理論力學(xué)習(xí)題(4)課件

1、 4.1 一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以勻角速 繞定點O轉(zhuǎn)動，某一點P以相對速度沿AB邊運動，當(dāng)三角形轉(zhuǎn)了一周時，P點走過了AB，如已知 ，試求P點在A時的絕對速度與絕對加速度。解：如圖建立坐標(biāo)系，P點的牽連速度和相對速度為： 絕對速度為： 與三角形斜邊的夾角。 絕對速度的大小為：在平面轉(zhuǎn)動參照系中，質(zhì)點的絕對加速度為：（ 是一恒矢量） 與三角形斜邊的夾角。 其加速度的大小為： 42 一直線以勻角速度 在一固定平面內(nèi)繞其一端o轉(zhuǎn)動，當(dāng)直線位于ox的位置時，有一質(zhì)點P開始從o點沿該直線運動，如欲使此點的絕對速度 的量值為常數(shù)。問此質(zhì)點應(yīng)按何種規(guī)律沿此直線運動？ 解：質(zhì)點相對速度大?。?牽

2、連速度大?。?方向如圖所示 絕對速度大小： 質(zhì)點運動規(guī)律為： 積分 43 P 點離開圓錐頂點o，以速度 沿母線作勻速運動，此圓錐則以勻角速 繞其軸轉(zhuǎn)動，求開始t 秒后P點絕對加速度的量值，假定圓錐體的半頂角為 .解：在空間轉(zhuǎn)動參照系中，設(shè)質(zhì)點 t 時刻在母線P處，位矢為 ，質(zhì)點的絕對加速度為：方向指向轉(zhuǎn)動軸（在母線和轉(zhuǎn)動軸構(gòu)成的平面內(nèi)）方向與母線和轉(zhuǎn)動軸構(gòu)成的平面垂直方向指向轉(zhuǎn)動軸（在母線和轉(zhuǎn)動軸構(gòu)成的平面內(nèi)） 44 小環(huán)重W，穿在曲線 的光滑鋼絲上，此曲線通過坐標(biāo)原點，并繞豎直軸 oy以勻角速 轉(zhuǎn)動，如欲使小環(huán)在曲線上任何位置均處于相對平衡狀態(tài)，求此曲線的形狀及曲線對小環(huán)的約束反力。 解：將

3、小環(huán)放在曲線上任意位置，受力分析如圖所示，小環(huán)處于相對平衡時滿足：其投影形式為： (1)(2)聯(lián)立得： 小環(huán)所受約束反力為： 利用 ，對上式積分得曲線為拋物線： 45 在一光滑水平直管中，有一質(zhì)量m為的小球，此管以恒定角速度 繞通過管子一端的豎直軸轉(zhuǎn)動，如開始時，球距轉(zhuǎn)動軸的距離為a，球相對于管子的速度為零，而管的總長則為2a，求小球剛離開管口時的相對速度與絕對速度，并求小球從開始運動到離開管口所需的時間。 解：如圖建立坐標(biāo)系，小球受力分析如圖所示，對平面轉(zhuǎn)動參照系而言，質(zhì)點相對運動微分方程為：（ 是恒矢量） 小球相對管的運動微分方程為： 積分： 兩邊乘 ： 所以相對速度為： 牽連速度為： 由

4、小球相對管的運動微分方程： 積分： 即： 絕對速度為：絕對速度大小為：再積分： 4、6 一光滑細管可沿鉛直平面內(nèi)繞通過其一端的水平軸以勻角速 轉(zhuǎn)動，其中有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，開始時，細管取水平方向，質(zhì)點距轉(zhuǎn)軸的距離為a，質(zhì)點相對于管的速度為 ，試求質(zhì)點相對于管的運動規(guī)律。 解：對平面轉(zhuǎn)動參照系而言，質(zhì)點相對運動微分方程為：質(zhì)點沿管方向的運動微分方程為： 如圖建立坐標(biāo)系，質(zhì)點受力分析如圖所示.設(shè)（1）式非齊次特解為： (1)式齊次方程的通解為： 即： 上式代入（1）得： 所以（1）式的通解為：上式對時間求導(dǎo)得：利用初始條件： 代入上兩式得：即： 故質(zhì)點相對于管的運動規(guī)律為： 47 質(zhì)量分別為m及

5、的兩個質(zhì)點，用一固有長度為a的彈性繩相連，繩的倔強系為 ，如將此系統(tǒng)放在光滑的水平管中，管子繞管上某點以勻角速 轉(zhuǎn)動，試求任意瞬時兩質(zhì)點間的距離。設(shè)開始時，質(zhì)點相對于管子是靜止的。 解：在管子上建立動坐標(biāo)系，受力分析如圖所示，由平面轉(zhuǎn)動參照系的運動微分方程：設(shè)任一時刻兩質(zhì)點間的距離為s 得： T 為彈性力將 代入上式并化簡得：由初始條件： 任意瞬時兩質(zhì)點之間的距離為： 上式的解為： 48 軸為豎直而頂點向下的拋物線形金屬絲，以勻角速 繞豎直軸轉(zhuǎn)動。另有一質(zhì)量為m的小環(huán)套在此金屬絲上，并沿金屬絲滑動，試求小環(huán)運動的微分方程。已知拋物線的方程為 ，式中a為常數(shù)，計算時可忽略摩擦阻力。 解：建立固連

6、在金屬絲上的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系 ，受力分析如圖所示。z方向受力沒畫。由空間轉(zhuǎn)動參照系中的動力學(xué)方程：其分量式為： 、兩式消去N 得： 由 得： 、兩式聯(lián)立得：即： 由 得： 將 代入得： 小環(huán)相對運動微分方程為： 49 上題中，試用兩種方法求小球相對平衡的條件。 解：方法1，選取轉(zhuǎn)動參照系oxyz，相對平衡時： 小環(huán)受力分析如圖所示。得小環(huán)處于相對平衡時滿足： 其投影形式為： （1）（2）聯(lián)立得： 由相對平衡方程：故小環(huán)處于相對平衡時滿足： 代入上式得： 由 得： （1）（2）聯(lián)立得： 方法2：選取慣性參照系，小環(huán)相對金屬絲靜止，則小環(huán)相對慣性系作勻速圓周運動，小環(huán)受力分析如圖所示，其所受向心力為：其

7、投影形式為： （1）（2）聯(lián)立得： 故小環(huán)處于相對平衡時滿足： 代入上式得： 由 得： 410 質(zhì)量為m的小環(huán)，套在半徑為a的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動，圓圈在水平面內(nèi)以勻角速 繞圈上某點o轉(zhuǎn)動，試求小環(huán)沿圓周切線方向的運動微分方程。解：選取圓圈為平面轉(zhuǎn)動參照系，則小環(huán)運動微分方程為： 小環(huán)受力如圖所示： 重力： ，約束反力： （圖中未畫）牽連慣性力大小： 科氏力的大?。?方向如圖所示。 即： 小環(huán)切向運動微分方程為： 補充題1、M點在桿OA上按 規(guī)律 x = 2+3t2 (厘米)運動，同時桿OA繞O軸以勻角速度 = 2 rad/s 轉(zhuǎn)動。如圖所示，求當(dāng) t =1s 時， M點的科氏加速度的

8、大小。解：科氏加速度： 其科氏加速度大小為： 補充題2 、矩形板繞其一邊以勻角速 轉(zhuǎn)動，動點沿另一邊以相對勻速度vr運動（如圖所示），求動點在圖示位置時，科氏加速度的大小?？剖霞铀俣龋?補充題3 、飛機飛越北極上空，其相對速度為100m/s，若飛機質(zhì)量為 kg，求飛機受到的科里奧利力的大小?？评飱W利力： 科里奧利力的大小為： 補充題4 、如圖所示的機構(gòu)在其所在平面內(nèi)運動，滑塊M在曲柄O1A與O2A相接處，且可沿BO2桿滑動。M以相對速度vr如圖示方向運動，則科氏加速度的方向為： （ ）A、ac垂直于vr 沿MO1指向O1 ；B、ac垂直于vr 沿O1M背離O1 C、ac垂直于vr 方向不定；

9、D、ac= 0選 B 補充題5 、一水平圓盤繞一過盤心且垂直于盤面之軸轉(zhuǎn)動，角速度為恒矢量，一質(zhì)點M以相對速度u自圓盤上一弦之中點開始沿弦運動，弦心矩為b，當(dāng)質(zhì)點離弦中點為x時，求質(zhì)點絕對速度的大小，絕對加速度的大小。 解：如圖所示，建立轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系o1xy ,質(zhì)點相對速度為： 質(zhì)點牽連速度為： 質(zhì)點的絕對速度為 質(zhì)點的絕對速度的大小為 求質(zhì)點的絕對加速度的大小： 方向如圖所示。平面轉(zhuǎn)動參照系中質(zhì)點的加速度為 質(zhì)點的絕對加速度的大小為：其中： 補充題6 、質(zhì)點以不變的速率vr沿管子運動，如圖所示。此管中部彎成半徑為R的半圓周，并繞AB軸以勻角速轉(zhuǎn)動，在質(zhì)點由C運動至D的時間內(nèi)，管繞AB軸轉(zhuǎn)過半周

10、，求質(zhì)點的絕對加速度大小（表示為角 的函數(shù)）。空間轉(zhuǎn)動參照系中質(zhì)點的加速度為 解：如圖所示，建立轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系Oxyz牽連加速度大小 相對加速度大小 科里奧利加速度的大小 方向如圖所示質(zhì)點的絕對加速度為：質(zhì)點的絕對加速度的大小為： 其中 補充題7、圓筒以勻角速 繞鉛直軸轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)液體隨筒轉(zhuǎn)動，求相對平衡時，液體自由表面的形狀。解：選取轉(zhuǎn)動參照系 oxyz相對平衡時,液面上任一質(zhì)點受力分析如圖所示。由相對平衡方程： 得小環(huán)處于相對平衡時滿足： 其投影形式為： 拋物線 利用 ，對上式積分得曲線形狀為： （1）（2）聯(lián)立得： 補充題8、水平圓盤繞垂直盤面且通過盤心的豎直軸以勻角速度 轉(zhuǎn)動，盤上有一光滑直槽，離轉(zhuǎn)動軸的距離為b，質(zhì)量為m的小球沿槽運動，求小球相對槽的運動規(guī)律及槽對小球