高中數(shù)學(xué)平面向量與空間向量知識歸納北師大版選修1

1、知識歸納：平面向量與空間向量平面向量及其運算一、知識導(dǎo)學(xué).模（長度）：向量aB的大小，記作| aBi。長度為o的向量稱為零向量，長度等于1個單位長度的向量，叫 做單位向量。.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共線向量。.相等向量：長度相等且方向相同的向量。.相反向量：我們把與向量a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。記作- a。.向量的加法：求兩個向量和的運算。已知a, b。在平面內(nèi)任取一點，作 AB=a, BC=b,則向量AC叫做a與b的和。記作a+b。.向量的減法：求兩個向量差的運算。已知a, b。在平面內(nèi)任取一點o,彳5A=a, 0B=b,則向量BA叫做a與b的

2、差。記作a- b。.實數(shù)與向量的積：（1）定義：實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作 入a,并規(guī)定：入a的長度入ai=i入 ai ；當(dāng)入0時，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)入0時，入a的方向與a的方向相反；當(dāng)入=0時，入a = 0（2）實數(shù)與向量的積的運算律：設(shè) 入、科為實數(shù)，則入（a ）=（入！1） a （入+（i） a = x a +a 入（a + b）=A,a+xb.向量共線的充分條件：向量 b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)入，使得b =入a。另外，設(shè) a = （xi ,y 1）, b = （x 2,y 2）,則 a b u xy2 x2y1=0.平面向量基本定理：如果 e1、

3、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有一對實數(shù) 入1、入2使 3=入13+入2最，其中不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。.定比分點設(shè)Pi, b是直線l上的兩點，點P是不同于Pi, b的任意一點則存在一個實數(shù)入，使P1P2=入PP2 ,入叫做分有向線段所成的比。若點Pi、P、P2的坐標(biāo)分別為（Xi, y1）, （x,y）,(x2,y2 ),則有特別當(dāng)入=1,即當(dāng)點P是線段P1P2的中點時,XiX2X 二2yiV2y 二211.平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為0,則數(shù)量 aii b icos 0叫做a與b

4、的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作 a - b ,即 a b = | a | b |cos 9規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0。(2)幾何意義：數(shù)量積 a - b等于a的長度| 3|與b在a的方向上的投影| b |cos 9的乘積。(3)性質(zhì)：設(shè)a , b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量， 0是a與e的夾角，則e - a = a - e =| a |cos 0, a_Lb = a , b = 0當(dāng)a與b同向時，a b = | a | b | 當(dāng)a與b反向時，a - b =- | a | b |2a b特別地，a a = | a | 或 | a | = va，a cos 9 =)| a - b

5、| I a | b |ab(4)運算律：a - b = b - a (交換律)( 入a)b=i(ba)=a(xb)(a+b)c=ac+bc(5)平面向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件：設(shè) a =(X1 ,y 1), b = (x 2,y 2),貝Ua _L b = a - b =| a | - | b |cos90 =0a _ b = X1X2+y1y2=012.平移公式：設(shè) P (x, y)是圖形F上的任意一點，它在平移后圖形F/上對應(yīng)點為P/ (X/, y),且設(shè)PP，的坐標(biāo)為(h, k),則由 OP，= OP+ PP/ ,得：(X/, y/) = ( x, y) + (h, k)二、疑難知識導(dǎo)

6、析.向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量.向量的模是正數(shù)或0,是可以進(jìn)行大小比較的，由于方向不能比較大小，所以向量是不能比大小的.兩個向量的模相等，方向相同，我們稱這兩個向量相等，兩個零向量是相等的，零向量與任何向量平行，與任何向量都是共線向量；.在運用三角形法則和平行四邊形法則求向量的加減法時要注意起點和終點；.對于坐標(biāo)形式給出的兩個向量，在運用平行與垂直的充要條件時，一定要區(qū)分好兩個公式，切不可混淆。因此，建議在記憶時對比記憶；.定比分點公式中則要記清哪個點是分點；還有就是此公式中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是分開計算的；.平移公式中首先要知道這個公式是點的平移公式，故

7、在使用的過程中須將起始點的坐標(biāo)給出，同時注意順 序。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1和a=（3, 4）平行的單位向量是；11，34錯解：因為a的模等于5,所以與a平行的單位向量就是 1 a,即（5， 5）錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。正解：因為a的模等于5,所以與a平行的單位向量是1 a,即（3，-z）或（一、，;）55555點評：平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和 a= （3, 4）垂直的單位向量”，結(jié)果也 應(yīng)該是兩個。例2已知A（2,1）, B（3,2）, C （-1 ,4）,若A、B、C是平行四邊形的三個頂點，求第四個頂點D的坐標(biāo)。錯解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x,

8、y）,則有x-2=-1-3 , y-1=4-2 ,即x=-2 , y=3。故所求D的坐標(biāo)為（-2 , 3）。錯因：思維定勢。習(xí)慣上，我們認(rèn)為平行四邊形的四個頂點是按照ABCD勺順序。其實，在這個題目中，根本就沒有指出四邊形 ABCD因此，還需要分類討論。正解：設(shè)D的坐標(biāo)為（x, y） TOC o 1-5 h z 當(dāng)四邊形為平行四邊形 ABCD寸，有x-2=-1-3 , y-1= 4-2,即x= -2 , y= 3。解得D的坐標(biāo)為（-2 , 3）;當(dāng)四邊形為平行四邊形 ADBC寸，有x-2=3- （-1）, y-1= 2-4,即x= 6 , y= -1 。解得D的坐標(biāo)為（6, -1 ）;當(dāng)四邊形

9、為平行四邊形 ABDC寸，有x-3=-1-2 , y-2= 4-1,即x= 0 , y= 5。解得D的坐標(biāo)為（0, 5）。故第四個頂點 D的坐標(biāo)為（-2 , 3）或（6, -1 ）或（0, 5）。例3已知R（3,2） , P2 （8, 3）,若點P在直線P1P2上，且滿足|P1P|=2|PP2| ,求點P的坐標(biāo)。19 8錯解：由|PiP|二2|PP2|得，點P分PiP2所成的比為2,代入定比分點坐標(biāo)公式得P（ 一）3 3錯因：對于|PiP|二2|PP2|這個等式，它所包含的不僅是點P為P1,心的內(nèi)分點這一種情況，還有點 P是Pi, P2的外分點。故須分情況討論。19 8正解：當(dāng)點P為Pi, P

10、2的內(nèi)分點時，P分P1P2所成的比為2,此時解得P （一，一）；3 3當(dāng)點P為Pi, P2的外分點時，P分P1P2所成的比為-2 ,此時解得P （13, 4）。19 8則所求點P的坐標(biāo)為（一,一）或（13, 4）。3 3點評：在運用定比分點坐標(biāo)公式時，要審清題意，注意內(nèi)外分點的情況。也就是分類討論的數(shù)學(xué)思想。例 4設(shè)向量 a = （x1 ,y1）, b = （x2,y2），b #0,則 “ ab ” 是 “ x1y2 =x2yl ”的A,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條件分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運算和充要條件的意義進(jìn)行演算即可.解：若 ab , b #0,則 a

11、= rb ,代入坐標(biāo)得：(x1,y1)=r(x2,y2)，即x1= rx2且 y1= ry2 消去 r ,得x1y2= x2yl；反之，若 x1 y2 =x2y1,貝U x1 = rx2 且 y = ry2,即(x1，y1)= r(x2 ,y2)則 a = rb , a/b故“ a/b ”是“ xy2 =x2y1 ”的充要條件.答案：C點評：本題意在鞏固向量平行的坐標(biāo)表示.例 5.已知 a= （1, -1 ） , b = （-1 , 3） , c= （3, 5）,求實數(shù) x、y,使 c =xa +y b分析：根據(jù)向量坐標(biāo)運算和待定系數(shù)法，用方程思想求解即可.解：由題意有x a +y b =x

12、(1, -1 ) +y (-1 , 3) = (x-y , -x+3y )又 c = (3, 5) - x-y=3 且-x+3y=5 解之得x=7且y=4點評：在向量的坐標(biāo)運算中經(jīng)常要用到解方程的方法.例6已知 a（-1,2）, b（2, 8）, Ac =1 AB , DA=-1 BA,求點 c、d和向量 CD的坐標(biāo). 33分析：待定系數(shù)法設(shè)定點 c、d的坐標(biāo)，再根據(jù)向量 AC AB, DA和CD關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運算，用方程思想解之.解：設(shè)C、D的坐標(biāo)為（x1,y1）、（x2,y2）,由題意得AC = (x +1,y1 -2) , AB = ( 3, 6) , DA = ( 一 1 一 x2,2

13、- y2) , BA = (-3,-6)又 AC =1 AB , DA = - 1 BA1，一 ， 八1，一一、 ( x1+1, y1-2)= (3, 6),( -1-x2,2 - y2)=- -(-3,-6)33即(x1 +1, y1 一2)=(1,2), ( 一1 一x2,2 y2)=(1,2), Xi +1 =1 且 yi 2=2, 1 X2 =1 且 2 y2 = 2 x = 0 且 y1 = 4，且 x2 = -2 y2 = 0點C D和向量CD的坐標(biāo)分別為（0, 4）、 （ -2, 0）和（-2 , -4）小結(jié)：本題涉及到方程思想，對運算能力要求較高.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1= AB,

14、A(2, y), B(32)，若)= (x,1),則有()A. x - -1, y - -1B.x - -5, y =1C. x = 5, y = -1D.x = -5, y = 32.（2006年高考浙江卷）T2設(shè)向重 a,b,c 滿足 a+b+c = 0,a_Lb,|a|=1,|b|=2，則 |c| =(A)1(B)2(C)4(D)53.將函數(shù)y= 4x8的圖象L按向量a平移到L J的函數(shù)表達(dá)式為4.從點A（2,-1）沿向量a =3 i6 j方向取線段AB,使|AB|=5,則B點坐標(biāo)為5.T Tm、n是單位向量,T Tn T T Tm與n的夾角為一，a=2m+n, 3=m- 2 n ,以a

15、、b為鄰邊作平行四邊形。求平行四邊形對角線的長。6. ( 2006年高考遼寧卷）已知AA B C的A,B,C所對邊的長分別為a,b,c設(shè)向量p=(a Cn(A)一6(B)(C)(D)bq =(ba, ca),若pq,則角C的大小為1.余弦定理:=b2c2-2bc cos Ab2c2-2accosBb2一 2abcosC2.正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，并且都等于外接圓的直徑，即sin A sin B二、疑難知識導(dǎo)析=2R sin C1 .初中學(xué)過的勾股定理只是余弦定理的一種特殊情況。平面向量與代數(shù)、幾何的綜合應(yīng)用、知識導(dǎo)學(xué)三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這

16、兩邊與它們夾角的余弦的積的如當(dāng) C = 工時，cosC =0,此時有 c2 = a2+b2 ；22 .由于本節(jié)內(nèi)容與代數(shù)、幾何聯(lián)系比較緊，故讀者需對解斜三角形、解析幾何中的圓錐曲線等知識非常熟悉方 可。三經(jīng)典例題導(dǎo)講例1在ABC中，已知a2=b2+bc+c：則角 人為（）nA.3二 八2三/2 二C.D. 或錯解：選A錯因：公式記不牢，誤將余弦定理中的“減”記作“加”。正解：,a 2= b2+bc+c2= b2 + c22bc(1 ) =b2+c2-2bc -22 二 cos3選 C.例2在4ABC中，已知acosA=bcosB ,試判別其形狀。錯解：等腰三角形。錯因：忽視了兩角互補(bǔ)，正弦值也

17、相等的情形。直接由 a cos A = b cos B 得，sin A cos A =sin BcosB ,即sin2A=sin2B,則2A = 2B。接著下結(jié)論，所求三角形為等腰三角形正解：由 acos A =b cosB 得，sin Acos A = sin B cos B ,即 sin2A = sin2B則2A = 2B或2A + 2B = 1800 ,故三角形為直角三角形或等腰三角形。例3在 MBC中/ C =30 ： c = J6 + J2 ,試求AABC周長的最大值。并判斷此時三角形的形狀。錯解：由于題目中出現(xiàn)了角和對邊，故使用余弦定理，進(jìn)一步想使用不等式或二次函數(shù)求最值錯因：其實

18、這種思路從表面上看是可行的，實際上處理過程中回遇到無法進(jìn)行下去的困難。正解：由正弦定理，得 a=2( J6 + J2 )sinA, b=2(J6 + J2 )sinB.a+b=2(. 6. 2 )(sinA+sinB)=4( 62 )sin B cos B22A B o 62sin =sin75 =a+b=(6Q + 22 )2 cos & ( V6 + 0)頂點O作兩條互相垂直的弦 OA OB(如圖)，求證：直線AB過一定點，并求出這一定點.分析：對于向量a=(xi,yi), b=(x2, y2),有a bu xiy2-x2yi=0.可以用來處理解析幾何中的三點共線與兩直線平行問Bt；、y

19、OA=( ,t 1), 2p證明：由題意知可設(shè)A點坐標(biāo)為t2(,t 1),B點坐標(biāo)為(2pOB=4,t 2),. OALOB,/. OA?OB =0二22上？目2p , 2p+ tl?t2=0%,2-=11?t 2=-4pdt22設(shè)直線 AB過點 M(a,b),則 BM =(a- - ,b-t2p一t22), BA=(，2pt；2p,t 1-t2), t2由于向量BM與BA是共線向量，.(a-32p)(t1-t 2)= (b-t2)(lI,化簡得2p(a-2p)=b(t 1+t 2)顯然當(dāng)a=2p,b=0時等式對任意的成立直線AB過定點，且定點坐標(biāo)為 M(2p,0)四習(xí)題導(dǎo)練1.已知銳角三角形

20、的邊長分別為2, 3, x,則第三邊x的取值范圍是(A. 1x5B. J5vxv、13 C . d13vx5D . 1x 5AABC 三頂點 A(1,1), B(3,4), C(2,3),則 MBC 的面積為4ABC中，若邊 a： b: c= J2 : (1 + 3) : 2,則內(nèi)角 A=.某人在C點測得塔頂A在南偏西80 ,仰角為45 ,此人沿南偏東40方向前進(jìn)10米到0,測得塔頂A仰角 為30。,貝U塔高=。.在 ABC中，已知B= 30 , b=50j可，c=150,解三角形并判斷三角形的形狀。.在4ABC中，已知cot A十cot B十COtC =后,判定 ABC是什么三角形?？臻g向量

21、及其運算一、知識導(dǎo)學(xué) ,44 ,1空間直角坐標(biāo)系：(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底，用j j,號表,、，、,_ r 口、4 4_ , _ .* 4 ,小；(2)在空間選定一點 O和一個單位正交基底i,j,k,以點O為原點，分別以i, j,k的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標(biāo)軸.我們稱建立了一個空間-g一 心目 L七一一心目 直角坐標(biāo)系O-xyz,點O叫原點，向重 i,j,k都叫坐標(biāo)向重.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面；.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中，對空間

22、任一點 A ,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x, y, z),使OA = xi+y j + zk ,有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O xyz中的坐標(biāo)，記彳A(x,y,z),x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo).空間向量的直角坐標(biāo)運算律：(1)若a =(a1,a2,a3), b=(,b2,t3),貝Ua b =(a1匕 b2,a3 b3) , a -b = (a1 -h,a2 -b2 -4),Ka =(九現(xiàn)，兒a2,a3)(九 e R) , a b = a1b +a2b2 +a3b3,abu a =九 h,a2 =，.b2,a3 =?ub3(九 w R), a_Lbu a1bl

23、 + a2b2 + a3b3 = 0 .若人(2,%,乙),B(x2,y2,z2),則 AB =(x2 xl yz z1).一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo):a：a22a32I4/+-+4模長公式：若 a =(a1 ,a2,a3),則|a| = Va，a5.夾角公式： cos： a ba -ilai1齊川 a2b2a3b3a22a32 *2b22b36.兩點間的距離公式：若 A(x1,y1,z),蛻&,%22),貝U |人日藍(lán)=限一x,)2+(y2y)2+(z2z1)2 二、疑難知識導(dǎo)學(xué)1、對于這部分的一些知識點，讀者可以對照平面向量的知識，看哪

24、些知識可以直接推廣，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于記憶;2、空間向量作為新加入的內(nèi)容，在處理空間問題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性，所以本節(jié)的學(xué)習(xí)難點在于掌握應(yīng)用空間向量的常用技巧與方法，特別是體會其中的轉(zhuǎn)化的思想方法.如把立體幾何中的線面關(guān)系問題及求角求距離問題轉(zhuǎn)化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來表達(dá)是問題的關(guān)鍵.3、向量運算的主要應(yīng)用在于如下幾個方面：(1)判斷空間兩條直線平行(共線)或垂直；(2)求空間兩點間的距離；(3)求兩條異面直線所成的角.4、本節(jié)內(nèi)容對于立體幾何的應(yīng)用，讀者需自

25、行復(fù)習(xí)，這里不再贅述。三、例題導(dǎo)講例1下列所表木的空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中，不正確的是()ABCD錯解：B、C、D中任選一個錯因：對于空間直角坐標(biāo)系的表示不清楚。有共同的原點，且兩兩垂直的三條數(shù)軸，只要符合右手系的規(guī)定, 就可以作為空間直角坐標(biāo)系.正解：易知(C)不符合右手系的規(guī)定，應(yīng)選 (C).例2已知點A(-3, 1, 1),點B(-2, 2, 3),在Ox、Oy Oz軸上分別取點 L、M N,使它們與 A、B兩點等 距離.錯因：對于坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征不明；使用方程解題的思想意識不夠。分析：設(shè)Ox軸上的點L的坐標(biāo)為(x, 0, 0),由題意可得關(guān)于 x的一元方程，從而解得 x的值.類似可

26、求得點MN的坐標(biāo).解：設(shè) L、M N 的坐標(biāo)分別為(x , 0, 0)、(0 , y, 0)、(0 , 0, z).由題意，得(x +3)2+ 1 + 1 = (x +2)2 + 4+ 9,9+(y +1)2+ 1 = 4+(y -2)2 + 9,9+ 1 + (z -1)2=4+4+ 億一3)2.33、分別解得 x = 3.y = 1,z = -,故 L(3,0,0), M (0,1,0), N(0,0,一)22評注：空間兩點的距離公式是平面內(nèi)兩點的距離公式的推廣：若點P、Q的坐標(biāo)分別為(xi, yi, zi)、(X2, y2,則 R Q的距離為 PQ = J(X2 xi)2 +(y2 yi

27、)2+(z2 zi)2 必須熟練掌握這個公式.J T 、d 九 ，一例3設(shè)a =(a1，a2,a3), b = (bi,b2，b3),且a #b,記|a b |二 m,求a b與x軸正萬向的夾角的余弦值4錯解：取X軸上的任一向量c = (x,0,0),設(shè)所求夾角為a ,(a -b) c = (ai -bi，a2 Fa - 0) (x,0,0)=(同 一 b1)x_ cos =(M (ax )三 ,即余弦值為史二巴|a - b| |c| mx mm錯因：審題不清。沒有看清“ x軸正方向，并不是x軸4正解：取x軸正方向的任一向量 c = (x,0,0),設(shè)所求夾角為a ,一 & (a-b) c =(a1 -卜 -bz -bs) (x,0,0) =(a -h)x * *cos：=單】b) c =_&x =亙二bL ,即為所求|a -b| |c| mx m,則/ ABC=cos BA, BC =BA*BC|BA|BC|2二 i2 、22 5、i0 一一三 ./ ABC= i35例 4在 A ABC中，