利用插補(bǔ)法求解組距數(shù)列的中位數(shù)和眾數(shù)

1、利用插補(bǔ)法求解組距數(shù)列的中位數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按從小到大排序后，處在中間位置上的變量值，用Me表示。中位數(shù)將全部數(shù)據(jù)等分成兩部分，使一部分?jǐn)?shù)據(jù)比中位數(shù)大，另一部分?jǐn)?shù)據(jù)則比中位數(shù)小。中位數(shù)是一個(gè)位置代表值，它主要用于測(cè)定數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，且不受極端數(shù)值的影響。此外，中位數(shù)還具有一個(gè)性質(zhì)，就是各變量值與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和最小，即,|x-Mmin最小)(1)iei1根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定中位數(shù)的位置，其公式n+1為：中位數(shù)的位置=2，式中的n為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，憑此確定中位數(shù)的具體數(shù)值。設(shè)有一x組數(shù)據(jù)從小到大排序后為x1,x2,x3,xn。若n為奇數(shù)，則中

2、位數(shù)為；若n為偶數(shù)，則xx中位數(shù)是n與n+1的平均數(shù)。即x當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)n+1Me=2一(x+x)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)(2)2nn+122根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先根據(jù)公式2確定中位數(shù)的位置，并確定中位數(shù)所在的組。如果是單項(xiàng)數(shù)列，則中位數(shù)就取中位數(shù)所在組的組值(即標(biāo)志值)；如果是組距數(shù)列則采用下面的公式計(jì)算中位數(shù)的近似值：MeL+2m-1(3)式(3)中，工/為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)(總次數(shù))；L為中位數(shù)所在組的下限值；Sm-1為中位數(shù)所在組以前各組的累積頻數(shù)；fm為中位數(shù)所在組的頻數(shù)；i為中位數(shù)所在組的組距。式(3)中，假定中位數(shù)所在組的頻數(shù)在該組內(nèi)是均勻分布的。1i1i1X人1i+1+*ACBVJ圖-1組距

3、數(shù)列中位數(shù)的分布圖那么，我們接下來要討論的是如何求證式(3)，即組距數(shù)列中位數(shù)的計(jì)算公式。假設(shè)上面圖-1是某組距數(shù)列次數(shù)分布圖。利用插補(bǔ)法進(jìn)行比例推算。圖-1中，A點(diǎn)表示中位數(shù)所在組的下限，其值為L(zhǎng)；B點(diǎn)表示中位數(shù)所在組的上限；C點(diǎn)表示中位數(shù)所處的位置，其值為Me；A點(diǎn)到B點(diǎn)所夾的距離，也就是中位數(shù)所在組的組距，其值為i；A點(diǎn)到C點(diǎn)所夾的距離，就是中位數(shù)所在組的下限到中位數(shù)位置的距離，其值設(shè)為X。我們假定圖-1中，AB區(qū)域即整個(gè)中位數(shù)所在的組內(nèi)，次數(shù)分布是均勻的，依次分布著fm個(gè)次數(shù)或頻數(shù)。同樣，再假定AC區(qū)域內(nèi)，次數(shù)分布也是均勻的，且依次分布著工f工fSQ2m1個(gè)次數(shù)或頻數(shù)，式中的2是中位數(shù)

4、所在的位置，Sm1為中位數(shù)所在組以前各組的累積頻數(shù)。這樣，我們可以得到下面的等式：A到C的距離,AC區(qū)域中的次數(shù)分布A到B的距離AB區(qū)域中的次數(shù)分布工f_sX2m_1將上述假設(shè)代入式(4)，得：ifmSm_1所以，有(5)中位數(shù)所在的位置是：Me=LX(6)MeXi將式(5)代入式(6)，則：Sm_1上面的式(3)就得到了證明。例一、設(shè)某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表如下：表-1按零件數(shù)分組(個(gè))頻數(shù)(人)頻率()105110361101155101151208161201251428125130102013013561213514048合計(jì)50100要求：計(jì)算該車間50名工人日加工零件數(shù)的

5、中位數(shù)。工f5025解：由表-1可知，中位數(shù)的位置=22,根據(jù)累計(jì)頻數(shù)可測(cè)得中位數(shù)在120125這一組中，L=120,Sm,1=16，fm=14，i=5，根據(jù)式(3),得50-16M=120 x5=123.21(個(gè))e14二、眾數(shù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用Mo表示。眾數(shù)是一個(gè)位置代表值，它也不受數(shù)列中極端數(shù)值的影響。但它可以反映總體各單位某一標(biāo)志值的集中趨勢(shì)。當(dāng)然，在特殊情況下，可能沒有眾數(shù)，也可能多于一個(gè)眾數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，眾數(shù)用來說明現(xiàn)象的一般水平。眾數(shù)的計(jì)算分兩種情況，在未分組資料或單項(xiàng)數(shù)列中，可用觀察法直接確定眾數(shù)，即總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。在組距數(shù)列中，確定

6、眾數(shù)時(shí)，先要確定次數(shù)最多的一組為眾數(shù)組，然后根據(jù)數(shù)列的次數(shù)分布情況，計(jì)算眾數(shù)的近似值。用公式表示為：xiL(7)式中，L為眾數(shù)組的下限值；i為眾數(shù)組的組距；1是眾數(shù)組的次數(shù)與靠近下限的鄰組次數(shù)之差；2是眾數(shù)組的次數(shù)與靠近上限的鄰組次數(shù)之差。面，我們?nèi)砸貌逖a(bǔ)法推導(dǎo)組距數(shù)列中眾數(shù)的計(jì)算公式，即式(7)，為了能直觀地圖-2組距數(shù)列中的眾數(shù)位置圖圖-2假定是組距數(shù)列的次數(shù)分布直方圖，橫坐標(biāo)是組距，縱坐標(biāo)是次數(shù)分布狀況。一般來說，在等距數(shù)列中次數(shù)分布愈集中，直方柱愈高。為了便于說明此問題，我們只畫了三根直方柱。從圖中可以看到，中間一組就是中位數(shù)所在的組，其次數(shù)分布最集中。我們假定G點(diǎn)是眾數(shù)所在的組的

7、下限,H點(diǎn)是眾數(shù)所在的組的上限,GH的距離就是眾數(shù)組的組距(i),Mo點(diǎn)就是眾數(shù)所處的位置。從圖中我們可以看出,眾數(shù)的位置主要取決于眾數(shù)所在組的左右兩鄰組的次數(shù)分布。如果左右兩鄰組的次數(shù)分布相等即高度相等(f1=f1)，無疑眾數(shù)就在眾數(shù)所在組的正中央；如果左鄰組的次數(shù)分布高于右鄰組的次數(shù)分布(flf1),則Mo會(huì)偏向左邊，靠近眾數(shù)組的下限；如果左鄰組的次數(shù)分布低于右鄰組的次數(shù)分布(flVf+1),則Mo會(huì)偏向右邊，靠近眾數(shù)組的上限。圖-2中，我們連結(jié)AD和BC兩條線段，它們的交點(diǎn)為O,而O點(diǎn)垂直連線與橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是Mo，現(xiàn)假定G點(diǎn)到Mo的長(zhǎng)度為X,則Mo到H點(diǎn)的長(zhǎng)度是iX。另外，假定眾數(shù)所在組的次數(shù)為/;AB的距離為,1,且,1=/fl；CD的距離為,2，且,2=/f+1。由于OMo是垂直連線，EO=GMo=X；OF=MoH=iX。G點(diǎn)是眾數(shù)所在組的下限，其值為L(zhǎng)。我們從圖-2中可以發(fā)現(xiàn)，A0B9ACOD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，這兩個(gè)相似三角形所對(duì)應(yīng)的底邊和高成比例，即ABEO(8)CDOF將上述的設(shè)定分別代入式(8)，則iX化簡(jiǎn)得：(9)由于Mo=LX所以，i，2這樣，組距數(shù)列的眾數(shù)計(jì)算公式得以證明。例