高中物理振動(dòng)與波動(dòng)

1、第七講振動(dòng)與波動(dòng)湖南郴州市湘南中學(xué)陳禮生一、知識(shí)點(diǎn)擊1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述和基本模型簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述：當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)，或一物體的質(zhì)心偏離其平衡位置x,且其所受合力F滿足 F = kx(k 0),故得 a = -x = -a2x , 0 = * k則該物體將在其平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量：一個(gè)彈簧振子的能量由振子的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能構(gòu)成，即 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document _ 12 1 2 12、E = - m kx = kA HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 22

2、2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期：如果能證明一個(gè)物體受的合外力工F=-kx,那么這個(gè)物體一定做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而且振動(dòng)的周期 T =2=2tl,式中m是振動(dòng)物體的質(zhì)量。 . k彈簧振子：恒力對(duì)彈簧振子的作用：只要m和k都相同，則彈簧振子的振動(dòng)周期T就是相同的，這就是說，一個(gè)振動(dòng)方向上的恒力一般不會(huì)改變振動(dòng)的周期。多振子系統(tǒng)：如果在一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)中有不止一個(gè)振子，那么我們一般要找振動(dòng)系統(tǒng)的等 效質(zhì)量。懸點(diǎn)不固定的彈簧振子：如果彈簧振子是有加速度的，那么在研究振子的運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)加上 慣性力.單擺及等效擺：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)在擺角小于5時(shí)可近似地看做是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的周期為T =2n,在一些“異型單擺”中，l和g的含義及值會(huì)發(fā)生變

3、化。(6)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：若有兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的圓頻率都是3,振幅分別為 A和忿，初相分別為平1和平2,則它們的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別為X =Acos( t 1)x2 =A cos( t 2)因振動(dòng)是同方向的，所以這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)在任一時(shí)刻的合位移x仍應(yīng)在同一直線上，而用心 愛心 專心且等于這兩個(gè)分振動(dòng)位移的代數(shù)和，即x =K +%由旋轉(zhuǎn)矢量法，可求得合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x = A cos(8t +中)這表明，合振動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它的圓頻率與分振動(dòng)的圓頻率相同，而其合振幅為A =A2 A 2AAcos( 2 - i)A1 sin ； A sin 2合振動(dòng)的初相滿足 tan = -

4、2A1 cos 1 A2 cos 2.機(jī)械波：Acos (t -)1 U J(1)機(jī)械波的描述：如果有一列波沿x方向傳播，振源的振動(dòng)方程為y=Acos 3 t ,波 的傳播速度為。，那么在離振源x遠(yuǎn)處一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程便是 此方程中有兩個(gè)自變量：t和x,當(dāng)t不變時(shí)，這個(gè)方程描寫某一時(shí)刻波上各點(diǎn)相對(duì)平衡位 置的位移；當(dāng)x不變時(shí)，這個(gè)方程就是波中某一點(diǎn)的振動(dòng)方程.(2)簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧振動(dòng)在均勻、無吸收的彈性介質(zhì)中傳播所形成的波叫做 平面簡(jiǎn)諧波。如果一列簡(jiǎn)諧波在o-xy平面內(nèi)，以波速u沿ox軸正方向傳播，振源(設(shè)其位于坐標(biāo)原點(diǎn))的振動(dòng)方程為y=Acosgt+5)，由于波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，故知

5、坐標(biāo)原x點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳播到離振源x(x A 0)處要滯后to =的時(shí)間。這表明若坐標(biāo)原點(diǎn)振動(dòng)了tu時(shí)間，x處的質(zhì)點(diǎn)只振動(dòng)了 t-t0的時(shí)間，于是x處振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移可表為y = Acos (t -):顯然，上式適用于表述 ox軸上所有質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，它就是平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，也常 稱為平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。同理，如果簡(jiǎn)諧波沿 ox軸負(fù)方向傳播，則波函數(shù)為 y = Acosb(t+x) +51, u為了加深對(duì)波函數(shù)物理含義的理解，下面以y = Acos產(chǎn)(t -勺+中I為例做討論。, u用心 愛心 專心當(dāng)x =Xo時(shí)（好似用攝像機(jī)對(duì)著坐標(biāo)為 Xo這一質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行拍攝），則y = Acos f (t= Ac

6、os但t+（中一?區(qū)）。它表示的是坐標(biāo)為x0的質(zhì)點(diǎn)IL u在不同時(shí)刻的位移，即該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。當(dāng)t=to時(shí)（好似用照相機(jī)對(duì)一組質(zhì)點(diǎn)在 to時(shí)刻進(jìn)行照相），則X I: Xy = Acos俾（t0-）+平=Acos （中+加0）。匕表不在給te的t0時(shí)刻各質(zhì) . u. u點(diǎn)的位移分布情況，相應(yīng)的圖像稱為t0時(shí)刻的波形圖。.波的干涉和多普勒效應(yīng)波的疊加：幾列波在同一介質(zhì)中傳播時(shí)，在它們相遇的區(qū)域內(nèi)，每列波都將保持各 自原有的頻率、波長(zhǎng)和傳播方向，并不相互干擾.波的這種性質(zhì)叫做波的獨(dú)立性.因此在幾 列波重疊的區(qū)域內(nèi)，每個(gè)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)都將同時(shí)參與幾列波引起的振動(dòng)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是由 幾個(gè)分振動(dòng)合成的.

7、故在任一時(shí)刻，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移都是幾列波各自的分振動(dòng)引起的位移的 矢量和.這種現(xiàn)象稱為波的疊加.波的干涉：兩列頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。兩列相干 波傳到同一個(gè)區(qū)域，可使某些位置的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng)，某些位置的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)減弱，而且振動(dòng)加 強(qiáng)和振動(dòng)減弱的區(qū)域相互間隔，這種現(xiàn)象叫做波的干涉。多普勒效應(yīng)：當(dāng)聲源和觀察者之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)發(fā)生收聽頻率和聲源頻率不 一致的現(xiàn)象.該種現(xiàn)象神稱為多普勒效應(yīng).為了簡(jiǎn)單，這里僅討論波源或觀察者的運(yùn)動(dòng)方向與波的傳播方向共線的情況.設(shè)波速為白,波的頻率為f,接收到的頻率為 fII（a）觀察者以速度 u向波源運(yùn)動(dòng)：f =-u f-0u（b）波源以速度u

8、向觀察者運(yùn)動(dòng)：f = 一0 f;0 -:（c）波源和觀察者都運(yùn)動(dòng)：f=yu f-0 -、方法演練用心 愛心 專心類型一、根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本模型和各種變形的振動(dòng)模型，求振動(dòng)周期是振動(dòng)問題的一k種基本類型，解題中要注意簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征F=kx或a = -2x的形式，從中得出m有關(guān)等效量。例1. 一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)如圖 71所示，不計(jì)一切摩擦，繩不可伸長(zhǎng), m、口及彈簧的勁度系數(shù) k已知求 已上下振動(dòng)的周期。分析和解：本題是一個(gè)彈簧振子的變式模型，解題時(shí)要根據(jù)受力分析 由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得出振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，然后由周期公式就可求出其 振動(dòng)周期設(shè)某一時(shí)刻彈簧伸長(zhǎng) X,繩上張力是Ft。分析 m： kx+m

9、1g -Ft = m1a，一 一a分析 n2： Ft -m2g =m2-2消去 Ft： 2kx+2mig m2g =a(2mi +m2),2假設(shè)振子平衡時(shí)彈黃伸長(zhǎng) 飛 ,此時(shí)m、m的加速度為零，則有 2kAXg = m2g-2mg設(shè)m偏離平衡位置的位移為Ax ,則x = Ax + Axo TOC o 1-5 h z m2 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 2k(Ax + Ax0)+2mg-m2g = a(2m 十萬)將，x二m2g_2ng代入式,可得2kx a(2mi嗎2k2mo、F =k3x = a(m -)所以這個(gè)振子系統(tǒng)的等效質(zhì)量是m2m

10、 一，4周期為3 4m14km24例2 .如圖72所示，輕桿AB左端A被光滑較鏈固定，右端 B被一勁度系數(shù)為k2的彈簧拉 住，彈簧的上端系于一固定點(diǎn)Do桿上的C點(diǎn)系有另一勁度系數(shù)為 ki的輕彈簧，彈簧的下端系有一質(zhì)量為 m的物體。系統(tǒng)平衡時(shí)，桿恰處于水平而兩彈簧軸線均沿豎直方向.已知AC= a, AB= b,求桿繞A點(diǎn)在豎直平面內(nèi)作微小振動(dòng)的周期.分析和解：該題的解答過程即將整個(gè)系統(tǒng)等效為一彈簧振子并求其勁度系數(shù)的過程：將物體移動(dòng)x,計(jì)算出其受力為f=-kx,則k /即為等效的勁度系數(shù).注意到系統(tǒng)在初始狀態(tài)下已平衡，所以可以不考慮重力的影響.現(xiàn)設(shè)物體偏離平衡位置一極小位移Ax,由此而引起兩個(gè)彈

11、簧的長(zhǎng)度變化為3x1 , &x2,則有ix = ix1 +aix2b用心 愛心 專心又AB為輕桿，其受合力矩必定為0.即 k1Kl a = k2 x2 b物體受力滿足f - k1 X| 二b2k1k2a2kl b2k2m(a2kl b2k2)b2k1k2類型二、波的干涉問題大多是問題簡(jiǎn)單，解答繁復(fù)，根 據(jù)矢量疊加原理和波的干涉特征，大多產(chǎn)生多值問題，在處 理這類問題時(shí)，一般先不急于代人數(shù)據(jù)，文字運(yùn)算有助于從 物理意義角度思考問題.例3.如圖73所示，在半徑為45 m的圓形跑道的P點(diǎn)和圓心Q點(diǎn)各有一個(gè)相同的揚(yáng)聲器，發(fā)出的都是波長(zhǎng)10 m的完全相同的聲波，一個(gè)人從直徑 PH的H點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針方向

12、繞 圓周走一圈，問他離開 H點(diǎn)后，到達(dá)P點(diǎn)前共聽到幾次最 弱的聲音？分析和解：本題是根據(jù)波的干涉原理來解決聲波干涉的現(xiàn)象， 解題時(shí)可從波程差和振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的條件出發(fā)。如圖74所示，設(shè)人走到圓弧上的 A點(diǎn)處，/ APH=0 ,則P、Q兩點(diǎn)波源到 A的路程差A(yù) S滿足：A S= 2Rcos 0-R冗考慮人的運(yùn)動(dòng)范圍，對(duì)于。，有0 日 一,2-R iS =1200Hz對(duì)甲：U = -AJf , u =ufV貝 5 =VV=1200 HzV F對(duì)乙：由于Uf在東西方向無速度分量，故西一T乙o東5,甲南圖78=u = 0 ,. V 0所以嵬=v=1200HzV -0V F對(duì)丙：u =uF , u =

13、aF ,冷 =-v =1200HzV F對(duì)丁 ： u=0,=40m/s,V vV -0320 40 1200 =1350 Hz320三、小試身手1.如果沿地球的直徑挖一條隧道，求物體從此隧道一端自由釋放到達(dá)另一端所需時(shí)間，設(shè)地球是一個(gè)密度均勻的球體，不考慮阻力，地球半徑為R,如圖7 9所示用心 愛心 專心2. 一根勁度系數(shù)為 K的輕彈簧水平放置，一端固定，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m的物塊，放在水平桌面上，現(xiàn)將物塊沿彈簧長(zhǎng)度方向拉離平衡位置0,使它到O點(diǎn)距離為釋放，此后物體在平衡位置附近來回運(yùn)動(dòng)，由于摩擦，振動(dòng)不斷衰減，當(dāng)物塊第 度為零時(shí)，恰好停在平衡位置處，求物塊與桌面間的摩擦因數(shù).X0時(shí)靜止n次

14、速3.沿-X方向傳播的簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)刻的波形如圖7 10所示，該波的振幅 A, 波長(zhǎng)入均已知.波速u和(1)試寫出該波的波動(dòng)表達(dá)式.(2)試畫出t =工時(shí)刻的波形圖，其中2T為周期用心愛心. 一固定的超聲源發(fā)出頻率為100kHz的超聲波，一汽車向超聲源迎面駛來，在超聲源處接收到從汽車反射回來的超聲波，其頻率從差頻裝置中測(cè)出為110kHz,設(shè)空氣中聲波速度為300 m/s，計(jì)算汽車行駛速度.解：設(shè)汽車相對(duì)于空氣以速度u趨近超聲源.從超聲源發(fā)出的超聲波到達(dá)汽車時(shí)，汽車是運(yùn)動(dòng)的接收裝置，超聲波從汽車反射時(shí)，汽車又是以速度u運(yùn)動(dòng)的聲源.因此，從固定的接收裝置接收到的反射波頻率為v =u v。一 u由

15、此可解出 u 為u= =110 100 300 =14.28m/s、.、.110 100即為汽車的行駛速度. 一平面簡(jiǎn)諧波向負(fù) y方向傳播，振幅為 6cm,圓頻率& =6n(rad / s),當(dāng)t=2s時(shí)，距原點(diǎn)O 12 cm處的A點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為xA=3cm, uA0；而距原點(diǎn)22cm處的B點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為Xb =0, b 10cm ,求波動(dòng)方程(用余弦函數(shù)表示)并畫出 t=0時(shí)的波形圖.同一媒質(zhì)中有兩個(gè)平面簡(jiǎn)諧波，波源作同頻率、同方向、同振幅的振動(dòng)，二波相對(duì)傳播，波長(zhǎng)為8m波傳播方向上 A、B兩點(diǎn)相距20m, 一波在A處為波峰時(shí)，另一波在 B處位用心 愛心 專心相為二，求AB連線上因干涉而靜止

16、的各點(diǎn)的位置。2AB.ft-0圖7n.兩輛汽車 A與B,在t = 0時(shí)從十字路口 O處分別以速度 va和vb沿水平的、相互正交的 公路勻速前進(jìn)，如圖所示.汽車A持續(xù)地以固定的頻率 Vo鳴笛，求在任意時(shí)刻t汽車B的司機(jī)所檢測(cè)到的笛聲頻率.已知聲速為U,且當(dāng)然有u Va、Vb.J I月口一-一巧4B用心 愛心 專心參考解答1.解：考察質(zhì)量為 m的物體在隧道中離地心距離 r時(shí)的受力，它可以看作受兩個(gè)力：一是 半徑為r的球體所產(chǎn)生的引力，一是內(nèi)外半徑為r和R的均勻球殼對(duì) m所產(chǎn)生的引力，如圖1所示.球殼對(duì) A點(diǎn)的物體的m的引力，等于組成球殼的所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)m產(chǎn)生引力的矢量和，現(xiàn)將球殼分成許多薄殼層，如圖

17、2所示，過A點(diǎn)可作n對(duì)圓錐體（n很大），圖 中只畫出一對(duì).圓錐體將殼層分割成小體積元AV,由萬有引力定律.它們對(duì) A點(diǎn)的m的引力為圖1圖2式中 mi = PS r ,二n二P/：S2 r用心 愛心 專心因?yàn)閮蓤A錐體的頂角（立體角）相同，則由以上三式可得 M =.訐2也就是說：Ami與 Mi2對(duì)m的引力大小相等、方向相反，合力為零.所以整個(gè)殼層上的質(zhì)點(diǎn)對(duì) m的引力的合力等于零.地球?qū)?m的引力，0,大小為就等于以物體距地心的距離r為半徑的球體所產(chǎn)生的引力，力指向地心2.3F nGM R rm nG其中M為地球質(zhì)量,物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，由Mm3-rR3GM=g 所以 F =m9rR,振動(dòng)角頻率%移質(zhì)量

18、物體從隧道一端到達(dá)另一端所需時(shí)間t=T2=n解：由于摩擦阻力的存在，物體的振動(dòng)為阻尼振動(dòng).設(shè)物塊從距平衡位置為小處從靜止開始運(yùn)動(dòng)，以后各次速度為零時(shí)到平衡位置的距離分別為x1、x2-xnq、xn,（4=0為已知），逐次應(yīng)用動(dòng)能定理有1 Kx221一一 Kx 2Kx2=Nmg(x0 -xi)=mg(xi -X2)1 Kx21 Kx21Kx 2；4 二mg（xn二一xn二mg（xn）從以上方程分別可得+ 2mgx1 =x2+用心 愛心 專心Xn _2 = Xn2.LmgK_ 2 LmgXn工各項(xiàng)相加得X0二以，即KX。2nmg3.解：（1）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)的振動(dòng)為 y(O, t) =Acos(6t+

19、W)初始條件t = 0時(shí),y= AAcos = -A則=二是O點(diǎn)的振動(dòng)為y(O, t) = Acos( st+n)在+X軸上任取一點(diǎn)P,其坐標(biāo)為X,因波沿-X方向傳播，因而P點(diǎn)的相位比O點(diǎn)超前是P點(diǎn)的振動(dòng)為2 二、y(X, t) = Acos( ot +幾十 x).2二， 、: Acos (ut x)二 L九此即為波動(dòng)表達(dá)式.（2）如圖所示，與t=0時(shí)刻的波形（圖中虛線）相比，t =時(shí)刻的波形應(yīng)向-X方向傳播了2的距離，如圖中實(shí)線所示.2.解：設(shè)汽車相對(duì)于空氣以速度u趨近超聲源.從超聲源發(fā)出的超聲波到達(dá)汽車時(shí)，汽車u運(yùn)動(dòng)的聲源.因此，從固是運(yùn)動(dòng)的接收裝置，超聲波從汽車反射時(shí)，汽車又是以速度定的接收裝置接收到的反射波頻率為、:，-U,、,一一一 11 -110 -100由此可斛出