重慶郵電大學(xué)信號與系統(tǒng)課件第5章

1、第五章 LTI離散系統(tǒng)的Z域分析5.1 Z變換5.2 Z變換的性質(zhì)5.3 Z反變換5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)與系統(tǒng)特性5.6 離散系統(tǒng)的Z域模擬框圖和信號流圖通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.1.1 從拉氏變換到Z變換抽樣信號的拉氏變換：一個任意的連續(xù)時間信號f(t)經(jīng)過以均勻間隔T進行理想取樣得到取樣信號fs(t)，可表示為：5.1 Z變換對上式兩邊進行拉氏變換，得即通信基礎(chǔ)教學(xué)部 引入一新的復(fù)變量z, 令 再將f(kT) 抽象為f(k), 則上式變成了復(fù)變量Z的函數(shù)式F(z):5.1 Z變換 f(k)的z變換是f(t)的理想抽樣信號fs(t)的拉普拉斯變換Fs(s)將變量s

2、通過z=esT代換的結(jié)果。通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.1.2 Z變換序列 f(k) 的Z變換定義為： 由于 k 的取值范圍是正負(fù)無窮大（- k )，上式稱為雙邊Z變換。5.1 Z變換 如果離散信號始有始序列，k 的取值從大于零開始（0 k )，上式變?yōu)椋壕褪菃芜匷變換，本課程以單邊Z變換為主。 F(z)稱為f(k)的象函數(shù) f(k)稱為F(z)的原函數(shù)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.1.3 Z變換的收斂域 ROC (region of convergence ) 與連續(xù)信號的拉氏變換一樣，離散信號的Z變換也存在收斂 域問題。Z變換表現(xiàn)為一個冪級數(shù)。顯然，僅當(dāng)該級數(shù)收斂時， Z變換才有意義。級數(shù)收斂條件為： 上式稱為序

3、列 f(k) 的絕對可和條件，它是離散信號 f(k) 的Z變換存在的充分必要條件。滿足該條件|Z|的的取值范圍稱為z變換的收斂域(ROC) 由于上式是一個正項級數(shù)，通?？梢岳脙煞N方法比值判定法和根值判定法來判別其收斂性。5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部a. 比值判定法若級數(shù) 存在，且令則，當(dāng)1時該級數(shù)收斂； 當(dāng) 1 時該級數(shù)發(fā)散； = 1不確定。 b. 根值判定法若級數(shù) 存在，且令則，當(dāng)1時該級數(shù)收斂； 當(dāng) 1 時該級數(shù)發(fā)散； = 1不確定。 5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部為正實數(shù)，求其收斂域。解：欲使則須滿足Z平面上收斂域如圖例5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部例為正實數(shù)，求其收斂域。解：對于 令 m

4、 = k 則欲使則須再令 m = k 則由上例知，對于 有 5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部Z平面上收斂域如圖故收斂域5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.1.4 常見離散信號的Z變換1. 單位函數(shù)Z推論5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部2. 單位階躍序列Z收斂域為 單位圓以外區(qū)域，如圖 5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部3. 指數(shù)序列4. 虛指數(shù)序列ZZ平面上收斂域如圖5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部5. 斜坡序列同理， 由二次微分得到Z5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部6. 正弦序列5.1 Z變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.1 Z變換 常見序列的單邊Z變換原函數(shù)像函數(shù)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2.1 線性性質(zhì)若則5.2 Z變換的性質(zhì)解：解

5、：通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2.2 比例性（尺度變換）若則已知問解：5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2.3 移序性質(zhì)特別：若f(k)為因果序列，則 f(km) zmF(z) 。5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部例已知 問解：請注意 與 的Z變換不同。5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部解：5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2.4 卷積定理若則5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部 證明：根據(jù)卷積和的定義和Z變換的定義Z其中，f(-1)=f(-2)=f(-3)=.=0Z5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部例 已知試求解：5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2.5 序列求和的Z變換若則f(k) (k)

6、(因果序列)與(k)的卷積和解：5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部例 5-5已知試求解：5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2.6 Z域微分性質(zhì)設(shè)則證明： 由定義將等式 F(Z) 兩邊關(guān)于Z 求導(dǎo)得，即5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部類推5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達式其中，5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部例已知試求解：5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2.7 Z域積分性質(zhì)（序列 k+m ）設(shè)則 該性質(zhì)的證明可與拉普拉斯變換s域積分性質(zhì)相對應(yīng)，本課程不做要求。5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部例已知試求解：5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2.8 初值定理若

7、 且 存在 則證明： 由定義 5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部另外，由于類推：5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部例求解：5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.2.9 終值定理若 且 收斂 則證明： 根據(jù)Z變換的線性性質(zhì)和移序性質(zhì)另外，由Z變換的定義ZZ5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部令Z1, 則 為了保證 f() 的存在，(z-1)F(z)的極點必須限制在單位圓以內(nèi) 由此可以根據(jù)終值f()來判斷信號f(k) 是否收斂。5.2 Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部求解： 條件是 |a| 1 , 否則（z -1)F(z)的極點在單位圓的外部，f(k) 發(fā)散。 例5.2

8、Z變換的性質(zhì)通信基礎(chǔ)教學(xué)部作業(yè)5.1 （1）5.2 （1）（3）（5）（7）通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.3.1 冪級數(shù)展開法例若知道 F(z) 的冪級數(shù)的形式，則由Z變換的定義，即可求出 f (k)。則例如5.3 Z反變換 知道了F(z)求f(k),便是求Z反變換，記作F(Z)與f(k)構(gòu)成Z變換對。本課程僅限于單邊的Z反變換又稱Z逆變換。通信基礎(chǔ)教學(xué)部例解：長除法5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部 采用冪級數(shù)展開法求解Z反變換，一般情況下f(k)難以歸納成數(shù)學(xué)解析式。5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.3.2 部分分式展開法 則可將 展開為標(biāo)準(zhǔn)形式再利用典型的指數(shù)序列Z變換公式 求得反變換。為什么不是展開

9、F(z) 呢？這是因為無論 (k) 或 rk(k) 的 Z 變換分子均含有 z , 即 和 而部分分式展開出來的一般式的分子不含z，按上述分式 展開能確保 F(z) 的展開式里含有z , 從而與一般典型信號的Z變換保持一致。如果Z域函數(shù)式 有實數(shù)單極點r1 , r2 , r3 ,5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部例如，若 則 若 則待定常數(shù)的確定：再例如 則 5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部例 已知 求 f(k)。解：5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.3.3 圍線積分法（留數(shù)法）5.3 Z反變換留數(shù)定理: 該積分可表示為圍線C內(nèi)所包含F(xiàn)(z)z k-1的各極點留數(shù)之和，即F(z) 的Z反變換可表示一

10、圍線積分 通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.3.3 圍線積分法（留數(shù)法） 在Z平面上F(Z)的收斂域是以R為半徑的圓以外區(qū)域 ，在這個區(qū)域里選一條包含圓點逆時針 方向旋轉(zhuǎn)的圍線C（如圖所示）。 將上式兩邊同時乘以 zn-1 , 然后在圍線C上沿逆時針方向作線積分，得5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部將積分與求和符號的次序互換，得根據(jù)復(fù)變函數(shù)的柯西積分定理 因此上述積分的右端，除了m=nk = 0 , 即 n = k 項以外，其余項均為零 ; 等式左端的zn-1=zk-1 , 所以上式變?yōu)?.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部即這就是F(z) 的Z反變換的圍線積分(留數(shù))表達式。留數(shù)定理: 積分 , 可表示為圍線 C 內(nèi)所

11、包含F(xiàn)(z)z k-1的各極點的留數(shù)之和，即5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部1. 當(dāng)F(Z)Z k-1含有實數(shù)單極點r1, r2, r3,時，5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部例 已知 求 f(k) 。解：5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部2.當(dāng)F(z)z k-1含有某一實數(shù) z = rk 的 m 重極點時5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部例 已知 求f (k)。解：當(dāng)k=0時F(z)z k-1含有三個極點，其中z=0為二重極點；當(dāng)k=1時, z=0時單極點；當(dāng)k 2 時，只含有兩個單極點。5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部所以，當(dāng) k 2 時，5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部對于復(fù)

12、數(shù)根可視為單根分別考慮。5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部1.單邊Z變換與拉氏變換的關(guān)系5.3.4 單邊Z變換與拉氏變換的關(guān)系設(shè)則抽樣后 可否找到一種關(guān)系，直接由信號f(t)的拉氏變換F(s)求得對應(yīng)的離散信號f(k)的Z變換F(z)呢？答案是肯定的。5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部令5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部 根據(jù)該式，可以直接由信號f(t)的拉氏變換F(s)求的相應(yīng)的離散信號 f(kT) 們的Z變換F(z)。上式的也可表達為留數(shù)形式：5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部例 5-17 已知 求相應(yīng)的F(z)。解：5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部2. Z域與s域的映射關(guān)系因為復(fù)變量z和s之間有下面的映射

13、關(guān)系5.3 Z反變換 f(k)的z變換是f(t)的理想抽樣信號fs(t)的拉普拉斯變換Fs(s)將變量s通過z=esT代換的結(jié)果。通信基礎(chǔ)教學(xué)部，則由以上關(guān)系式可表示為 若令可見，當(dāng)=0時，有|z|=1，即s平面中的虛軸j映射成z平面中的單位圓；當(dāng)0時，有|z|= 0時，有|z|= 1 ，即s平面中的右平面映射到z平面中的單位圓的外部，如圖所示。映射5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部s平面可被分成無限條寬度為2/T的水平帶，所以s平面可被映射成無限多個z平面。z平面上的一點，映射到s平面上為無窮多點： 映射5.3 Z反變換通信基礎(chǔ)教學(xué)部作業(yè)5.15 （1）5.16 （1）通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.4 離散

14、系統(tǒng)的Z變換分析法5.4.1 基本信號zk激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)5.4.2 一般信號f(k)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)5.4.3 差分方程的Z域求解5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.4.1 基本信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)若 , 則 若h(k)為因果信號(對應(yīng)的系統(tǒng)稱因果系統(tǒng))，則有由卷和知5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法式中， 即H(z)是系統(tǒng)單位序列響應(yīng)h(k)的單邊Z變換， H(z)稱為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，zk稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。 上式表明：離散系統(tǒng)對基本信號zk的響應(yīng)等于zk與系統(tǒng)函數(shù)H(z)的乘積。通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.4.2 一般信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng) 一般信號f(k)可以分解為基本信號zk

15、之和 對于線性系統(tǒng)，圍線C上任一z，信號zk產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為H(z)zk，對應(yīng)關(guān)系表示為 5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部另一方面，由于yf(k)=f(k) *h(k) ，因此系統(tǒng)函數(shù)5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法籍此，可歸納出Z域分析法求解零狀態(tài)響應(yīng)的四個步驟：求離散系統(tǒng)函數(shù)H(z),它是系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h(k)的Z變換；求激勵f(k)的Z變換 F(z)f(k) 求零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)的Z變換 Yf(z)=F(z)H(z)，求Yf(z)的Z反變換-零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)= Z -1 Yf(z)， 通信基礎(chǔ)教學(xué)部例5-18 已知離散系統(tǒng)輸入為f1(k)=(k) 時，零狀態(tài)響應(yīng)yf

16、1(k)=3k(k) 。求輸入為f2(k)=(k+1)(k)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf2(k)。解： 系統(tǒng)函數(shù)為 5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.4.3 差分方程的Z域求解求解方法與s域的方法類似 用Z變換求解差分方程是將離散信號和描述離散系統(tǒng)的k域差分方程變?yōu)閆域代數(shù)方程進行分析，以便于運算和求解；同時，單邊Z變換將系統(tǒng)的初始狀態(tài)自然地包含于像函數(shù)方程中，既可利用Z變換分別求得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，也可利用Z變換直接求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部例 解：1）求零輸入響應(yīng)yx(k)5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部2）求零狀態(tài)響應(yīng)yf(k

17、) , 此時系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法對差分方程兩邊進行z變換得通信基礎(chǔ)教學(xué)部n階系統(tǒng)5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部該系統(tǒng)的離散系統(tǒng)函數(shù)為5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部3）求全響應(yīng)5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法全響應(yīng)初始條件：零輸入響應(yīng)初始條件：通信基礎(chǔ)教學(xué)部6. 5 離散系統(tǒng)的Z域分析(11)解：將差分方程兩端作ZT代入已知，整理后得作Z反變換得通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法將差分方程兩端作ZT通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法作 Z 反變換得通信基礎(chǔ)教學(xué)部例試求（1）離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)；（2）單位函數(shù)響應(yīng)h(k)

18、； （3）當(dāng)激勵 f(k) = (k), 初始狀態(tài)為零時的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。解： 對差分方程兩邊進行Z變換，并考慮零初始狀態(tài)和激勵為有始信號，可得(1)5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部（2）5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部(3)5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部三、 離散系統(tǒng)Z域模擬框圖1. Z域基本運算器5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部標(biāo)量乘法器延遲器時 域Z域加法器通信基礎(chǔ)教學(xué)部2.離散系統(tǒng)Z域模擬框圖 運用基本運算器也可以將離散系統(tǒng)在Z域加以模擬5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法例求其Z 域模擬框圖。解：通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.4 離散系統(tǒng)的Z變換

19、分析法引入中間變量q(k)通信基礎(chǔ)教學(xué)部離散系統(tǒng)Z域模擬框圖也可以用信號流圖來表示；信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)同樣可以用梅森公式來求解，其方法與S域一樣。5.4 離散系統(tǒng)的Z變換分析法通信基礎(chǔ)教學(xué)部作業(yè)5.17 (3)5.18 (2)5.205.24通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.5.1 系統(tǒng)函數(shù)H(z)的定義5.5.2 由H(z)零極點的分布確定h(k)的特性5.5.3 H(z)與離散系統(tǒng)穩(wěn)定性5.5.4 H(z)與離散系統(tǒng)的頻率特性H(ej) 5.5.5* 離散信號與系統(tǒng)的頻域分析5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.5.1 系統(tǒng)函數(shù)H(z)的定義 離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)是離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換Y

20、f(z)與其激勵的Z變換F(z)的比值。它表征了離散時間系統(tǒng)本身的特性，是單位函數(shù)響應(yīng) h(k) 的Z變換。5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 n 階線性時不變離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 r是系統(tǒng)函數(shù)H(Z)的零點； j是系統(tǒng)函數(shù)H(Z)的極點分母多項式等于零時的方程稱為該離散系統(tǒng)的特征方程特征根通信基礎(chǔ)教學(xué)部例如0.51j0.5-j0.55.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性在z平面上零極點得分布圖就是離散系統(tǒng)的零極點圖。通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.5.2 由系統(tǒng)函數(shù)零極點的分布確定單位函數(shù)響應(yīng)的特性H(z)的因子形式為：其中，(zr) 為零點因子，(z j) 為極點因子。

21、由于H(z)與h(k) 是一對Z變換，所以可以從H(z)零極點的分布情況，確定h(k)的性質(zhì)。5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部 H(z)的每一個極點決定一項對應(yīng)的時間序列，對于具有n個單極點的系統(tǒng)函數(shù)，其h(k)為5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性極點j確定了h(k)的模式；零點對只對h(k)的振幅與相位產(chǎn)生影響，對其數(shù)學(xué)模式?jīng)]有影響。通信基礎(chǔ)教學(xué)部極點對h(k)模式的影響 a). 當(dāng)H(z)的極點為位于實軸的單極點且為實數(shù)極點時 ReZ0, h(k)正向單調(diào)變化5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部b). 當(dāng)H(z)的極點位于Z平面任何位置的共軛非重極點時5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與

22、系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部b). 當(dāng)H(z)的極點位于Z平面任何位置的共軛非重極點時5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.5.4 系統(tǒng)函數(shù)H(z)與離散系統(tǒng)穩(wěn)定性1. 離散系統(tǒng)的因果性2. 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性3. 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般判別法4. 朱利（Jury）判定法 5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部1. 離散系統(tǒng)的因果性 如果離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)不出現(xiàn)于激勵f(k)之前，也就是說， 對于k=0接入的任意激勵f(k)， 如果在任意的f(k)=0(k0)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)都有yf (k)=0(k0)就稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則便是非因果系統(tǒng)。離散因果系統(tǒng)的充分和必要條件是

23、：單位函數(shù)響應(yīng)h(k)=0(k0(-1)2A(-1) =1-0.2-0.24=0.5605.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性對于二階系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：a2|a0|、D(1)0、D(-1)0通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性解：第1行第2行第3行第4行第5行第6行通信基礎(chǔ)教學(xué)部 在連續(xù)系統(tǒng)中，若系統(tǒng)函數(shù)H(s)在j軸收斂,那么，將s= j代入H(s)就得到連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)。由s平面與z平面的映射關(guān)系知，當(dāng)s= j時，z= ejTs 。因此， 在離散系統(tǒng)中，若H(z)在單位圓|z|=1上收斂，則H(z)在單位圓上的函數(shù)就是系統(tǒng)頻率響應(yīng)，即 由于ej = ejTs,是周期為2的

24、周期函數(shù)，因而，頻率響應(yīng)H(ej)也是周期為2的周期函數(shù)。與連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)相似，這里幅頻響應(yīng) |H(ej) |是(或)的偶函數(shù)，相頻響應(yīng)()是(或)的奇函數(shù)。 5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性5.5.4 離散系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的頻率特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部5.5.4 離散系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的頻率特性1離散系統(tǒng)的頻率特性 設(shè)有連續(xù)復(fù)指數(shù)信號 （其中復(fù)數(shù) ， F是信號幅度,為初相角），被以周期為Ts的取樣序列 進行取樣，所得信號為復(fù)指數(shù)離散序列 這里是連續(xù)信號角頻率，Ts為取樣周期。令=Ts ，則輸入可寫為5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部若LTI離散系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h(k)為，系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，

25、則在復(fù)指數(shù)離散序列 激勵下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 根據(jù)Z變換定義，若令則yf(k)可寫為5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部2. 正弦序列激勵下離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)若輸入正弦序列則離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部例5-23 已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 ，系統(tǒng)的輸入為 ，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 解： 因為H(z)的收斂域為|z|0.5 ，所以H(z)在單位圓上收斂。系統(tǒng)函數(shù)可寫為 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 分別求系統(tǒng)對f(k)的各分量的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：(1)在 f0(k)=6 的作用下，可以看成 =0， ， 5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部 （2）在 下， 故5.5 離散系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性通信基礎(chǔ)教學(xué)部3.數(shù)字濾波器的分類 類似于模擬濾波器，數(shù)字濾波器按其頻率特性也分為低通、高通、 帶通、 帶阻和全通等類型。 由于離散系統(tǒng)頻率特性 H(ej ) 具有周期性，數(shù)字濾波器的類型區(qū)分只能在 的頻率范圍內(nèi)進行。如下圖低通5.