概率統(tǒng)計模型詳解

1、共十六頁概率模型 現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機因素可以忽略，或者隨機因素的影響可以簡單地以平均值的作用(zuyng)出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮，就應(yīng)建立隨機模型。本章討論如何用隨即變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型-概率模型。統(tǒng)計模型 如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認識程度的限制，無法分析實際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機理規(guī)律的模型，那么通常要搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析建立模型，這就是本章還要討論的用途非常廣泛的一類隨機模型統(tǒng)計回歸模型。共十

2、六頁一 傳送系統(tǒng)的效率在機械化生產(chǎn)車間里，排列(pili)整齊的工作臺旁工人們緊張的生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，工作臺上放一條傳送帶在運轉(zhuǎn)，帶上設(shè)置若干鉤子，工人將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走，如圖。當(dāng)生產(chǎn)進入穩(wěn)定狀態(tài)后，每個工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需時間是不變的，而他掛產(chǎn)品的時刻是隨機的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人的產(chǎn)品帶走。在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率越高。要求構(gòu)造衡量傳送(chun sn)系統(tǒng)效率的指標(biāo)，并在簡化假設(shè)下建立模型描述這個指標(biāo)與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系。傳送帶掛鉤工作臺共十六頁1 模型(mxng)分析為了(wi le)用傳送帶及時帶走的產(chǎn)品

3、數(shù)量來表示傳送系統(tǒng)的效率，在工人生產(chǎn)周期（即生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時間）相同的情況下，需要假設(shè)工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品后，要么恰好有空鉤子經(jīng)過工作臺，他可以將產(chǎn)品掛上帶走，要么沒有空鉤子經(jīng)過，他將產(chǎn)品放下并立即投入下一件產(chǎn)品的生產(chǎn)，以保證整個系統(tǒng)周期性的運轉(zhuǎn)。 工人生產(chǎn)周期相同，但由于各種因素的影響，經(jīng)過相當(dāng)長的時間后，他們生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻會不一致，認為是隨機的，并在一個生產(chǎn)周期內(nèi)任一時刻的可能性一樣。由上分析，傳送系統(tǒng)長期運轉(zhuǎn)的效率等價于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比來描述。共十六頁2 模型(mxng)假設(shè)3）在一周期內(nèi)有 個鉤子(gu zi

4、)通過每一工作臺上方，鉤子(gu zi)均勻排列，到達第一個工作臺上方的鉤子(gu zi)都是空的。4）每個工人在任何時刻都能觸到一只鉤子，且之能觸到一只，在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的鉤子是空的，則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果非空，則他只能將產(chǎn)品放下。放下的產(chǎn)品就永遠退出這個傳送系統(tǒng)。1）有個工人，其生產(chǎn)是獨立的，生產(chǎn)周期是常數(shù)， 個工作臺均勻排列。2）生產(chǎn)已進入穩(wěn)態(tài)，即每個工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能性的。共十六頁3 模型建立(jinl) 將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比，記作 ，設(shè)帶走的產(chǎn)品數(shù)為 ,生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)為 ，則 。需求出 。得

5、到 的步驟(bzhu)如下：（均對一周期而言）任一只鉤子被一名工人觸到的概率是 ；任一只鉤子不被一名工人觸到的概率是 ；由工人生產(chǎn)的獨立性，任一只鉤子不被所有 個工人掛上產(chǎn)品的概率，即任一只鉤子為空鉤的概率是 ；任一只鉤子非空的概率是 。 如果從工人的角度考慮，分析每個工人能將自己的產(chǎn)品掛上鉤子的概率，這與工人所在的位置有關(guān)（如第1個工人一定可掛上），這樣使問題復(fù)雜化。我們從鉤子角度考慮，在穩(wěn)定狀態(tài)下鉤子沒有次序，處于同等地位。若能對一周期內(nèi)的 只鉤子求出每只鉤子非空的概率 ，則 。共十六頁傳送系統(tǒng)的效率(xio l)指標(biāo)為為了得到比較簡單的結(jié)果(ji gu)，在鉤子數(shù) 相對于工人數(shù) 較大，即

6、 較小的情況下，將多項式 展開后只取前3項，則有如果將一周期內(nèi)未帶走的產(chǎn)品數(shù)與全部產(chǎn)品數(shù)之比記作再假定，則當(dāng)時，上式給出的結(jié)果為用的精確表達式計算得共十六頁4 模型(mxng)評價這個模型是在理想情況下得到的，其中一些假設(shè)，如生產(chǎn)周期不變，掛不上鉤子的產(chǎn)品退出系統(tǒng)等是不現(xiàn)實的，但模型的意義在于，一方面利用基本合理的假設(shè)將問題簡化到能夠建模的程度，并用簡單的方法得到結(jié)果(ji gu)；另一方面所得到的簡化結(jié)果具有非常簡單的意義：指標(biāo)與成正比，與成反比。通常工人數(shù)目是固定的，一周期內(nèi)通過的鉤子數(shù) 增加一倍，可使“效率” 降低一倍。思考：如何改進模型使“效率”降低？（可理解為相反意義的效率）共十六頁

7、考慮(kol)通過增加鉤子數(shù)來使效率降低的方法：在原來(yunli)放置一只鉤子處放置的兩只鉤子成為一個鉤對。一周期內(nèi)通過個鉤對，任一鉤對被任意工人觸到的概率，不被觸到的概率，于是任一鉤對為空的概率是，鉤對上只掛一件產(chǎn)品的概率是，一周期內(nèi)通過的個鉤子中，空鉤的平均數(shù)是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是按照上一模型的定義，有共十六頁和的近似(jn s)展開，可得展開(zhn ki)取4項，展開取3項。而上一模型中的方法有有當(dāng)時，所以該模型提供的方法比上一個模型好。注意：利用共十六頁二 報童(botng)的訣竅問題： 報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設(shè)報紙每份的購進價

8、為b，零售價為a，退回價為c，假設(shè)(jish)abc。即報童售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c。報童每天購進報紙?zhí)?，賣不完會賠錢；購進太少，不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大收入。模型分析：購進量由需求量確定，需求量是隨機的。假定報童已通過自己的經(jīng)驗或其他渠道掌握了需求量的隨機規(guī)律，即在他的銷受范圍內(nèi)每天報紙的需求量為 份的概率是有了 和就可以建立關(guān)于購進量的優(yōu)化模型。共十六頁模型(mxng)建立：假設(shè)(jish)每天購進量是份，需求量是隨機的，可以小于，等于或大于，所以報童每天的收入也是隨機的。那么，作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，不能取每天的收入，而取長期賣報（月

9、，年）的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點看，這相當(dāng)于報童每天收入的期望值，簡稱平均收入。記報童每天購進份報紙的平均收入為，如果這天的需求量，則售出份，退回份；如果需求量則份將全部售出。需求量為的概率是，則問題歸結(jié)為在已知時，求使最大。共十六頁模型(mxng)求解：通常(tngchng)需求量和購進量都相當(dāng)大，將視為連續(xù)變量便于分析和計算，這時概率轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)計算則共十六頁令使報童(botng)日平均收入達到最大的購進量，得到(d do)應(yīng)滿足上式。因為，所以根據(jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購進量在圖中用分別表示曲線下的兩塊面積，則O n r共十六頁因為(yn wi)當(dāng)購進超過(cho

10、gu)份報紙時，是需求量不超過的概率，即賣不完的概率；是需求量的概率，即賣完的概率，所以上式表明，購進的份數(shù)應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。結(jié)論：當(dāng)報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比約大時，報童購進的份數(shù)就應(yīng)該越多。練習(xí)：利用上述模型計算，若每份報紙的購進價為0.75元，售出價為1元，退回價為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應(yīng)購進多少份報紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？共十六頁內(nèi)容摘要概率模型。現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人的產(chǎn)品帶走。在工人數(shù)目(shm)不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率越高。要求構(gòu)造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo)，并在簡化假設(shè)下建立模型描述這個指標(biāo)與工人數(shù)目(shm)、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系。這個模型是在理想情況下得