第25講不規(guī)則圖形的面積四年級(jí)奧數(shù)格點(diǎn)和面積補(bǔ)充

1、納周書院專業(yè)個(gè)性化學(xué)5）社區(qū)格點(diǎn)和面積這一講我們主要介紹利用格點(diǎn)求幾何圖形的面積，先來介紹什么叫“格點(diǎn)”。見右圖：這是一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線相交的點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”， 水平線和垂直線圍成的每個(gè)小正方形稱為“面積單位”。借助小格點(diǎn)，我們可以很快地比較和計(jì)算圖形的面積大小。利用格點(diǎn)求圖形的面積有兩種思路，一是直接將圖形分成若干個(gè)面積單位，然后通過計(jì)算有多少個(gè)面積單位來求圖形的面 積；二是將某些圖形轉(zhuǎn)化成長方形的面積來求。當(dāng)然還可以將這兩種方法結(jié)合起來，求出某 些較復(fù)雜圖形的面積。格點(diǎn)面積公式二中間格點(diǎn)數(shù)+圖形一周的格點(diǎn)數(shù)+ 2+1【典型例題】例1 ：計(jì)算下列各圖的面積。

2、分析：先仔細(xì)觀察圖中的每個(gè)圖形，選擇方法，顯然第一、三、五圖可以直接數(shù)出包含多少個(gè)面積單位, 而二、四、六顯然不適合用數(shù)單位面積的方法來求面積，可以采用虛線把這些圖形擴(kuò)展或割補(bǔ)成長方形, 通過求長方形的面積來求這些圖形的面積。解：（1）圖中長方形的面積包括了 3X2=6 （個(gè)）面積單位，所以它的面積為6個(gè)面積單位。（2）將圖中的平行四邊形割補(bǔ)成一個(gè)長方形，長方形的面積為3X2=6,而平行四邊形的面積等于長方形的面積，所以平行四邊形的面積是3X2=6 （個(gè)）面積單位。（3）將圖中三角形用虛線分成3塊，它包含1個(gè)單位面積和2個(gè)單位面積的一半，合起來有2個(gè)面積單位，所以它的面積是 2個(gè)面積單位。（4

3、）圖中三角形擴(kuò)展成一個(gè)長方形，長方形的面積為3X2=6,而三角形面積為長方形面積的一半，則三角形面積為3個(gè)面積單位。（5）將圖中梯形用虛線分成3塊，它包含了有 5個(gè)單位面積和2個(gè)單位面積的一半。合起來有6個(gè)面積單位。所以它的面積為 6個(gè)面積單位。（6）將圖中梯形互相平行的一組對(duì)邊延長，補(bǔ)出一個(gè)與原來梯形方向顛倒，但面積一樣的梯形，形成一個(gè)大的長方形。長方形面積為（2+4） X 3=18,而梯形的面積為長方形面積的一半，所以梯形的面積是（2+4）X 3- 2=9 （個(gè)）面積單位。【隨堂練習(xí)】.求格點(diǎn)多邊形的面積（如圖.求格點(diǎn)多邊形的面積（如圖1）。圖1例2:計(jì)算下列這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積。分析:這

4、是一個(gè)不規(guī)則多邊形， 不能直接求出它的面積， 可用長方形的面積減去 4個(gè)直角三角形的面積， 如圖1;另外還可以將該四邊形分成幾塊，如圖 2.【隨堂練習(xí)】.求格點(diǎn)多變形的面積（圖 3）。.求格點(diǎn)多邊形的面積（圖 4）。圖3圖4例3:相鄰四點(diǎn)連成的小正方形面積是1平方厘米。分別連接各點(diǎn)，組成下列12個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律?分析：橫看，從左到右圖形一周的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多，中間的格點(diǎn)數(shù)保持不變。豎看，從上往下圖形一周的格點(diǎn)數(shù)保持不變，中間的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多。圖形一周的格點(diǎn)數(shù)，中間的格點(diǎn)數(shù)與面積究竟有什么關(guān)系呢？我們可以將圖形按中間沒有格點(diǎn)，中間 有一個(gè)格點(diǎn)和中間有兩個(gè)格點(diǎn)進(jìn)行分組列表分析。第一組圖形

5、編號(hào)一周格點(diǎn)數(shù)46814中間格點(diǎn)數(shù)0000面積（平方厘米）1236中間沒有格點(diǎn)時(shí)，面積=一周格點(diǎn)數(shù)+ 2 - 1第二組圖形編號(hào)一周格點(diǎn)數(shù)46811中間格點(diǎn)數(shù)1111面積（平方厘米）2347中間有一個(gè)格點(diǎn)時(shí)，面積=1 +一周格點(diǎn)數(shù)+ 21第三組圖形編號(hào)(11)一周格點(diǎn)數(shù)46814中間格點(diǎn)數(shù)2222面積（平方厘米）3488納息書院/壽短|匕口白心心|以之專業(yè)個(gè)性化學(xué)5）社區(qū)圖5中間有2個(gè)格點(diǎn)時(shí)，面積=2 +一周格點(diǎn)數(shù)+ 2 - 1解：（1）中間格點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，圖形的面積隨著一周的格點(diǎn)數(shù)增加而增加；當(dāng)一周的格點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，圖形 的面積隨著中間的格點(diǎn)數(shù)增加而增加。（2）各圖形面積（見上表）的大小與一周的格

6、點(diǎn)數(shù)，中間的格點(diǎn)數(shù)都有關(guān)系，格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算公式是：圖形的面積=中間格點(diǎn)數(shù)十圖形一周的格點(diǎn)數(shù)+ 2 1【隨堂練習(xí)】.通過割補(bǔ)圖形求格點(diǎn)多邊形的面積（圖5）。.通過割補(bǔ)法求格點(diǎn)多邊形的面積（圖6）。.利用格點(diǎn)多邊形面積公式計(jì)算，結(jié)果一樣嗎？例4:下圖中的每一個(gè)小正方形的面積都是4平方厘米，求圖中陰影部分的面積。分析：內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為 9個(gè)，周界上格點(diǎn)數(shù)為 8個(gè)，根據(jù)格點(diǎn)面積公式可求出陰影部分的面積為: 解：4X （9+ 8+2-1） =48 （平方厘米）【隨堂練習(xí)】1.求格點(diǎn)圖形面積（圖 7）。2.求格點(diǎn)圖形面積（圖 8）。圖3專業(yè)個(gè)性化學(xué)S）社區(qū)-_ABC的面積。例5:在下面圖中有21個(gè)點(diǎn)，每相

7、鄰三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)單位面積的等邊三角形，計(jì)算三角形分析：方法一：內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為 4個(gè)，周界上格點(diǎn)數(shù)為 4個(gè)，三角形ABC的面積是:2 X （4+4+2 1）=10 （單位面積）方法二：如圖2,給三角形ABC添加I、II、出部分小的三角形，則得到由25個(gè)單位三角形形成的大三角形,即 6+2=3,現(xiàn)在只要求出I、 n、出三個(gè)三角形的面積即可。而三角形I是一個(gè)平行四邊形面積的一半,同理三角形H、出的面積分別為4和8。所以，三角形面積為:25-3-4-8=10（單位面積）【隨堂練習(xí)】.右圖中有21個(gè)點(diǎn)，其中每相鄰的三點(diǎn)“”或“”所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形，試計(jì)算ABC的面積（圖9）.（圖9）.右

8、圖中有21個(gè)點(diǎn)，其中每相鄰的三點(diǎn)“”或“二”所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形，試計(jì)算四邊形DEFG的面積.（圖 10）例6:下圖中有21個(gè)點(diǎn)，其中相鄰的三點(diǎn)所形成的等邊三角形的面積是1,試計(jì)算四邊形的面積。專業(yè)個(gè)性化學(xué)同社區(qū)分析：方法一：這個(gè)四邊形格點(diǎn)的一周共有4個(gè)格點(diǎn)，中間共有 5個(gè)格點(diǎn)，所以得出:2X （5+ 4+2 1） =12 （面積單位）方法二：加一條對(duì)角輔助線，（如上圖），將四邊形分成2個(gè)三角形，左上角面積是 4X1=4,右下角三角形面積為4X2=8,所以四邊形面積為：4+8=12 （面積單位）【隨堂練習(xí)】.計(jì)算下圖三角形格點(diǎn)中多邊形的面積（圖11）。（圖11）.（如圖12）

9、,把等邊三角形 ABC每邊六等分，組成如右圖的三角形網(wǎng).若圖中每個(gè)小三角形的面積均為1 cm2,試求圖中三角形 DEF的面積.例7:如下圖中小貓圖的面積是多少?10,尾部部分是一平行四邊形，它的分析：將小貓圖分為左右兩部分，頭和身子的部分（可直接計(jì)算）是 面積與一個(gè)單位面積相同，所以小貓圖的面積是 11.【隨堂練習(xí)】1.右圖中（如圖13）每個(gè)小正方形的面積都是1,那么圖中這只“狗”所占的面積是多少納息書院專業(yè)個(gè)性化學(xué)工社區(qū)2.右圖是一個(gè)8 12面積單位的圖形.求矩形內(nèi)的箭形 ABCDEFGH的面積.（圖 14）例8:你知道下圖中共有多少個(gè)三角形嗎？每個(gè)三角形的面積各是多少?分析：圖中共有8個(gè)三

10、角形，每個(gè)三角形面積分別為三角形ADE、BED的面積為4 X 3+2=6三角形ADC、BCD的面積為4X4+2=8三角形ACE、BCE的面積為6+8=14三角形ADB的面積為6X2=12三角形ABC的面積為14X2=28【隨堂練習(xí)】.右圖（圖14）是一個(gè)10 10的正方形，求正方形內(nèi)的四邊形 ABCD的面積.（圖 14）.右圖（圖15）中每個(gè)小正方形的面積為1平方分米，那么陰影部分的面積是多少平方分米（圖形見下頁）（圖 15）【課后練習(xí)】1.計(jì)算下例題各多邊形的面積（點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離都是1厘米）3.求下列圖中三角形的面積。4.下面的圖形面積是5.下面是一個(gè)漂亮禮盒的平面圖，請(qǐng)你求出它的面積。專

11、業(yè)個(gè)性化學(xué)回社區(qū)6.計(jì)算下列三角形的格點(diǎn)的面積。7.下圖中有21個(gè)點(diǎn)，其中相鄰的三點(diǎn)組成的等邊三角形的面積是1,試求下圖的面積。.在下圖中，如果點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離是1厘米，如果將適當(dāng)?shù)娜齻€(gè)點(diǎn)連起來得到一個(gè)三角形，在這些三角形中，面積是2平方厘米的三角形有多少個(gè)？.在下圖中含有多少個(gè)格點(diǎn)正方形?.右圖中每個(gè)小平行四邊形的面積是1個(gè)面積單位，求陰影部分的面積（10題圖）.右圖是用皮筋在釘板上圍成的一個(gè)三角形，計(jì)算它的面積是多少.（每相鄰兩個(gè)小釘之間的距離都等于1個(gè)長度單位）.（11題圖）營N/毒鉉I壯OJOCUMH專業(yè)個(gè)性化學(xué)工社區(qū)12.右圖是一根用皮筋在釘板上圍成的一個(gè)四邊形,計(jì)算它的面積是多少.（每相鄰兩個(gè)小釘之間的距離都等于1個(gè)長度單位）.（12題圖）.如圖右上角是一個(gè) 5 5的方格紙，小方格的面積是1平方