電磁場(chǎng)理論課件：2-2 唯一性定理

1、總結(jié)： 泊松方程導(dǎo)體：總能量 介質(zhì)：2.2 唯一性定理Uniqueness Theorem 本節(jié)內(nèi)容將回答兩個(gè)問(wèn)題： （1）要具備什么條件才能求解靜電問(wèn)題 （2）所求的解是否唯一 靜電勢(shì)的微分方程邊值關(guān)系導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系唯一性定理：必須附加什么樣的邊界條件,泊松方程的解才會(huì)是唯一.1) 絕緣介質(zhì)靜電問(wèn)題的唯一性定理及證明有限V 內(nèi)有幾種均勻的絕緣介質(zhì)Vi 、i (i = 1、2、3 ) ，V 中的自由電荷分布(或) 為已知當(dāng)V 的邊界面S 上的電勢(shì) (或電勢(shì)法向?qū)?shù))給定，則V 內(nèi)的電場(chǎng)有唯一確定的解。數(shù)學(xué)表述如下:(在每個(gè)小區(qū)Vi)(在整個(gè)區(qū)域V 的邊界面S上給定,按約定,邊界面法線 指

2、向V 外)(在兩種絕緣介質(zhì)的分界面上)分界面法向單位矢量 由 指向 )或以上的表達(dá)式,包括泊松方程、邊值關(guān)系和邊界條件統(tǒng)稱為定解問(wèn)題. 唯一性定理指出,滿足以上定解問(wèn)題的電勢(shì)解就是區(qū)域V 中靜電場(chǎng)分布的唯一解. 下面是對(duì)唯一性定理的證明。首先證明區(qū)域V 中只有一種均勻介質(zhì)的情況，然后再把它推廣到多種介質(zhì)分區(qū)分布的情形。a)區(qū)域V 中只有一種均勻介質(zhì)的情形利用反證法證明:假設(shè)區(qū)域V 中存在兩個(gè)不同的解 和它們都能滿足同一個(gè)泊松方程和邊界條件,下面我們將證明它們只能是同一個(gè)解.引入標(biāo)量函數(shù) ,令 = - 在區(qū)域邊界面S 上(給定第一類邊界條件)(給定第二類邊界條件)或下面需要證明的是,滿足以上方程

3、和邊界條件的和頂多只能差一個(gè)常數(shù).利用矢量的微分運(yùn)算公式:等式兩端對(duì)V 作體積分式中 在邊界面S 上,無(wú)論還是 ，都使注意到 為非負(fù)數(shù),欲使上式成立,只有 ,即= C ,或 - =C，以上說(shuō)明 和 頂多差一個(gè)常數(shù),而電勢(shì)的附加常數(shù)對(duì)電場(chǎng)沒(méi)有影響,這就證明了 和 在物理上是同一個(gè)解,于是,唯一性定理得證.b)區(qū)域V 中有兩種各自均勻的介質(zhì)1 和2 的情形令1 = 1 - 1分別對(duì)應(yīng)V1 區(qū)和V2 區(qū)下面將證明,每一個(gè)區(qū)域的解都是唯一的.對(duì)V1 區(qū),設(shè)有兩個(gè)解1 、1 都滿足V1 區(qū)的場(chǎng)方程和邊界條件在V1區(qū)的外邊界1上或給定第二類邊界條件給定第一類邊界條件約定, 為V1 區(qū)邊界的法向單位矢量,指

4、向V1 外部;令2 = 2 - 2同理對(duì)V2 區(qū),設(shè)有兩個(gè)解2、2 都滿足V2 區(qū)的場(chǎng)方程和邊界條件在V2區(qū)的外邊界2上給定第一類邊界條件或給定第二類邊界條件約定, 為V2 區(qū)邊界的法向單位矢量,指向V2外部;而在V1 和V2 區(qū)的公共界面(即內(nèi)邊界) 上,由電勢(shì)的邊值關(guān)系兩式左右分別相減,得1 = 2又 兩式左右相減，得： 為內(nèi)邊界上的法向單位矢,按約定由介質(zhì)1 指向介質(zhì)2下面我們要證明, 1和1 , 2和2頂多都只能差一個(gè)常數(shù)先看V1 區(qū),利用微分恒等式等式兩端對(duì)V1 作體積分式中 由高斯公式其中S1 為V1 的邊界面,它由外邊界1 和內(nèi)邊界兩部分組成,即外邊界1 內(nèi)邊界由前所述,外邊界1

5、 上的面積分為零同理,對(duì)區(qū)域V2 ,重復(fù)以上過(guò)程,可得到內(nèi)邊界內(nèi)邊界內(nèi)邊界內(nèi)邊界內(nèi)邊界內(nèi)邊界兩式分別相加得內(nèi)邊界內(nèi)邊界由電勢(shì)的邊值關(guān)系,在內(nèi)邊界上欲使上式成立,只有 , ,即1和1, 2和2頂多差一個(gè)常數(shù),這說(shuō)明,在每一個(gè)均勻小區(qū)內(nèi)的電場(chǎng)分布都是唯一的.c）以上證明自然推廣到含有兩種以上均勻介質(zhì)的情況此時(shí)其中用類似的方法可以證明: ,從而區(qū)域V 中各處的電場(chǎng)分布一定是唯一的. 這樣,關(guān)于絕緣介質(zhì)靜電問(wèn)題的唯一性定理得到了證明.2）有導(dǎo)體存在的情況 設(shè)區(qū)域V 中有若干導(dǎo)體，其余部分都是一種均勻介質(zhì),將扣除導(dǎo)體后的區(qū)域稱為V，V的邊界應(yīng)包括兩部分:V 的表面S(或V的外邊界) ，每個(gè)導(dǎo)體的表面Si

6、 (或V的內(nèi)邊界) .此時(shí)，要唯一地確定V內(nèi)的電場(chǎng),需要1）已知區(qū)域V中電荷分布，2-1)是給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì) i ,2-2)給定每個(gè)導(dǎo)體所帶的總電量Qi3-1)S邊界的或兩種類型分別表述如下:a）區(qū)域V 內(nèi)有若干導(dǎo)體，設(shè)除導(dǎo)體外的區(qū)域V內(nèi)的自由電荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每個(gè)導(dǎo)體表面的電勢(shì) i 也已知，則區(qū)域V內(nèi)的電場(chǎng)有唯一解。b）區(qū)域V 內(nèi)有若干導(dǎo)體,假設(shè)除導(dǎo)體以外的區(qū)域V內(nèi)的自由電荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每個(gè)導(dǎo)體所帶的總電量Qi 為已知，則區(qū)域V內(nèi)的電場(chǎng)有唯一解。數(shù)學(xué)表示為:(在V 內(nèi))(已知)(待定)（待定）或滿足以上定解問(wèn)題的

7、電場(chǎng)分布就是唯一解。為了證明類型( ) ，我們把導(dǎo)體上電量已知的條件用電勢(shì)的法向?qū)?shù)來(lái)表示,即上式中，約定每個(gè)導(dǎo)體表面的法向單位矢量 指向?qū)w外部?；?說(shuō)明:導(dǎo)體電勢(shì)并未給定, 和可以不為零)令V的邊界面為S， S包括V的外表面S 和所有導(dǎo)體的表面Si證明設(shè)區(qū)域V中有兩個(gè)解和同時(shí)滿足以上方程和定解條件令 = - 式中 同樣利用矢量的微分運(yùn)算公式:等式兩端對(duì)V 作體積分考慮上式左端按約定,在S 面上, 為S 面上指向介質(zhì)外部的單位法向量, 在Si 面上, 為Si 面上指向介質(zhì)外的單位法向量(注意在這里 恰恰是指向?qū)w內(nèi)部）式中右端第一項(xiàng)即 , - =常數(shù), 和 頂多差一常數(shù)，說(shuō)明V中電場(chǎng)有唯一解

8、。這樣，有導(dǎo)體存在時(shí)靜電問(wèn)題的唯一性定理也得到證明。盡管唯一性定理并不給出求解泊松方程的具體方法與步驟,但它對(duì)于解決實(shí)際的邊值問(wèn)題有著重要的意義. 首先,它明確了在哪些條件下可以唯一地確定一個(gè)靜電場(chǎng),即給出了求解靜電場(chǎng)的依據(jù);其次,它使我們可以靈活地選用最簡(jiǎn)單、最合適的解題方法,甚至可以猜一個(gè)解(即提出嘗試解) . 只要這個(gè)解確實(shí)滿足了問(wèn)題中的場(chǎng)方程和全部定解條件,那么,根據(jù)唯一性定理我們就可以肯定地說(shuō),它就是該問(wèn)題中的唯一正確的解.例題1，兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左半部電容率為1，右半部電容率為 2，設(shè)內(nèi)球殼半徑為a，帶總電荷Q，外球殼接地，半徑為b。求電場(chǎng)和球殼上的電荷分布。baS

9、1S2例題1，兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左半部電容率為1，右半部電容率為 2，設(shè)內(nèi)球殼半徑為a，帶總電荷Q，外球殼接地，半徑為b。求電場(chǎng)和球殼上的電荷分布。baS1S2解:設(shè)兩介質(zhì)內(nèi)的電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移分別為 和如果我們假設(shè)E仍保持球?qū)ΨQ性，即此時(shí)邊值關(guān)系得到滿足。由于左右兩半是不同介質(zhì)，因此一般不同于只有一種均勻介質(zhì)時(shí)的球?qū)ΨQ解。在找嘗試解時(shí)，我們先考慮兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系baS1S2內(nèi)導(dǎo)體球面S1上的積分將電場(chǎng)值代入得解出則此解滿足唯一性定理的所有條件，因此是唯一正確的解baS1S2 注意導(dǎo)體兩半球上的面電荷分布是不同的，但E卻保持球?qū)ΨQ性。則則球面上的自由電荷面密度為 雖然

10、E仍保持球?qū)ΨQ性，但是D和導(dǎo)體面上的電荷面密度不具有球?qū)ΨQ性。為什么E仍保持球?qū)ΨQ性？第2題 半徑為a的導(dǎo)體球殼接地，殼內(nèi)中心放置一個(gè)點(diǎn)電荷Q，求殼內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)。QQ/解：點(diǎn)電荷Q放在球心處，殼接地， 除去坐標(biāo)原點(diǎn)外， 腔內(nèi)因而腔內(nèi)場(chǎng)唯一確定。點(diǎn)電荷在空間產(chǎn)生的電勢(shì)為 它不滿足的條件，它在邊界上為 要使邊界上任何一點(diǎn)電勢(shì)為0，只要使 所以可設(shè) 它滿足根據(jù)唯一性定理，它是腔內(nèi)的解，可見(jiàn)腔內(nèi)場(chǎng)與腔外無(wú)關(guān)，只與Q有關(guān)。這就是屏蔽作用。第3題 帶Q的半徑為a的導(dǎo)體球放在均勻無(wú)限大介質(zhì)中，求空間電勢(shì)分布。Oa導(dǎo)體球具有球?qū)ΨQ性，電荷只分布在外表面上。假定電場(chǎng)也具有球?qū)ΨQ性，則電勢(shì)坐標(biāo) 無(wú)關(guān)因?yàn)殡姾煞植荚谟邢迏^(qū)

11、，外邊界條件導(dǎo)體表面上電荷Q已知，場(chǎng)唯一確定。設(shè) 滿足，在導(dǎo)體邊界上。可以求出（利用）例題4：兩種均勻介質(zhì)（1,2）充滿空間，一半徑a的帶電Q導(dǎo)體球放在介質(zhì)分界面上（球心在界面上），求空間電勢(shì)分布及電荷分布。外邊界為無(wú)窮遠(yuǎn)，電荷分布在有限遠(yuǎn)導(dǎo)體上Q給定，所以球外場(chǎng)唯一確定對(duì)稱性分析：若，則（回到上例結(jié)果）。若 ，從直觀看似乎不再具有球?qū)ΨQ性，而是具有軸對(duì)稱。必然與重合，所以介質(zhì)分界面上，而在介質(zhì)分界面上：所以沒(méi)有束縛電荷分布，束縛電荷只分布在導(dǎo)體與介質(zhì)分界面上。對(duì)于上半個(gè)空間，介質(zhì)均勻極化，場(chǎng)具有對(duì)稱性，同樣下半空間也具有對(duì)稱性。而在介質(zhì)分界面上，所以可考慮球外電場(chǎng)仍具有球?qū)ΨQ性。但是實(shí)際情況并非如此。由于無(wú)論在介質(zhì)1還是介質(zhì)2，導(dǎo)體外表面電場(chǎng)均與表面垂直，因此在P點(diǎn)從這里可以看出，電荷在整個(gè)球面上是不均勻分布的。這種非均勻分布造成場(chǎng)的均勻分布。總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容1、絕緣介質(zhì)靜電問(wèn)題的唯一性定理數(shù)學(xué)表述如下:(在每個(gè)小區(qū)Vi)(在整個(gè)區(qū)域V 的邊界面S上給定,按約定,邊界面法線 指向V 外)(在兩種絕緣介質(zhì)的分界面上)分界面法向單位矢量 由 指向