找出在第0周和在第79周都有數(shù)據(jù)的病人，用這些病人在第79周CD4數(shù)據(jù)的平均值減去其在第0周的平均值，得出數(shù)據(jù)ZZkmn(ZZ僅為代號；k為周數(shù)代號：0代表第0周，1代表在第7-9周，2代表第15-17周，3代表在第23-25周，4代表在第31-33周，5代表在第38周以上；m為療法代號：1代表療法1，2代表療

13、法2，3代表療法3，4代表療法4；n為年齡段代號：1代表30歲以下，2代表30歲到40歲，3代表40歲以上的)。再找出在第0周和第1517周都有數(shù)據(jù)的病人，在第0周和第23-25周都有數(shù)據(jù)的病人，在第0周和第3133周都有數(shù)據(jù)的病人，第0周和第38周以上都有數(shù)據(jù)的病人，并分別進行和上邊相同的處理。這樣便得出12組數(shù)據(jù)。以數(shù)據(jù)代號中的k為自變量，數(shù)據(jù)為函數(shù)值進行擬合。（每類中的四組數(shù)據(jù)的圖畫在同一個圖中以便于比較，令ZZ0mn=0）年齡在30以下的：時間（周）CD4增量療法1療法2療法3療法4000008-0.20502-0.114920.081880.33017416-0.37448-0.13

14、32-0.02540.46991924-0.37879-0.17657-0.294950.23397532-0.38001-0.41425-0.220340.38277640-0.92773-0.346620.116718-0.06997 表2-1多項式擬合程序如下：x=0 8 16 24 32 40;y130=0 -0.205019512 -0.374481818 -0.378794286 -0.380005882 -0.92773;y230=0 -0.114917241 -0.133197436 -0.176572414 -0.414245161 -0.346622222;y330=0 0

15、.08188 -0.025397059 -0.294948387 -0.22034 0.116718182;y430=0 0.33017381 0.469918919 0.233975 0.382776471 -0.06997273;p130=polyfit(x,y130,5),p230=polyfit(x,y230,2),p330=polyfit(x,y330,5),p430=polyfit(x,y430,5),poly2str(p130,x);poly2str(p230,x);poly2str(p330,x);poly2str(p430,x);x7=-1:0.1:45;y1309=poly

16、val(p130,x7);y2309=polyval(p230,x7);y3309=polyval(p330,x7);y4309=polyval(p430,x7);plot(x,y130,r-*,x7,y1309),title(130);hold on;plot(x,y230,k-o,x7,y2309);plot(x,y330,m-*,x7,y3309);plot(x,y430,g-pentagram,x7,y4309);grid;hold off運行上述程序得到圖像如下所示：圖2-1年齡在3040間的：時間（周）CD4增量療法1療法2療法3療法4000008-0.10580.0955270.

17、1149860.3459716-0.20003-0.21152-0.051580.28085424-0.40605-0.46709-0.18437-0.0052332-0.59008-0.53904-0.33374-0.0262940-0.56704-0.52004-0.28951-0.31184表2-2多項式擬合程序如下：x=0 8 16 24 32 40;y130=0 -0.105802885 -0.20002844 -0.406052632 -0.590084211 -0.567043478y230=0 0.095526667 -0.211523846 -0.467094737 -0.5

18、39043011 -0.520044737;y330=0 0.114986087 -0.051575969 -0.184373626 -0.333741414 -0.28950625;y430=0 0.345970175 0.280854237 -0.005233735 -0.026286139 -0.311835714;p130=polyfit(x,y130,1),p230=polyfit(x,y230,4),p330=polyfit(x,y330,5),p430=polyfit(x,y430,4),poly2str(p130,x);poly2str(p230,x);poly2str(p33

19、0,x);poly2str(p430,x);x7=-1:0.1:43;y1309=polyval(p130,x7);y2309=polyval(p230,x7);y3309=polyval(p330,x7);y4309=polyval(p430,x7);plot(x,y130,r-*,x7,y1309),title(130);hold on;plot(x,y230,k-o,x7,y2309);plot(x,y330,m-*,x7,y3309);plot(x,y430,g-pentagram,x7,y4309);grid;hold off運行以上程序得到以下圖像：圖2-2年齡在40以上的：時間（

20、周）CD4增量療法1療法2療法3療法4000008-0.13858-0.051670.2782970.37575516-0.14856-0.032650.0437190.28116424-0.35231-0.39014-0.045670.20845932-0.40341-0.14213-0.09280.00179140-0.71451-0.609590.0443940.004556表2-3編寫多項式擬合程序如下：x=0 8 16 24 32 40;y130=0 -0.138581928 -0.148564368 -0.352313846 -0.40341 -0.714508696y230=0

21、-0.051674324 -0.032647436 -0.390135938 -0.14212623 -0.609588;y330=0 0.278297368 0.043719355 -0.045668852 -0.092798592 0.04439375;y430=0 0.375754762 0.281163636 0.20845942 0.001790789 0.00455625;p130=polyfit(x,y130,4),p230=polyfit(x,y230,4),p330=polyfit(x,y330,4),p430=polyfit(x,y430,4),disp(4次擬合),pol

22、y2str(p130,x);poly2str(p230,x);poly2str(p330,x);poly2str(p430,x);x7=-1:0.1:48;y1309=polyval(p130,x7);y2309=polyval(p230,x7);y3309=polyval(p330,x7);y4309=polyval(p430,x7);plot(x,y130,r-*,x7,y1309),title(130);hold on;plot(x,y230,k-o,x7,y2309);plot(x,y330,m-*,x7,y3309);plot(x,y430,g-pentagram,x7,y4309)

23、;grid;hold off運行以上程序得到圖像如下：圖2-3分析說明：在不同年齡病人的身體素質(zhì)不同，因而我們先按年齡段對病人分組。共三組：第一組：（30歲以下）由圖2-1看出：療法4 CD4的增量明顯高于其它三種療法，且變化一直都較穩(wěn)定，所以它的療效是最好的；療法3 CD4的增量次于療法4，但其變化也較穩(wěn)定，而且其治療最佳終止時間比其它三種療法都長；療法1和2的CD4增量一直都比較小，而且?guī)缀鯖]有上升趨勢，治療最佳終止時間也比較短。還可根據(jù)圖像預(yù)測出若繼續(xù)采用療法4進行治療，效果不佳。因為在36周以后其擬合圖像呈下降趨勢，并一直下降下去！第二組：（3040）由圖2-2看出：對于療法4，雖然此

24、時CD4變化已不太穩(wěn)定，但其增量明顯高于其它三種療法，所以療法4仍是最佳療法；療法3，CD4增量僅次于療法4，但其變化相對穩(wěn)定 ；療法1和2，CD4較早就開始呈減少趨勢。還可根據(jù)圖像預(yù)測出若繼續(xù)采用療法4進行治療，效果不佳。因為在8周以后其擬合圖像呈下降趨勢，并一直下降下去！第三組：（40歲以上）由圖2-3看出：療法4 CD4的增量明顯高于其它三種療法，且變化一直都較穩(wěn)定，所以它的療效是最好的；療法3 CD4的增量次于療法4，但其變化也較穩(wěn)定，而且其治療最佳終止時間比其它三種療法都長；療法1和2，CD4增量很小，較早就開始呈減少趨勢。再由圖像看出第四種療法在第10周以后，CD4基本呈直線下降趨

25、勢。所以預(yù)測最佳治療終止時間為第10周 左右。問題三各療法說明價格（每日）療法1 600mg zid或400mg did每日 按月輪換使用$1.6或$0.85療法2 600 mg zid加2.25 mg zal每日$(1.6+1.85)療法3 600 mg zid加400 mg did每日$(1.6+0.85)療法4 600 mg zid加400 mg did，再加400 mg nev每日$(1.6+0.85+1.2)表3-1結(jié)合問題二的圖像和結(jié)論：第一組中療法1和2療效不佳，不建議病人采用；療法3的最佳治療終止時間約為第8周，共8*7=56天?？傎M用為：（1.6+0.85）*56=137.2（美元）；療法4的最佳治療終止時間約為第36周，共36*7=252天?？傎M用為：（1.6+0.85+1.2）*252=919.8（美元）；第二組中療法1療效不佳，不建議采用；療法2的最佳治療終止時