曲面上的測度課件

1、曲線和曲面上的積分曲面積分1.曲面上的測度1曲面積分曲面表示和曲面上的測度第一型曲面積分(質量)第二型曲面積分(流量)2曲面的映射觀點定義設a,bRk,: a,b Rn (nk+1)若連續(xù),稱S=(a,b)為 Rn中的連續(xù)超曲面若具有一階連續(xù)導數(shù), 且ta,b,(t)滿秩, 稱S= (a,b)為 Rn中的k維光滑超曲面; 若是單射, S= (a,b)為 Rn中的k維正則超曲面若連續(xù),且存在a,b可以分成m個內部不相交的閉區(qū)域Wj, Lj=(Wj)是k維光滑(正則)超曲面,稱S=(a,b)為 Rn中的k維分片光滑(正則)超曲面3曲面的集合觀點定義設SRn, 若存在: a,b Rk Rn, 有S=

2、 (a,b)若連續(xù), 就稱S為Rn中的一個連續(xù)超曲面, 稱為S的一個表示若光滑且導數(shù)點點不為零, 就稱S為Rn中的k維光滑超曲面, 稱為S的光滑表示若光滑,單射且導數(shù)點點不為零, 就稱S為 Rn中的一條正則曲面, 稱為S的正則表示4同一超曲面可以有不同的表示同一超曲面可以有不同表示：集合觀點下的正則超曲面一定有非正則的表示;幾何上正則的超曲面未必有正則表示;幾何上非正則的超曲面一定沒有正則表示在下面的討論中, 我們總假設連續(xù), S是正則或分片正則超曲面,是其相應的表示因此將對超曲面的兩種觀點統(tǒng)一5超曲面的分類設: a,b Rn (n2), 連續(xù)若是單射,稱L=(a,b)為Rn中的簡單曲面 Rn

3、中的閉超曲面：？ Rn中的簡單閉超曲面：不帶邊的緊流形 6超曲面的方向(定向)可定向曲面(雙側曲面)不可定向曲面(單側曲面)7正則超曲面面積的定義設a,bRk, :a,b Rn(nk+1),正則,S=(a,b), 定義S的k維面積為其中上標T表示矩陣的轉置8對超曲面面積公式的說明面積公式的推導 Rn中k維平行2k面體的體積計算 用切超平面塊近似超曲面面積n-1維超曲面的面積公式 由參數(shù)方程給出的曲面體積公式 由函數(shù)圖像給出的曲面體積公式9 Rn中k維平行2k面體的體積設E是由Rn中k個線性無關向量V1,V2,Vk所張成的平行2k面體, 由Schmidt正交化方法得到與其等體積的直角平行2k面體

4、E0, 張成E0的k個向量是a1,a2,.,ak兩組向量間的關系10平行2k面體的體積(續(xù)1)體積公式: |E|=|E0|=|a1|a2|ak|也就是也就是11平行2k面體的體積(續(xù)2)由此就得到其中注意Vj都是列向量.12平行2k面體體積公式解釋Binet-Cauchy公式: 設A=(aij)nk, B=(bij)nk, 則對這個公式的解釋: Rn中的平行2k面體的體積的平方等于其在 Rn中所有k維坐標面中投影的平方和(一般勾股定理)13用切超平面塊近似超曲面面積設a,bRk,: a,b Rn (nk+1),正則, S= (a,b). 下面按微元法給出超曲面的面積公式: 任取a,b的一個分法W: W1,Wm. Sj=(Wj), j= 1, ,m. 取tjWj, 用近似Sj的體積, 然后求和-取極限就得到公式.14n-1維超曲面的面積公式(1)由參數(shù)方程給出的曲面體積公式:設a,bRn-1, : a,b Rn (nk+1) , 正則, S=(a,b). 此時, 習慣上有下面的記法其中e表示第i個元素標準基向量ei的列向量15n-1維超曲面的面積公式(2)由函數(shù)圖像給出的曲面體積公式:函數(shù)圖像公式a,bRn-1, g: a,b R, (t)=(t, g(t), S=(a,b)16正則超曲面上的測度