2022年初中幾何知識點總結(jié)非常全

1、初中幾何知識點總結(jié)非常全證明 (一) (1) 等腰三角形的兩個底角相等(簡稱 :等邊對等角 ) 1、本套教材選用如下命題作為公理: (2) 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一 )。(1)、兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。等腰三角形的其她性質(zhì): 等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45(2)、兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等。等腰三角形的底角只能為銳角,不能為鈍角 (或直角 ),但頂角可為鈍角(或直角 )。(3)、兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。(4)、兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。(5)、三邊對應相等的兩個三角形全

2、等。(6)、全等三角形的對應邊相等、對應角相等。此外 ,等式的有關性質(zhì)與不等式的有關性質(zhì)都可以瞧做公理。2、平行線的判定定理等腰三角形的三邊關系:設腰長為 a,底邊長為 b,則ba 2等腰三角形的三角關系:設頂角為頂角為A,底角為 B、 C,則 A=180 2B,B=C=1802A公理兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行。2、等腰三角形的判定方法簡單說成 :同位角相等 ,兩直線平行。(1) 如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱 :等角對等邊 )。定理兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補,那么這兩條直線平行。(2) 有兩條邊相等的三角形就是等

3、腰三角形、三、等邊三角形簡單說成 :同旁內(nèi)角互補 ,兩直線平行。定理兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯角相等,那么這兩條直線平行。性質(zhì) :(1)等邊三角形的三個角都相等,并且每個角都等于60 。簡單說成 :內(nèi)錯角相等 ,兩直線平行。3、平行線的性質(zhì)定理(2) 三線合一 判定方法 :(1) 三條邊都相等的三角形就是等邊三角形(2) 三個角都相等的三角形就是等邊三角形公理兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等。簡單說成 :兩直線平行 ,同位角相等。(3) 有一個角就是60 的等腰三角形就是等邊三角形。定理兩條平行線被第三條直線所截,內(nèi)錯角相等。四、直角三角形 (一 )、直角三角形的性質(zhì) 1、直角三

4、角形的兩個銳角互余簡單說成 :兩直線平行 ,內(nèi)錯角相等。定理兩條平行線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補。簡單說成 :兩直線平行 ,同旁內(nèi)角互補。2、在直角三角形中,30 角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半, 那么這條直角邊所對的銳角等于如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行。4、三角形內(nèi)角與定理三角形三個內(nèi)角的與等于180 。304、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半5、三角形內(nèi)角與定理的推論 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的與。三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。證明(二) 5、勾股定理 : 直角三角形兩直角

5、邊a,b 的平方與等于斜邊c 的平方 , 即a2b2c2其它性質(zhì) : 1、直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個三角形與原三角形相似。2、常用關系式 : 由三角形面積公式可得: 一、公理 (1)三邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“ 邊邊邊” 或“SSS” )。兩直角邊的積 =斜邊與斜邊上的高的積( 等面積法 ) (2)兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“ 邊角邊” 或“SAS” )。( 二) 、直角三角形的判定 1、有一個角就是直角的三角形就是直角三角形。(3)兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“ 角邊角” 或“ASA ” )。2、如果三角形一邊上的中線等于這

6、邊的一半, 那么這個三角形就是直角三角形。(4)全等三角形的對應邊相等、對應角相等。3、勾股定理的逆定理推論 :兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(可簡寫成“ 角角邊”或“ AAS ” )。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性質(zhì)如果三角形的三邊長a,b,c有關系a2b2c2, 那么這個三角形就是直角三角形。1 初中幾何知識點總結(jié)非常全( 三 ) 直角三角形全等的判定: 3、平行四邊形的判定( 對稱中心對于特殊的直角三角形,判定它們?nèi)葧r,還有 HL 定理 (斜邊、直角邊定理):有斜邊與一條(1) 定義 : 兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(可簡寫

7、成“ 斜邊、直角邊” 或“HL ” ) (2) 定理 1: 兩組對角分別相等的四邊形就是平行四邊形五、角的平分線及其性質(zhì)與判定(3) 定理 2: 兩組對邊分別相等的四邊形就是平行四邊形1、角的平分線 :從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫(4) 定理 3: 對角線互相平分的四邊形就是平行四邊形(5) 定理 4: 一組對邊平行且相等的四邊形就是平行四邊形做這個角的平分線。2、角的平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。4、平行四邊形的面積S平行四邊形 =底邊長 高 =ah 定理 :三角形的三條角平分線相交于一點(三角形的內(nèi)心),并且這一點到三條邊的

8、距離相等。二、矩形3、角的平分線的判定定理: 1、矩形的定義有一個角就是直角的平行四邊形叫做矩形。在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。六、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定2、矩形的性質(zhì)1、線段的垂直平分線:垂直于一條線段并且平分這條線段的直線就是這條線段的垂直平(1) 矩形的對邊平行且相等(2) 矩形的四個角都就是直角分線。線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。(3) 矩形的對角線相等且互相平分定理 :三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(三角形的外心),并且這一點到三個頂點的(4) 矩形既就是中心對稱圖形又就是軸對稱圖形; 對稱中心就是對

9、角線的交點距離相等。到矩形四個頂點的距離相等); 對稱軸有兩條 , 就是對邊中點連線所在的直線。( 對稱中心線段垂直平分線的判定定理:到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分3、矩形的判定線上。(1) 定義 : 有一個角就是直角的平行四邊形就是矩形七、反證法(2) 定理 1: 有三個角就是直角的四邊形就是矩形八、互逆命題、互逆定理(3) 定理 2: 對角線相等的平行四邊形就是矩形1、在兩個命題中,如果一個命題的條件與結(jié)論分別就是另一個命題的結(jié)論與條件,那么這4、矩形的面積兩個命題稱為互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。S 矩形 =長 寬 =ab 2、如果一個定理的逆命題經(jīng)

10、過證明就是真命題,那么它也就是一個定理,這兩個定理稱為三、菱形互逆定理 ,其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。 1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形證明 (三) 2、菱形的性質(zhì)一、平行四邊形(1) 菱形的四條邊相等, 對邊平行 1、平行四邊形的定義(2) 菱形的相鄰的角互補, 對角相等兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。(3) 菱形的對角線互相垂直平分, 并且每一條對角線平分一組對角2、平行四邊形的性質(zhì)(4) 菱形既就是中心對稱圖形又就是軸對稱圖形; 對稱中心就是對角線的交點(1) 平行四邊形的對邊平行且相等。到菱形四條邊的距離相等); 對稱軸有兩條 , 就是對角線所在的直線。

11、(2) 平行四邊形相鄰的角互補, 對角相等3、菱形的判定(3) 平行四邊形的對角線互相平分。(1) 定義 : 有一組鄰邊相等的平行四邊形就是菱形(4) 平行四邊形就是中心對稱圖形, 對稱中心就是對角線的交點。(2) 定理 1: 四邊都相等的四邊形就是菱形常用點 :(1)若一直線過平行四邊形兩對角線的交點, 則這條直線被一組對邊截下的線段(3) 定理 2: 對角線互相垂直的平行四邊形就是菱形的中點就是對角線的交點, 并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。4、菱形的面積(2) 推論 : 夾在兩條平行線間的平行線段相等。S 菱形 =底邊長 高 =兩條對角線乘積的一半2 初中幾何知識點總結(jié)非常全四、正

12、方形 (310分) ; 對稱軸結(jié)論 5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。; 1、正方形的定義七、有關四邊形四邊中點問題的知識點: 有一組鄰邊相等并且有一個角就是直角的平行四邊形叫做正方形。(1) 順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形就是平行四邊形; 2、正方形的性質(zhì)(2) 順次連接 矩形 的四邊中點所得的四邊形就是菱形 ; (1) 正方形四條邊都相等, 對邊平行(3) 順次連接 菱形 的四邊中點所得的四邊形就是矩形 ; (2) 正方形的四個角都就是直角(4) 順次連接等 腰梯形 的四邊中點所得的四邊形就是菱形 ;(3) 正方形的兩條對角線相等, 并且互相垂直平分

13、, 每一條對角線平分一組對角(5) 順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形就是菱形; (4) 正方形既就是中心對稱圖形又就是軸對稱圖形; 對稱中心就是對角線的交點(6) 順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形就是矩形; 有四條 , 就是對角線所在的直線與對邊中點連線所在的直線。(7) 順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形就是正方形3、正方形的判定解直角三角形知識點總結(jié)判定一個四邊形就是正方形的主要依據(jù)就是定義, 途徑有兩種 : 先證它就是矩形, 再證它就是菱形?？键c一、直角三角形的性質(zhì)(35 分) 先證它就是菱形, 再證它就是矩形。1、直角三角形的兩個銳

14、角互余4、正方形的面積可表示如下 : C=90A+B=90設正方形邊長為a, 對角線長為b 2、在直角三角形中,30 角所對的直角邊等于斜邊的一半。S 正方形=a2b2A=30可表示如下 : BC= 1 AB 22五、等腰梯形C=901、等腰梯形的定義3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。ACB=902、等腰梯形的性質(zhì)可表示如下 : CD=1 AB=BD=AD 2(1) 等腰梯形的兩腰相等, 兩底平行。(2) 等腰梯形同一底上的兩個角相等, 同一腰上的兩個角互補。 D為 AB的中點(3) 等腰梯形的對角線相等。4、勾股定理(4) 等腰梯形就是軸對稱圖形, 它只有一

15、條對稱軸, 即兩底的垂直平分線。直角三角形兩直角邊a,b 的平方與等于斜邊c 的平方 , 即a2b2c23、等腰梯形的判定(1) 定義 : 兩腰相等的梯形就是等腰梯形5、攝影定理(2) 定理 : 在同一底上的兩個角相等的梯形就是等腰梯形在直角三角形中, 斜邊上的高線就是兩直角邊在斜邊上的攝(3) 對角線相等的梯形就是等腰梯形。( 選擇題與填空題可直接用) 影的比例中項 , 每條直角邊就是它們在斜邊上的攝影與斜邊的比六、三角形中的中位線例中項1、三角形的中位線:連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 ACB=90CD2AD?BDAC2AD?AB2、三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三

16、邊,并且等于它的一半。3、常用結(jié)論 :任一個三角形都有三條中位線,由此有 : CDAB BC2BD?AB6、常用關系式結(jié)論 1:三條中位線組成一個三角形,其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論 2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。由三角形面積公式可得: 結(jié)論 3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。AB? CD=AC?BC 結(jié)論 4:三角形一條中線與與它相交的中位線互相平分?？键c二、直角三角形的判定 (35 分) 3 初中幾何知識點總結(jié)非常全 1、有一個角就是直角的三角形就是直角三角形。a4 tanA ? tan(90 A)=1 2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,

17、 那么這個三角形就是直角三角形。(4)弦切關系3、勾股定理的逆定理tanA=sinA如果三角形的三邊長a,b,c有關系a2b2c2, 那么這個三角形就是直角三角形。cosA5、銳角三角函數(shù)的增減性考點三、銳角三角函數(shù)的概念 (38 分) 當角度在 090 之間變化時 , 1、如圖 , 在 ABC中, C=90(1)正弦值隨著角度的增大(或減小 )而增大 (或減小 ) 銳角A 的對邊與斜邊的比叫做A 的正弦 , 記為sinA, 即(2)余弦值隨著角度的增大(或減小 )而減小 (或增大 ) sinAA 的對邊a(3)正切值隨著角度的增大(或減小 )而增大 (或減小 ) 考點四、解直角三角形(35)

18、 斜邊c1、解直角三角形的概念銳角A 的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦 , 記為cosA, 即在直角三角形中,除直角外 ,一共有五個元素,即三條邊與兩個銳角,由直角三角形中除直cosAA的鄰邊b角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)斜邊c在 Rt ABC 中,C=90 ,A,B,C 所對的邊分別為a,b,c 銳角 A 的對邊與鄰邊的比叫做A的正切 , 記為 tanA, 即tanAA的對邊(1)三邊之間的關系:a2b2c2( 勾股定理 ) A的鄰邊b(2) 銳角之間的關系: A+B=902、銳角三角函數(shù)的概念(3) 邊角之間的關系: 銳角 A的正弦、余弦、

19、正切、余切都叫做A的銳角三角函數(shù)sinAa,cosAb,tanAa,sinBb,cosBa,tanBb3、一些特殊角的三角函數(shù)值ccbcca三角函數(shù) 30 45 60 知識點總結(jié)sin 123圓與三角形、四邊形一樣都就是研究相關圖形中的線、角、周長、面積等知識。包括性2質(zhì)定理與判定定理及公式。22集合 : cos321圓:圓可以瞧作就是到定點的距離等于定長的點的集合; 2圓的外部 :可以瞧作就是到定點的距離大于定長的點的集合; 22圓的內(nèi)部 :可以瞧作就是到定點的距離小于定長的點的集合tan31 3軌跡 : 31、到定點的距離等于定長的點的軌跡就是:以定點為圓心 ,定長為半徑的圓; 2、到線段

20、兩端點距離相等的點的軌跡就是:線段的中垂線 ; 4、各銳角三角函數(shù)之間的關系3、到角兩邊距離相等的點的軌跡就是:角的平分線 ; (1) 互余關系4、到直線的距離相等的點的軌跡就是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條sinA=cos(90A),cosA=sin(90A) 直線 ;5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡就是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相(2)平方關系等的一條直線sin2Acos2A1點與圓的位置關系: 點在圓內(nèi)dr 點 A 在圓外推論 2:半圓或直徑所對的圓周角就是直角;90 的圓周角所對的弧就直線與圓的位置關系: 無交點是半圓 ,所對的弦就是直徑直線與圓相離dr

21、 即:在 O 中, AB 就是直徑或 C=90直線與圓相切d=r 有一個交點 C=90 AB 就是直徑直線與圓相交dR+r d=R+r rddRrd=rdORr5 D即:在 ABC 中,OC=OA=OB C=90 BPCOOABNME ABC 就是直角三角形或注:此推論實就是初二年級幾何中矩形的推論:在直角外離 (圖 1) rd無交點三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。外切 (圖 2) 有一個交點弦切角定理 :弦切角等于所夾弧所對的圓周角相交 (圖 3) 有兩個交點R-rdR+r 推論 :如果兩個弦切角所夾的弧相等,那么這兩個弦切內(nèi)切 (圖 4) 有一個交點d=R-r 角也相等。內(nèi)含

22、(圖 5) 無交點dR-r 即:MN 就是切線 ,AB 就是弦BCABD BAM= BCA 圓內(nèi)接四邊形N圖 4圖 5垂徑定理 : dddA圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對角互補, 垂徑定理 :垂直于弦的直徑平分這條弦 R r R ,并且平分弦所對的弧推論 1:(1)平分弦 (不就是直徑 )的直徑垂直于弦 ,并且平分弦所對的兩條弧(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心 圖1,并且平分弦所對的兩條弧 圖 2 ; R; r外角等于它的內(nèi)對角。即:在 O 中,四邊形 ABCD 就是內(nèi)接四邊形圖 3AE C+BAD=180 B+D=180 (3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦 ,并且平分弦所對的另一

23、條弧CODAE= C 以上共 4 個定理 ,簡稱 2 推 3 定理 :此定理中共5 個結(jié)論中 ,只要知道其中2 個即可推出 B切線的性質(zhì)定理與判定定理其它 3 個結(jié)論 ,即 : AB CD CE=DE BC ?BD ? ? AC? AD(1)判定定理 :過半徑外端且垂直于半徑的直線就是切線AB 就是直徑兩個條件 :過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可推論 2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在 O 中,AB CD 即:MN OA 且 MN 過半徑 OA 外端圓心角定理CD MN 就是 O 的切線OA(2)性質(zhì)定理 :圓的切線垂直于過切點的半徑(如上圖 ) E圓心角定理 :同圓或等圓中,相等的圓心

24、角所對的ADOCB推論 1:過圓心垂直于切線的直線必過切點M弧相等 ,所對的弦相等 ,所對的弦心距相等推論 2:過切點垂直于切線的直線必過圓心圓周角定理 F 此定理也稱 1 推 3 定理 ,即上述四個結(jié)論中 ,只要圓周角定理 :同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半 O 知道其中的 1 個相等 ,則可以推出其它的 3 個結(jié)論即: AOB 與 ACB 就是 也即 : AOB= DOE 所對的圓心角與圓周角 AB=DE B 圓周角定理的推論 A AOB=2 ACB B : OC=OF BA ? ED ?以上三個定理及推論也稱二推一定理: A即:過圓心、過切點、垂直切線中知道其中兩個條件推出最