根軌跡繪制例題

1、4.4 控制系統(tǒng)根軌跡繪制示例1 4.4 控制系統(tǒng)根軌跡繪制示例2分離(會(huì)合)點(diǎn)分離（會(huì)合）點(diǎn)為方程: 的根同左分離（回合）點(diǎn)處的根軌跡增益：同左出射、入射角出射角：出射角：入射角：入射角：3 根據(jù)上述根軌跡繪制規(guī)則，可以畫出控制系統(tǒng)完整的根軌跡圖。應(yīng)當(dāng)指出的是，并不是每一個(gè)系統(tǒng)的根軌跡繪制都要全部使用上述基本規(guī)則。根據(jù)系統(tǒng)的不同，有時(shí)只使用部分規(guī)則就可以繪制出完整的根軌跡。4手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟: 標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)“ ”和零點(diǎn) “ ”； 確定根軌跡的分支數(shù)； 確定實(shí)軸上的根跡區(qū)間； 確定n-m條漸進(jìn)線； 計(jì)算分離(會(huì)合)點(diǎn)； 計(jì)算極點(diǎn)處的出射角和零點(diǎn)處的入射角； 計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；

2、 利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。 4.4 控制系統(tǒng)根軌跡繪制示例5例4.3.1 已知反饋控制系統(tǒng)的特征方程是試?yán)L制當(dāng)kg從0變化時(shí)的根軌跡。 解： 根據(jù)要求，采用180o等相角根軌跡繪制規(guī)則進(jìn)行繪制。 系統(tǒng)的根軌跡方程為： 系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)為： 根軌跡的分支數(shù)：根軌跡有兩條分支，分別起始于開環(huán)極點(diǎn)-p1，-p2處，終止于開環(huán)零點(diǎn)-z1，-z2處。 6 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為： -4，0 根軌跡的漸近線：開環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)目相同，該根軌跡沒(méi)有漸進(jìn)線。 分離（會(huì)合）點(diǎn)：令 代入方程 有： s1=-1.24是根軌跡的會(huì)合點(diǎn)，s2=3.24不是根軌跡上的點(diǎn)，應(yīng)該舍去，即根軌跡沒(méi)有分離點(diǎn)。會(huì)合點(diǎn)

3、對(duì)應(yīng)的根軌跡增益為： 7 出射角： 先求開環(huán)極點(diǎn)-p1處的出射角。畫出各個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)（除了-p1）到-p1的向量，并標(biāo)出每個(gè)向量的相角，分別為a1,a2,b1。 出射角為：8 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)： 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： 勞斯陣列如下： 由于kg0，勞斯陣列中沒(méi)有全為零的行。所以，根軌跡與虛軸沒(méi)有交點(diǎn)。根軌跡如下： 9 實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：-2，0。 漸進(jìn)線傾角： 與實(shí)軸的交點(diǎn)為：例4.3.2系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 標(biāo)出四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：0，-2，-3j4。有四條根軌跡。解： 對(duì)于本例系統(tǒng)的根軌跡，題目中沒(méi)有指明kg的取值范圍。通常，沒(méi)有特別指明kg的范圍時(shí)，按180o根軌

4、跡繪制規(guī)則進(jìn)行繪制。 10 -3+4j處的出射角q1 ：根據(jù)對(duì)稱性，可知-3-j4處的出射角 為： 與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為：勞斯陣為：當(dāng)勞斯陣某一行全為零時(shí)，有共軛虛根。這時(shí)， 。輔助方程為： ，解得共軛虛根為：即為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。11 會(huì)合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為由 得： 由上式可求出分離點(diǎn)。但高階方程求解困難，可采用下述近似方法：我們知道，分離點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸-2，0區(qū)間上，所以當(dāng)s在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)， 最大時(shí)為分離點(diǎn)。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.

5、2 s可見分離點(diǎn)約為-0.8。12 繪制根軌跡，如下圖所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345Real AxisImag Axis13例4.3.3已知負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出當(dāng)-kg+時(shí)的根軌跡。 解： 1當(dāng)0kg+時(shí)，繪制180o等相角根軌跡。 系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)分別為： 根軌跡的分支數(shù)：根軌跡有三條分支，分別起始于開環(huán)極點(diǎn) ，終止于開環(huán)零點(diǎn) 和無(wú)窮遠(yuǎn)處。 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為(-，-3，-1，0 14 漸近線：由于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)-開環(huán)零點(diǎn)數(shù)=1，所以根軌跡有一條漸進(jìn)線。 漸進(jìn)線的傾角為： 與實(shí)軸的交點(diǎn)為： 分離（會(huì)合）點(diǎn)：由式 可求得： 在根軌跡上，是會(huì)合點(diǎn)

6、。 不在根軌跡上，應(yīng)該舍去。 15 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： 將s=jw代入其中并整理得： 解得： 16 2當(dāng)kg0時(shí)，繪制0o等相角根軌跡。 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為：-3，-1和0，+) 漸近線：開環(huán)極點(diǎn)數(shù)-開環(huán)零點(diǎn)數(shù)=1，則該根軌跡有一條漸進(jìn)線。漸進(jìn)線的傾角為： 分離（會(huì)合）點(diǎn)：計(jì)算方法如1。s=-6.65不在根軌跡上，應(yīng)該舍去。 s=-1.35是會(huì)合點(diǎn)。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程: 勞斯陣列中沒(méi)有全為零的行。故根軌跡與虛軸沒(méi)有交點(diǎn)。 17例4.3.4：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，繪制以為參變量的根軌跡，并討論速度反饋對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響。-解：先求等效開環(huán)傳遞函數(shù)。此

7、時(shí)系統(tǒng)特征方程為令 ，等效開環(huán)傳函為18畫參量根軌跡 開環(huán)極點(diǎn)為5.4、0.3j1.292，開環(huán)零點(diǎn)為。 漸近線： 出射角：19討論 *=0，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為等效開環(huán)極點(diǎn)，即5.4、0.3j1.292，此時(shí)=5.4/0.3=18，可看作二階系統(tǒng)。=0.226，%=48.2%，ts=10s *=5.375，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為4、1j1.17，此時(shí)=4/1=4，若看作二階系統(tǒng)則：=0.65，%=6.8%，ts=3s20 *=7.75，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為2、2j0.866，此時(shí)=2/2=1，已不能看作二階系統(tǒng)。 *=9.5，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為-0.5604 、 -2.7198 + j3.0910 ， -2.719

8、8 - j3.0910,此時(shí)可看作一階系統(tǒng)。21例4.3.5 設(shè)控制系統(tǒng)的方塊圖如圖所示，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解將系統(tǒng)的方塊圖作等效變換，如下圖所示。 其開環(huán)傳遞函數(shù)為：22上式具有公因子s+1，可以互相抵消。抵消后的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 按照公因子抵消前后繪制的根軌跡是不同的，抵消后的系統(tǒng)特征方程的階次下降一次。這時(shí)的根軌跡圖不能表示閉環(huán)特征方程的全部根，只能表示抵消化減后的特征方程的根。 為了得到全部的閉環(huán)極點(diǎn)，必須將開環(huán)傳遞函數(shù)Gk1(s)中抵消掉的極點(diǎn)，加到從開環(huán)傳遞函數(shù)Gk2(s)根軌跡圖中得到的閉環(huán)極點(diǎn)中去。特別地，從Gk1(s)中抵消掉的極點(diǎn)是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，這可以從下圖中看出。23 因此，在遇到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有零、極點(diǎn)相抵消的情況時(shí)，可先根據(jù)相抵消后的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出根軌跡，然后在根軌跡圖中補(bǔ)充