工學(xué)第五章 彈塑性模型理論

1、第五章彈塑性模型理論概述彈塑性理論可以分為兩種，塑性增量理論和塑性全量理論。塑性增量理論又稱塑性流動(dòng)理論，塑性全量理論又稱塑性形變理論。在塑性增量理論中，將物體在彈塑性變形階段的應(yīng)變分為兩部分：彈性應(yīng)ij變e和塑性應(yīng)變p。塑性應(yīng)變?cè)隽縟的表達(dá)式為ijijijddedp（5.1.）1ijijij式中，彈性應(yīng)變?cè)隽縟e可以用廣義虎克定律計(jì)算，塑性應(yīng)變?cè)隽縟P可以根據(jù)ijij塑性增量理論計(jì)算。塑性增量理論主要包括三部分：（1）屈服面理論；（2）流動(dòng)規(guī)則理論；（3）加工硬化（或軟化）理論。在塑性形變理論中是按全量來分析問題的。它在盈利狀態(tài)和相應(yīng)的應(yīng)變狀態(tài)之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。塑性形變理論實(shí)質(zhì)上是把彈

2、塑性變形過程看成是非線性彈性變形過程。嚴(yán)格說，在彈塑性變形理論的應(yīng)用是有條件的。嚴(yán)格講，只有在等比例加載條件下，應(yīng)用塑性變形理論可以得到精確解。所謂等比例加載是指在加載過程中，各應(yīng)力分量是按同一比例增加的。嚴(yán)格的等比例加載是很難滿足的，在土工問題中可以說是不可能的。在簡(jiǎn)單加載條件下應(yīng)用塑性形變理論分析有時(shí)也可以取得較好效果。近些年來建立的土體彈塑性模型大部分是根據(jù)塑性增量理論建立的。本章主要介紹塑性增量理論，在最后一節(jié)簡(jiǎn)要介紹塑性形變理論。屈服面得概念首先討論理想彈塑性材料。理想彈塑性材料受力到什么程度才開始發(fā)生塑性變形呢？在簡(jiǎn)單拉伸時(shí)，問題是很明顯的。當(dāng)應(yīng)力等于屈服應(yīng)力os時(shí)，塑性變形開始產(chǎn)

3、生。OS值是可以在拉伸試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線上找到的。然而在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，問題就不是這樣簡(jiǎn)單了。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由六個(gè)應(yīng)力分量確定。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，顯然不能任意選取某一個(gè)應(yīng)力分量的數(shù)值作為判斷材料是否進(jìn)入塑性狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)。因此需要在應(yīng)力空間或應(yīng)變空間來考慮這一問題。在土塑性力學(xué)中，常用的應(yīng)力空間有三維主應(yīng)力空間、P、q(或am,a1-a3)應(yīng)力平面、以及匕3,2一應(yīng)力平面等。22在主應(yīng)力空間，通過原點(diǎn)O,與三條坐標(biāo)軸成相同夾角的直線L(圖5-1)稱為等傾線,或主對(duì)角線。在等傾線上,各主應(yīng)力間具有以下關(guān)系,即(5.2.1)123包含等傾線的平面稱為子午面。通過原點(diǎn)O,與等傾線垂直的平面稱為n平面,其

4、平面方程為：0(5.2.2)123與n平面平行地其它平面和n平面，其方程為：const(5.2.3)123圖5-1前面已經(jīng)提到，物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用應(yīng)力空間中的一點(diǎn)（應(yīng)力點(diǎn)）來表示。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的變化可以用應(yīng)力點(diǎn)在應(yīng)力空間的運(yùn)動(dòng)軌跡來描述，應(yīng)力點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為應(yīng)力路徑。根據(jù)不同的應(yīng)力路徑所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，可以在各自的應(yīng)力路徑上定出物體在荷載作用下從彈性階段進(jìn)入塑性階段你的屈服應(yīng)力點(diǎn)。在應(yīng)力空間中，將這些屈服應(yīng)力點(diǎn)連接起來，就形成一個(gè)區(qū)分彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界線，通常為一空間曲面，簡(jiǎn)稱為屈服面。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)Jj位于此曲面以內(nèi)區(qū)域中，材料處于彈性狀態(tài)。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)bj位于此曲面上，材料發(fā)生屈服，產(chǎn)生塑性變

5、形。描述這個(gè)屈服面得數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為屈服函數(shù)，或稱為屈服條件、屈服準(zhǔn)則等。由于在彈性區(qū)內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變有唯一的關(guān)系，所以屈服條件既可以用應(yīng)力的函數(shù)來表示，也可以用應(yīng)變的函數(shù)來表示。用應(yīng)力的函數(shù)來表示，屈服條件的一般表達(dá)式為：F0（5.2.4）ij對(duì)于各向同性材料，屈服條件與坐標(biāo)軸方向的選取無關(guān)，因此可以寫成應(yīng)力不變量I,I,I或I,J，J的函數(shù)。例如，可表示為：123123FI,J,J0123（5.2.5）或者寫成只是主應(yīng)力的函數(shù)F,0123（5.2.6）因此，它可以用主應(yīng)力空間中的一個(gè)曲面來表示。在應(yīng)力平面，n平面或子午面上常用屈服曲線來表示。由于各項(xiàng)同性的假定，在n平面上，若（SS2,S3）是

6、屈服曲線上的一點(diǎn),則（Ss3,S2）也必然是屈服曲線上一點(diǎn)，因此屈服曲線對(duì)O1軸對(duì)稱（圖5-2）。同理，屈服曲線對(duì)02軸及O3軸也對(duì)稱。于是，n平面上的屈服曲線有三條對(duì)稱線，我們只需用試驗(yàn)確定n平面上60。范圍內(nèi)的屈服曲線，然后利用對(duì)稱性，就可確定n平面上的整條屈服曲線。屈服曲線必然是封閉的，而且和從原點(diǎn)出發(fā)的射線只能交于一點(diǎn)，否則將導(dǎo)致同一應(yīng)力狀態(tài)既對(duì)應(yīng)于彈性狀態(tài)，又對(duì)應(yīng)于塑性狀態(tài)。也可以采用應(yīng)變的函數(shù)來表示材料的屈服條件，其一般表示式可記為：F0（5.2.7）ij其次討論加工硬化材料。加工硬化材料在荷載作用下性狀如何呢？當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)a位于屈服面所包圍的范圍內(nèi)，材料只產(chǎn)生彈性應(yīng)變；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)b位于

7、屈服ijij面上，材料可能產(chǎn)生塑性變形。繼續(xù)加荷使材料同時(shí)引起了新的彈性變形和塑性變形。隨著塑性變形的發(fā)展屈服面不斷變化，每一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)有相應(yīng)的屈服面，材料發(fā)生加工硬化。換句話說，加工硬化材料的屈服面不是一個(gè)固定的面，而是隨著塑性變形發(fā)展不斷擴(kuò)大著的，是連續(xù)變化的一系列屈服曲面。從彈性變形狀態(tài)進(jìn)人彈塑性變形狀態(tài)最初出現(xiàn)的屈服面稱為初始屈服面，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為初始屈服條件。隨著塑性變形發(fā)生，屈服應(yīng)力提高形成的新屈服面稱為后繼屈服面，或稱加載曲面。后繼屈服面是隨塑性變形不斷變化的。描述后繼屈服面形狀及其變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為后繼屈服條件，或稱加載條件。其一般表達(dá)式為：,H0（5.2.8）ij式中

8、H硬化參數(shù)，與塑性變形有關(guān)，一般可以表示為塑性變形的函數(shù)。在應(yīng)變空間，后繼屈服條件一般可表示為：,H0（5.2.9）ija如果把材料進(jìn)入無限塑性狀態(tài)時(shí)稱作破壞。加工硬化材料首先達(dá)到初始屈服，經(jīng)過加工硬化階段，最后達(dá)到破壞。破壞面是極限狀態(tài)的后繼屈服面。對(duì)理想彈塑性材料，隨著加載，應(yīng)力點(diǎn)到達(dá)屈服面，材料發(fā)生屈服，它沒有加工硬化階段，屈服面的形狀、大小是不變的。隨著塑性變形的發(fā)展，材料發(fā)生破壞。對(duì)理想彈塑性材料屈服條件和破壞條件是相同的。在實(shí)際工程中通常把發(fā)生一定數(shù)量的變形作為破壞條件。最后討論加工軟化材料。加工軟化材料在荷載作用下性狀如何呢？當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)a位于屈服面所包圍的范圍內(nèi)，材料只產(chǎn)生彈性應(yīng)變

9、；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)b位于屈服ijij面上，材料進(jìn)人彈塑性變形階段。加工軟化材料彈塑性變形階段可分為硬化和軟化兩個(gè)階段。繼續(xù)加荷使材料產(chǎn)生硬化。在硬化階段，其性狀與加工硬化材料的相同，隨著塑性變形發(fā)展后繼屈服面是不斷擴(kuò)大的。應(yīng)力到達(dá)峰值后，繼續(xù)加載材料開始進(jìn)入軟化階段。材料發(fā)生軟化后，應(yīng)力驟減，塑性變形繼續(xù)發(fā)展。在應(yīng)力空間，軟化階段的后繼屈服面是隨著塑性變形的發(fā)展不斷收縮的。待收縮到最終屈服面時(shí)，材料進(jìn)人無限流動(dòng)狀態(tài)，認(rèn)為材料發(fā)生破壞。此時(shí)的屈服面又稱為破壞面，也稱為殘余破壞面。在應(yīng)變空間，無論是加工硬化材料，還是加工軟化材料，還是理想彈塑性材料，其屈服面在變形過程中總是不斷擴(kuò)大的。在應(yīng)變空間描述屈服面

10、的變化有時(shí)是比較方便的。近年來有人開展了應(yīng)變空間各種屈服條件表達(dá)式的研究。為了敘述方便，有時(shí)把理想彈塑性材料的屈服面，加工硬化材料和加工軟化材料的初始屈服面，后繼屈服面統(tǒng)稱為屈服面。幾種常用屈服條件在荷載作用下材料的屈服性狀是很復(fù)雜的。不同材料屈服性狀不同。同一材料，應(yīng)力歷史不同其屈服性狀也可能有差異。描述材料屈服性狀的屈服條件很多，這里只介紹比較典型的，常用的屈服條件，包括Tresca屈服條件和廣義Tresca屈服條件,vonMises屈服條件和廣義vonMises屈服條件,MohrCoulomb屈服條件，雙剪應(yīng)力屈服條件，三剪應(yīng)力屈服條件，Lade屈服條件，修正劍橋模型屈服條件等。5.3.

11、1Tresca屈服條件和廣義Tresca屈服條件1864年Tresca根據(jù)金屬擠壓試驗(yàn)研究成果提出一個(gè)屈服條件。他認(rèn)為當(dāng)取人剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料發(fā)生屈服。如果規(guī)疋aaa123Tresca屈服條件可表示為：2K13式中K常數(shù)。如果不知道a,a,a的大小順序，則此條件應(yīng)寫成：123,則(5.3.1)max|川23,|3|2K(5.3.2)或24K212224K224K20331(5.3.3)在n平面上，Tresca屈服條件是一個(gè)正六角形，如圖5一3所示。在主應(yīng)力空間內(nèi)，這個(gè)屈服曲面是一個(gè)正六角柱面，其中心軸與等傾線L重合。K值可以由簡(jiǎn)單拉伸屈服試驗(yàn)或純剪切屈服試驗(yàn)確定。圖5-3Trosca

12、屈服條件在材料力學(xué)中對(duì)于塑性材料常用最大剪應(yīng)力屈服條件作為強(qiáng)度理論來使用，通常稱為第三強(qiáng)度理論。Tresca屈服條件不能反映球應(yīng)力張量對(duì)材料屈服的影響。為了反映球應(yīng)力張量對(duì)材料屈服的影響，將Tresca屈服條件推廣為廣義Tresoa屈服條件。廣義Tresoa屈服條件可用下式表示：5.3.4)aI2K31如果不清楚的順序c,O,b,上式可改寫成123aI2KaI2KaI2K0（5.3.5）121231311廣義Tresca屈服條件在n平面上的屈服曲線為正六角形，在應(yīng)力空間的屈服曲面為一正六角棱錐體面（圖5-4），中心軸線與等傾線重合。5.3.2vonMises屈服條件和廣義vonMises屈服條

13、件Tresca屈服條件的缺點(diǎn)是，它不考慮中間主應(yīng)力對(duì)屈服條件的影響；當(dāng)應(yīng)力處在屈服面的棱線上，在數(shù)學(xué)上處理時(shí)會(huì)遇到困難；另外，當(dāng)主應(yīng)力方向不清楚時(shí)，屈服條件又很復(fù)雜。因此，vonMises于圖5-4廣義Tresca屈服條件1913年在實(shí)驗(yàn)研究基礎(chǔ)上，提出了另一個(gè)屈服條件：J2C（5.3.6）式中J-應(yīng)力偏張量第二不變量；2C常數(shù)。后來，人們發(fā)現(xiàn)Huber于1904年就曾經(jīng)提出同樣的意見。人們把式5.3.6稱為Huber-vonMises屈服條件，簡(jiǎn)稱vonMises屈服條件，式5.3.6也可改寫成2226C（5.3.7）122331在兀平面上，vonMises屈服條件是一個(gè)圓，如圖5-5所示。

14、在主應(yīng)力空間,vonMises屈服曲面是一個(gè)正圓柱面，其中心軸與等傾線重合。常數(shù)C也可以由簡(jiǎn)單拉伸屈服試驗(yàn)或純剪切屈服試驗(yàn)確定。在n平面上，如果我們用簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)確定常數(shù)，在n平面上，01,02和03軸上，Tresca屈服條件和vonMises屈服條件重合，于是Tresca六邊形將內(nèi)接于vonMises圓（圖5-5），并有5.3.8)max2外接Tresca六邊形內(nèi)接Tresca六邊形vonMises屈服面(vonMises圓)圖5-5如果采用純剪切實(shí)驗(yàn)確定常數(shù)，在n平面上，在01,02和03軸形成的角平分線上Tresca屈服條件和vonMises屈服條件重合，于是Tresca六邊形將外切于v

15、onMises圓（圖5-5），并有J2對(duì)vonMises屈服條件、s對(duì)Tresca屈服條件J(5.3.9)maxsvonMises條件也可以解釋為：當(dāng)材料八面體上的剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開始屈服。在材料力學(xué)中，用vonMises屈服條件作為強(qiáng)度理論使用時(shí)，通常稱為第四強(qiáng)度理論。與Tresca屈服條件一樣，vonMises屈服條件不能反映球應(yīng)力張量對(duì)材料屈服的影響。為了反映球應(yīng)力張量對(duì)材料屈服的影響，將vonMises屈服條件推廣為廣義vonMises屈服條件。5.3.10)KDrucker和Prager(1952)首先提出在應(yīng)力空間中為一圓錐形屈服面的屈服條件。在n平面上，其圓形屈服曲線

16、為MohrCoulomb屈服曲線的內(nèi)切圓。屈服條件表達(dá)式為：式中sin73$3sir2K3Ccos3sir2I1C,/分別為土的粘聚力和內(nèi)摩擦角。后來，許多學(xué)者對(duì)系數(shù)a、K又提出其它一些表達(dá)式。這類屈服條件可統(tǒng)稱為廣義vonMises屈服條件。DruckerPrager(1952)屈服條件是廣義vonMises屈服條件中的一種特殊情況。Drucker-Prager(1952)屈服條件在土工數(shù)值分析中得到較多應(yīng)用，特別在巖體力學(xué)分析中。由上面分析可知，廣義vonMiscs屈服條件在n平面上的屈服曲線圖形仍然是一個(gè)圓。在應(yīng)力空間，它的屈服面是一個(gè)圓錐體面(圖5-6)，中心軸線與等傾線重合。C粘聚力

17、，數(shù)值上等于破壞線在豎軸上的截矩。C粘聚力，數(shù)值上等于破壞線在豎軸上的截矩。nL3廣義Tresca屈1#殺件廣義vonMises屈服條件圖5-6廣義vonMises屈服條件5.3.3Mohr-Coulomb屈服條件圖5-7通常，土體任何一個(gè)受力面上的極限抗剪強(qiáng)度可用Coulomb定律表示（圖5.3.11)5-7）Ctgnn式中內(nèi)摩擦角；受力面上的正應(yīng)力；在圖5一7中，還可用一曲線（如雙曲線、拋物線、擺線等）表示值隨值n的增加而變化，這是更一般的情況，稱為Mohr準(zhǔn)則。在靜水壓力不很大的情況,可用二常數(shù)的直線代替，因而式5.3.11又稱為Mohr-Coulomb屈服條件。根據(jù)圖5-7，可以得到下

18、式Rsin5.3.12）Rcosn1n2結(jié)合式5.3.11和式5.3.12，得RCcossiny5.3.13）122xy式中R應(yīng)力Mohr圓的半徑。5.3.14）Mohr-Coufomb屈服條件還可以用平面內(nèi)的主應(yīng)力J,6表示:1C1Ccossin（5.3.15a）213213或1sin11sin32Ccos0（5.3.15b）在n平面上,Mohr-Coulomb屈服條件是一個(gè)不等角的等邊六邊形,如圖5-8所示。在主應(yīng)力空間，Mohr-Coufomb屈服條件的屈服面是一個(gè)棱錐面，中心軸線與等傾線重合。圖5-8Mohr-Coufomb屈服面1Isin31Jsin3、珂sinCcos30（5.3.

19、16）式中由cos32J/3定義;8I應(yīng)力張量第一不變量;1J和J分別為應(yīng)力偏張量第二，第三不變量;238八面體剪應(yīng)力。5.3.4雙剪應(yīng)力屈服條件俞茂宏（1961）提出材料的屈服取決于兩個(gè)較大的主剪應(yīng)力，即最大剪應(yīng)力T2和中間主剪應(yīng)力T1或T3.換句話說，材料是否屈服不僅與最大主剪應(yīng)力有關(guān)，還與中主剪應(yīng)力有關(guān)，材料是否屈服與兩者之和有關(guān)。其表達(dá)式為：23當(dāng)時(shí)31當(dāng)00op0厶圖5-15蛋型屈服面徐日慶等(1995)建議采用下述形式的蛋型函數(shù)表達(dá)式Ih2Tah11pp2Ihiahbh5.4.17)式中h硬化參數(shù)ah、bh分別為橢圓的長(zhǎng)短半軸；p橢圓修正項(xiàng)。p=0時(shí)，式5.4.17表示的蛋型屈服面

20、蛻化為黃文熙模型橢圓屈服面(式6.5.15)。n平面上屈服面形狀由g(0)函數(shù)確定。g(0)的確定，通?？梢苑譃槿悾阂活愂菑哪骋焕碚摷僭O(shè)出發(fā)的，一類是通過試驗(yàn)成果的擬合得到的，還有一類是為了數(shù)值計(jì)算方便對(duì)上二類中的某些屈服曲線進(jìn)行修正而得到的。下面舉例加以說明。屬于第一類的有vonMises準(zhǔn)則，Tresca準(zhǔn)則，Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，雙剪應(yīng)力準(zhǔn)則，三剪應(yīng)力準(zhǔn)則等。vonMises準(zhǔn)則的g(0)表達(dá)式為g1(5.4.18)Tresca準(zhǔn)則的g(0)表達(dá)式為g(5.4.19)2cosMohr-Coulomb準(zhǔn)則的g(0)表達(dá)式為5.4.20)2tg1sin5.4.21)3sin3sin

21、材料內(nèi)摩擦角。屬于第二類的有Lade準(zhǔn)則。屬于第三類的大多數(shù)是對(duì)Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的修正。對(duì)工程材料，Mohr-Coulonb準(zhǔn)則應(yīng)用較多，但其屈服面存在尖頂和棱角這些奇異點(diǎn)，使數(shù)值計(jì)算變繁和收斂緩慢，不少學(xué)者對(duì)此進(jìn)行修正。怎樣消除n平面上屈服曲線的奇異點(diǎn)呢？在確定g(0)時(shí)，要求產(chǎn)時(shí)6滿足dgd5.4.22)這樣的函數(shù)可以寫成多項(xiàng)式或三角方程式。通常還取g/61g頁K65.4.23)根據(jù)Mohr-Coulomb關(guān)系，可以把K值用摩擦角來表示:K3血3sin5.4.24)Gudehus(1973)和Argyis等(1973)建議g(0)取下述形式,2KVK1Ksin35.4.25

22、)鄭穎人等建議對(duì)上式進(jìn)行修正以提高精度，其表達(dá)式為2Kg1K1Ksin3acos235.4.26)式中a=0.20.4,通過計(jì)算機(jī)作圖使其逼近MohrCoulomb準(zhǔn)則的屈服曲線而確定。史述照和楊光華（1987）建議采用下述函數(shù)，g2-（5.4.27）1K1.1251K21K1.1251K2sin3WillamWarnke模型的g(0)表達(dá)式為sec21K2341K212K2sec/32K1嚴(yán)1K2K5K4sec/341K212K2sec/35.4.28)俞茂宏和劉鳳羽（1990）提出的雙剪角隅模型g（0）表達(dá)式為Ksec21K2K2“4K2154Ksee5.4.29)41K2K22sec2關(guān)

23、于n平面上屈服曲線的形狀研究甚多，已提出許多g(0)的表達(dá)式，這里不再一一介紹。5.5關(guān)于屈服條件的幾點(diǎn)討論屈服條件或屈服準(zhǔn)則是彈性模型和彈塑性模型的必要組成部分。每一個(gè)本構(gòu)模型都要包含相應(yīng)的屈服準(zhǔn)則。國(guó)內(nèi)外學(xué)者已提出許多屈服條件供工程應(yīng)用和理論研究。前面幾節(jié)介紹的屈服條件是最基本的。了解如何建立屈服條件，這些基本屈服條件之間的聯(lián)系，有助于更深人地掌握這些屈服條件，利于進(jìn)步學(xué)習(xí)彈塑性本構(gòu)理論和應(yīng)用更復(fù)雜的本構(gòu)模型。下面對(duì)屈服條件作幾點(diǎn)討論。(1)建立屈服條件的思路建立屈服條件通常有兩個(gè)思路。一是通過一些假設(shè)建立屈服條件，然后通過材料試驗(yàn)來驗(yàn)證，并確定它的應(yīng)用范圍。二是通過材料試驗(yàn)成果分析，采用

24、擬合曲線的方法建立屈服條件。不少屈服條件的建立是理論研究和實(shí)驗(yàn)研究相結(jié)合的成果。(2)材料性狀是客觀的，屈服條件是主觀的材料在荷載作用下產(chǎn)生屈服的性狀是很復(fù)雜的，不同材料有不同的特性，因此需要建立各種屈服準(zhǔn)則米描述不同材料的屈服性狀。對(duì)于工程師不要只了解一個(gè)屈服條件的基本內(nèi)容，更重要的是要了解其適用范圍，能應(yīng)用已建立的屈服條件去解釋材料的真實(shí)性狀。需要明確的是：建立的屈服條件是主觀的、理性的，材料性狀是客觀的。只能用建立的屈服條件去描述、去解釋材料的真實(shí)性狀。材料的真實(shí)性狀是非常復(fù)雜的，影響因素也很多。對(duì)材料的真實(shí)性狀，需要我們不斷加深認(rèn)識(shí)，提高認(rèn)識(shí)水平。(3)幾個(gè)屈服條件之間關(guān)系Matsuo

25、ka等(1990)討論了Tresca屈服條件、vonMises屈服條件、Mohr-Coulomb屈服條件和Matsuoka-Nakai屈服條件之間的聯(lián)系，現(xiàn)加以簡(jiǎn)要介紹。圖5-16和圖5-17分別表示應(yīng)力狀態(tài)為(j,。時(shí)，三個(gè)應(yīng)力圓以及八面體應(yīng)力和空間滑動(dòng)面上應(yīng)力情況。oaaaLfRU圖5-16應(yīng)力圓及八面體應(yīng)力EOOO（療SMP）圖5-17空間滑動(dòng)面上應(yīng)力454545ABC45BBBTtesca:a)AC45BvonMises:rfi=C八面體面b)圖5-18Tresca屈服條件和vonMises屈服條件圖5-18（a）和（b）中陰影部分分別表示與主應(yīng)力面成45的斜面和八面體面。圖5-19（

26、a）和化）中陰影部分分別表示滑動(dòng)面和空間滑動(dòng)面Tresca屈服條件采用圖5-18（a）中三個(gè)斜面上最大剪應(yīng)力表示：PO13C（5.5.1）max222vonMises屈服條件采用圖5-18（b）中八面體面上剪應(yīng)力表示：_21222PO+22331C（5.5.2）83.222Mohr-Coulomb屈服條件（粘聚力等于零）采用圖5-19（a）中三個(gè)斜面上剪應(yīng)力與正應(yīng)力比值的最大值表示：maxtgPOO225.5.3)Matsuoka-Nakai屈服條件采用圖5-19（b）中空間滑動(dòng)面上剪應(yīng)力與正應(yīng)力比值表示：tgPOOSMPC5.5.4)45BBBB45卄警/C2Mohr-Coulomb:4礦+

27、弘盟32-6a)45Matsuoka-Nakai:smf/廿smp=C臂貸十豳空間滑動(dòng)面2b)圖5-19Mohr-Coulomb屈服條件和Matsuoke-Nakai屈服條件圖5-19Mohr-Coulomb屈服條件和Matsuoke-Nakai屈服條件在n平面上Tresca屈服條件和vonMises屈服條件，Mohr-Coulomb屈服條件和Matsuoka-Nakai屈服條件的屈服面形狀如圖5-20中所示，由式5.5.1式5.5.4和圖5-20可以看到Tresca屈服條件、vonMises屈服條件、Mohr-Coulomb和Matsuoka-Nakai屈服條件之間的關(guān)系。vonMises屈

28、服條件的表達(dá)式與Tresca屈服條件的表達(dá)式的關(guān)系和Matsuoka-Nakai屈服條件的表達(dá)式與Mohr-Coulomb屈服條件的表達(dá)式的關(guān)系非常相似，系數(shù)值2/3兩者也是相同的。23#Mohr-CoulombTrescavonMisesMatsuoka-Nakai（塔MPTjvonMise%Mohr-CoulombMatsuoka-Nakai圖5-20四個(gè)屈服條件之間的關(guān)系順便指出，在n平面上，材料沿座標(biāo)軸正方向和負(fù)方向強(qiáng)度相等時(shí)，Mohr-Coulomb屈服條件的屈服曲線與Tresca屈服條件的屈服曲線圖形相同，Matsuoka-Nakai屈服條件的與vonMises屈服條件的相同。因此

29、，可以認(rèn)為廣義Tresca屈服條件是Mohr-Coulomb屈服條件的特例，廣義vonMises屈服條件是Matsuoka-Nakai屈服條件的特例情況。（4）穩(wěn)定材料在n平面的屈服曲線都處在雙剪應(yīng)力屈服條件和Mohr-Coulomb屈服條件之間Mohr-Coulomb屈服條件収劈應(yīng)力屈服條件圖5-21屈服曲線范圍（n平面）雙剪應(yīng)力屈服條件Matsuoka-Nakai屈眼殺杵（三剪應(yīng)力屈服條件）Mohr-Couiomb屈眼條件（單剪盛力屈服條件）圖5-22Mohr-Coulomb屈服條件，Matsuoka-Nakai屈服條件和雙剪應(yīng)力屈服條件在5.7.1節(jié)中將談到穩(wěn)定材料在應(yīng)力空間中的屈服面必

30、然是外凸的。因此在n平面上屈服曲線也必然是外凸的。根據(jù)屈服曲線的外凸性，可以得到n平面上屈服曲線的可能范圍。圖5-21中，a、a,b,b和c,c六點(diǎn)代表材料在主應(yīng)力方向的強(qiáng)度，對(duì)各向同性材料oa=ob=oc，oa=ob=oc，連接aabbcc即得到Mohr-Coulomb屈服條件在n平面上的屈服曲線。過a、a、b、b和c,c六點(diǎn)作各坐標(biāo)軸的垂直線，形成ddeeff六邊形，它就是雙剪應(yīng)力屈服條件的屈服曲線。從圖上可以看出，所有過a、a、b、b和c,c六點(diǎn)的外凸曲線均在ddeeff和acbacb兩個(gè)六邊形之間。魯祖統(tǒng)等（1997）和童小東等（1998）分別在理論上的各種屈服面的外包絡(luò)面，Mohr-

31、Coulomb屈服條件（單剪應(yīng)力屈服條件）之間，如圖5-22所示。從上面分析可知，Mohr-Coulomb屈服條件是所有可能的屈服面的內(nèi)極限面,因此工程分析中對(duì)穩(wěn)定材料采用Mohr-Coulomb屈服條件是偏安全的,這也許是Mohr-Coulomb屈服條件在工程上應(yīng)用較多的原因之一。圖5-23抗拉強(qiáng)度抗壓強(qiáng)度比值變化時(shí)的Mohr-Coulomb屈服條件屈服面5）材料抗壓和抗拉強(qiáng)度變化時(shí)的Mohr-Coulomb屈服條件和雙剪應(yīng)力屈服條件。根據(jù)屈服曲面的外凸性，材料的抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度比值變化，使Mohr-Coulomb屈服條件和雙剪應(yīng)力屈服條件具有相同的極限圖形。圖5-23表示Mohr-Cou

32、lomb準(zhǔn)則屈服面隨抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度比值變化的情況。圖5-24表示雙剪應(yīng)力屈服條件屈服面隨抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度比值變化的情況。從圖5-23和圖5-24可以看出，若材料抗壓強(qiáng)度（以壓為正）相同，則它們的外極限面abc相同，內(nèi)極限面abc也相同。有趣的是它們的外極限面具有最大主應(yīng)力屈服條件的屈服面形式。最大主應(yīng)力屈服條件表達(dá)式為C（5.5.5）1式中c材料常數(shù)。在材料力學(xué)中最大主應(yīng)力屈服條件又稱為第一強(qiáng)度理論。圖5-24抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度比值變化時(shí)的雙剪應(yīng)力屈服條件屈服面5.6加載和卸載準(zhǔn)則5.6.1理想彈塑性材料的加載和卸載準(zhǔn)則前面已經(jīng)談到，理想彈塑性材料在應(yīng)力空間中的屈服面位置和形狀是不變的。

33、當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)保持在屈服面上時(shí)稱之為加載，這時(shí)塑性變形可任意增長(zhǎng)（后面將證明，各塑性應(yīng)變分量之間的比例不是任意的，需要滿足一定關(guān)系）；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從屈服面上改變到屈服面之內(nèi)時(shí)稱之為卸載。如果以f=0表示屈服，則可ij以把上述加載和卸載準(zhǔn)則用數(shù)學(xué)形式表示如下：TOC o 1-5 h zf門0彈性狀態(tài)、f=0dfd=0加載I（5.6ijijzf=0dffd0卸載ijijijf在應(yīng)力空間中，屈服而外法線方向n向量的分量與成正比,ijffd0表示應(yīng)力增量向量do指向屈服面內(nèi)，屬卸載；一d=0表示ijijijijndo=0，即應(yīng)力點(diǎn)只能沿屈服面上變化，屬加載（圖5-25）。由于屈服面不能擴(kuò)大，do不能指向屈服面以

34、外。對(duì)于非正則屈服面（即屈服面外法線向量n沿曲面的變化允許出現(xiàn)不連續(xù)性，如Tresca屈服條件中的棱角處），如設(shè)該屈服面由n個(gè)正則曲面fk=0（k=1,2，,n）構(gòu)成，則有圖5-25理想彈塑性材料的加載與卸載當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)只處在f1=0。屈服面上時(shí)，其加載條件將和式5.3.1一樣。ijm0k=l,2,0k=l,2,=0k弄l0k=1,2.,f=0k#|kmijnijijnijij應(yīng)力處在f=0屈服面上應(yīng)力處在fl=0及fm=0n應(yīng)力處在彈性狀態(tài)兩屈服面得“交線”上丿5.6.3)當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)處在fl=0及打=0兩個(gè)屈服面的“交線”上時(shí)，其加載和卸載準(zhǔn)則為:ff0當(dāng)df0,df0加載ijij0,dij=0中

35、性變載5.6.5)0,d0ij加載當(dāng)maxidij,dijij=0ij當(dāng)maxidij,dijijij卸載5.6.6)在應(yīng)變空間中，如果表示為：,H0用表示后繼屈服條件，則加載和卸載準(zhǔn)則可ija0,d0加載、ijij0,d門=0中性變載/5.6.7)0,dtl)。在tlt2期間應(yīng)力增加到bij+da，并產(chǎn)生塑性應(yīng)變dP，然后卸去附加應(yīng)力，ijijij(a)(b)圖5-27閉合應(yīng)力循環(huán)在t=t3時(shí)應(yīng)力又回到a。(圖5-27)。在這樣的一個(gè)閉合的應(yīng)力循環(huán)內(nèi)，應(yīng)ij力在彈性應(yīng)變上所作的功為零，而塑性變形只在tlt0（5.7.7）ijij如果da，不指向外法線一側(cè)，則只有d8p=0才不違反式5.7.6

36、。這就ijij是卸載準(zhǔn)則或中性變載準(zhǔn)則。對(duì)于理想塑性材料，由于da,不能指向外法線一側(cè)，因此不論加載和卸ij載都有ddp0（5.7.8）ijij加載時(shí)圖中向量AC與向量AB垂直，式5,7.8式立。卸載時(shí)d8p=0,ij式5.7.8也成立。由上述分析可知，塑性應(yīng)變?cè)隽縟8P的方向只依賴于應(yīng)力張量a,，而ijij與應(yīng)力張量增量da無關(guān)。但它的大小則與da有關(guān)。ijij式5.7.2也稱為Druckor穩(wěn)定性條件，滿足這個(gè)條件的材料（如理想彈塑性材料和加工硬化材料）稱為穩(wěn)定材料。5.7.2丄門塑性公設(shè)Drucker公設(shè)只適用于穩(wěn)定材料。后來，在應(yīng)變空間內(nèi)提出的塑性公設(shè)可同時(shí)適用于穩(wěn)定和非穩(wěn)定材料。塑性

37、公設(shè)可陳述為：在彈塑性材料的一個(gè)應(yīng)變循環(huán)內(nèi)，附加應(yīng)力做的功是非負(fù)的。如果做功是正的，表示有塑性變形發(fā)生。如果做功是零則只有彈性變形發(fā)生。設(shè)在t=t時(shí)，原來的應(yīng)變狀態(tài)為8。，它可位于應(yīng)變空間中的屈服面上，0ij也可在屈服面之內(nèi)。設(shè)8。在屈服面以內(nèi)，t=t時(shí)，應(yīng)變點(diǎn)正好到達(dá)屈服面上,ij1應(yīng)變?yōu)?，此后為加工硬化或加工軟化過程，直到t=t。在此期間應(yīng)變?cè)黾拥絠j28+d8,然后在外力作用下，在t=t時(shí)，應(yīng)變狀態(tài)又回到原來的應(yīng)變狀態(tài)8。ijij4ij(圖5-29)，并產(chǎn)生了彈性條件下塑性變形增量所對(duì)應(yīng)的殘余應(yīng)力增量d“。ijdpDdp(5.7.9)ijij式中D彈性矩陣。根據(jù)公設(shè)，在一個(gè)應(yīng)變循環(huán)中附

38、加應(yīng)力做的功不為負(fù)，則有:o1dp0(5.7.10)ijij2ijij如果初始應(yīng)變點(diǎn)0在應(yīng)變空間屈服面ij去高階項(xiàng)，可得0之內(nèi)，00在式5.7.10中略ijij0dp0(5.7.11)ijijij與上節(jié)類似，由上式可推出應(yīng)變空間中屈服面0的外凸性以及dp關(guān)于ij0的正交法則，dpd(5.7.12)ijij式中d非負(fù)的比例系數(shù)。a)(b)圖5-29由應(yīng)力空間中的屈服面與應(yīng)變空間中屈服面的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得ij-Dij（5.7.13）結(jié)合式5.7.5，式5.7.9，式5.7.12和式5.7.13，dd（5.7.14）如果初始應(yīng)變點(diǎn)0在屈服面0上，ij即有0ijij0，則由式5.7.10得ddp0（5.

39、7.15）ijij在式5.7.15中，取大于號(hào)表示有新的塑性變形發(fā)生，即加載。取等號(hào)表示只有彈性變形，即中性變載或卸載。式5.7.15對(duì)穩(wěn)定材料和非穩(wěn)定材料都是適用的，因?yàn)閼?yīng)變空間的屈服面總是向外擴(kuò)大的。由圖5-29還可以看到,附加應(yīng)力在應(yīng)變循環(huán)內(nèi)做功w和在應(yīng)力循環(huán)中做功Iw的差別，相差一個(gè)正的附加項(xiàng)DWW1dpd(5.7.16)ID2jjjj于是有WWID5.7.17)上式表明，如果Drucker公設(shè)成立，W0,則丄山一公設(shè)也一定成立,DW0。反之，丄：昭二公設(shè)成立，W0，并不能保證W0。也就是IID說，Drucker塑性公設(shè)只是丄門山一塑性公設(shè)的充分條件，不是必要條件。-N.塑性公設(shè)的適用

40、范圍比Drucker塑性公設(shè)更廣。例如在簡(jiǎn)單拉伸情況下，Drucker塑性公設(shè)只適用于d/d0的情況，也即材料穩(wěn)定階段。當(dāng)da/deO時(shí)，Drucker塑性公設(shè)不成立，但塑性公設(shè)仍然成立。在圖5-30中，當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)由A移到B時(shí)，d0,但dp0，彈性應(yīng)變?cè)隽窟@不滿足Drucker公設(shè)式5.7.3但仍滿足I塑性公設(shè)。此時(shí)ij5.7.19)也即!塑性公設(shè)能適用于材料非穩(wěn)定階段。5.8塑性位勢(shì)理論和流動(dòng)規(guī)則與彈性位勢(shì)理論相類似，vonMises于1928年提出塑性位勢(shì)理論。他假設(shè)經(jīng)過應(yīng)力空間的任何一點(diǎn)M,必有一塑性位勢(shì)等勢(shì)面存在，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為塑性位勢(shì)函數(shù)，記為：g(I,J,J,H)0(5.8.1)1

41、23a或g(,H)0(5.8.2)ija式中H硬化參數(shù)；0I應(yīng)力張量第一不變量；J,J分別為應(yīng)力偏張量第二和第三不變量。23塑性應(yīng)變?cè)隽?可以用塑性位勢(shì)函數(shù)對(duì)應(yīng)力微分的表達(dá)式表示，即dpd(5.8.3)ijij式中d非負(fù)的比例系數(shù)。式5.8.3稱為塑性位勢(shì)理論。它表明一點(diǎn)的塑性應(yīng)變?cè)隽颗c通過該點(diǎn)的塑性勢(shì)面存在著正交關(guān)系，這就確定了塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较?，也就確定了塑性應(yīng)變?cè)隽扛鞣至康谋戎怠Ａ鲃?dòng)規(guī)則也稱為正交定律，是確定塑性應(yīng)變?cè)隽扛鞣至康谋戎?，也即塑性?yīng)變?cè)隽糠较虻囊粭l規(guī)定。式5.8.3是流動(dòng)規(guī)則的一種表示形式。式5.7.5是流動(dòng)規(guī)則的另一種表示形式，它表明塑性應(yīng)變?cè)隽颗c通過該點(diǎn)的屈服曲面成正交關(guān)

42、系。即dpd(5.8.4)ij式中d非負(fù)的比例系數(shù)。比較式5.8.3和式5.8.4可以看到，在Drucker塑性公設(shè)成立的條件下，必然存在g，即塑性勢(shì)函數(shù)一與屈服面函數(shù)（或加載曲面函數(shù)）相同。通常,把塑性勢(shì)函數(shù)同屈服面函數(shù)相同（g）的流動(dòng)規(guī)則稱為相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)規(guī)則，把二者不相同（g）的流動(dòng)規(guī)則稱為非相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)規(guī)則。式5.8.4對(duì)于屈服面上具有連續(xù)光滑的各點(diǎn)是適用的。若屈服面存在有棱邊和尖角，對(duì)應(yīng)于在棱邊和尖角處的塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较蛏行柩a(bǔ)充一些關(guān)系式。以棱邊處為例，Prager（1955）和Koiter（1953）建議在棱邊上的塑性應(yīng)變?cè)隽渴抢膺呍谟疫吅妥筮叺乃苄詰?yīng)變?cè)隽康木€性組合（圖5-31）

43、5.8.5)圖5-31組合屈版面交點(diǎn)處的塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蜃冊(cè)隽康木€性組合（圖5-31):dpijd1d12ijij式中，和是棱邊兩邊的屈服條件，*和*是非負(fù)的比例系數(shù)。式5.8.5表示12在棱邊處的塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蛱幱谙噜弮汕娴膬蓷l法線所組成的角度之間。在屈服面的光滑點(diǎn)上，塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较蚴谴_定的。而在棱邊處，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较蛱幵谀骋环秶鷥?nèi)。在求解具體問題過程中確定了比例系數(shù)d和d也就12確定了棱邊處的塑性應(yīng)變?cè)隽糠较?。在?yīng)變空間，流動(dòng)規(guī)則可用下式表示，5.8.6）*dpdijij式中d非負(fù)的比例系數(shù)。5.9加工硬化規(guī)律5.9.1等向硬化、運(yùn)動(dòng)硬化和混合硬化對(duì)于加工硬化材料，后繼屈服面的

44、變化規(guī)律是很復(fù)雜的。等向硬化模型和運(yùn)動(dòng)硬化模型是最簡(jiǎn)單的兩種硬化模型。下面先討論這二種情況，然后再介紹混合硬化模型。等向硬化模型等向硬化模型假定后繼屈服面的形狀、中心和方位，與初始屈服面相同，后繼屈服面的大小則隨著加工硬化過程，圍繞其中心產(chǎn)生均勻的膨脹。等向硬化模型，也稱作各向同性硬化模型。它是各種硬化模型中最簡(jiǎn)單的一種。等向硬化后繼屈服面可用下式表示：（,H）FK0（5.9.1）ijaij式中H和K硬化系數(shù)，一般是塑性變形的函數(shù)，記作aKHdpHdp（5.9.2）ijij當(dāng)K0時(shí)，表示剛開始屈服，這時(shí)F0,故F0始屈服曲面。ijij對(duì)于初始屈服條件是vonMises屈服條件情況有：FJC0（

45、5.9.3）2這時(shí)等向硬化加載函數(shù)變成：JCHdp0(5.9.4)2對(duì)于初始屈服條件是廣義vonMises屈服條件時(shí)，它的等向硬化加載函數(shù)為：IJKHdp0(5.9.5)在應(yīng)力空間中，這種后繼屈服面的大小只與最大的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而與中間的加載路徑無關(guān)。在圖5-32(a)中，路徑1與路徑2的最終應(yīng)力狀態(tài)都剛好對(duì)應(yīng)于加載過程中最大應(yīng)力狀態(tài)，因此兩者的最終后繼屈服面是一樣的；而路徑3的最終應(yīng)力狀態(tài)不是加載過程中最大應(yīng)力狀態(tài)，它的最終后繼屈服面由加載路徑中最大應(yīng)力狀態(tài)來定。對(duì)于Tresoa材料和Mohr-Coulomb材料的等向硬化過程可類似地表示在圖5-32(b)和(c)中。圖5-32等向硬化當(dāng)變形

46、量不大或應(yīng)力張量各應(yīng)力分量之比變化不很大的情況下，采用等向硬化模型還比較符合實(shí)際情況。這個(gè)模型也便于數(shù)學(xué)處理。所以等向硬化模型在分析中應(yīng)用較多。運(yùn)動(dòng)硬化模型運(yùn)動(dòng)硬化模型假定后繼屈服而的大小，形狀與初始屈服面相同，后繼屈服面是由初始屈服面沿塑性變形方向或沿應(yīng)力矢量力向移動(dòng)圖5-33運(yùn)動(dòng)硬化形成，如圖5-33所示。圖中實(shí)線表示初始屈服面的位置，虛線表示產(chǎn)生塑性變形后后繼屈服面的位置。可以看出，材料在經(jīng)受塑性變形的方向（OM）上,屈服限增大了，而在塑性變形的反方向（OM）上，屈服限降低了。設(shè)在應(yīng)力空間中，屈服面中心的坐標(biāo)用*表示，它在初始屈服時(shí)等于零。這樣，運(yùn)動(dòng)硬化后繼屈服面可以表示成：,HFa0i

47、jaijij5.9.6)這里F0為初始屈服曲面。加工硬化過程中，它隨a而移動(dòng)。a叫做移動(dòng)ijijij張量，與塑性變形有關(guān)。確定a.的一個(gè)最簡(jiǎn)單方案是：ijaCp（5.9.7）ijij對(duì)于線性強(qiáng)化材料C為常數(shù)，這時(shí)該模型稱為線性運(yùn)動(dòng)硬化模型?；旌嫌不Ｐ瓦\(yùn)動(dòng)硬化和等向硬化的組合，可以構(gòu)成更一般的硬化模型稱為混合硬化模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫成：,HFaK0（5.9.8）ijaijij這時(shí)，后繼屈服面既有位置的改變，也產(chǎn)生均勻的膨脹。式5.9.8能在相當(dāng)廣泛的范圍內(nèi)滿意地描述材料的硬化，并能更好地接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，但是計(jì)算起來就要復(fù)雜得多了。圖5-34為運(yùn)動(dòng)硬化、等向硬化和組合硬化對(duì)于同一加載路徑得出的

48、后繼屈服面的示意圖。組合礦化運(yùn)動(dòng)硬化初始屈服面尊向硬化圖5-34不同硬化的后繼屈服面ijij5.9.2加工硬化規(guī)律加工硬化規(guī)律是決定一個(gè)給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變?cè)隽康囊粭l規(guī)則。在流動(dòng)規(guī)律中，d這個(gè)因素可以假定為：dij5.9.9)ij式中A硬化參數(shù)H的函數(shù)。a不同的學(xué)者曾建議用不同的硬化規(guī)律來計(jì)算A的數(shù)值。常用的硬化規(guī)律有列幾種：1塑性功W硬化現(xiàn)律假定pHWapdpijij(5.9.10)ij-dijij5.9.11)dijpijijijWpdijij結(jié)合式5.9.9和式5.9.11，ijij5.9.12)如果g為n階齊次函數(shù)，根據(jù)歐拉齊次函數(shù)定理:ijng5.9.13)ij代入式5.9.

49、12，得A1ng-Wp（5.9.14）2.塑性應(yīng)變p硬化定律假定ijHaHpij（5.9.15）由d0,得-ddH（5.9.1）6ijHaija由式5.9.9和式5.9.16，得Ad1dH,Hd1adPHaHpijaaij（5.9.17）1HadgHpajijA1Hga-（5.9.18）Hpaijij3.p硬化定律假定HapPPPijij（5.9.19）由d0,得d一dpp0（5.9.20）ijijPijij結(jié)合式5.8.3,式5.9.9和式5.9.20,得A1-p:ggl（5.9.21）塑性體應(yīng)變p硬化規(guī)律假定HHppa（5.9.22）由d0,得dddp0ijpij（5.9.23）由式5.8

50、.3和式5.9.9，上式可改寫為：Addg（5.9.24）pp于是，可得：A1gpp（5.9.25）5.（p,p）硬化規(guī)律假定HHaP，p（5.9.26）由d0，得ddHdHdPadP（5.9.27）iijHjPP已矢Udpdg,drdg,代入式5.9.27,并結(jié)合式5.9.9可得ppA1HgHga（5.9.28）HppPPijij5.10塑性增量理論及一個(gè)彈塑性模量張量普遍表達(dá)式塑性增量理論塑性增量理論又稱為塑性流動(dòng)理論，它把塑性變形看成是非線性流動(dòng)。塑性增量理論把應(yīng)變?cè)隽糠譃閺椥詰?yīng)變?cè)隽亢退苄詰?yīng)變?cè)隽績(jī)刹糠?，即ijijij式中彈性應(yīng)變?cè)隽縟e應(yīng)用廣義虎克定律計(jì)算，塑性應(yīng)變?cè)隽縟P根據(jù)塑性增

51、量ijij5.10.1)理論計(jì)算。塑性增量理論主要包括三個(gè)部分：關(guān)于屈服面理論，關(guān)于流動(dòng)規(guī)則理論；關(guān)于加工硬化（或軟化）理論。應(yīng)用塑性增量理論計(jì)算塑性應(yīng)變：首先，要確定材料的屈服條件，對(duì)加工硬化材料，需要確定初始屈服條件和后繼屈服條件（或稱加載條件）。其次，需要確定材料是否服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)規(guī)則。若材料服從不相關(guān)聯(lián)流動(dòng)規(guī)則，尚需確定材料的塑性勢(shì)函數(shù)。然后，還需要確定材料的硬化或軟化規(guī)律。最后可運(yùn)用流動(dòng)規(guī)則理論確定塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较?，根?jù)硬化規(guī)律計(jì)算塑性應(yīng)變?cè)隽康拇笮?。以上是塑性增量理論的基本思路。屈服面理論、流?dòng)規(guī)則理論和加工硬化（或軟化）理論具體內(nèi)容已在前面幾節(jié)中介紹。建立在塑性增量理論上的彈塑

52、性模型將在下一章介紹。一個(gè)普遍的彈塑性模量張量表達(dá)式首先考慮在應(yīng)力空間中的表述情況。將廣義虎克定律用增量形式表示：deijijklkl5.10.2)式中D彈性模量張量。ijkl流動(dòng)規(guī)則為：dpij5.10.3)式中g(shù)塑性勢(shì)函數(shù)；d非負(fù)的比例系數(shù)。將式5.10.2和5.10.3代入式5.10.1，得dDiddijijklklij（5.10.4）或DddDdg（5.10.5）由式5.9.9，得ijklijklijklijdAd0（5.10.6）ijij式中屈服函數(shù)（或稱加載函數(shù)）A硬化參數(shù)H的函數(shù)。a聯(lián)立式5.10.5和式5.10.6可解出*，得dDepd（5.10.7）ijijklkl式中Djk

53、彈塑性模量張量。Djk的表達(dá)式為:DepDijklijklDgijpqDrsklpqrs-D-1mnuv5.10.8）mnuv若材料服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)規(guī)則，g，上式可改寫為：DepijklDijklijpqpqrsmnuvDrskl5.10.9)mnuv其次考慮在應(yīng)變空間中的表述情況。由式5.10.1和廣義虎克定律，得dD1ddpijijklijij(5.10.10)或DdDdpklijijijklijij(5.10.11)上式中Dd就是彈性條件下塑性變形增量所對(duì)應(yīng)的殘余應(yīng)力增量dp(式klijijij5.7.9)。結(jié)合應(yīng)變空間中的流動(dòng)規(guī)則，得*Dddd(5.10.12)klijijijijd在應(yīng)變空間中可假定為：1*dd(5.10.13)Aij1ij式中A硬化系數(shù)H的函數(shù)1a聯(lián)立式5.10.12和式