江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三第二學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題含附加題word

1、江蘇省南師附中2020屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)I2020.03.19注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求.本試卷共4頁，包含填空題（共14題）、解答題（共6題），？t分為160分，考試時間為120分鐘.考 試結(jié)束后，請將答題卡交回.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上. TOC o 1-5 h z .作答題目必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效.如有作圖需要，可用 2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚.21n一21n參考公式：1 .樣本數(shù)據(jù)X1, x2,，xn的方差s xix,

2、其中x x ;n i 1n i 11 _2.圓錐的體積V -Sh,其中S是圓錐的底面圓面積，h是局.3一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共70分.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上. .集合 A 0,ex , B 1,0,1，若 A B B,則 x .復(fù)數(shù)z L_2_ （i是虛數(shù)單位）的虛部是 . i. log2 4 log4 2 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為.j * j)*.在 ABC 中，a 4, b5, c 6,則sin 2Asin C.已知函數(shù)f x sin x.1 3 cos xx ,若f x是奇函數(shù),則f -的值為6.已知 f xlog3a, b滿足f a1 f

3、 2b1 ，且 a 2b ,則 ab的最小值為.將黑白2個小球隨機(jī)放入編號為1, 2, 3的三個盒子中,則黑白兩球均不在1號盒子的概率為2.若拋物線x 4y的點到雙曲線C:0, b 0）的近線距離等號1-,則雙曲線C的3離心率為10.設(shè)m, n為空間兩條不同的直線,為空間兩個不同的平面，給出下列命題:若m P , m P ，則 P ;若若其中的正確命題序號是r向量a 1x,4x, yx y的最小值為.在 ABC中，點P是邊AB的中點,已如CP、3CA 4 ,則 CP CA2.已知正數(shù)a, b, c滿足b 2的最大值為a c2# m x 114.若0 m 0對一切mx 1x 4恒成立，則實數(shù) m

4、的取值范圍是二、解答題：本大題共 6小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算.15.如圖，在四錐P-ABCD中，已知底面ABCD為矩形，且AB=2, BC=1 , E, F分別是AB, PC的中點,PA DE .(1)求證：EF P平面PAD; (2)求證：平面 PAC 平面PDE.16.在三角形 ABC中，已知1.10tan B - , cosC 210(1)求角A的值；(2)若ABC的面積為3 ,求邊BC的長.103217.建造一個容積為 8m、深為2m的無蓋長方體形的水池，已知池底和池壁的造價分別為 120兀/m和280 兀/m .(1)求總造價y

5、(單位：元)關(guān)于底邊一邊長x (單位：m)的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域；(2)如果要求總造價不超過 2080元，求x的取值范圍；(3)求總造價y的最小值. TOC o 1-5 h z 22x y22218.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C ： 1 ,右圓O ： x y R R 0的一條切線與橢圓 C63uur uur有兩個交點A, B,且OA OB 0.(1)求O的方程；uuuuuuir(2)已知橢圓C的上頂點為M,點N在圓。上，直線MN與橢圓C相交于另一點Q,且MN 2NQ ,求直線MN的方程.2a 2.已知函數(shù) f x ax 2x ln x x 1 a R .2(1)若曲線y f x在

6、x 1處的切線的斜率為 2,求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f x在區(qū)間1,e上有零點，求實數(shù) a的取值范田(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e 271828L ).，、，一一 . 、 . 一*.,.已知數(shù)列an、 bn、 Cn,對于給7E的正整數(shù)k,記bnan an k , CnHn Hn k n N .右對任意的正整數(shù)n滿足：bn bn 1,且Cn是等差數(shù)列，則稱數(shù)列An為“ H k ”數(shù)列.(1)若數(shù)列an的前n項和為Sn n2,證明：an為H k數(shù)列；（2）若數(shù)列 an為H 1數(shù)列，且ai 1, b 1,a5,求數(shù)列 an的通項公式;（3）若數(shù)列an為H 2數(shù)列，證明：an是等差數(shù)列.數(shù)學(xué)n

7、（附加題）.【選做題】本題包括 A、B、C三小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答理區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4-2:矩陣與變換（本小題滿分10分）1 02aL已知矩陣A, B，且AB BA0 20 1（1）求實數(shù)a； （2）求矢I陣B的特征值.B .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知直線1：3t 5（t為參數(shù)）.現(xiàn)以坐標(biāo)原點。為極點，以x軸非負(fù)半軸-t 5為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為2cos ，直線1與圓C交于A, B兩點，求弦AB的長.C.選彳4-5:不等式選講已知 x1,

8、x2,x30,且滿足x1x2x33x1x2x3,證明：x1x2x2x3x3x13【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答卷卡 指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說 明、證明過程或演算步驟.22.（本小題滿分10分）uur uur如圖，在四棱錐 P-ABCD中，已知棱AB, AD, AP兩兩垂直，長度分別為 1, 2, 2.若DC AB R ,uuu uuir15且向量PC與BD夾角的余弦值為515D(1)求 的值：(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.2n 12 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 23.已知 1 x a0

9、a1x a2xLk 02n 1*a2nlx, n N .記 Tn2k 1 an k -n(1)求T2的值;(2)化簡Tn的表達(dá)式，并證明：對任意的* . 一n N , Tn都能被4n 2整除.1. 02. -13. 524. 569. 310.11. 912. 65. 16. -17.328.-29J5 2113.14.,22參考答案15.證明：(1)取PD中點G,連AG, FG,. F, G分別是PC, PD的中點1 -FG PCD ,且 FG CD 2又E為AB中點_AE PCD ,且 AE -CD 2AE P FG . AE FG四邊形AEFG為平行四邊形EF P AG ,又 EF平面P

10、AD, AG 平面PADEF P平面PAD設(shè)AC I DECDH及E為AB中點，得AHCHAECD又 AB 72, BC 1AC m，AH3acAH AB .2AE AC . 3又 BAD為公共角GAE : BACx 1,4時，總造價不超過 2080元;x 1,4時，總造價不超過 2080元;AHE ABC 90即DE AC又DEPA, PAI AC ADE 平面PAC,又DE 平面PDE1 一16.解：（1）在 ABC 中，tan B -，cosC 210 口.將 sin C 103,而10 ，故 tanC 3所以 tan A tan B Ctan B tan C1 tan B tan C1

11、212，所以A 4（2）由（1）知 A 45 ,設(shè) BCa,利用正弦定理ABsin C3.10BC .a卞得，AB 尸一sin A. 223.5sin B1又 cosB2- 22 、sin B cos B,解得sin B1所以 ABC的面積為S1 一 r 1AB BC sin B223 5、532a a a55103一，所以a 1 ,即BC1017.(1)底邊一邊長x,另一邊長為82x TOC o 1-5 h z 8442 80 - 120 320 x 480 ,即 y 320 x xx480 2080，解得 1 x 4;4 y 320 x x33(3)記 f x，設(shè) 0 x1x2 2 ,貝U

12、 Xi X20 ,xix2同理2時,所以函數(shù)320 xixi4x2 x2x1 x2 x1x2 4f x遞減,xix2x遞增,480在0,2上遞減，在2,上遞增,x 2 時,ymin32042 48021760 ，總造價最小為1760元.18 (1)設(shè)的切為 y kx b,點 A xi,yix2,y2 .由方程組y2 x6kx2 y3b,得1,1 2k2x2 4kbx 2b2 6x24kb21 2k22 b2x#2_ 21 2k2uuu 因為OAuuuOB 0,所以x1，y1x2,y2即 x1x2y1y 20又因為點Ax/,x2,y2在直線ykxb上，所以xx2kx2b 0,即 1 k2 x1x

13、2kbx2b2 0 .所以22k2 2b2 621 2k24k2b21 2k2b20,化簡得b2 2k22,所以圓O的半徑b1 k2O的方程為此時，當(dāng)切線為uuu易證滿足OAunrOB0.(2)設(shè)點Q x0, y0uuuuMNuuur2NQ2x0 2y0,33，代入橢圓和圓得2x032次321,x02y03 2解得2,y。3 22.32或者x0y。3 22 ,、32所以點Q TOC o 1-5 h z ,Q,. 6x22222故直線MN的方程為19. ( 1)函數(shù)f X的定義域為 0,21f x 2ax 2 ln x ax 2x ax 2 ax 1 In x 2ax 2 2 ax 1 In x

14、 1 , x則 f 12 a 12,所以 a 0,此時 f x 2xln x 1 ,定義域為 0, f x 2 ln x 1 , TOC o 1-5 h z 一 一1令f x 0,斛得x 一；令f x 0 ,解得x 一； ee所以函數(shù)f x的單調(diào)增區(qū)間為1,單調(diào)減區(qū)間為0,1 .ee(2)函數(shù)f x ax2 2x In x aln x2 1在區(qū)間1,e上的圖象是一條不間斷的曲線.由(1)知 f x 2 ax 1 ln x 1 ,1）當(dāng)a 0時，對任意x1,e , ax 1 0, ln x 1 0,則f x 0,所以函數(shù)f x在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增，此時對任意 x 1,e ,都有f x f 1a

15、1 0成立，從而函數(shù)f x在區(qū)間1,e上無零 2, c .r 1 ,1, ,12）當(dāng)a 0時，令f x 0,得x 或一，其中1, e a e1若 - 1 ,即a 1,則對任意x 1,e , f x 0,剛以函數(shù)f x在區(qū)間1,e上單調(diào)遞減，由題1意得f 12a 2ae 2e e 1 0 ,解得 2 a 22 2e3e22 2e 13e3e2 4e 223e2 02 2e 13e21 ,所以a的取值范是2 a 1 ；1,e , f x 0,所以函數(shù)f x在區(qū)間1,e上單調(diào)遞增，此a1 0成立，從而函數(shù)f x在區(qū)間1,e上無零點;2一11右 一e,即 一 a 0,則對任xae時對任意x 1,e ,

16、都有f x f 11_ 一則對任意e1- a ，一_ 1 ,f x 0;所以函數(shù)f x在區(qū)間1,上 a單調(diào)遞增，對任意x1,0成立;對于任意x1-,e a0,函數(shù)在區(qū)間1-,e a上單調(diào)遞減，由題意得2 ae2e292e 13e2其中2 2e3e23e 4e 23e23e所以a的取值范圍是2 2e 12e綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是2 2e3e220. ( 1)當(dāng) n2 時，an SnSn12n當(dāng)n 1時，a1S a符合上式，則an2n 1 nbn 2k , cn 4n 2k 2 ,貝U bnbncn對任意的正整數(shù)n滿足bnbn1 ,且Cn是公差為4的等差數(shù)列,an為H k數(shù)列. Qa 1 ,

17、 b11, a2由數(shù)列an為H 1數(shù)列，則cn是等差數(shù)列，且c13, c2cn 2n 1即anan 1an 1ann是常數(shù)列，Qa1 1 0,an驗證:bnanan 115bnbn 1對任意正整數(shù)n都成立an又由 an an 1 2n 1 , an 1an2 2n 3,兩式相減得；an 2 an 2,222n 1 C2n1 a2k 1a1 2 k 1 2k1 , a2k a2 2 k 1 2k, an(3)由數(shù)列an 為 H 2數(shù)列可知:Cn是等差數(shù)列，記公差為則bnbn 1又bnbn 1數(shù)列bnCn an由 cn 1cn21. A 解:an 2an 1bn 2bn 3bnbn 1 ,為常數(shù)列

18、，則bnan 2 2an bn2 an 11)因為anABanan 22d2dananbnbn2dbn 1bn3 2dbian 1anan是等差數(shù)列BA2a 口且AB2BA,所(2)因為BB.解：直線l:B的特征多項式為圓C的極坐標(biāo)方程則圓C的圓心到直線C.解：因為X1X2又 X1X2 X2X3X3K所以 X1X2X2X33t5(t為參數(shù))化為普通方程為4t52cos化為直角坐標(biāo)方程為X3X1的距離為X30,X2X3X3X13,當(dāng)且僅當(dāng)4x3y42AB2.1d2X1X2X33X1X2X3,所以3,X2X3X3X1X1X2X1X2X1X2X31時取等【點睛】本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，相對不難，注意已知條件的化簡及柯西不等式的靈活運(yùn)用.22. (1)依題意，以 A為坐標(biāo)原點，AB、AD、AP分別為X、y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系 A XyzB 1,0,0,D 0,