初中數(shù)學(xué)九大幾何模型

1、中數(shù)學(xué)九大一、手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等【條件】：OAB和厶OCD均【結(jié)論】：厶OAC9AOBD；D(1)等邊三角形CB=D(2)等腰直角三C【結(jié)論】：厶0AC9A0BD；且ZCOD=ZAOB【結(jié)論】：厶OAC9AOBD；AAB圖1A圖1【條件】OAB和厶OCD均為等腰三角形;0；0E平分ZAED【條件】：OABA和OCD:圖為等腰(3)頂角相等的兩任三角形0；OE平分ZAED圖2DEB圖2ZAEB=ZAOB；0E平分ZAED將厶OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中厶OCDsOABAOACsAOBD；2)特殊情況AABCD圖1【結(jié)論】CD=CE:。d+oefOOC；S&CE=S+SOCD=1OC2

2、證明提示：作垂直，如圖2,證明CDM9ACEN過點(diǎn)C作CF丄OC，如圖3,證明ODC9AFECOCE2【條件】：CDAB,ZA0B=90將厶OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中厶OCDsOABAOACsAOBD；延長AC交BD于點(diǎn)E,必有ZBEC=ZBOA；AC=OC=OA=tanZOCD；BD丄AC；ACOCOA連接AD、BC，必有AD2+BC2=AB2+CD2；S三、模型三、對角互補(bǔ)模型1）全等型-90【條件】：ZAOB=ZDCE=90；OC平分ZAOB當(dāng)ZDCE的一邊交AO的延長線于D時（如圖4）：B圖3=3OC24【結(jié)論】CD=CE。D+OE=OCS&CE=SCD+SCE證明提示：可

3、參考“全等型-90”證法一；如右下圖：在OB上取一點(diǎn)F,使OF=OC，證明OCF為等邊三角形。（3）全等型-任意角a【條件】：ZA0B=2a,ZDCE=180-2a:CD=CE；【結(jié)論】：0C平分ZAOB:0D+0E=20Ccosa；S=S+S=0C2-sinacosaDCEOCDOCE當(dāng)ZDCE的一邊交AO的延長線于D時（如右下圖）:原結(jié)論變成：;?？蓞⒖忌鲜龅诜N方法進(jìn)行證明。請思考初始條件的變化對模型的影響。四、模型四：角含半角模型901）角含半角模型90-1【條件】：正方形ABCD:ZEAF=45【結(jié)論】：EF=DF+BE；厶CEF的周長為正方形ABCD周長的一半;也可以這樣：A【結(jié)論】

4、：ZEAF=45；F2）角含半角模型90-2【條件】：正方形ABCD:EF=DF+BE；【條件】：正方形ABCD；EAF=45；C【結(jié)論】：EF=DF-BE；3）角含半角模型90-3【條件】：RtAABC；ZDAE=45；【結(jié)論】：BD2+CE2=DE2（如圖1）若ZDAE旋轉(zhuǎn)到ABC外部時，結(jié)論BD2+CE2=DE2仍然成立（如圖2）VZDAC=ZEAF=45,.ZDAH=ZCAE，又VZACB=ZADB=45；DAAC.DAHsCAE,.=AHAE.AHEsAADC,AAHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型（1）倍長中線類模型-1【條件】：矩形ABCD:BD=BE；DF=EF；【結(jié)論

5、】：AF丄CF模型提?。河衅叫芯€ADBE:平行線間線段有中點(diǎn)DF=EF；可以構(gòu)造“8”字全等ADFHEFo（2）倍長中線類模型-2【條件】：平行四邊形ABCD，BC=2AB:AM=DM:CE丄AB；【結(jié)論】：ZEMD=3ZMEA輔助線：有平行ABCD，有中點(diǎn)AM=DM，延長EM,構(gòu)造AMEADMF，連接CM構(gòu)造【結(jié)論】：DF=BF；DF丄BF輔助線：構(gòu)造等腰直角AEGAAHC；輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)化到CG與EF。3）任意相似直角三角形360旋轉(zhuǎn)模型-補(bǔ)全法【條件】：厶OABsODC:ZOAB=ZODC=90:BE=CE；【結(jié)論】：AE=DE:ZAED=2ZABO輔助線：延長BA到G,使A

6、G=AB，延長CD到點(diǎn)H使DH=CD，補(bǔ)全OGB、AOCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模H型。轉(zhuǎn)化AE與DE到CG與BH,難點(diǎn)在轉(zhuǎn)化ZAED。（4）任意相【結(jié)論】ae=de；三角形360旋轉(zhuǎn)模型-倍長法_BE=CE；OAB心ODC；ZPAB=ZOB輔助線：延長DE至M,使ME=DE,將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)化為證明aMDABO,此為難點(diǎn),模型七：最短路程A（1）最短路程模型證明ZABM=ZAODODC最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點(diǎn)之間,線段最短：解決特點(diǎn)：動點(diǎn)在直線上；起點(diǎn)，終點(diǎn)固定B將厶AMDsABC繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明厶ABMsAOD,使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點(diǎn)在O（將軍飲馬類總結(jié)：右四圖為常見的軸對稱類最2）最短路程模型

7、二（點(diǎn)到直線類1）【條件】：0C平分ZAOB；M為0B上一定點(diǎn);P為0C上一動點(diǎn)；Q為0B上一動點(diǎn);問題】：求MP+PQ最小時，P、Q的位置？AHQP1【條件】：線段OA=4，OB=2；以點(diǎn)0為圓心，OB,OC為半徑作圓；一十輔助線：將作Q關(guān)于OC對稱點(diǎn)Q,轉(zhuǎn)化PQ=PQ,過點(diǎn)M作MH丄0A,則MP+PQ=MP+PQMH(垂線段最短)人最短路程模型二(點(diǎn)到直線類2)【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n)P【問題】n為何值時，PB+PA最??？交y軸于點(diǎn)E,即為求解方法：x軸上取C(2,0),使sinZOAC=f；過B作BD丄AC,點(diǎn)P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部(含邊界)一點(diǎn)；【結(jié)論】：若

8、PA的最大值為10,則0C=；若PA的最小值為1,則0C=3若PA的最小值為2,則PC的取值范圍是0PC2【條件】：RtA0BC,Z0BC=30；0C=2:。A=1；點(diǎn)P為BC上動點(diǎn)(可與端點(diǎn)重合);A0BC繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)1【結(jié)論】：PA最大值為OA+OB=1+2j3；PA的最小值為2OB=OA=J3-1如下圖，圓的最小半徑為0到BC垂線段長。BCA此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。A字型ADABAEDE結(jié)論：=（注意對應(yīng)邊要對應(yīng)）ACBC2）相似三角形模型-斜交型【條件】：如右圖，ZAED=ZACB=90【結(jié)論】：AEXAB=ACXAD【條件】：如右圖，ZACE=ZABC；結(jié)論】：AC2=AEXAB第四個圖還存在射影定理：AEXEC=BCXAC；BC2=BEXBA；CE2=AEXBE；3）相似三角形模型-一線三等角型【條件】：（1）圖：ZABC=ZACE=ZCDE=90；(2)圖：ZABC=ZACE=ZCDE=60；(3)圖：ZABC=ZACE=ZCDE=45；【結(jié)論】：厶ABCsCDE:ABXDE=BCXCD；