細說正方體的截面圖形

1、細說正方體的截面圖形在實際生活中時常出現(xiàn)實物幾何體的切面所形成的截面圖形形狀，在中學(xué)數(shù)學(xué)中也學(xué)習了幾何體的截面圖形，截面是一個平面去截一個幾何體得到的平面圖 形或一個平面與幾何體表面交線圍成的封閉圖形，。截面圖形更好的將平面幾何 與立體幾何聯(lián)系起來，探究具體幾何體的截面圖形有助于更深入的認識幾何體， 發(fā)展正確的空間觀念。對于一個幾何體不同的切截方式所得到的截面圖形可能出 現(xiàn)不同的情況?，F(xiàn)具體以正方體為例來探究正方體的截面圖形形狀。一個平面截 正方體與各面的交線都是線段，因此正方體的截面圖形都是平面圖形。正方體有 六個面，用一個平面去截正方體至少要經(jīng)過正方體的三個面而最多要經(jīng)過六個 面，所有出現(xiàn)

2、的截面圖形邊數(shù)至少是三條而最多是六條，則只可能出現(xiàn)三角形、 四邊形、五邊形、六邊形。一、截面圖形是三角形用一平面去截正方體經(jīng)過正方體三個面時得到的截面圖形是三角形.截面圖形是銳角三角形如下圖，一個平面截正方體任意三個面得到截面EFG BE=a,BF=b,BG=c.可得EF= . a2 b2 ,EG= , a2 c2 ,FG= , b2 c2.圖圖圖(1)如圖，當awbwc時，則EOFBEF,即截面 EFG一般三角形(2)如圖，當a=bwc時，則EG=FG= EF即截面 EFG是等腰三角形。同理可得a=cwb或b=cwa時截面 EFGH：等腰三角形。(3)如圖，當a=b=c時EF=FG=EGP截

3、面4 EFG等邊三角形.截面圖形不能是直角三角形如圖，EF2=a2+b2, FG2=b2+c2, EG2=a2+c2,則 EF2 FG2 +EG2, FG2 EF2 +EG2, EF2 a2c2LL 2 l 2-如圖，cos FEG=EF EG -FG 2EF EGa2 b2 a2 c20,貝U 0N FEG90*同理可得0Z EFGO0二.0 / EGFO0 1所有截面圖形不可能是鈍角三角形。二、截面圖形是四邊形用一平面去截正方體經(jīng)過正方體四個面時得到的截面圖形是四邊形，因為 正方體是由三組互相平行的對面圍成， 當截面是四邊形時，經(jīng)過的四個面中至少 有兩個面平行,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,這組

4、互相平行的對面與截面的兩條交 線互相平行，所以得到的四邊形也至少有一條對邊平行。.截面圖形為有兩組對邊分別平行的四邊形(1)平行四邊形如圖，當截面與正方體的兩組對面產(chǎn)生交線時根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得到BF/ EDi、BE/ FDi ,則得到的截面圖形BED F是平行四邊形。(2)長方形如圖，當截面與正方體的兩組對面產(chǎn)生交線且某條交線平行于正方體的一條棱 (圖中HG/ DDi),則可得到截面圖形EFG削是長方形。(3)如圖，當點E、F分別為AA和CCi的中點時，根據(jù)勾股定理，易得到BE =BF =DF=DE則四邊形BFDF是棱形。因此，當截面與正方體的兩組對面產(chǎn)生交線且可求得相鄰交線段的長度相

5、等時可得到截面圖形是菱形。(4)如圖，當EF/ AB FG/ BC時，易證四邊形EFGK正方形。因此，當截 面與正方體的兩組對面產(chǎn)生交線且截面與正方體的某個面平行， 則得到截面圖形 就是正方形。.截面圖形為只有一組對邊平行的四邊形(1)如圖，當截面只與正方體的一組對面產(chǎn)生交線時，則得到的截面圖形就 是梯形。(2)如圖，當截面只與正方體的一組對面產(chǎn)生交線且這兩條交線都平行于同 一條對角線時，則得到的截面圖形是等腰梯形。(3)截面圖形不可能是直角梯形。如圖，延長正方體使它變?yōu)殚L方體，正方體的截面梯形EFGH也延長EH和FG兩條邊得到一個 EFI,這個4EFI不可能是直角三角形(證明過程類似于 正方

6、體截面圖形不可能是直角三角形的證明過程)，所有正方體的截面圖形為梯 形時，可證得這個梯形不可能存在直角。 因此，正方體的截面圖形不可能是直角 梯形。三、截面圖形是五邊形用一平面去截正方體經(jīng)過正方體五個面時得到的截面圖形是五邊形。如圖 ,根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)定理，可得HG/ B1 E, B1 H/ EF,又根據(jù)平行線性質(zhì)定理可得到/ HB1E+/ B1HG=80： /HB1E+/ B1 EF=180：,所以 / B1HG= B1EF即截面圖形是五邊形時必有兩組分別平行的邊，有兩組相鄰的角具有互補關(guān)系， 同時有兩個角相等。由于正五邊形沒有平行的邊，所有截面圖形是五邊形時，它 不可能是正五邊形。四、

7、截面圖形是六邊形心平面去截正方體經(jīng)過正方體六個面時得到的截面圖形是六邊形。如圖 ，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，截面六邊形對邊平行，根據(jù)一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行且方向相同時這兩個角相等和對頂角相等這兩個性質(zhì)，可得到截面六邊形的對角都相等。如圖 ,設(shè)該正方體的棱長為a,當截 面六邊形EFGHP的頂點都是正方體棱的中點時，B F=B1 G=1a,可得 FG=BF2 +B1G2 =近 a . 22同理可得,EF=FG=GH=HP=QP=Ep2=a.1a2 1a2-3a2222因為 AE=1 a,可求得 EG=AiBi2+BiG2+AE2=a, 22則 cos FEG= EF2 FGEG2 2EF FG所有 / FEG=12h 同理可證/ FEGW FEGW FEGW FEGW FEGW FEG=12h因此，六邊形EFGHPQb正六邊形。即當截面六邊形的六個頂點都是正方形棱的 中點時，該截面六邊形是正六邊形。經(jīng)過以上探究發(fā)現(xiàn)，用一個平面去截正方體得到的截面圖形形狀可能是銳角 三角形、等邊三角形、等腰三角形，平行四邊形、矩形、棱形、正方形、非等腰 梯形、等腰梯形，五邊形，六邊形、正六邊形