《大學(xué)物理教學(xué)課件-》2章(2)

1、第二章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)(2)2.2 動(dòng)量 角動(dòng)量一、動(dòng)量定理(動(dòng)量的變化與作用量的關(guān)系）由牛頓第二定律：表示力的時(shí)間累積，叫時(shí)間d t 內(nèi)合外力 的沖量。1）微分形式：2）積分形式：若為恒力：1、 沖量(impulse)力對(duì)時(shí)間的積累產(chǎn)生的效果是什么呢 ？沖量是力對(duì)時(shí)間的積累。2、動(dòng)量定理 動(dòng)量定理的微分式1）微分形式：由 得：在一個(gè)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。2）積分形式：對(duì)上式積分， 動(dòng)量定理的積分式即： 1、反映了過(guò)程量與狀態(tài)量的關(guān)系。3、只適用于慣性系。動(dòng)量比速度更能恰當(dāng)?shù)胤从澄矬w的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)說(shuō)明 從動(dòng)量定理可以知道，在相等的沖量作用下，不同質(zhì)量的物體，其速度變化是不相同

2、的，但它們的動(dòng)量的變化卻是一樣的，所以從過(guò)程角度來(lái)看，動(dòng)量比速度能更恰當(dāng)?shù)胤从沉宋矬w的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此，一般描述物體作機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)的狀態(tài)參量，用動(dòng)量比用速度更確切些。動(dòng)量和位矢是描述物體機(jī)械狀態(tài)的狀態(tài)參量。3、動(dòng)量定理分量形式即系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動(dòng)量在該方向上分量的增量。在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)量定理的分量式為在低速運(yùn)動(dòng)情況下，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是恒量，動(dòng)量定理可寫(xiě)為1) 沖力 : 碰撞過(guò)程中物體間相互作用時(shí)間極短，相互作用力 很大，而且往往隨時(shí)間變化，這種力通常稱(chēng)為沖力。若沖力很大, 其它外力可忽略時(shí), 則：若其它外力不可忽略時(shí), 則 是合外力的平均。2) 平均沖力 : 沖力對(duì)碰撞

3、時(shí)間的平均值。即：4、動(dòng)量定理的應(yīng)用 增大、減小沖力作用 例題1 人在跳躍時(shí)都本能地彎曲關(guān)節(jié)，以減輕與地面的撞擊力。 若有人雙腿繃直地從高處跳向地面，將會(huì)發(fā)生什么情況？ 解 設(shè)人的質(zhì)量為M，從高h(yuǎn) 處跳向地面，落地的速率為v0 ，與地面碰撞的時(shí)間為t ，重心下移了s 。由動(dòng)量定理得：設(shè)人落地后作勻減速運(yùn)動(dòng)到靜止，則：設(shè)人從 2m 處跳下，重心下移 1cm，則：可能發(fā)生骨折。討論 例題2 質(zhì)量為m=0.2kg的皮球，向地板落下，以8m/s的速率與地板相碰，并以近似相同的速率彈回，接觸時(shí)間為10-3s。求1)地板對(duì)球的平均沖力 2)沖力的沖量和重力的沖量。 解 1)取地板為參考系，向上為正，由 得

4、：中的F 實(shí)為合外力，除沖力外還有重力。即2)沖力的沖量：重力的沖量：外力的沖量可忽略定義:質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻對(duì)O 點(diǎn)的位矢為 ，則它對(duì)O 點(diǎn)的角動(dòng)量( 動(dòng)量矩 ) 為SI 中 ： kgm 2 / s大小1、矢量性的方向：用右手螺旋法則確定。2、相對(duì)性(1)參考系不同，矢徑不同，動(dòng)量不同，角動(dòng)量也不同。(2)原點(diǎn)O選取的不同，則位置矢量不同，角動(dòng)量也不同。 質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量二、角動(dòng)量（動(dòng)量矩）（angular momentum）3、 的直角坐標(biāo)系中的分量式三、幾個(gè)特例1、做圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) m 對(duì)圓心O 的角動(dòng)量方向： 與 同向，垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面， 與質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)繞向成右手螺旋關(guān)

5、系結(jié)論：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心的角動(dòng)量是恒量。 質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)。 大小：方向：由右手螺旋定則確定。t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：大?。悍较颍号c 同向。1）若物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)同一參考點(diǎn)O，則3）若O 取在直線上，則：t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：2）對(duì)不同的參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)有不同的恒定角動(dòng)量說(shuō)明2、做直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量作勻速圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量取圓心為參考點(diǎn)大?。悍较颍簣D中情況向上。如果選中心軸線上任意一點(diǎn)O為參考點(diǎn) 其中大小一定，方向不變大小一定，方向變化可以作為狀態(tài)量3、參考點(diǎn)的選取和狀態(tài)量的確定如果選中心軸線外任意一點(diǎn) o 為參考點(diǎn) 比多出一項(xiàng) ：當(dāng) 不變時(shí)，由于 之間的

6、夾角隨時(shí)間變化，所以 的大小也隨時(shí)間變化，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi) 的方向沿轉(zhuǎn)軸方向的指向，翻轉(zhuǎn)一次， 方向也不確定 所以不能作為狀態(tài)量但是它的一個(gè)分量可以作為狀態(tài)量 選取參考點(diǎn)的原則是： 要使定義的角動(dòng)量有用，參考點(diǎn)的選取就必須有一定限制例如，質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，參考點(diǎn)不能選在中心軸線以外，只能選軸線上的任意一點(diǎn)角動(dòng)量可以，而且只能定義成：質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的角動(dòng)量沿轉(zhuǎn)軸方向的分量，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量這樣定義的角動(dòng)量與參考點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸上的位置無(wú)關(guān)，常選擇圓心處。對(duì)于作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，參考點(diǎn)不能選在軌跡上 狀態(tài)量的必要條件是：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)確定時(shí)，狀態(tài)量有唯一確定的值，當(dāng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變時(shí)，狀態(tài)量有唯一

7、確定的不變值；對(duì)于不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，狀態(tài)量有不同的值，并且，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化時(shí)狀態(tài)量的變化遵守確定的規(guī)律 通過(guò)上述分析可以得到定義：作用于質(zhì)點(diǎn)上的合外力對(duì)參考點(diǎn)的力矩四、角動(dòng)量變化遵守的規(guī)律將角動(dòng)量 對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得：對(duì)動(dòng)量，有：對(duì)角動(dòng)量？ 定義了角動(dòng)量，需要找出當(dāng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化時(shí)，角動(dòng)量的變化遵守的規(guī)律。即要找到2、在直角坐標(biāo)系中3、相對(duì)性：依賴于參考點(diǎn)O 的選擇。單位：牛米（Nm）1、大?。篸 為力臂。方向：由右手螺旋定則確定。4、作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力矩等于合外力的力矩。五、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩等于它的角動(dòng)量的時(shí)間變化率。 力矩滿足疊加原理：作用于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的各個(gè)力的力

8、矩的矢量和（合力矩）等于各個(gè)力的合力的力矩。 和 是對(duì)同一慣性系中同一參考點(diǎn)而言的說(shuō)明1、微分形式2、積分形式角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量等于質(zhì)點(diǎn)受到的角沖量。力矩對(duì)時(shí)間的積累產(chǎn)生的效應(yīng)是角動(dòng)量的變化。 例題1 質(zhì)量為m、線長(zhǎng)為l 的單擺，可繞點(diǎn)O 在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，初始時(shí)刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求: 擺線與水平線成角時(shí)，擺球所受到的力矩及擺球?qū)c(diǎn)O 的角動(dòng)量； 擺球到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)，角速度的大小。解 任意位置時(shí)受力為：重力；張力。由角動(dòng)量定理：瞬時(shí)角動(dòng)量：重力對(duì)O 點(diǎn)的力矩為：方向：垂直于紙面向里。張力對(duì)O 點(diǎn)的力矩為零。五、 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律若質(zhì)點(diǎn)所受的合力矩 若對(duì)某一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)

9、所受外力矩的矢量和恒為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變。 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律例如，地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)地球的角動(dòng)量守恒。1、孤立體，2、有心力， 與位矢 在同一直線上，從而 。3、當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)上的合外力矩對(duì)某一方向的分量為零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量沿此方向的分量守恒。并不等于：注意：討論 解 如圖，行星在太陽(yáng)引力作用下沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，t時(shí)間內(nèi)行星徑矢掃過(guò)的面積由于行星只受有心力作用，其角動(dòng)量守恒 例題2 利用角動(dòng)量守恒定律證明開(kāi)普勒第二定律：行星相對(duì)太陽(yáng)的徑矢在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積(面積速度)是常量。面積速度: 例題3 用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)， 其半徑為r0

10、，角速度為 。現(xiàn)通過(guò)圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當(dāng)半徑縮為r 時(shí)小球的角速度。解 選取平面上繩穿過(guò)的小孔O為原點(diǎn)。 所以小球?qū) 點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。因?yàn)槔K對(duì)小球的的拉力 沿繩指向小孔，則力 對(duì)O 點(diǎn)的力矩： 例題4 我國(guó)在1971年發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星在以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)行已知衛(wèi)星近地點(diǎn)的高度h1=226km，遠(yuǎn)地點(diǎn)的高度h2=1823km，衛(wèi)星經(jīng)過(guò)近地點(diǎn)時(shí)的速率v1=8.13km/s，試求衛(wèi)星通過(guò)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速率和衛(wèi)星運(yùn)行周期（地球半徑R=6.37103km） 解 衛(wèi)星軌道如圖所示由于衛(wèi)星所受地球引力為有心力，所以衛(wèi)星對(duì)地球中心的角動(dòng)量守恒在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，位矢的大小為 若坐標(biāo)原點(diǎn)取