數(shù)字信號處理：第2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

1、本章主要內(nèi)容序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式時(shí)域離散信號的傅里葉變換與模擬信號的傅里葉變換之間的關(guān)系序列的Z變換利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性第2章 時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析信號和系統(tǒng)的兩種分析方法：(1)模擬信號和系統(tǒng) 信號用連續(xù)變量時(shí)間t的函數(shù)表示； 系統(tǒng)則用微分方程描述； 信號和系統(tǒng)的頻域分析方法：拉普拉斯變換和傅里葉變換；(2)時(shí)域離散信號和系統(tǒng) 信號用序列表示； 系統(tǒng)用差分方程描述； 頻域分析的方法是：Z變換或傅里葉變換；2.1 引言時(shí)域分析方法和頻率分析方法 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)2.2.1 序列傅里葉變換的定義 稱為序列

2、x(n)的傅里葉變換，用FT(Fourier Transform)縮寫字母表示。FT成立的充要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件， 即滿足下式： 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)求FT的反變換， 用e jm乘上式兩邊， 并在-內(nèi)對進(jìn)行積分， 得到因此傅里葉變換對2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)例:設(shè)x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT 設(shè)N=4， 幅度與相位隨變化曲線如下圖所示2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)2.2.2 序列傅里葉變換的性質(zhì)1. FT的周期性 在FT定義式中， n取整數(shù)， 因此下式成立 結(jié)論： (1) 序列的傅里葉變換是頻率的連續(xù)周期函數(shù)，周期是2。 (2)

3、 X(ej)可展成傅里葉級數(shù)， x(n)是其系數(shù)。 X(ej)表示了信號在頻域中的分布規(guī)律。 (3) 在0,2,4表示信號的直流分量，在(2M1)時(shí)是最高的頻率分量。一般只分析信號在一個(gè)周期的FTM為整數(shù)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 2. 線性 3. 時(shí)移與頻移 設(shè)X(e j)=FTx(n)， 那么設(shè)： 則： 式中a, b為常數(shù))改變相位2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)4. FT的對稱性(1) 共軛對稱序列 共軛對稱序列xe(n)滿足： 將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示： 上式兩邊n用-n代替，取共軛： 得到： xe(n)=x*e(-n)xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e

4、(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n) 實(shí)部是偶函數(shù)虛部是奇函數(shù)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(2) 共軛反對稱序列共軛反對稱序列滿足：將x0(n)用其實(shí)部與虛部表示： 上式兩邊n用-n代替，取共軛：對比上面兩公式， 左邊相等， 因此得到 xo(n)=x*o(-n)xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)jxoi(-n)實(shí)部是奇函數(shù)虛部是偶函數(shù)xor(n)=xor(-n) xoi(n)= xoi(-n) 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)例1 試分析x(n)=e jn的對稱性 解： 將x(n)

5、的n用-n代替， 再取共軛得到： x*(-n)= e jn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共軛對稱序列。 將序列展成實(shí)部與虛部的形式， 得到 x(n)=cosn+j sinn 上式表明:共軛對稱序列的實(shí)部是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù)。 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(3) 任意序列可表示成共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和 xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何關(guān)系？ 將上式中的n用-n代替， 取共軛： 根據(jù)上面兩式， 得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n) x(n)=xe(n)+xo(n) 2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(4) 頻域函數(shù)X(ej)的對稱性 任意頻域函

6、數(shù)X(ej)可表示成共軛對稱部分和共軛反對稱部分之和： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) Xe(ej) = X*e(ej) Xo(ej) =X*o(ej) Xe(ej), Xo(ej)和原頻域函數(shù)X(ej)的關(guān)系2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(5) 研究FT的對稱性 (a) 將序列x(n)表示成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n) 將上式進(jìn)行FT， 得到: X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j) 結(jié)論： 序列分成實(shí)部與虛部兩部分， 實(shí)部對稱的FT具有共軛對稱性， 虛部和j一起對應(yīng)的FT具有共軛反對稱性。 xi(n)2.2 序列的傅里葉變換的

7、定義和性質(zhì)(b) 序列表示成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分xo(n)之和其中：將上面兩式分別進(jìn)行FT， 得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej)結(jié)論：序列的共軛對稱部分xe(n)對應(yīng)著FT的實(shí)部XR(ej)， 而序列的共軛反對稱部分xo(n)對應(yīng)著FT的虛部jXI(ej) 。 x(n)=xe(n)+xo(n)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)總結(jié)：序列傅里葉變換的共軛對稱性的基本內(nèi)容如下： x(n) = xr(n) + jxi(n) X(ejw)= Xe(ejw

8、) + Xo(ejw) x(n) = xe(n) + xo(n) X(ejw) = XR(ejw) + jXI(ejw)FTFT2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)(6) 研究實(shí)因果序列h(n)的對稱性 因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，其FT只有共軛對稱部分He(ej)，共軛反對稱部分為零。 所以其FT具有共軛對稱性。 即： H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此實(shí)序列的FT的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù) 即 ：HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 實(shí)因果序列h(n)與其共軛對稱部分he(n)和共軛反對稱部分ho(n)的關(guān)系

9、h(n) = he(n) + ho(n) he(n)=1/2h(n) + h(-n) ho(n)=1/2h(n) - h(-n)因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示為： 0， n=02.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)實(shí)因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為 h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n)說明：實(shí)因果序列可以完全僅由其偶序列he(n)恢復(fù)，因?yàn)槠淦嫘蛄衕o(n)中缺少n=0點(diǎn)h(n)的信息，因此由ho(n)恢復(fù)h(n)時(shí)，需要補(bǔ)充一點(diǎn)h(o)(n)信息分段增益函數(shù)2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)例

10、2 x(n)=anu(n),0a1,求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n) 0 ， n=00 ， n=0 0, n02.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)例2：若序列h(n)是實(shí)因果序列，其傅立葉變換的實(shí)部為HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw).解 HR (ejw)=FThe(n)=1+0.5 ejw + 0.5 ejw = he(n) e-jwn 0.5 n = -1 he(n)= 1 n = 0 0.5 n = 1根據(jù)實(shí)因果序列特性，h(n)=he(n)U+(n)根據(jù)傅立葉變換定義，H(ejw)=FTh(n)= h(n) e-jw

11、n =1+e-jw2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)5. 時(shí)域卷積定理 設(shè)：y(n)=x(n)*h(n) 則：Y(e j)=X(e j)H(e j) 證明：令：k=n- m,則mm定理說明：兩序列卷積的FT服從相乘關(guān)系，對于線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸出的FT等于輸入信號的FT乘以單位脈沖響應(yīng)的FT2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì)6. 頻域卷積定理 設(shè)：y(n)=x(n)h(n) 則： 證明：xX()e2.2 序列的傅里葉變換的定義和性質(zhì) 7. 帕斯維爾Parseval定理）定理說明：信號時(shí)域的總能量等于頻域中的總能量。證明：2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 周期序列不滿足絕對可

12、和條件，其FT是不存在的，由于具有周期性，可展開成離散傅里葉級數(shù)，當(dāng)引入奇異函數(shù)，其FT可用公式表示。2.3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù) 1. 周期序列的離散傅立葉級數(shù)(DFS變換) 設(shè) 是以N為周期的周期序列，可展成傅里葉級數(shù)的形式： 式中ak是傅里葉級數(shù)的系數(shù)，為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以 ，并對n在一個(gè)周期N中求和 2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 k和n均取整數(shù)， 當(dāng)k或者n變化時(shí)， 是周期為N的周期函數(shù)，所以系數(shù) 也是周期序列，ak=a k+lN，令：式中:因此:n0=k,m=N-1n周期序列的離散傅里葉級數(shù)2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式2、周期

13、序列離散傅立葉反變換(IDFS變換) 如上式兩端乘以 ， 并對k在一個(gè)周期中求和， 得到N，l = n0，l n由于：2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式總結(jié)：一個(gè)周期為N的周期序列DFS變換對為意義：表明將周期序列分解成N次諧波，第k個(gè)諧波頻率為k=(2/N)k， k=0, 1, 2 N-1，幅度為 ，基波分量的頻率是2/N， 幅度是 一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。 2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式例1 設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進(jìn)行周期延拓， 得到如圖所示的周期序列 ， 周期為8， 求 的DFS。 解： 按照DFS變

14、換公式幅度特性表明周期序的DFS :與N有關(guān)；在頻域中是個(gè)離散的周期序列j2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式2.3.2 周期序列的傅里葉變換表示式在模擬系統(tǒng)中， 的傅里葉變換是在=o處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度是2， 即在時(shí)域離散系統(tǒng)中，對于x(n)=e jon，2/o為有理數(shù)，其FT也是在=0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2，由于n取整數(shù)，下式成立r取整數(shù) 則：在02r處的單位沖激函數(shù)2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式對于一般周期序列 ，其離散傅里葉級數(shù)為：對其進(jìn)行傅里葉變換：如果讓k在之間變化， 上式可簡化成：奇異函數(shù)其中：2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表

15、示式例2:求例1中周期序列的FT。 解：將例1中得到的 代入周期序列的FT公式中得到對于同一個(gè)周期信號，其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示(用帶箭頭的豎線)，所以，周期序列的頻譜分布用其DFS和FT表示都可以2.3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式例3 令 ，2/0為有理數(shù)，求其FT。 解： 歐拉公式展開表明:cos0n的FT，是在=0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為，且以2為周期進(jìn)行延拓。22.4 時(shí)域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系 模擬信號xa(t)傅里葉變換對序列x(n)的傅里葉變換對x(n)=xa(nT)采樣信號提出問題： (1) 序列的傅里

16、葉變換X(ej)與模擬信號的傅里葉變換Xa(j)之間有什么關(guān)系。 (2) 數(shù)字頻率與模擬頻率(f)之間有什么關(guān)系。時(shí)域關(guān)系2.4 時(shí)域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系t=nTw=Td2.4 時(shí)域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系結(jié)論：離散信號可看作模擬信號的采樣序列：數(shù)字域頻率與模擬域頻率呈線性關(guān)系： 離散信號的FT(頻譜)是對應(yīng)的模擬信號FT(頻譜)以s=2/T為周期的周期延拓。 2.4 時(shí)域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系模擬域頻域數(shù)字域頻域歸一化頻率：f=f/fs =/s， =/22.4 時(shí)域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系例 設(shè)xa

17、(t)=cos(2f0t)，f0=50Hz，以采樣頻率fs=200Hz對xa(t)進(jìn)行采樣，得到采樣信號 和時(shí)域離散信號x(n)， 求xa(t)和 的傅里葉變換以及x(n)的FT。解：(1)Xa(j)是=2f0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2.4 時(shí)域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系(2) 以fs=200 Hz 對xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號 ，根 據(jù) 與xa(t)的關(guān)系式：根據(jù)采樣信號和模擬信號的FT之間的關(guān)系，可得到：2.4 時(shí)域離散信號的FT與模擬信號FT之間的關(guān)系將fs=200 Hz，f0=50 Hz，代入上式， 求括弧中公式為零時(shí)的值，=2k/2， 因此X(ej)用下式表示： (3

18、) 由采樣信號得到的序列x(n)，x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)，序列x(n)的FT，只要將=/T=fs代入：2.5 序列的Z變換在模擬信號和系統(tǒng)中，用FT進(jìn)行頻域分析，用拉普拉斯變換對信號進(jìn)行復(fù)頻域分析。在時(shí)域離散信號和系統(tǒng)中，用序列的FT進(jìn)行頻域分析，用Z變換進(jìn)行復(fù)頻域分析。2.5.1 Z變換的定義 序列x(n)的Z變換定義為： 注意：式中z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。在定義中，對n求和是在之間求和，可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換的定義， 如下式 2.5 序列的Z變換 Z變換存在的條件：等號右邊級數(shù)收斂，要求級數(shù)絕對可和， 即：使上式成立的Z變量取值的

19、域稱為收斂域。 收斂域一般為環(huán)狀域 令：Z=rejw ，代入上式可得到：Rx-rRx+ 收斂域分別是以為Rx-和Rx+為半徑的 兩個(gè)圓形成的環(huán)狀域2.5 序列的Z變換 常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)， 可用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示 收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。 對比序列的FT和ZT的定義式，可得到FT和ZT之間的關(guān)系： 單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。 根據(jù)已知序列的Z變換求序列的FT的條件是：收斂域中包含單位圓。 P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn) z=ej：表示在z平面上r=1的圓，稱為單位圓2.5 序列的Z變換例 已知序列x(n)=u(n)， 求其Z變換。 解： X(z

20、)存在的條件是|z-1|1 分析：極點(diǎn)是z=1， 序列單位圓上的Z變換不存在， 因此其傅里葉變換不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)()， 其傅里葉變換可以表示出來。 一個(gè)序列的FT不存在，在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的，對于這類信號的分析可以采用Z變換來分析。|z|1 2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性信號和系統(tǒng)的頻域特性用序列的傅里葉變換和Z變換進(jìn)行分析。 2.6.1 傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對輸入為單位脈沖序列(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。 (1)對h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(e j)。 稱H(e j)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，表征系統(tǒng)的頻率特性。 2.6 利

21、用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性(2)對h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z) 稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。(3)如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(ej)與H(z)之間關(guān)系如下式：H(z) h(n)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)在單位圓上的Z變換就是系統(tǒng)的傳輸函數(shù)2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性2.6.2 用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 1、因果系統(tǒng)當(dāng)n0時(shí)，h(n)=0；系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含點(diǎn),收斂域在某個(gè)圓外。 2、穩(wěn)定系統(tǒng)：要求：系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓。3、系統(tǒng)因果且穩(wěn)定 收斂域包含點(diǎn)和單位圓，收斂域可表示為 r|

22、z|， 0r1 所有極點(diǎn)集中在單位圓的內(nèi)部2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性2.6.3 利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性NA=b0/a0 ，影響傳輸函數(shù)的幅度大小， cr是H(z)的零點(diǎn)，dr是其極點(diǎn)，影響系統(tǒng)特性的頻率特性分子分母同乘以z N+M，得到:因式分解2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=e j，得到傳輸函數(shù)設(shè)N=M在z平面上ej-cr ：用一根由零點(diǎn)cr指向單位圓上ej點(diǎn)B的向量 表示ej-dr ：用一根極點(diǎn)指向ej點(diǎn)B的向量 表示稱為零點(diǎn)矢量稱為極點(diǎn)矢量BB極坐標(biāo)2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性結(jié)論：系統(tǒng)的傳輸特性或者信號的頻率特性

23、可由上式作定性分析(幾何分析)，當(dāng)頻率從零變化到2時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，根據(jù)上式可分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。 例如：下圖表示了具有一個(gè)零點(diǎn)和二個(gè)極點(diǎn)的頻率特性極點(diǎn)零點(diǎn)谷點(diǎn)峰值2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性極點(diǎn)越靠近單位圓，極點(diǎn)矢量長度越短，峰值越尖銳，極點(diǎn)在單位圓上，幅度特性為，系統(tǒng)不穩(wěn)定；零點(diǎn)越靠近單位圓，零點(diǎn)矢量長度越短，峰值接近零，零點(diǎn)在單位圓上，谷值為零；極點(diǎn)位置影響頻響的峰值位置和尖銳程度，零點(diǎn)位置影響頻響谷點(diǎn)位置和形狀；應(yīng)用： 若要使設(shè)計(jì)的濾波器濾掉某個(gè)頻率(不讓某一頻率通過)，可在單位圓上相應(yīng)的頻率處設(shè)置一個(gè)零點(diǎn)；若要使設(shè)計(jì)的濾波器讓某個(gè)頻率無衰減通過(突出某一頻率)，可在單位圓內(nèi)相應(yīng)的頻率處設(shè)置一個(gè)極點(diǎn)；適當(dāng)?shù)乜刂屏?、極點(diǎn)的分布，可