[工學]Ch2-1波函數(shù)和薛定諤方程課件

1、第二章 波函數(shù)和 薛定諤方程 微觀粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語言確切描述。 量子力學用波函數(shù)描述微觀粒子的運動狀態(tài)，波函數(shù)所遵從的方程薛定諤方程是量子力學的基本方程。 這一章開始介紹量子力學的基本理論與方法。 主要介紹： 1. 二個基本假設(shè)： A. 微觀粒子行為由波函數(shù)描述,波函數(shù)具有 統(tǒng)計意義。 B. 描述微觀粒子行為的波函數(shù)由薛定諤 方程解出。 2. 用定態(tài)薛定諤方程求解三個簡單問題： A. 一維無限深勢阱 B. 一維諧振子 C. 勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）1. 波函數(shù)： 概率波的數(shù)學表達形式， 描述微觀客體的運動狀態(tài)一般表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式2.1 物質(zhì)波的波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋例： 一維自由粒子的波

2、函數(shù)經(jīng)典描述： 沿 x 軸勻速直線運動量子描述：類比：單色平面波一定沿直線傳播以坐標原點為參考點，設(shè) 0，以速率 u 沿 +x 方向傳播（取實部） 3個問題？ 描寫自由粒子的平 面 波如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復(fù)函數(shù)。稱為 deBroglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3) 描寫的是什么樣的波呢？三維自由粒子波函數(shù)2. 波函數(shù)的強度模的平方波函數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的積例：一維自由

3、粒子：3. 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋光柵衍射電子衍射類比I大處 到達光子數(shù)多I小處 到達光子數(shù)少I=0 無光子到達各光子起點、終點、路徑均不確定用I對屏上光子數(shù)分布作概率性描述各電子起點、終點、路徑均不確定對屏上電子數(shù)分布作概率性描述電子到達該處概率大電子到達該處概率為零電子到達該處概率小光柵衍射電子衍射電子源感光屏（1）兩種錯誤的看法. 波由粒子組成如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波

4、動性。 波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。PPOQQO事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。. 粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。 什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾

5、。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小1 。電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。經(jīng)典概念中 1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性; 粒子意味著 2有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中 1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化; 波意味著 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射

6、圖樣;電子源感光屏QQOPP我們再看一下電子的衍射實驗2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是：許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。 r 點附近衍射花樣的強度 正比于該點附近感光點的數(shù)目， 正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在 r 點附近的幾率。在電子衍射實驗中，照相底片上 一般：t 時刻,到達空間 r(x,y,z)處某體積dV內(nèi)的粒子數(shù) t 時刻，出現(xiàn)在空間（x, y, z）點附近單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與總粒子數(shù)

7、之比 t 時刻，粒子出現(xiàn)在空間（x, y, z）點附近單位體積內(nèi)的概率 t 時刻，粒子在空間分布的概率密度 的物理意義： 物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運動狀態(tài)（相位）傳播的過程概率密度，粒子在空間分布的統(tǒng)計規(guī)律概率幅注意：干涉項4、 波函數(shù)的歸一化條件和標準條件粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為1 歸一化條件對微觀客體的數(shù)學描述： 脫離日常生活經(jīng)驗，避免借用經(jīng)典語言引起的表觀矛盾標準條件 是單值、有限、連續(xù)的。平面波歸一化I Dirac 函數(shù) 定義：或等價的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數(shù) f（x）有：函數(shù) 亦可寫成 Fourier 積分形式：令 k=px/, dk= dpx/, 則 性質(zhì)：0

8、x0 xII 平面波 歸一化寫成分量形式t=0 時的平面波考慮一維積分若取 A12 2 = 1，則 A1= 2-1/2, 于是平面波可歸一化為函數(shù)三維情況：其中注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率相同。2.2 態(tài)的迭加原理 態(tài)迭加原理是量子力學中一個很重要的原理，這一節(jié)先作一些初步介紹，隨著學習量子力學內(nèi)容的不斷深入，會不斷加深對態(tài)迭加原理的理解。一、量子態(tài)和波函數(shù) 用波函數(shù) （r, t）來描述微觀粒子的量子態(tài)。當（r, t）給定后，如果測量其位置，粒子出現(xiàn)在點的幾率密度為 |2 。 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋也是波粒二象性的一種體

9、現(xiàn)。 經(jīng)典波：遵從迭加原理，兩個可能的波動過程迭加后也是一個可能的波動過程。如：惠更斯原理。 描述微觀粒子的波是幾率波，是否可迭加？意義是否與經(jīng)典相同？1、經(jīng)典物理中，光波或聲波遵守態(tài)迭加原理：二列經(jīng)典波1與2線性相加，=a1+b2, 相加后的也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以說明的。 量子力學的二個態(tài)的迭加原理（P22倒7行）：如果1與2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的 線性迭加態(tài) =c11+c22，（c1 、c2是復(fù)數(shù)） 也是這個體系的一個可能狀態(tài)。二、量子力學的態(tài)的迭加原理考慮電子雙縫衍射 = C11 + C22 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |2 = |C1

10、1+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*P12S1S2電子源感光屏電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的幾率密度電子穿過狹縫出現(xiàn)在點的幾率密度相干項 正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。一個電子有 1 和 2 兩種可能的狀態(tài)， 是這兩種狀態(tài)的疊加。2、雙縫衍射實驗中，衍射圖樣的產(chǎn)生證實了干涉項的存在。 推廣到任意多態(tài)的一般態(tài)迭加原理： 3、態(tài)的迭加原理 如果1、2、3是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性迭加態(tài)=c11+c22+ c33=cii 也是體系的一個可能狀態(tài)。當體系處在迭加態(tài)時，體系部分處在1

11、態(tài)、也部分處在2態(tài)，等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個態(tài)i。 4、說明：（1）量子力學使用最多的是把可以實現(xiàn)的態(tài)分解為某一個算符本征態(tài)的迭加。（2）如同經(jīng)典波的分解和迭加，量子力學的態(tài)的迭加也是波函數(shù)的迭加。而不是幾率（|2）的迭加。 數(shù)學表示式： 其中， 是動量一定的平面波。這在數(shù)學上是成立的，這正好是非周期函數(shù)的傅里葉展開。三、一個結(jié)論：任何一個波函數(shù)都可以看作是各種不同動量的平面波的迭加。例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量 p 運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用deBroglie 平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示成 p 取各種可能值的平面波的線性疊

12、加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。dp通常寫成傅里葉變換的對稱形式：一維情況 ：說明：1、在態(tài)（r,t）的粒子，它的動量沒有確定的值，由上式可知：粒子可處于任何一個態(tài)p（r,t） ，但是當粒子的狀態(tài)確定后，粒子動量集于某一確定值的幾率是一定的。2、由于量子力學的態(tài)的迭加原理是幾率波的迭加，所以1 +1=21 不是新的態(tài)，只不過未歸一化。在態(tài)=c11+c22進行測量時，發(fā)現(xiàn)粒子要么處在1 ，要么處在2。薛定諤貓2.3 薛定諤方程 薛定諤方程是波函數(shù) 所遵從的基本方程，是量子力學的基本假設(shè)之一，只能建立，不能推導，其正確性由實驗檢驗。建立 （簡單復(fù)雜， 特殊一般）1. 一維粒子的薛定諤

13、方程一維自由粒子：一維自由粒子：一維自由粒子的薛定諤方程：式中：振幅函數(shù)與駐波類比2 . 一維定態(tài)薛定諤方程 能量 E 和動量 Px 與作用在波函數(shù)上的下列算符相當若粒子處在一維勢場中：一維粒子的薛定諤方程：要求波函數(shù)(x,t)的模方，只需求振幅函數(shù)(x）的模方。 建立關(guān)于振幅函數(shù)(x）的方程 振幅方程*非相對論考慮自由粒子：勢函數(shù)*代入得即 一維自由粒子的定態(tài)方程*代入粒子在力場中運動，且勢能不隨時間變化即 一維定態(tài)薛定諤方程得3. 三維定態(tài)薛定諤方程拉普拉斯算符即 三維定態(tài)薛定諤方程振幅函數(shù)4. 一般形式薛定諤方程哈密頓算符求定態(tài)問題：一維：三維：5. 多粒子體系的薛定諤方程體系由N個粒子

14、組成（N1）體系能量為：將能量公式變?yōu)樗惴? 將算符公式同時作用在多粒子波函數(shù)(r1,r2,t)上，這樣就得到多粒子的薛定諤方程:討論：1、薛定諤方程也稱波動方程，描述在勢場U中粒子狀態(tài)隨時間的變化規(guī)律。2 、建立方程而不是推導方程，正確性由實驗驗證。薛定諤方程實質(zhì)上是一種基本假設(shè)，不能從其它更基本原理或方程推導出來，它的正確性由它解出的結(jié)果是否符合實驗來檢驗。3、薛定諤方程是線性方程。是微觀粒子的基本方程，相當于牛頓方程。4、自由粒子波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)形式，否則不滿足自由粒子薛定諤方程。5、薛定諤方程是非相對論的方程。求解問題的思路：1. 寫出具體問題中勢函數(shù)U(r)的形式代入方程2. 用

15、分離變量法求解3. 用歸一化條件和標準條件確定積分常數(shù)只有E取某些特定值時才有解本征值本征函數(shù)4. 討論解的物理意義，即求| |2，得出粒子在空間的概率分布。薛定諤的另一偉大科學貢獻 What is life？薛定諤(Schroding,1897-1961)奧地利人,因發(fā)現(xiàn)原子理論的有效的新形式一波動力學與狄拉克(Dirac,1902-1984)因創(chuàng)立相對論性的波動方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度諾貝爾物理學獎2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 （或幾率流密度和幾率守恒定律） 本節(jié)要引入幾率流密度概念，有了它就可以把幾率與電流聯(lián)系起來。 由薛定諤方程出發(fā)，討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的

16、幾率將怎樣隨時間變化。所以可以看作對薛定諤方程的討論。設(shè)已歸一化，q 為單粒子的電荷，則 | |2 = 幾率密度(w)； | |2dV = dV 的幾率； | |2q = 電荷密度()； | |2qdV = dV 的電荷。 幾率流密度（J）含義=單位時間垂直流過單位面積幾率。 J公式=？ 先介紹幾率的連續(xù)方程。 若從數(shù)學上能推出如下公式： 通過類比，就可定義為幾率流密度 J， 這個方程也就是幾率的連續(xù)方程。一、幾率的連續(xù)方程與幾率流密度 類比：已知電荷有連續(xù)方程： 其中，電荷密度, 電流密度。 薛定諤方程為: (1)對上述方程取復(fù)共軛得 (2) 在非相對論情況下，實物粒子沒有產(chǎn)生和湮滅，所以，

17、在隨時間的演化過程中，粒子數(shù)目保持不便。對一個粒子來說，在全空間中找到粒子的概率之總和應(yīng)不隨時間變化, 即: 下面推導這個公式 ：定義：幾率流密度 得幾率的連續(xù)方程：二、幾率守恒定律 對幾率的連續(xù)方程： 兩邊對一個封閉的體積 V 積分，并利用高斯公式，得：表示：左=體積V內(nèi)單位時間幾率的增加量=右=單位時間從體積外流向體積內(nèi)的幾率量，這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是等價的。 幾率守恒定律表明幾率不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失。三、質(zhì)量、電荷守恒定律 1wm=mw：質(zhì)量密度，Jm=mJ：質(zhì)量流密度。 質(zhì) 量守恒定律 2we=qw：電荷密度， Je=qJ ：電流密度。 電荷守恒定

18、律四、波函數(shù)標準條件：連續(xù)，單值，有限。 單值與有限，由波函數(shù)的統(tǒng)計含義所定。 連續(xù)，由幾率的連續(xù)方程所確定。 另外，一般情況下，還要求波函數(shù)一階導數(shù)也連續(xù)。說明： 幾率守恒具有定域性質(zhì)。當粒子在某地的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨著有什么東西在流動來實現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。一定態(tài)薛定諤方程 條件：V（r,t）=V(r)， 與 t 無關(guān)。 用分離變量法, 令=(r)f(t)，代入薛定諤方程，得兩個方程：此稱定態(tài)薛定諤方程 2.5 定態(tài)薛定諤方程整個定態(tài)波函數(shù)形式：特點：波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時間部分函數(shù) 相乘；B時間部分函數(shù)是確定的，為：

19、定態(tài)波函數(shù)幾率密度 w 與 t 無關(guān)，幾率分 布不隨時間而變，因此稱為定態(tài)。重點要掌握如何用定態(tài)薛定諤方程求解問題。算符 本征方程：本征值，有多個，甚至無窮多個。：本征值為的本征函數(shù)。也有多個，甚至無窮多個，有時一個本征值對應(yīng)多個不同的本征函數(shù)，這稱為簡并。若一個本征值對應(yīng)的不同本征函數(shù)數(shù)目為 N，則稱 N 重簡并。二、本征方程、本征函數(shù)與本征值上述用分離變量得到兩個方程 都是本征方程： （1） 或 （2） 或稱為定態(tài)哈密頓算符。 定態(tài)薛定諤方程就是的本征方程。 薛定諤方程就可簡寫成： 設(shè)定態(tài)薛定諤方程的本征值為 En, 本征函數(shù) 為 ， 定態(tài)波函數(shù)為 它是定態(tài)情況下的薛定諤方程： 的一個解。

20、三、 定態(tài)情況下的薛定諤方程一般解 定態(tài)情況下的薛定諤方程的一般解，是所有定態(tài)波函數(shù)n的線性迭加：說明：1、定態(tài)薛定諤方程或不含時的薛定諤方程是 能量本征方程，E 就稱為體系的能量本征值（energy eigenvalue），而相應(yīng)的解 稱為 能量的本征函數(shù)（energy eigenfunction）。2、 是體系的哈密頓量算符，當不顯含 t 時，體系的能量是守恒量，可用分離變量。3、解定態(tài)薛定諤方程，關(guān)鍵是寫出哈密頓 量算符。求解問題的思路：1. 寫出具體問題中勢函數(shù) U(r) 的形式代入方程2. 用分離變量法求解3. 用歸一化條件和標準條件確定積分常數(shù) 只有 E 取某些特定值時才有解4 .

21、 討論解的物理意義作 業(yè)周世勛：量子力學教程 2.1、 2.2一維定態(tài)薛定諤方程 求定態(tài)問題：一維：歸一化條件，波函數(shù)的標準條件，邊界條件。 U(x)* =U(x)，即 U(x) 為實函數(shù)。2.6 一維勢場中的粒子能量的一般性質(zhì)定理1：設(shè) 是方程（1）的一個解，對應(yīng)的能量本征值是E，則 也是方程的一個解，對應(yīng)的能量也是E。證：方程（1）取復(fù)共軛，注意 E 取實值， ，容易證明。 如果對應(yīng)于能量的某個本征值 E，方程（1）的解無簡并，則可取為實解。一維問題的一般性質(zhì) 定理2：對應(yīng)能量的某個本征值E，總可以找到方程（1）的一組實解，凡是屬于E的任何解，總可以表示為這一組實解的線性疊加。證：如果 (

22、x) 是實解， (x)* 是復(fù)解 ， (x)*也是方程（1）的解，且： (x)= (x)+ (x)* 和 (x)= i(x)(x)* 也是方程（1）的解，屬于能量E。均為實解。 (x) 和 (x) 均可以表示為 (x) 和 (x)* 的線形疊加。 定理3：設(shè)U（x）具有空間反射不變性， U（-x）=U（x）。如果 (x) 是方程（1）的對應(yīng)能量的本征值E的解，則 (x) 也是方程（1）對應(yīng)能量E的解。證（略） 定理4：設(shè) U（-x）=U（x），則對應(yīng)任何一個能量本征值E，總可以找到方程（1）的一組解，而屬于能量本征值E的任何解，都可以用它來展開。證： 構(gòu)造兩個函數(shù) (x)= (x)+ (x)

23、和 (x)= (x)(x) 均為方程（1）的解。 (x) 和 (x) 均可以表示為上述兩個函數(shù)的疊加。 定理5：對于階梯性方位勢， U2U1有限，則能量本征函數(shù) 及其導數(shù)必定是連續(xù)的。 定理6：對于一維粒子，設(shè) 1 與 2 均為方程（1）的屬于同一能量的 E 的解，則： 定理7：設(shè)粒子在規(guī)則勢場中運動，如存在束縛態(tài)，則必定是不簡并的。 束縛態(tài)（bound state）指粒子局限在有限空間中。一、一維勢阱實例 如：金屬中的自由電子。 金屬粒子有規(guī)則的排列成行，1）電子在金屬內(nèi)部勢能為常數(shù)，認定為零；2）表面有一個勢階?？傊?，此時電子勢能可以近似認為是一個方勢阱形式。 2.6 一維(無限深)勢阱二

24、、微分方程 的三種解形式。 這是二階常系數(shù)微分方程，有三種等價的解： a. b. c. 依方便, 隨取一種形式的解.三、 一維無限深勢阱求解 1、一維無限深勢阱 一個粒子處在這樣勢阱 內(nèi), 其質(zhì)量為. 具體例子: 金屬中電子可以 看成處在有限深勢阱內(nèi).-a 0 aV(x)IIIIII2、一維無限深勢阱的薛定諤方程與求解. 這是定態(tài)問題, 只需解出定態(tài)波函數(shù)n與定態(tài)能量 En 即可. 定態(tài)薛定諤方程:3. 一維無限深勢阱問題求解求解 S 方程分四步： （1）列出各勢域的一維S方程 （2）解方程 （3）使用波函數(shù)標準條件定解 （4）定歸一化系數(shù)-a 0 aV(x)IIIIII（1）列出各勢域的 S

25、 方程方程可 簡化為：-a 0 aV(x)IIIIII勢V(x)分為三個區(qū)域，用 I 、II 和 III 表示，其上的波函數(shù)分別為 I(x), II(x) 和 III (x)。則方程為：22（3）使用波函數(shù)標準條件從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁外波函數(shù)為零，特別是 (-a) = (a) = 0。-a 0 aV(x)IIIIII1.單值，成立； 2.有限：當 x - ， 有限條件要求 C2=0。使用標準條件 3。連續(xù)： 2）波函數(shù)導數(shù)連續(xù)： 在邊界 x = -a，勢有無窮跳躍，波函數(shù)微商不連續(xù)。這是因為： 若I(-a) = II(-a)，則有，0

26、= Acos(-a) - Bsin(-a) A cos(a) +B sin(a) = 0 與上面波函數(shù)連續(xù)條件導出的結(jié)果 -Asin(a) + Bcos(a) = 0 矛盾，二者不能同時成立。所以波函數(shù)導數(shù)在有無窮跳躍處不連續(xù)。1）波函數(shù)連續(xù)：-a 0 aV(x)IIIIII(1)+(2)(2)-(1)A、B不能同時為零，分兩種情況：由（4）式討論狀態(tài)不存在描寫同一狀態(tài)所以 m 只取正整數(shù)，即于是：或于是波函數(shù)：由（3）式類似 I 中關(guān)于 m = k 的討論可知：綜合 I 、II 結(jié)果，最后得：對應(yīng) n = 2 m對應(yīng) n= 2m +1能量最低的態(tài)(n=1)稱為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類推。由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠處， = 0 。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜。（4）由歸一化條件定系數(shù) A、B得：（取實數(shù)）小結(jié) 由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解S方程的一般步驟如下：一、列出各勢域上的S方程； 二、求解S方程；三、利用波函數(shù)的標準條件（單值、有限、連續(xù)）定未知數(shù)和能量本征值； 四、由歸一化條件定出最后一個待定系數(shù)（歸一化系數(shù)）。4. 討論一維無