概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法課件

1、概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法概率模型（一）報童的訣竅概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法確定性因素和隨機性因素隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計回歸模型馬氏鏈模型隨機模型確定性模型隨機性模型概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量 X 的概率分布為則隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望值為連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為則隨機變量 X 的數(shù)學(xué)期望值為期望值反映了隨機變量取值的“平均”意義！概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法報童的訣竅問題：報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設(shè)報紙每份的購進價為b，零售價為a，退回價為c，假設(shè)abc。即報童售出一份

2、報紙賺a- b，退回一份賠b-c。報童每天購進報紙?zhí)?，賣不完會賠錢；購進太少，不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大收入。概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法1.確定設(shè)計變量和目標變量2.確定目標函數(shù)的表達式每天的總收入為目標變量每天購進報紙的份數(shù)為設(shè)計變量3.尋找約束條件尋找設(shè)計變量與目標變量之間的關(guān)系設(shè)計變量所受的限制問題分析概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法若每天購進 0 份，則收入為 0。若每天購進 1 份，售出，則收入為 a-b。退回，則收入為 (b-c)。若每天購進 2 份，售出1份，則收入為 a-b (b-c) 。退回，則收入為 2(b-c)。售出2份，則收入為 2(a-b)

3、 。收入還與每天的需求量有關(guān)，而需求量是隨機變量則收入也是隨機變量，通常用均值，即期望表示。概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法1 設(shè)每天購進 n 份，日平均收入為 G(n)3 每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,22 售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c模型假設(shè)與符號說明概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法求 n 使 G(n) 最大每天的收入函數(shù)記為U(n)，則收入函數(shù)的期望值為建模概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法將r視為連續(xù)變量模型求解概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法使報童日平均收入達到最大的購進量應(yīng)滿足上式。因為概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法售完的概率因為當購進份報紙時，是需求量不超過的概率是需求量 超過的概率售不完

4、的概率上式意義為：購進的份數(shù)之比，恰好等于賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。應(yīng)該使賣不完與賣完的概率概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法根據(jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購進量在圖中用分別表示曲線下的兩塊面積，則O n r當報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的份數(shù)就應(yīng)該越多。結(jié)論求解的幾何意義概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法注意求解技巧：連續(xù)化建模方法：從特殊到到一般歸納抽象1998年B題 災(zāi)情巡視路線單旅行商到多旅行商1999年B題 鉆井布局網(wǎng)格的平行移動到旋轉(zhuǎn)運動2000年B題 鋼管的訂購與運輸線形到樹形2000年C題 飛越北極球形到橢球形人口模型，戰(zhàn)爭模型隨機變量的目標函數(shù)：期望

5、值航空公司的超額訂票模型概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法 利用上述模型計算，若每份報紙的購進價為元，售出價為1元，退回價為元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應(yīng)購進多少份報紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？舉例概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法查概率積分表得概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法航空公司的西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法1 問題的提出航空公司為了提高經(jīng)濟效益開展了一項預(yù)訂票業(yè)務(wù)。隨之帶來一系列的問題：若預(yù)訂票的數(shù)量恰等于飛機的容量，則由于總會有部分已訂票的乘客不按時前來登機，致使飛機因不滿員而利潤降低，或虧本；若不限制訂票的數(shù)量，那些本已訂好了某家航空公司的某趟航班的乘客，卻

6、被意外地告知此趟航班已滿，公司不管以什么方式補救總會引起乘客的抱怨，導(dǎo)致榮譽受損。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系試建立航空公司訂票決策的數(shù)學(xué)模型，解決以上的問題。 概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法2 問題分析公司的經(jīng)濟利益公司的社會聲譽利潤 = 收入-成本-賠償金已訂票但被擠掉的乘客的數(shù)量怎樣確定預(yù)訂票數(shù)量限額，使得利潤最大，同時被擠掉的乘客的數(shù)量盡可能小。問題轉(zhuǎn)化為以預(yù)訂票數(shù)量為決策變量的雙目標隨機規(guī)劃問題。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系訂票策略：為了航空公司的經(jīng)濟利益與社會聲譽，確定預(yù)訂票的最佳數(shù)量。概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法3 模型假設(shè)飛機容量為常數(shù) n，機票價格為常數(shù) g，飛行 費用為常數(shù) r。機票價格按照 來制訂，其中 是利

7、潤調(diào)節(jié)因子，如 表示飛機60%滿員就不虧本。預(yù)訂票數(shù)量的限額為常數(shù) m(n) ，每位乘客不按時前來登機的概率為 p，各位乘客是否按時登機是相互獨立的。每位被擠掉的乘客獲得的賠償金為常數(shù)b。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法4 模型建立先不考慮社會聲譽的影響。公司的經(jīng)濟利益用平均利潤（數(shù)學(xué)期望）S 來衡量訂票的總?cè)藬?shù)是 ，有可能超出 航空公司可能從航班中得到的利潤為當有 個人誤機時，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法個人誤機的概率是 ，由假設(shè)2 平均利潤 即 ( 數(shù)學(xué)期望值)，設(shè)有 由得當 給定后，可以求 m 使 最大。 西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)

8、據(jù)擬合方法考慮到社會聲譽，應(yīng)該要求被擠掉的乘客不能太多。而由于被擠掉者的數(shù)量是隨機的。用被擠掉的乘客數(shù)超過若干人的概率作為衡量標準。設(shè)被擠掉的乘客數(shù)超過 人的概率為 ，則被擠掉的乘客數(shù)超過 j 人等價于m位預(yù)訂票的乘客中不按時前來登機的不超過 m-n-j 人。從社會聲譽和經(jīng)濟利益兩方面考慮nm-njm-n-j西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法所建模型為雙目標的優(yōu)化模型模型變形航空公司綜合考慮大量的因素，得出的臨界人數(shù)大約是航班載客量的60%，即西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法計算一架載客量為300的飛機所能得到的預(yù)期利潤，假設(shè) 5 模型求解m30

9、0302304306308310312314316P5000000.00050.00440.02320.0791J10.58330.59390.60440.61500.62540.63550.64450.65190.6568m318320322324326328330332334P50.19310.36270.55580.72950.85650.93350.9730J10.65940.66000.65920.65770.65580.65370.6517西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法結(jié)果表明：當超額訂票的乘客數(shù)分別為20和39時，可以達到最大的預(yù)期利潤。有超過5名乘客發(fā)生座位沖撞的概率分

10、別為36%和54%。當超額訂票的乘客數(shù)分別為18和36時，可以達到較大的預(yù)期利潤。有超過5名乘客發(fā)生座位沖撞的概率卻分別為20%和30%。m300302304306308310312314316P5000000000J20.50000.51000.52000.53000.54000.55000.56000.57000.580031832032232432632833033233433600.00020.00080.00300.00930.02430.05470.10740.18690.29220.59000.59990.60970.61930.62830.63650.64360.64920.6

11、5330.6559西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法6 模型推廣1）酒店酒店接受房間預(yù)訂主要是建立在誠信之上，因此通常不會再接受有過失信記錄的顧客的預(yù)訂。一些酒店在接受預(yù)訂時會要求顧客交納押金，以此來確保顧客住房的概率（施行這種方案的一般是低價酒店，因為它們的周轉(zhuǎn)資金往往不多），而另一些酒店則可能會給長期訂房或是預(yù)付房費的顧客打折。這種多價格系統(tǒng)的經(jīng)營方式是可以考慮的。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法3）圖書館圖書館都有可能購買一些暢銷書籍的多種版本。特別是在學(xué)院或大學(xué)圖書館里，時常購買一系列課本。某些版本極有可能僅限在圖書館內(nèi)，以方便學(xué)生們的使用?？梢試L試建立書籍使用的模型。2）汽

12、車出租公司汽車出租公司一般會保留固定數(shù)量的汽車（至少在短期內(nèi)）以出租給顧客。出租公司可能會為頻繁租借汽車的顧客打折，以此來確保公司能有最低量的收入。而一些長期出租品（一次出租一周或一個月）也會標上優(yōu)惠的價格，因為這給出了一個至少確定了未來的一段日子會有收入的策略。在預(yù)測一些車輛的預(yù)訂可能會被取消的情況下，一間公司有可能充分地留出比它們計劃中要多的汽車。 西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法求解雙（多）目標的優(yōu)化模型根據(jù)對多目標的偏好程度，通過加權(quán)組合形式，化為單目標規(guī)劃問題。把一個目標作為約束條件，解另一個目標的規(guī)劃問題。7 注意西北大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法 假設(shè)在某一高校里只有兩

13、類餐廳，一類是學(xué)校公辦餐廳，另一類是私人的承包餐廳，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在公辦餐廳就餐的學(xué)生有60%會回到這類餐廳，而在承包餐廳就餐的學(xué)生有50%的回頭率，試建立數(shù)學(xué)模型求解學(xué)生在每類餐廳長期就餐的百分比。 課堂練習學(xué)生就餐問題概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法 數(shù)據(jù)擬合方法最小二乘法概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法數(shù)據(jù)擬合建模 給定一組有序的數(shù)據(jù)點，這些點可以是從實驗中測量得到的，也可以是設(shè)計員給出的。 構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些點進行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。構(gòu)造插值曲線所采用的數(shù)學(xué)方法稱為曲線插值法。希望概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法 測量所得或設(shè)計員給出的數(shù)據(jù)點本身就很粗糙，要求構(gòu)造一條曲線嚴

14、格通過給定的一組數(shù)據(jù)點就沒有什么意義。注意到 構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點將更為合理，稱之為對這些點進行曲線逼近。構(gòu)造逼近曲線所采用的數(shù)學(xué)方法稱為曲線逼近法。相應(yīng)的有曲面插值（逼近）問題。概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法 常用的擬合方法有： 1、一般插值法 2、樣條插值法 3、最小二乘法 概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法最小二乘法的基本原理在實驗中收集到一組數(shù)據(jù)可以由這組數(shù)據(jù)分析出一個經(jīng)驗公式：其中 為一組待定參數(shù)，使得取到最小值，從而確定出參數(shù) 的值。這樣就得到由這組數(shù)據(jù)確定的擬合函數(shù)。概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法 假設(shè)我們預(yù)想到一個確定形式的模型，并且已經(jīng)收集了數(shù)據(jù)并進行分析。在這里用最小二

15、 乘準則來估計各種類型曲線的參數(shù)。擬合直線 用 記作 的最小二乘估計。這時運用最小二乘準則 ，則要求極小化概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法最優(yōu)的必要條件是改寫為將 和 的值全部代入，方程組就變?yōu)槎淮未鷶?shù)方程組概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法斜率截距概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法例1 在鋼線碳含量對電阻的效應(yīng)研究中，得到以下數(shù)據(jù)： 碳含量 x0.1 0.3 0.4 0.55 0.7 0.8 0.95電阻效應(yīng)y15 18 19 21 22.6 23.8 26試求其線性擬合曲線 ，并估計在碳含量的這一改變過程中對電阻的總效應(yīng)。對給定的數(shù)據(jù)點集用最小二乘準則擬合直線設(shè)A與B最小二乘估計為 a ，b計算得概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)

16、擬合方法最小二乘近似模型為利用Mathematics 軟件，可得概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法擬合冪曲線 對給定的數(shù)據(jù)點集用最小二乘準則擬合形式的曲線， 為確定的數(shù)，現(xiàn)在來估計 的值 即研究模型 的最小二乘估計。運用最小二乘準則要求極小化最優(yōu)的必要條件是概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法為確定的數(shù)注意 類似的，可以將最小二乘準則用于其它模型。應(yīng)用該方法的限制在于計算最優(yōu)化過程中要求的各種導(dǎo)數(shù)，令這些導(dǎo)數(shù)為零，解這些方程組，求出模型類型中的參數(shù)。概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法例2 用下表給出的數(shù)據(jù)擬合二次曲線 ，并預(yù)測 x=時 y 的值。 x0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 y0.7 3

17、.4 7.2 12.4 20.1最小二乘估計 a ，由 確定。計算得概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法最小二乘近似模型為由此模型可計算當 x=2.25 時，預(yù)測 y 的值為概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法經(jīng)變換的最小二乘擬合例如，用最小二乘準則擬合模型 最優(yōu)化的必要條件是 在理論上最小二乘準則很易應(yīng)用，但在實踐上可能是有困難的。研究模型的最小二乘估計 概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法許多簡單的模型會產(chǎn)生很復(fù)雜的求解過程，或者很難解的方程組。基于這一原因，我們要使用變換，得出近似的最小二乘模型。解這個非線性方程組是不容易的。概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法通過對數(shù)據(jù)分析研究，發(fā)現(xiàn)先變換數(shù)據(jù)再對變換后的數(shù)據(jù)

18、擬合直線很方便。例如，圖形擬合 ，可以作變換而對于 和x的圖卻是直線。對變換后的數(shù)據(jù)擬合直線，可用于最小二乘準則，簡化擬合過程的計算。特別地，如果找到一個方便的變換，問題變成在變換后的變量X和Y間采用 的形式。概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法方程兩邊取對數(shù)得假設(shè)我們想對這數(shù)據(jù)點集擬合冪曲線 用 記的估計， 記的估計。在變量對 的圖中，上方程構(gòu)成一條直線。是此直線的截距， 是此直線的斜率。用變換后變量和個數(shù)據(jù)點，有 x0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 y0.7 3.4 7.2 12.4 20.1對于數(shù)據(jù)概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法從所給的數(shù)據(jù)得到概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法所以方程的最小二乘最佳擬合為產(chǎn)生由此模型可計算當 x=2.25 時，預(yù)測 y 的值為概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法假設(shè)仍想對這數(shù)據(jù)點集擬合二次曲線 仍用 記的估計，對方程 兩邊取對數(shù)得 x0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 y0.7 3.4 7.2 12.4 20.1對于數(shù)據(jù)在變量對 的圖中，上方程是一條斜率為2截距為 的直線。利用最小乘法計算得概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法所以方程的最小二乘最佳擬合為由此模型可計算當 x=2.25 時，預(yù)測思考：沒有變量代換經(jīng)變量代換這兩個模型哪個更好？概率統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)擬合方法2001