XXXX0612集結(jié)算子在多屬性決策中的應(yīng)用

1、集結(jié)算子在多屬性決策中的應(yīng)用數(shù)理系1 多屬性決策一般是利用已有的決策信息，通過(guò)一定的方式對(duì)一組(有限個(gè))備選方案進(jìn)行排序并擇優(yōu) 本章介紹一些常用的信息集結(jié)算子，如：加權(quán)算術(shù)平均(WAA)算子、加權(quán)幾何平均(WGA)算子：有序加權(quán)平均(OWA)算子有序加權(quán)幾何平均(OWGA)算子、組合 加權(quán)算術(shù)平均(CWAA)算子和組合加權(quán)幾何平均(CWGA)算子 等，基于這些算子，給出一些簡(jiǎn)潔實(shí)用的多屬性決策方法2第一講 基于OWA算子的多屬性決策方法為了方便起見(jiàn),下面先給出一些基本概念:定義1 設(shè) 是一組給定的數(shù)據(jù)，函數(shù) ，若則稱函數(shù) 為算術(shù)平均算子（arithmetic averaging (AA) op

2、erator）。3定義2 設(shè)函數(shù) ， 是一組給定的數(shù)據(jù),若其中 是數(shù)據(jù)組 的權(quán)重向量，R為實(shí)數(shù)集.則稱 函數(shù)WAA為加權(quán)算術(shù)平均算子 (weighted arithmetic averaging (WAA) operator)。4 該算子的特點(diǎn)是：只對(duì)數(shù)據(jù)組 中的每個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)(即根據(jù)每個(gè)數(shù)據(jù)的重要性賦予適當(dāng)?shù)臋?quán)重），然后對(duì)加權(quán)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行集結(jié)。例1 我校教學(xué)水平評(píng)估，在4項(xiàng)指標(biāo)：辦學(xué)指導(dǎo)思想，學(xué)風(fēng)，教學(xué)效果，特色項(xiàng)目. 得分為數(shù)據(jù)組4項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重向量為 ，則加權(quán)平均綜合得分為5定義3 設(shè)函數(shù) 是一組給定的數(shù)據(jù),若其中 是與函數(shù)OWA相關(guān)聯(lián)的權(quán)重函數(shù)OWA為有序加權(quán)算術(shù)平均算子 (order

3、ed weighted averaging operator)。向量，且 為數(shù)據(jù)組中第 個(gè)大的元素。R為實(shí)數(shù)集 ，則稱6 上述算子的特點(diǎn)是：對(duì)數(shù)據(jù) ，按從大到小的順序重新進(jìn)行排序并通過(guò)加權(quán)集結(jié)。而且元素 與 沒(méi)有任何聯(lián)系。只與集結(jié)過(guò)程中的第i個(gè)位置有關(guān)(因此加權(quán)向量w也稱為位置向量)例1 國(guó)家有一項(xiàng)對(duì)國(guó)有企業(yè)的扶持資金，重點(diǎn)扶持效益好的5家國(guó)有企業(yè)，其資金扶持比例從好到差為權(quán)重向量，5家國(guó)有企業(yè)效益測(cè)評(píng)結(jié)果為數(shù)據(jù)組，OWA加權(quán)平均扶持資金為7而算術(shù)平均算子運(yùn)算的結(jié)果為所以，OWA是一個(gè)與數(shù)據(jù)位置有關(guān)的算子。8基于OWA算子多屬性決策方法具體步驟：步驟1：對(duì)于某一多屬性決策問(wèn)題，設(shè)為方案集， 為

4、屬性集，屬性權(quán)重信息完全未 知對(duì)于方案 ，按屬性 進(jìn)行測(cè)度，得到 關(guān)于 的屬性值 ，從而構(gòu)成決策矩陣 ，如表1.1所示表1.1 決策矩陣A9 屬性類(lèi)型一般有效益型、成本型、固定型、偏離型、區(qū)間型、偏離區(qū)間型等，其中效益型屬性是指屬性值越大越好的屬性，成本型屬性是指屬性值越小越好的屬性，固定型屬性是指屬性值越接近某個(gè)固定值 越好的屬性，偏離型屬性是指屬性值越偏離某個(gè)固定值 越好的屬性區(qū)間型屬性是指屬性值越接近某個(gè)固定區(qū)間 (包括落入該區(qū)間)越好 的屬性，偏離區(qū)間型屬性是指屬性值越偏離某個(gè)固定區(qū)間 越好的屬性。為了消除不同物理量綱對(duì)決策結(jié)果的 影響，決策時(shí)可按 下列公式對(duì)決策矩陣A進(jìn)行規(guī)范化處理：

5、10若屬性值為效益型，則令或(1.2a)(1.2b)11若屬性值為成本型，則令或(1.3a)(1.3b)12若屬性值為固定型，則令若屬性值為偏離型，則令(1.4)(1.5)13若屬性值為區(qū)間型，則令若屬性值為偏離區(qū)間型，則令(1.5)(1.6)14A經(jīng)過(guò)規(guī)范化處理后，得到規(guī)范化矩陣步驟2 利用OWA算子對(duì)各方案 進(jìn)行集結(jié)，求得其綜合屬性值其中 是OWA算子的加權(quán)向量，15且 為數(shù)據(jù)組中第 個(gè)大的元素。步驟3 按 的大小對(duì)方案進(jìn)行排序并擇優(yōu)實(shí)例分析16 例 投資銀行擬對(duì)某市4家企業(yè)(方案) 進(jìn) 行投資，抽取下列5項(xiàng)指標(biāo)(屬性)進(jìn)行評(píng)估： 產(chǎn)值(萬(wàn) 元); 投資成本(萬(wàn)元); 銷(xiāo)售額(萬(wàn)元); 國(guó)

6、家收益比重； 環(huán)境圬染程度。投資銀行考察了上年度4家企業(yè)的上述指際情況(其中污染程度系有環(huán)保部門(mén)歷時(shí)檢 測(cè)并量化)，所得評(píng)估結(jié)果如表1.2 所示。在各項(xiàng)指標(biāo)中，投資成本、環(huán)境污染程度為成本型，其他為效益型屬性權(quán)重信息完全未知，試確定最佳投資方案17表1.2 決策矩陣A步驟1 利用(1.2a)和(1.3a)兩式將A規(guī)范化，得到規(guī)范化矩陣 R，如表1.3所示。(1.2a)成本型18表1.2 決策矩陣A步驟1 利用(1.2a)和(1.3a)兩式將A規(guī)范化，得到規(guī)范化矩陣 R，如表1.3所示。成本型(1.3a)19表1.3 決策矩陣R步驟2 利用OWA算子對(duì)各方案 進(jìn)行集結(jié)，求得其綜合屬性值 ，設(shè)OW

7、A算子的加權(quán)向量為20表1.3 決策矩陣R21表1.3 決策矩陣R22表1.3 決策矩陣R23表1.3 決策矩陣R24匯總：步驟3 按 的大小對(duì)各企業(yè)進(jìn)行排序?yàn)樽罴哑髽I(yè)。25定義4 設(shè)函數(shù) 是一組給定的數(shù)據(jù),若其中 是與函數(shù)CWAA相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量，且 為加權(quán)數(shù)據(jù)中第 個(gè)大的元素。這里，26是數(shù)據(jù)組的加權(quán)向量，是平衡因子。則稱函數(shù)CWAA為組合加權(quán)算術(shù)平均算子 (combination weighted averaging operator)，簡(jiǎn)稱CWAA算子。27例 設(shè)是CWAA算子的加權(quán)向量，是一組給定的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)組的加權(quán)向量為則因此28CWAA算子不僅考慮了每個(gè)數(shù)據(jù)自身的重要性程度，而且

8、還體現(xiàn)了該數(shù)據(jù)所在位置的重要程度29決策方法 在現(xiàn)代大型決策過(guò)程中，為了體現(xiàn)決策的民主性和合 理性，往往需要多個(gè)決策者的共同參與(即群決策)下面 介紹一種基于OWA算子和CWAA算子的多屬性群決策方 法，具體步驟如下： 步驟1 對(duì)于某一多屬性群決策間題設(shè) 和 分別 為方案集和屬性集。屬性權(quán)重信息完全未知。 為決策者集， 為決策者的權(quán)重向量。設(shè)決策30者給出方案在屬性下的屬性值 ，從而構(gòu)成決策矩陣 。若 的物理量綱不同，則需要對(duì)其進(jìn)行規(guī)范化處理假設(shè) 經(jīng)過(guò)規(guī)范化處理后，得到規(guī)范化矩陣為 。 步驟2 利用OWA算子對(duì)決策矩陣 中第 行的屬性值進(jìn)行集結(jié)，得到?jīng)Q策者 所紿出的方案 綜合屬性值31其中是O

9、WA算子的加權(quán)向量，且中第 個(gè)大的元素。32 步驟3 利用CWAA算子對(duì)第 位決策者給出的方案 的綜合屬性值 進(jìn)行集結(jié)，得到方案 群體綜合屬性值33其中是CWAA算子的加權(quán)向量，且大的元素。 是平衡因子。是一組加權(quán)數(shù)據(jù)中第 個(gè) 步驟4 利用 對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)34 該決策方法首先利用OWA算子進(jìn)行縱向集結(jié)(即對(duì)一個(gè)決策者所給定的某一方案所有屬性進(jìn)行集結(jié))，然后利用CWAA算子對(duì)縱向集結(jié)結(jié)果進(jìn)行橫向集結(jié)(即對(duì)由不同決策者得到的同一方案綜合屬性值進(jìn)行集結(jié))由于在一些決策 過(guò)程中，往往會(huì)出現(xiàn)個(gè)別決策者受個(gè)人感情等主觀因素的影響對(duì)某些方案作出過(guò)高或過(guò)低的評(píng)價(jià)，因而會(huì)導(dǎo)致不 合理的決策結(jié)果。CWAA算

10、子不僅能充分考慮決策者的自 身重要性程度，而且盡可能地消除這些不公正因素的影響，并增加中間值的作用（一般是對(duì)過(guò)高或過(guò)低的方案綜合屬性值賦于較小的權(quán)重)，從而增強(qiáng)決策結(jié)果的合理性。35例15 考慮航天設(shè)備的評(píng)估問(wèn)題首先制定8頂評(píng)估指 標(biāo)(屬性)： 導(dǎo)彈預(yù)警能力； 成像偵察能力； 通 信保障能力； 電子偵察能力； 衛(wèi)星測(cè)繪能力： 導(dǎo) 航定位能力； 海洋監(jiān)測(cè)能力； 氣象預(yù)報(bào)能力指標(biāo) (屬性)權(quán)重信息完全未知?，F(xiàn)有4位專(zhuān)家 ， 權(quán)重向量為 依據(jù)上述各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)4 種航天裝備 進(jìn)行打分 (范圍從0分到100分) 結(jié) 果如表1.4-表1.7所示試確定最佳航天設(shè)備1.2.3 實(shí)例分析36表1 決策者d1給出的

11、決策矩陣R137表2 決策者d2給出的決策矩陣R238表3 決策者d3給出的決策矩陣R339表4 決策者d4給出的決策矩陣R4 由于所有指標(biāo)均為效益型，量綱一致，為了方便起 見(jiàn)，不把決策矩陣規(guī)范化 下面利用1.1.2節(jié)中的方法進(jìn)行求解：40 步驟1 設(shè)OWA算子的加權(quán)向量為，對(duì)決策矩陣 中第 行的屬性值進(jìn)行集結(jié)，得到?jīng)Q策者 所給出的方案 綜合屬性值表1.4 決策者d1給出的決策矩陣R141表1.4 決策者d1給出的決策矩陣R1類(lèi)似地，可得42步驟2 設(shè)CWAA算子的加權(quán)向量為由已知，4位專(zhuān)家的權(quán)重向量為43因此可求得方案 的群體綜合屬性值為其中44因此可求得方案 的群體綜合屬性值為45因此可求

12、得方案 的群體綜合屬性值為46因此可求得方案 的群體綜合屬性值為47因此可求得方案 的群體綜合屬性值為48步驟3 利用對(duì)4種航天裝備進(jìn)行排序故最佳航天設(shè)備為49基于OWGA算子的多屬性決策方法第1節(jié) OWGA算子定義1.4 設(shè)GA:若則稱GA為幾何平均（geometric averaging）算子。50定義1.4 設(shè)WGA:若其中 是數(shù)據(jù)組 的指數(shù)加權(quán)向量，則稱函數(shù)WGA(weighted geometric averaging)為加權(quán)幾何平均算子，也稱為WGA算子。51例 設(shè)為WGA算子的加權(quán)向量，是一組數(shù)據(jù)，則算術(shù)平均側(cè)重群體的作用，而幾何算子強(qiáng)調(diào)個(gè)體作用。也就是說(shuō)，只有所有數(shù)據(jù)都大，算術(shù)

13、平均數(shù)才大。而數(shù)據(jù)組中有一個(gè)數(shù)很小，就會(huì)導(dǎo)致幾何平均數(shù)很小，特別的，當(dāng)這個(gè)較小的數(shù)是零時(shí)，幾何平均數(shù)為零。52基于OWGA算子的多屬性決策方法第1節(jié) OWGA算子定義1.4 設(shè)OWGA:若其中 是與函數(shù)OWGA相關(guān)聯(lián)的指數(shù)加權(quán)向量，且 為一組53數(shù)據(jù)第 大的元素，為正實(shí)數(shù)集合。則稱函數(shù)OWGA是有序加權(quán)幾何平均算子。也稱為OWGA算子。例 設(shè)為OWGA算子的加權(quán)向量，是一組數(shù)據(jù)，則54第二節(jié) 決策方法 下面介紹一種基于OWGA算子的多屬性決策法，具體步 驟如下：步驟1 對(duì)于某一多屬性決策問(wèn)題屬性權(quán)重信息完全未知，決策矩陣為 ，(1.2a)若屬性值為效益型，則令55若屬性值為成本型，則令(1.3

14、a)A經(jīng)過(guò)規(guī)范化處理后，得到規(guī)范化矩陣步驟2 利用OWGA算子對(duì)各方案 進(jìn)行集結(jié)，求得其綜合屬性值56其中 是OWGA算子的加權(quán)向量，且 為數(shù)據(jù)組中第 個(gè)大的元素。步驟3 按 的大小對(duì)方案進(jìn)行排序并擇優(yōu)57第3節(jié) 實(shí)例分析 例 信息系統(tǒng)投資項(xiàng)目對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)(屬性)主要有： (1) 收入 (單位：萬(wàn)元)：同任何投資項(xiàng)日一樣，其首 要目的是為了盈利因此收入應(yīng)作為投資評(píng)價(jià)的一個(gè)主 要因素 (2) 風(fēng)臉 ：信尋系統(tǒng)投資的風(fēng)險(xiǎn)是第二個(gè)應(yīng)考慮的因 素，尤其是政府部門(mén)信息投資項(xiàng)目，受政府和市場(chǎng)的影響 甚大。 (3) 社會(huì)效益 ：信息化建設(shè)最終是為了提高社會(huì)服務(wù)58水平。因此，社會(huì)效益應(yīng)作為信息項(xiàng)目投資一個(gè)評(píng)價(jià)

15、指 標(biāo)，社會(huì)效益顯著的投資項(xiàng)目不僅可以提高企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)，而 且更容易得到政府的認(rèn)可和批準(zhǔn) (4)市場(chǎng)效應(yīng) ：在信息技術(shù)發(fā)展過(guò)程中其市場(chǎng)效應(yīng)是十分顯著的，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是市場(chǎng)搶占速 度，尤其在政府工程項(xiàng)目中最為明顯，誰(shuí)最早成功地得到 政府都門(mén)的認(rèn)可，誰(shuí)就可以以其樣板效應(yīng)迅速搶占同類(lèi)項(xiàng) 目市場(chǎng)；二是邊際成本降低，開(kāi)發(fā)過(guò)程的技術(shù)和項(xiàng)目經(jīng)驗(yàn) 積累利規(guī)模效益會(huì)極大地降低開(kāi)發(fā)成本，所以在某些市場(chǎng)59效應(yīng)顯著的投資項(xiàng)目中可以以微利甚至虧損方式進(jìn)行。 (5) 技術(shù)難度 ：在信息投資項(xiàng)目的開(kāi)發(fā)過(guò)程中，技術(shù)也是一個(gè)關(guān)鍵因素，伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，新的 技術(shù)不斷出現(xiàn)，為了提高系統(tǒng)的實(shí)用性和安全性對(duì)技術(shù)的要求也

16、相應(yīng)提高 在某地區(qū)信息管理系統(tǒng)項(xiàng)目中共有4種方案可供選擇，其中 由某公司投資建設(shè)，采用8Kb的CPU卡；由某公司投資建設(shè)，采用2KB的CPU卡； 由某公 司投資建設(shè)，采用磁卡； 某公司不投資，由當(dāng)?shù)卣顿Y，公司只承包系統(tǒng)集成對(duì)上述4種方案，組60織專(zhuān)家論證，得到評(píng)估矩陣如表1.8所示。在各項(xiàng)指標(biāo)中，風(fēng)險(xiǎn) 、技術(shù)難度 為成本型，其他為效益型。屬性權(quán)重信息完全未知，試確定最佳方案表1.8 決策矩陣A61步驟1 利用公式(1.2a)、(1.3a)將A規(guī)范化，得到矩陣表1.9 決策矩陣R62步驟2 利用OWGA算子對(duì)各方案 進(jìn)行集結(jié)，求得其綜合屬性值 ，不妨設(shè)OWGA算子的加權(quán)向量為63表1.9 決

17、策矩陣R64表1.9 決策矩陣R65表1.9 決策矩陣R66表1.9 決策矩陣R67步驟3 按 的大小對(duì)方案進(jìn)行排序最佳公司為 。68第4章 基于OWGA算子和CWGA算子的多屬性決策方法第1節(jié) CWGA算子定義4 設(shè)函數(shù) 是一組給定的數(shù)據(jù),若其中 是與函數(shù)CWGA相關(guān)聯(lián)的權(quán)重向量，且 為指數(shù)加權(quán)69中第 個(gè)大的元素。這里，是數(shù)據(jù)組的加權(quán)向量，是平衡因子。數(shù)據(jù)則稱函數(shù)CWGA為組合加權(quán)幾何平均算子，也稱為CWGA算子。70例 設(shè)為CWGA算子的指數(shù)加權(quán)是一組數(shù)據(jù)，數(shù)向量，據(jù)的指數(shù)加權(quán)向量為，則71第二節(jié) 決策方法 下面介紹一種基于OWGA算子和CWGA算子的多屬性決 策法，具體步 驟如下：步驟

18、1 對(duì)于某一多屬性決策問(wèn)題屬性權(quán)重信息完全未知， 為 位決策者的權(quán)重向量，其中設(shè)決策者給出方案在屬性下的屬性值為從而構(gòu)成決策矩陣，假定決策矩陣經(jīng)過(guò)規(guī)72范化處理后，得到規(guī)范化矩陣為 步驟2 利用OGWA算子對(duì)決策矩陣 中第 行的 屬性值進(jìn)行集結(jié)，得到?jīng)Q策者 所紿出的方案 綜合 屬性值73其中是OWGA算子的加權(quán)向量，且中第 個(gè)大的元素。 步驟3 利用CWAA算子對(duì)第 位決策者給出的方案 的綜合屬性值 進(jìn)行集結(jié)，得到方案 群體綜合屬性值74其中是CWGA算子的加權(quán)向量，且 個(gè)大的元素。 是平衡因子。是一組指數(shù)加權(quán)數(shù)據(jù)中第 步驟4 利用 對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)75第3節(jié) 實(shí)例分析 例1.10 百年大

19、計(jì)，教育為本高等教育在整個(gè)教育事 業(yè)中處于龍頭地位，國(guó)家宏觀職能部門(mén)如何把有限的教育 投入合理分配到全國(guó)各個(gè)高校，各高校又如何正確認(rèn)識(shí)自 身的財(cái)務(wù)狀況，進(jìn)而提高資金利用率，這些都需要有一個(gè) 科學(xué)的高校財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)萬(wàn)法來(lái)作為資金配置和使用的依據(jù)。 到目前為止，在實(shí)際工作中高校的財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)只停留在采 用簡(jiǎn)單的財(cái)務(wù)分析方法對(duì)某一財(cái)務(wù)指標(biāo)或某一方面進(jìn)行反 應(yīng)和評(píng)價(jià)并不能完成綜合評(píng)價(jià)的任務(wù)。因此，選用科學(xué) 有效的評(píng)價(jià)方法對(duì)高校財(cái)務(wù)狀況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)具有重要的76觀實(shí)意義。 考慮高校的財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)的評(píng)估問(wèn)題首先制定10項(xiàng)評(píng)估指標(biāo)(屬性)其中 預(yù)算收入完成情況； 預(yù)算 支出完成情況； 財(cái)政及上級(jí)補(bǔ)助收入情況； 經(jīng) 費(fèi)自

20、給情況； 人員經(jīng)費(fèi)支出情況； 公用支出情 況； 生均支出情況； 固定資產(chǎn)利用情況； 流動(dòng)資產(chǎn)占用情況； 償還能力指標(biāo)權(quán)重信息完全 未知現(xiàn)有4位專(zhuān)家 權(quán)重向量為 ，依據(jù)上述各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)4所高 校財(cái)務(wù)情況(方案) 進(jìn)行打分(范圍從0分77到100分），結(jié)果如表1.10表1.13所示。試確定最佳 方案。表1.10 決策者d1給出的決策矩陣R178表1.11 決策者d2給出的決策矩陣R279表1.12 決策者d3給出的決策矩陣R380表1.13 決策者d4給出的決策矩陣R4步驟1 利用OWGA算子，假設(shè)它的加權(quán)向量為對(duì)決策矩陣 中第 行的屬性值進(jìn)行集結(jié)，得到?jīng)Q策者 所紿出的方案 的綜合屬性值：81表1.

21、10 決策者d1給出的決策矩陣R182表1.10 決策者d1給出的決策矩陣R183表1.10 決策者d1給出的決策矩陣R184表1.10 決策者d1給出的決策矩陣R185表1.11 決策者d2給出的決策矩陣R286表1.11 決策者d2給出的決策矩陣R287表1.11 決策者d2給出的決策矩陣R288表1.11 決策者d2給出的決策矩陣R289表1.12 決策者d3給出的決策矩陣R390表1.12 決策者d3給出的決策矩陣R391表1.12 決策者d3給出的決策矩陣R392表1.12 決策者d3給出的決策矩陣R393表1.13 決策者d4給出的決策矩陣R494表1.13 決策者d4給出的決策矩陣R495表1.13 決策者d4給出的決策矩陣R496表1.13 決策者d4給出的決策矩陣R4