數(shù)學(xué)建模報(bào)告路口車況分析

1、數(shù)學(xué)建模報(bào)告（一）路口車況分析高等工程學(xué)院一、路況信息我們?cè)趯?shí)驗(yàn)前為保證最終結(jié)果的客觀性與代表性，綜合分析了五道口附近各路口的Google Earth衛(wèi)星地圖與Baidu Map提供的實(shí)時(shí)車流預(yù)測(cè)信息，并最終選取城府路與學(xué)院路交叉十字路口(地理坐標(biāo)39.99N,116.35E衛(wèi)星照片見Figure 1)完成本次實(shí)地測(cè)量。此路口北向車流較為密集，但幾乎沒有擁堵狀況發(fā)生，且公交車等大型車數(shù)量較少。南北向路段紅燈時(shí)(時(shí)長(zhǎng)60s)，北向路段由西至東最內(nèi)車道等待車數(shù)保持在15輛左右。良好的路況與較大的樣本量有利于我們檢驗(yàn)教材模型參量取值的正確性，同時(shí)也有利于我們根據(jù)路口的實(shí)際車流情況，對(duì)原有模型進(jìn)行完善

2、。Figure SEQ Figure * ARABIC 1二、原始數(shù)據(jù)記錄與處理我們的實(shí)驗(yàn)時(shí)間選定在2012年3月10日 上午9:00-10:00。具體測(cè)量?jī)?nèi)容如下：1.北向路段，最內(nèi)側(cè)車道，綠燈亮至10s、20s、30s、60s時(shí)，通過停車線的汽車數(shù)量；2.北向路段，最內(nèi)側(cè)車道，紅燈區(qū)間的車輛間距；3.北向路段，最內(nèi)側(cè)車道，停車線內(nèi)第一輛汽車的啟動(dòng)延時(shí)時(shí)間，與其跑過位移S所用時(shí)間(見Figure 2)。關(guān)于數(shù)據(jù)采集的前期設(shè)計(jì)請(qǐng)參閱本文第五部分。SFigure SEQ Figure * ARABIC 2通過車次記錄與數(shù)據(jù)波動(dòng)分析我們測(cè)量了18次綠燈區(qū)間，當(dāng)綠燈亮至10s、20s、30s、60s

3、時(shí)汽車通過停車線的數(shù)量，具體數(shù)據(jù)列表如下：No10s20s30s60s148121724713183612192245101417538912649152074915198411172694101318104915161137101912410132113510121514591419154813211659141517371319185121517Average4.229.1713.6718.39數(shù)據(jù)波動(dòng)分析如下圖：Figure SEQ Figure * ARABIC 3在實(shí)際觀察中，我們發(fā)現(xiàn)，在每次紅燈區(qū)間，停車排隊(duì)等候的車輛數(shù)目穩(wěn)定在1215輛左右，且綠燈亮后前30s內(nèi)通過的車輛，基本為

4、之前停車排隊(duì)等候的車輛。而30s60s內(nèi)，通過十字路口停車線的車輛基本為后來(lái)駛過十字路口的車輛。第一輛汽車延遲時(shí)間與通過路口所用時(shí)測(cè)量停車隊(duì)列中的第一輛汽車自綠燈亮起至啟動(dòng)汽車的反應(yīng)時(shí)間，以及汽車通過路口（行進(jìn)S距離）的時(shí)間No反應(yīng)時(shí)間通過路口時(shí)間11.26.721.16.831.36.1Average1.26.5汽車啟動(dòng)加速度a的計(jì)算南北走向兩起步線之間距離S=53m，由Google Earth測(cè)量。根據(jù)模型，此段過程汽車保持勻加速直線運(yùn)動(dòng)，因而有啟動(dòng)加速度：a= 2st2= 53m(6.5s)2= 2.50m/s2tn*- tn= v*a= 11.11ms8.48ms2= 4.44s另外，

5、實(shí)地觀測(cè)發(fā)現(xiàn)實(shí)際中取L=5m，D=1.4m為宜。三、教材模型參量的檢驗(yàn)由教材中給出的模型，第n輛車在t時(shí)刻時(shí)距離停車線的位置Snt為：Snt=Sn0 &0ttnSn0+at-tn22 &tnttn* Sn0+atn*-tn22+v*(t-tn*) tn*t 其中：Sn0=-n-1(L+D)tn=nT函數(shù)式中，Snt為第n輛車在t時(shí)刻距離停車線的位置，L為車身長(zhǎng)度，D為汽車間距，T為汽車啟動(dòng)延時(shí)時(shí)間，a為汽車啟動(dòng)加速度，tn為第n輛汽車的靜止停留時(shí)間，tn*為第n輛汽車加速至最大限速的用時(shí)。我們對(duì)照已有數(shù)據(jù)，編程計(jì)算來(lái)驗(yàn)證教材所給的模型及其各參量的正確性。根據(jù)給定的L、D、T、a的值，從而計(jì)算S

6、nt(t=10s,20s,30s 1n20)。得出t在不同取值時(shí)，通過十字路口停車線的汽車數(shù)目，來(lái)同實(shí)際測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較，從而判斷出教材所給模型中各參量取值的正確性。依照教材，取L=5.0m，D=2.0m，T=1.0s，a=2.0m/s2，tn*-tn=5.5s，有如下結(jié)果。t = 10s汽車序號(hào)12345汽車位置/m69.15132.914.8-3.3t = 20s序號(hào)1234567891011位置200.1162.0143.9125.8107.789.671.553.435.317.2-0.9t = 30s序號(hào)12345678910位置291.1273.0254.9236.8218.720

7、0.6182.5164.4146.3128.2序號(hào)1112131415161718位置110.192.073.955.837.719.61.5-16.6 由此得到：時(shí)間/s102030通過停車線車數(shù)41017實(shí)測(cè)結(jié)果4914對(duì)照實(shí)測(cè)結(jié)果分析，教材所給模型的各參量選取基本合理，當(dāng)t取10s、20s時(shí)，模型所得結(jié)果同實(shí)際測(cè)量結(jié)果符合較好，t取30s時(shí)，模型結(jié)果偏大于實(shí)測(cè)結(jié)果。當(dāng)然原因也有可能是30s時(shí)模型不再適用了。在此，我們并沒有計(jì)算60s時(shí)刻的相關(guān)數(shù)據(jù)，因?yàn)楦鶕?jù)實(shí)測(cè)結(jié)果，前30s內(nèi)先前排隊(duì)等候的汽車已基本駛過路口，后來(lái)的車輛為未停車等候，全速駛過路口的車輛。實(shí)際模型的改進(jìn)模型改進(jìn)的思路由第三部

8、分的討論，我們發(fā)現(xiàn)，教材模型存在兩點(diǎn)問題：1.各參量選取于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)結(jié)果存在一定出入；2.僅考慮紅燈區(qū)間停車隊(duì)列穿過十字路口的情況，并未考慮后來(lái)的未停車等候，直接駛過路口的車輛。根據(jù)現(xiàn)有模型存在的兩點(diǎn)問題，我們從兩方面入手對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)：用實(shí)測(cè)結(jié)果代替原有模型中各參量的取值；2.為3060s十字路口車行情況進(jìn)行建模。30s內(nèi)模型參數(shù)的改善依照實(shí)驗(yàn)所得的原始記錄，更改原模型中各參數(shù)如下：L=5.0m、D=1.4m、T=1.2s、a=2.50m/s2、tn*-tn=4.44s計(jì)算得：t = 10s汽車序號(hào)12345汽車位置/m73.0453.3233.6013.88-5.84t = 20s序號(hào)1234

9、567891011位置184.04164.32144.60124.88105.1685.4465.7246.0026.286.56-13.16t = 30s序號(hào)12345678910位置295.04275.32255.60235.88216.16196.44176.72157.00137.28117.56序號(hào)111213141516位置97.8478.1258.4038.6818.96-0.76從而得到：時(shí)間/s102030通過停車線車數(shù)41015實(shí)測(cè)結(jié)果4914對(duì)照本文第二部分所給出的相關(guān)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)調(diào)整參數(shù)后，結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果符合更好。3060s模型的建立由于0至30s與30s至60s的路口通

10、行狀況存在較大差異，故我們?cè)诖藴?zhǔn)備采用兩個(gè)不同的模型分別對(duì)其進(jìn)行描述。對(duì)30s至60s通過的汽車，我們假定：汽車從無(wú)限遠(yuǎn)處直接以最高時(shí)速(v = 40km/s)開過路口，而不再經(jīng)歷靜止起步等相關(guān)過程。在這段時(shí)間中汽車均勻通過，即路口通過相鄰兩輛車的時(shí)間間隔相等。由假定可以得出：30s至60s時(shí)間段內(nèi)汽車依照線性關(guān)系通過路口，滿足函數(shù)關(guān)系式：n=at+b由于缺少40s , 50s時(shí)刻路口通過汽車量的數(shù)據(jù)，a，b的值由30s , 60s時(shí)汽車的通行量確定。Figure SEQ Figure * ARABIC 40s30s模型與30s60s模型分界點(diǎn)的確定在此我們使用MATLAB將兩模型中離散的數(shù)據(jù)

11、連續(xù)化，分別繪制出反映兩模型中車流量變化趨勢(shì)的曲線。通過確定兩曲線的交點(diǎn)，從而找出兩個(gè)模型的最佳銜接點(diǎn)，建立起一個(gè)完整的060s內(nèi)路口通行狀況的模型。Figure SEQ Figure * ARABIC 5由Figure 5 可確定, t = 25s為兩模型合適的接合點(diǎn)。對(duì)0至25s，我們采用原有教材模型，對(duì)25至60s時(shí)間段，我們采用線性，重新繪制0至60s路口通過車流量曲線如下：Figure SEQ Figure * ARABIC 6可以看到，圖示情況可以較好地吻合實(shí)地調(diào)查數(shù)據(jù)。分析汽車以最高限速通過路口的時(shí)間若假設(shè)汽車恰好在到達(dá)斑馬線時(shí)達(dá)到最高限速(40km/s)，則有：s= v2 2a

12、= 11.11222.5=24.69m.而汽車離斑馬線的距離符合關(guān)系式： Sn0=-n-1(L+D)代入數(shù)據(jù)可以估算出n 的取值： n=24.695+1.4+1= =4.86. 由此可知n應(yīng)取5，即從第五輛車開始可以達(dá)到最高限速通過。此時(shí)S50=-n-1L+D=-25.6m而延遲時(shí)間符合關(guān)系式：tn=nT故有第五輛汽車的延遲時(shí)間：t5=51.2=6s.又由第五輛車均加速至最高限速后勻速行駛至斑馬線的時(shí)間t= 25.6-24.6911.11=0.08s綜上可求得汽車開始以最高限速通過路口的時(shí)間為：t=6s+4.44s+0.08s=10.52s 即自10.52s以后通過的汽車均以最高限速通過。補(bǔ)充

13、與總結(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集前的思考實(shí)驗(yàn)前我們提前30min到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)觀察路況。數(shù)據(jù)記錄過程中我們選取最內(nèi)側(cè)車道測(cè)量汽車通行量不僅是因?yàn)榭紤]到最內(nèi)側(cè)車道是直行道，而且發(fā)現(xiàn)最內(nèi)側(cè)車道無(wú)公交車行駛，通行汽車大小基本等同，幾乎全為小轎車，從而利于分析。我們從綠燈亮開始，分別記錄10s，20s，30s與60s時(shí)汽車通過路口的數(shù)量，是因?yàn)轭A(yù)先觀察時(shí)我們發(fā)現(xiàn)26s至30s區(qū)間大約為最后一輛從靜止開始發(fā)動(dòng)，經(jīng)過均加速，勻速過程通過路口時(shí)的時(shí)間。可以說(shuō)，30s基本是教材模型可以適用的極限時(shí)間。我們把測(cè)量時(shí)間選定在上午9:00至10:00，是綜合考慮的結(jié)果。我們分析覺得上午6時(shí)至7時(shí)路口車流量會(huì)較少，測(cè)量偶然性較大；而上午11時(shí)至1時(shí)路口車流較為擁擠，不利于數(shù)據(jù)的記錄，且車流量有波動(dòng)的可能性大。因此我們考慮選取上午9時(shí)至10時(shí)這段時(shí)間，因?yàn)檫@段時(shí)間區(qū)間里車流量均勻適中且能保持基本穩(wěn)定，這就為我們能夠能獲得最長(zhǎng)的數(shù)據(jù)測(cè)量時(shí)間，從而取得最大的數(shù)據(jù)量提供了有利條件。實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)的失誤已經(jīng)提及，分析數(shù)據(jù)與改良數(shù)學(xué)模型時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)時(shí)忽略記錄40s，50s時(shí)汽車的通過量是我們最大的疏忽。因?yàn)榇?，我們?duì)30s至60s選取的近似線性處理只能以30s與60s兩點(diǎn)車流量為依據(jù)建立線性關(guān)系，誤差較大。收獲與感想第一次同組員一起嘗試數(shù)學(xué)建模，問題規(guī)模很小，但耗費(fèi)時(shí)間較多，我們之間的互相配合也還不很熟練。在這次驗(yàn)證模型過程中