2.2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 (6)

1、2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和明德中學(xué) 王利新課導(dǎo)入 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。 傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見右圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？問題探究 德國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家高斯10歲的時(shí)候很快就解決了這個(gè)問題：123100=？你知道高斯是怎樣算出來的嗎？問題探究(1100)(299)(5051)101505050.高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，n，前10

2、0項(xiàng)的和的問題。那么，123n的值又該如何求呢？若用高斯的算法，需要分類討論.首尾配對(duì)相加，將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.n (n-1) (n-2) 2 1分析：這其實(shí)是求一個(gè)具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.倒序相加法 一般的，我們稱 為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，記作Sn，即數(shù)列的前n項(xiàng)和 那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和呢？ 已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn .如何才能將等式的右邊化簡(jiǎn)？自主探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知三求一（a1, an, n, Sn ）可知三求一（a1, n, d, Sn ） 例1 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列an的Sn ： （1）

3、a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550例題講解 解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列an，且a1=500,d=50,n=10. 故，該市在未來10年內(nèi)的總投入為：答例題講解 例2 2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元。那么，從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校

4、通”工程中的總投入是多少？ 例3 已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以求其前n項(xiàng)和的公式嗎？ 解：由于S10310，S201220，將它們代入公式可得所以例題講解分析：方程思想和前n項(xiàng)和公式相結(jié)合另解： 兩式相減得 例3 已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？例題講解 例4 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么?例題講解解：根據(jù) 與 1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式； 推導(dǎo)方法：倒序相加法 在等差數(shù)列an中，如果已知 a1, an, n, d, Sn 中的任意三個(gè), 可以求出其余兩個(gè)量。課堂小結(jié)2an與Sn的關(guān)系： 由Sn求an時(shí)，需要注意這樣的