自控控制原理：第5章 頻率特性法

1、2022年7月29日第5章 頻率特性法2022年7月29日5.1 頻率特性的基本概念 5.2 幅相頻率特性及其繪制 5.3 對數(shù)頻率特性及其繪制5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.7 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性2022年7月29日 控制系統(tǒng)的時域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時域表達式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時域指標直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時域法具有直觀、準確的優(yōu)點。然而，工程實際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達式是相當困難的，需要大量計算，只有在

2、計算機的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時，采用時域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。2022年7月29日在工程實踐中, 往往并不需要準確地計算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過程，而是希望避開繁復(fù)的計算，簡單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法?？刂葡到y(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準確性等，是工程實踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。 20

3、22年7月29日 頻率特性分析法 ，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如： 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能, 得到定性和定量的結(jié)論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進系統(tǒng)的方法。 時域指標和頻域指標之間有對應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗公式，簡化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計。 頻率特性分析法的特點2022年7月29日具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學模型作為分析

4、與設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析的方法去建立數(shù)學模型的系統(tǒng)尤其有利。頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。 本章重點介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。2022年7月29日5.1頻率特性的基本概念 2022年7月29日5.1.1 頻率響應(yīng) 頻率響應(yīng)是時間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，穩(wěn)態(tài)時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數(shù)。 下面

5、用用一個簡單的實例來說明頻率響應(yīng)的概念：2022年7月29日示例：如圖所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，ui(t)與uo(t)分別為輸入與輸出信號，其傳遞函數(shù)為 RC RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)= 其中T=RC，為電路的時間常數(shù)，單位為s。 2022年7月29日 在零初始條件下，當輸入信號為一正弦信號，即 ui(t)=Uisin tUi與分別為輸入信號的振幅與角頻率，可以運用時域法求電路的輸出。 輸出的拉氏變換為： Uo(s)=對上式進行拉氏反變換可得輸出的時域表達式：2022年7月29日輸出與輸入相位差為： = -arctanT輸入信號為ui(t)=Uisin t 二者均僅與輸入頻率，以及

6、系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為：2022年7月29日 實際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當輸入信號為正弦信號r（t）=sint 時，過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為 Css（t）=Asin（t+），如圖所示。線性定常系統(tǒng)sintAsin（t+）tr（t）Css（t） 線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖2022年7月29日5.1.2 頻率特性1、基本概念 對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進一步的分析，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比A與相位差只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正弦信號的頻率有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，幅值比A與相位差僅是的函數(shù)，可以分別表示為A（）與（）。因

7、此，頻率特性可定義為： 線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當輸入信號的頻率在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。 頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。2022年7月29日 A（）反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在幅值上是放大（A1）還是衰減（A1）。 而（）反映相位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在相位上是超前（0）還是滯后（0）。 系

8、統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強調(diào)頻率是一個變量。2022年7月29日對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A（）= （）= -arctanTRC RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)= 2022年7月29日2、頻率特性的復(fù)數(shù)表示方法 對于線性定常系統(tǒng)，當輸入一個正弦信號 r（t）=Rsint時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為Css（t）= A()Rsin（t+（） 由于輸入、輸出信號均為正弦信號，因此可以利用電路理論將其表示為復(fù)數(shù)形式，則輸入輸出之比為 可見，輸出輸入的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達式。2022年

9、7月29日 若用一個復(fù)數(shù)G（j）來表示，則有 G（j）=G（j）ejG（j）=A（）ej 指數(shù)表示法 G（j）=A() () 幅角表示法 G（j）就是頻率特性通用的表示形式，是的函數(shù)。 當是一個特定的值時，可以在復(fù)平面上用一個向量去表示G（j）。向量的長度為A()，向量與正實軸之間的夾角為 ()，并規(guī)定逆時針方向為正，即相角超前；規(guī)定順時針方向為負，即相角滯后。2022年7月29日 另外還可以將向量分解為實數(shù)部分和虛數(shù)部分，即 G（j）=R（）+jI（） R（）稱為實頻特性，I（）稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：2022年7月29日 以上函數(shù)都是的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律，使

10、用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡便的優(yōu)點，應(yīng)用廣泛。 并且A()與R（）為的偶函數(shù)， ()與I（）是的奇函數(shù)。2022年7月29日三、頻率特性的實驗求取方法 向待求元件或系統(tǒng)輸入一個頻率可變的正弦信號 r（t）=Rsint 在0的范圍內(nèi)不斷改變的取值，并測量與每一個值對應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 Css（t）= A()Rsin（t+（） 測量并記錄相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出輸入幅值比與相角差。根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制出幅值比與相角差隨的變化曲線，并據(jù)此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性A()與相頻特性（）的表達式，便可求出完整的頻率特性表達式。2022年7月29日5.1.3由傳遞函數(shù)求取頻率特性 （重要） 實際上，由于微分方

11、程、傳遞函數(shù)、頻率特性為描述系統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學表達式，都是控制系統(tǒng)的數(shù)學模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通過簡單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。 系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為瞬態(tài)分量，對應(yīng)特征根；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它取決于輸入信號的形式。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根的實部均為負，瞬態(tài)分量必將隨時間趨于無窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號的穩(wěn)態(tài)分量必為同頻率的正弦信號。 2022年7月29日輸出信號的拉氏變換為：對輸出求拉氏反變換可得為簡化分析，假定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負實根。輸入信號為 r(t)=Rsint設(shè)

12、n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2022年7月29日css(t) =Kce-jt+K-cejt 系數(shù)Kc和K-c由留數(shù)定理確定，可以求出css(t)= A()Rsint+ () A()= | G（s）| s=j =| G（j）| ()=G（j） 輸入信號為r(t)=Rsint A()是系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性表達式。 ()是系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的相頻特性表達式。系統(tǒng)的頻率特性為 G（j）= G（s）|s=j= A()ej 重要2022年7月29日線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G（s）G（j）= G（s）|s=j= A()ejRsintA()Rsint+ ()A()是幅頻特性， 是相頻特

13、性 可推得一個十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）將j代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s =+j。當=0時，s = j。所以G（j）就是=0時的G（s）。即當傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用j代替時，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法。 因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，可以避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接利用頻率特性的物理意義簡化求解過程。2022年7月29日對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A（）= （）= -arctanTRC RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)= 2022年7月29

14、日頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當輸入信號的頻率在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性 。2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素無關(guān)。3. 頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關(guān)。4.頻率特性表征系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。2022年7月29日頻率特性的數(shù)學意義 頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學模型,與微分方程、

15、傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換。 以上三種數(shù)學模型以不同的數(shù)學形式表達系統(tǒng)的運動本質(zhì)，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學模型。 微分方程（以t為變量） 傳遞函數(shù)（以s為變量） 頻率特性（以為變量） 控制系統(tǒng)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系2022年7月29日5.1.4常用頻率特性曲線 頻率特性是穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的幅值比和相位差隨頻率變化的規(guī)律。在實際應(yīng)用中，為直觀地看出幅值比與相位差隨頻率變化的情況，是將幅頻特性與相頻特性在相應(yīng)的坐標系中繪成曲線，并從這些曲線的某些特點來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和其它品質(zhì)以便對系統(tǒng)進行分析與綜合。 系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的頻率響應(yīng)曲線的表示方法很多,其

16、本質(zhì)都是一樣的,只是表示的形式不同而已。頻率特性曲線通常采用以下三種表示形式： 2022年7月29日1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），圖形常用名為奈奎斯特圖或奈氏圖，坐標系為極坐標。奈氏圖反映A()與 ()隨變化的規(guī)律。2.對數(shù)頻率特性曲線，包括： 對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。圖形常用名為對數(shù)坐標圖或波德圖，坐標系為半對數(shù)坐標。波德圖反映L()=20lg A()與 ()隨lg變化的規(guī)律。3.對數(shù)幅相頻率特性曲線，圖形常用名尼柯爾斯圖或?qū)?shù)幅相圖，坐標系為對數(shù)幅相坐標。尼柯爾斯圖反映L()=20lg A()隨 ()的變化規(guī)律，主要用于求取閉環(huán)頻率特性。 2022年7月29日5.2 幅相頻

17、率特性及其繪制 2022年7月29日5.2.1 幅相頻率特性曲線（奈氏圖）基本概念 繪制奈氏圖的坐標系是極坐標與直角坐標系的重合。取極點為直角坐標的原點,極坐標軸為直角坐標的實軸。 由于系統(tǒng)的頻率特性表達式為 G（j）=A（）ej 對于某一特定頻率i下的G（ji）總可以用復(fù)平面上的一個向量與之對應(yīng)，該向量的長度為A（i），與正實軸的夾角為（i）。2022年7月29日 由于A()和()是頻率的函數(shù)，當在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，向量的幅值與相角均隨之連續(xù)變化，不同下的向量的端點在復(fù)平面上掃過的軌跡即為該系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），如圖所示。 G (j2)Re (1) (2)A (1)A (2

18、)G (j1) 極坐標圖的表示方法 Im 在繪制奈氏圖時，常把作為參變量，標在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。2022年7月29日 前面已經(jīng)指出，系統(tǒng)的幅頻特性與實頻特性是的偶函數(shù)，而相頻特性與虛頻特性是的奇函數(shù)，即G（j）與G（-j）互為共軛。因此，假定可為負數(shù)，當在-0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，相應(yīng)的奈氏圖曲線G（j）必然與G（-j）對稱于實軸。取負數(shù)雖然沒有實際的物理意義，但是具有鮮明的數(shù)學意義，主要用于控制系統(tǒng)的奈氏穩(wěn)定判別中。2022年7月29日 當系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)已知時，可以采用解析的方法先求取系統(tǒng)的頻率特性，再求出系統(tǒng)幅頻特

19、性、相頻特性或者實頻特性、虛頻特性的表達式，再逐點計算描出奈氏曲線。具體步驟如下：1.用j代替s，求出頻率特性G（j）2.求出幅頻特性A()與相頻特性（）的表達式，也可求出實頻特性與虛頻特性，幫助判斷G（j）所在的象限。3.在0的范圍內(nèi)選取不同的，根據(jù)A()與（）表達式計算出對應(yīng)值，在坐標圖上描出對應(yīng)的向量G（j），將所有G（j）的端點連接描出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。也可以用實驗的方法求取。2022年7月29日5.2.2典型環(huán)節(jié)的奈氏圖 1、比例環(huán)節(jié) 用j替換s，可求得比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達式為 G(j)=KImRe0K0 比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性 傳遞函數(shù)為 ：G(s)=K幅頻特性A

20、()= | K |= K相頻特性（）=02022年7月29日 比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無關(guān)。所以當由0變到,G(j)始終為實軸上一點，說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；()=0,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2022年7月29日2、積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性為 A()=|1/|=1/ ，與角頻率成反比相頻特性為()=-9000Re 積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性Im2022年7月29日 積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示，在0的范圍內(nèi),幅頻特性與負虛軸重合。 積分環(huán)節(jié)的奈氏圖表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信

21、號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90。2022年7月29日3、微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s)=s頻率特性為 G(j)=j故幅頻特性為: A()=|=，與成正比。相頻特性為 ： ()=90。2022年7月29日 理想微分環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖所示，在0的范圍內(nèi),其奈氏圖與正虛軸重合。 可見，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90，說明輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。2022年7月29日4、慣性環(huán)節(jié) 根據(jù)實頻特性與虛頻特性表達式，可以判斷出實頻特性恒0，而虛頻

22、特性恒0，由此可見慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖必在坐標系的第四象限。2022年7月29日 當從0變到 時,可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達式描點繪制奈氏圖，例如可以繪出三個點， 是一個位于第四象限的半圓，圓心為(1/2,0),直徑為1。 若慣性環(huán)節(jié)的比例系數(shù)變?yōu)镵，則幅頻特性成比例擴大K倍，而相頻特性保持不變，即奈氏圖仍為一個半圓，但圓心為(K/2,0),直徑為K。 由慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為 0- 90。2022年7月29日5、一階微分環(huán)節(jié) 可見一階微分環(huán)節(jié)的實頻特性恒為1，而虛頻特性與輸入頻率成正比。 當從0變到時,可以根據(jù)幅頻特性與相頻特性表達式描點

23、繪制奈氏圖，可以繪出三個點，見表G(s)=(s+1)()=arctan()2022年7月29日 由一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為090，輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。 一階微分環(huán)節(jié)的典型實例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪出幅相頻率特性，是平行于正虛軸向上無窮延伸的直線。2022年7月29日6、二階振蕩環(huán)節(jié) 以為參變量,計算不同頻率時的幅值和相角, 其中幾個重要的特征點見表。 可以判斷出虛頻特性恒0，故

24、曲線必位于第三與第四象限。2022年7月29日 在極坐標上畫出由0變到時的矢量端點的軌跡,便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性,如圖所示，且12。且振蕩環(huán)節(jié)與負虛軸的交點頻率為=1/T，幅值為1/(2)。 由奈氏圖可知，振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0-180；同時的取值對曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況 2022年7月29日1. 0.707 幅頻特性A()隨的增大而單調(diào)減小，如圖5-12中1所對應(yīng)曲線，此刻環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當1時，振蕩環(huán)節(jié)有兩個相異負實數(shù)極點，若足夠大，一個極點靠近原點，另一個極點遠離虛軸（對瞬態(tài)響應(yīng)影響很小），奈氏曲線與負虛軸的交點的虛部為1/(2)

25、0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)，如圖所示。 2022年7月29日2.00.707當增大時，幅頻特性A()并不是單調(diào)減小，而是先增大，達到一個最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點最遠處所對應(yīng)的頻率為諧振頻率r，所對應(yīng)的向量長度為諧振峰值Mr= A(r) = A(r)/ A(0) 。諧振表明系統(tǒng)對頻率r下的正弦信號的放大作用最強。2022年7月29日可得振蕩環(huán)節(jié)的諧振角頻率諧振峰值為 可見隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量%也

26、越大。當=0時，rn，Mr，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。 由幅頻特性A()對頻率求導數(shù),并令其等于零,可求得諧振角頻率r和諧振峰值Mr，2022年7月29日7、延遲環(huán)節(jié)幅頻特性為：A()=1相頻特性為：()=-單位為弧度（rad）?；蛘?)= G(s)=e-sG(j)=e- j2022年7月29日 =時，()=-，即輸出相位滯后輸入為無窮大。當從0連續(xù)變化至時，奈氏曲線沿原點作半徑為1的無窮次旋轉(zhuǎn)，越大，轉(zhuǎn)動速度越大。 故延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個以原點為圓心,半徑為1的圓。即延遲環(huán)節(jié)可以不失真地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號頻率越高，延遲環(huán)節(jié)的輸出滯后就越大。2022年7

27、月29日在低頻區(qū)，頻率特性表達式根據(jù)泰勒公式展開為當很小時，有 即在低頻區(qū)，延遲環(huán)節(jié)的頻率特性近似于慣性環(huán)節(jié)。從奈氏圖也可見，二者的曲線在低頻區(qū)基本重合。2022年7月29日 延遲環(huán)節(jié)與其他典型環(huán)節(jié)相結(jié)合不影響幅頻特性，但會使相頻特性的最大滯后為無窮大。如某系統(tǒng)傳遞函數(shù)是慣性環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)相結(jié)合，傳遞函數(shù)為 單位為度（） 2022年7月29日 可見隨的增大，幅頻特性A()單調(diào)減小，而相位滯后單調(diào)增加，相頻特性()從0一直變化到負無窮大。故該系統(tǒng)的奈氏圖是螺旋狀曲線，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)次，最后終止于原點，與實軸、虛軸分別有無數(shù)個交點。2022年7月29日5.2.3 開環(huán)奈氏圖的繪制 1.定義： 系

28、統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環(huán)頻率特性（j）與開環(huán)頻率特性Gk（j），分別對應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（s）與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk（s）。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。2022年7月29日 對于由多個典型環(huán)節(jié)組合而成的系統(tǒng)（延遲環(huán)節(jié)除外），其頻率特性應(yīng)該滿足下面的規(guī)律（重要） 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為2022年7月29日 控制系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)組成的，則系統(tǒng)頻率特性的繪制與典型環(huán)節(jié)的頻率特性的繪制方法是基本相同的。可根據(jù)復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)求出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅頻特性A()與相頻特性()的表達式，或由分

29、母有理化求出實頻特性與虛頻特性，再由奈氏圖的基本繪制方法求出系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。 2022年7月29日2.開環(huán)奈氏圖基本繪制規(guī)律 當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為多個典型環(huán)節(jié)組合時，其開環(huán)奈氏圖的繪制與根軌跡的繪制類似，具有一定的規(guī)律。可以先根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的某些特征繪制出近似曲線，再利用A()與()等的表達式描點，在曲線的重要部分修正。2022年7月29日(1)低頻段的確定（0） Gk（j）的低頻段表達式為()=-v90 根據(jù)向量相乘是幅值相乘、相位相加的原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達式分別為2022年7月29日可見低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統(tǒng)的型別v與開環(huán)傳遞系數(shù)K有關(guān)。1.0型系統(tǒng)，v

30、=0：A (0) =K，(0)=0低頻特性為實軸上的一點(K,0)。2.型系統(tǒng)，v =1：A (0) =， (0) = -903.型系統(tǒng)，v =2：A (0) =， (0) = -180 2022年7月29日(2)高頻段（） 不失一般性，假定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)全為不相等的負實數(shù)極點與零點。m為分子多項式的階數(shù)， n為分母多項式的階數(shù)，且一般mn 2022年7月29日 故A()=0,高頻段終止于坐標原點；而最終相位為()=-(n-m)90， 由n-m確定特性以什么角度進入坐標原點。2022年7月29日(n-m)=1,則()=-90,即幅相特性沿負虛軸進入坐標原點。(n-m)=2,則()=-180,

31、即幅相特性沿負實軸進入坐標原點。(n-m)=3,則()=-270,即幅相特性沿正虛軸進入坐標原點。2022年7月29日(3)奈氏圖與實軸、虛軸的交點 將頻率特性表達式按照分母有理化的方法分解為實部與虛部。1）曲線與實軸的交點處的頻率由虛部為0求出 ImG(j)=I()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。2）曲線與虛軸的交點處的頻率由實部為0求出 ReG(j)=R()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。2022年7月29日(4)開環(huán)零點對曲線的影響1）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)沒有開環(huán)零點，則在由0增大到過程中,特性的相位單調(diào)連續(xù)減?。筮B續(xù)增加）,特性曲線平滑

32、地變化。奈氏曲線應(yīng)該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。 2）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有開環(huán)零點，則在由0增大到過程中,特性的相位不再是連續(xù)減小。視開環(huán)零點的時間常數(shù)的數(shù)值大小不同,特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內(nèi)呈增加趨勢，此時,特性曲線出現(xiàn)凹部。 2022年7月29日 根據(jù)以上繪制規(guī)律，可以方便地繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略奈氏圖。 在的區(qū)段，奈氏曲線的形狀與所有典型環(huán)節(jié)及其參數(shù)有關(guān)，但通過奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。2022年7月29日若該系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點，開環(huán)頻率特性表達式為此系統(tǒng)仍為型系統(tǒng)，當0時，幅值趨于無窮大,而相角位移為-1

33、80，即奈氏圖的起點基本未變。在時，A()=0，()= -(n-m)90= -290= -180，奈氏圖沿負實軸終止于原點。 由于增加了開環(huán)零點，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續(xù)變化時，相位先滯后增加，達到一個滯后最大值后，相位滯后又開始減小（即相位增加），整條曲線出現(xiàn)了凹凸。2022年7月29日下圖列出了常見系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)概略奈氏圖。 2022年7月29日2022年7月29日5.3 對數(shù)頻率特性及其繪制2022年7月29日5.3.1 對數(shù)頻率特性曲線基本概念 （重點） 對數(shù)頻率特性圖（Bode圖）將幅頻和相頻特性分別畫出，并按對數(shù)分度運算，使系統(tǒng)的分析和設(shè)計變得十分簡便。 1. 伯

34、德（ Bode ）圖的構(gòu)成 對數(shù)幅頻特性圖的橫坐標是對 取以10為底的對數(shù)進行分度的。2022年7月29日 標注角頻率的真值,以方便讀數(shù)。每變化十倍,橫坐標1g就增加一個單位長度，記為decade或簡寫dec,稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。 橫坐標對于是不均勻的，但對1g卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。 若橫軸上有兩點1與2，則該兩點的距離不是2-1，而是lg2-lg1，如2與20、10與100之間的距離均為一個單位長度，即一個十倍頻程。2022年7月29日0.1110100 / (rads-1)確定Bode圖坐標系232022年7月29日對

35、數(shù)頻率特性曲線坐標系如圖所示，在繪制函數(shù)關(guān)系時，相當于lg為自變量。 縱坐標是對幅值分貝(dB)數(shù)進行分度，用L( )=20 lgA()表示。 對數(shù)相頻特性圖的橫坐標分度方法同對數(shù)幅頻特性，而縱坐標則對相角進行線性分度，單位為度（o） ,仍用 ( )表示。2022年7月29日G(j)=G1(j)G2(j)Gn(j)= A()ej() 式中 A()=A1()A2()An()； () = 1() + 2() + + n() 在極坐標中繪制幅相頻率特性,要花較多時間，而在繪制對數(shù)幅頻特性時,有 L() =20 lgA() = 20lgA1() + 20lgA2() + + 20lgAn() = L1

36、()+L2()+Ln() 2022年7月29日2Bode圖法的特點 （1）橫坐標按頻率取對數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。 （2）幅頻特性取分貝數(shù)20Lg|GH|后，使各因子間的乘除運算變?yōu)榧訙p運算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統(tǒng)設(shè)計和分析變得容易。2022年7月29日（3）可采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。 （4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計和調(diào)試中,開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對數(shù)幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性曲線作上下平移。 2022年

37、7月29日5.3.2 典型環(huán)節(jié)的伯德圖 1. 比例環(huán)節(jié)（K） 2022年7月29日 說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用； ()=0,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2022年7月29日2. 積分環(huán)節(jié)(1/s) 402000.010.111020100.010.11 頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。2022年7月29日 表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為

38、90。2022年7月29日3. 微分環(huán)節(jié)（s） 1 微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條斜+20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。2022年7月29日 積分環(huán)節(jié)與理想微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性相比較，只相差正負號，二者以軸為基準，互為鏡象；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡象。 可見，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90，說明輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。2022年7月29日4.慣性環(huán)節(jié) (1)對數(shù)幅頻特性 為簡化對數(shù)頻率特性曲線的繪制，常常使用漸近對數(shù)幅頻特性曲線（特別是在初步設(shè)計階段）。2022年7月29日1.低頻段

39、在T1(或1(或1/T)的區(qū)段,可以近似地認為 L()為因變量，lg為自變量，因此對數(shù)頻率特性曲線是一條斜線, 斜率為-20dB/dec, 稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點為T =1/T，T 稱為轉(zhuǎn)折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性時的一個重要參數(shù)。2022年7月29日 同時，如需由漸近對數(shù)幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個十倍頻程范圍內(nèi)對漸近對數(shù)幅頻特性曲線進行修正就足夠了。2022年7月29日（2）對數(shù)相頻特性 精確相頻特性為: () = -arctan (T)； 對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于=1/T及()=-45這一點斜對稱，如圖所示，可以清楚地看出在整個頻率范

40、圍內(nèi)，()程滯后持續(xù)增加的趨勢，極限為-90。2022年7月29日 當慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T 改變時，其轉(zhuǎn)折頻率1/T 將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。2022年7月29日2022年7月29日5一階微分環(huán)節(jié)（Ts1） 1. 低頻段 在T1(或1(或1/T)的區(qū)段,可以近似地認為高頻漸近線是一條斜線, 斜率為20dB/dec, 當頻率變化10倍頻時,L()變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為T=1/T。2022年7月29日 可知,一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法

41、也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號相反。如轉(zhuǎn)折頻率處T對應(yīng)的精確值是L（T）=0+3=3dB。2022年7月29日 一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為090，輸出對輸入有提前性、預(yù)見性作用。 一階微分環(huán)節(jié)的典型實例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。2022年7月29日 6二階振蕩環(huán)節(jié) （1）對數(shù)幅頻特性 1.低頻段T1(或1(或1/T)時,并考慮到（01），有L() -20lg(T)2= -40lg(T)=-40lgT-40lg dB這說明高

42、頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線,稱為高頻漸近線。T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點處的橫坐標，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。2022年7月29日2022年7月29日 可見0.4時，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量%也越大。當=0時，rn，Mr，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。 2022年7月29日2022年7月29日（2）相頻特性 可知，當=0時，()=0；=1/T時，()=-90；時，() -180。與慣性環(huán)節(jié)

43、相似，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線將對應(yīng)于=1/T及() =-90這一點斜對稱。 振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0-180；同時的取值對曲線形狀的影響較大。2022年7月29日8延遲（滯后）環(huán)節(jié)（e-Ts） ()是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線，隨增加而滯后無限增加，2022年7月29日 系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環(huán)頻率特性（j）與開環(huán)頻率特性Gk（j），分別對應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（s）與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk（s）。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：由除

44、延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成5.3.3 開環(huán)伯德圖的繪制 2022年7月29日1.基本規(guī)律（1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。順序斜率疊加法 在繪制系統(tǒng)Bode圖時，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。 不必將各個典型環(huán)節(jié)的L() 繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L()曲線, ()曲線描點或疊加求取。2022年7月29日（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定 Gk（j）的低頻段表達式為()=-v902022年7月29日對數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達式為可見低

45、頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v有關(guān)。 低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線。同時，低頻漸近線（及其延長線）上在=1時,有L(1)=20lgK。2022年7月29日（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定 低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v 及開環(huán)傳遞系K 有關(guān)，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率20dB/dec；在一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)的轉(zhuǎn)折頻率1/處，斜率20dB/dec；在振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率 40dB/dec2022年7月29日（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系當 時,由于

46、nm，所以高頻段的近似表達式為()= -（n - m）902022年7月29日對數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達式為高頻段為一條斜率為 -20（n-m）dB/dec的斜線。說明高頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。()= -（n-m）902022年7月29日2繪制步驟利用規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下： 1開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標準的時間常數(shù)表達式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。 2選定Bode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。確定坐標比例尺，由小到大標注各轉(zhuǎn)折頻率。 3確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個

47、數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標為 =1、縱坐標為20lgK 的點，過該點作斜率為 -20vdB/dec 的斜線。 4.由低頻向高頻延伸，每到一個轉(zhuǎn)折頻率,斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。2022年7月29日5如有必要，可對分段直線進行修正，以得到精確的對數(shù)幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性 L() 通過0分貝線,即 L(c)=0或A(c)=1時的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c 是分析與設(shè)計時的重要參數(shù)。2022年7月29日 6在對數(shù)相頻特

48、性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線（可用模型板畫），將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達式，逐點描繪。低頻時有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。 7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達式，直接描點繪制對數(shù)相頻特性曲線。 2022年7月29日0.1110100204060-20-40-60確定Bode圖坐標系2022年7月29日2812502022年7月29日(2)將各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率由低到高依次標于軸上,如下圖所示。(3)繪制低頻漸近線。由

49、于是I型系統(tǒng), =1處的幅值為20lg100=40 (dB)。以此點為基準繪制系統(tǒng)低頻部分漸近線,是一條斜率為 -20dB/dec 的直線。(4)由低頻到高頻順序繪出對數(shù)幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎(chǔ)上,每遇到一個環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,根據(jù)該環(huán)節(jié)的性質(zhì)作一次斜率變化,直至最后一個環(huán)節(jié)完成為止。 (5)必要時對漸近線進行修正,畫出精確的對數(shù)幅頻特性。 2022年7月29日 分析對數(shù)幅頻特性可見，系統(tǒng)L()由3段折線構(gòu)成，而且在=10與 =100之間穿過0dB線。 曲線穿過0dB線時所對應(yīng)的頻率稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c可以通過坐標系直接讀出，也可根據(jù)簡單的計算求出。2022年7月29日1.由

50、低頻漸近線可求得L（1）= L（1）=20lgK=40（dB） 2.由于1點與2點位于同一條斜線，斜率為-40dB/dec，則L（2）可如下求得 3.同理，c可如下求取2022年7月29日2022年7月29日2022年7月29日5.3.4 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng) “最小相位”這一概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié),其中相角位移有最小可能值的,稱為最小相位環(huán)節(jié);反之,其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。1.基本概念 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般是關(guān)于s的有理真分式，系統(tǒng)的性質(zhì)是由開環(huán)傳遞函數(shù)的零點與極點的性質(zhì)決定的。根據(jù)零極點的不同，一般分為以下兩種系統(tǒng)20

51、22年7月29日（1）如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半S平面上沒有極點和零點，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成），如 （2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上有一個(或多個)零點或極點，稱為非最小相位系統(tǒng)； 2022年7月29日 顯然G1（s）屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個系統(tǒng)幅值相同，具有同一個幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個簡單例子來說明最小相位系統(tǒng)的慨念。2022年7月29日兩者的對數(shù)幅頻特性是相同的， 而相頻特性則有1()= arctan - arctanT2()= - arctan - arctanT2022年7月29日 從傳遞函數(shù)看,這二者均有相同的儲能元件數(shù),但是

52、由于G2(s)的零點在右半s平面,它產(chǎn)生了附加的相位滯后位移, 因而 G1(s)具有較小的相位變化范圍（0，-90）,為最小相位環(huán)節(jié)；而G2(s)為非最小相位環(huán)節(jié)，相位變化范圍較大（0，-180）。 從波德圖上看,最小相位系統(tǒng)為具有相同幅頻特性的許多系統(tǒng)中其相移范圍為最小可能值的系統(tǒng)。2022年7月29日2、性質(zhì) (1) 最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性是一一對應(yīng)的。也就是說，對于最小相位系統(tǒng)，一條對數(shù)幅頻特性只有一條對數(shù)相頻特性與之對應(yīng)，知道其對數(shù)幅頻特性，也就知道其對數(shù)相頻特性。因此，利用Bode圖 對最小相位系統(tǒng)進行分析時，往往只分析其對數(shù)幅頻特性L()。2022年7月29日(2

53、)最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性的變化趨勢相同，即若L()的斜率減小（或增大），則()的相位也相應(yīng)地減小（或增大）；如果在某一頻率范圍內(nèi),對數(shù)幅頻特性L()的斜率保持不變,則在這些范圍內(nèi),相位也幾乎保持不變。 2022年7月29日由前面的分析可知：1）對數(shù)頻率特性的低頻漸近線為斜率為-20vdB/dec的斜線。()=-90v，低頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v有關(guān)。2）在 時,由于nm，所以高頻漸近線為斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。()=-90（n-m），高頻段的對數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。 2022年7月29日 1.在低頻區(qū)的漸近線斜率為-

54、20dB/dec，相位起點約為-90。 2.在頻率1=1附近，L()斜率減小到-40dB/dec，則相位呈減小的趨勢；而在頻率2 =2附近，微分環(huán)節(jié)的作用使L()斜率為-20dB/dec, ()，相位有增大的趨勢。 3.最終L()斜率為-20dB/dec；而()相位最大滯后為-90 。2022年7月29日 可以推出如下結(jié)論：若系統(tǒng)只包含除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)，并且無局部正反饋回路時，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母必無正實根，該系統(tǒng)必定為最小相位系統(tǒng)。原因為： 由于延遲環(huán)節(jié)按冪級數(shù)分解之后，其各項系數(shù)有正負，因而必定有具有正實部的零點，所以延遲環(huán)節(jié)屬于非最小相位系統(tǒng)。 同樣，若系統(tǒng)有局部正反饋回路，

55、則必有具有正實部的開環(huán)極點。2022年7月29日小結(jié)： 最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)給出了一個重要的結(jié)論： 對于最小相位系統(tǒng)，可以通過實驗的方法測量并繪制出開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L()，就可以唯一確定此系統(tǒng)，推出相應(yīng)的()，寫出其開環(huán)傳遞函數(shù)。2022年7月29日5.3.5由實測波德圖求傳遞函數(shù) 由實測開環(huán)波德圖求開環(huán)傳遞函數(shù)是由已知的開環(huán)傳遞函數(shù)求開環(huán)波德圖的逆過程，方法有共同之處。步驟如下：1.在需要的頻率范圍內(nèi)，給被測系統(tǒng)輸入不同頻率的正弦信號，測量相應(yīng)輸出的穩(wěn)態(tài)幅值與相位，作出對數(shù)幅頻特性與相頻特性曲線；2.若幅頻特性曲線與相頻特性曲線的變化趨勢一致，則該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，可直接由幅頻特性曲線求

56、出傳遞函數(shù)；3.根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線，由0、20、40dB/dec斜率的線段近似，求出其漸近線；4.由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K 低頻漸近線的表達式為L()=20lgK-20vlg?？墒紫扔傻皖l段的斜率確定v，再由低頻段上的一個具體點的坐標確定K，如可代L(1)=20lgK；2022年7月29日5.由漸近線的每個轉(zhuǎn)折點確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；并由漸近線在轉(zhuǎn)折點斜率的變化量確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)。如若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減小20dB/dec，則必有慣性環(huán)節(jié)；若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率增加20dB/dec，則必有一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)；若在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減去40dB/dec

57、，則有振蕩環(huán)節(jié)；二階系統(tǒng)的阻尼比可由諧振峰值的大小查表求取2022年7月29日小結(jié)： 1 低頻段確定K 、V 斜率確定積分、微分環(huán)節(jié)個數(shù) 起始段（或延長線）在 =1處高度為20lgK， L()=20lgK- 20 V lg a.對一型v=0 起始斜率0 b. 對一型v=1 起始斜率 -20 c. 對二型v=2（起始斜率 -40 ）2轉(zhuǎn)折頻率對應(yīng)斜率變化確定慣性，振蕩，一階微分，二階微分。 2022年7月29日5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2022年7月29日 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負實部，即位于s左半平面。在時域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法

58、就是使用勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）。然而，這兩種方法都有不足之處，對于高階系統(tǒng)，非常困難且費時,也不便于研究系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)對穩(wěn)定性的影響。 特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對于一個自動控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學模型易于獲取，同時它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。 2022年7月29日 除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)為奈奎斯特（Nyquist）判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點有1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研

59、究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）。3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設(shè)計；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。 2022年7月29日5.4.3 簡化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 1. 繪制由0變到+ 時的開環(huán)幅相頻率特性G(j) 由0變到+ 時的開環(huán)幅相頻率特性 G(j) 順時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為 N ， 已知系統(tǒng)開環(huán)右極點數(shù)為 P ，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點個數(shù)為 Z （不包括虛軸上的極點）： Z = P +2 N 當Nyquist曲線G(j) 通過(-l, j0)點時,表明在s平面虛軸上有閉環(huán)極點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定。20

60、22年7月29日 開環(huán)頻率特性曲線逆時針穿越（-，-1）區(qū)間時，隨增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N+。 反之，開環(huán)頻率特性曲線順時針穿越（-，-1）區(qū)間時，隨增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負穿越N-。 頻率特性曲線包圍(-1,j0)點的情況，就可以利用頻率特性曲線在負實軸（-，-1）區(qū)間的正、負穿越來表達。2.采用穿越的概念簡化復(fù)雜曲線包圍次數(shù)的計算 由0變到+ 時開環(huán)頻率特性曲線要形成對(-1,j0)點的一次包圍，勢必穿越（-，-1）區(qū)間一次。2022年7月29日 由0變到+ 時的開環(huán)幅相頻率特性G(j)對(-1,j0)點的總包圍次數(shù)為 N = （ N- - N+ ） 利