荷載與結構設計方法：第2章 概率論基礎與結構可靠度基本理論

1、第 2 章 概率論基礎與結構可靠度基本理論第 2 章 概率論基礎與結構可靠度基本理論2.1 隨機變量2.2 隨機向量2.3 結構可靠度的定義2.4 結構的失效概率2.5 結構的可靠指標2.6 結構可靠指標與安全系數(shù)之間的關系2. 1 隨機變量第 2 章 概率論基礎與結構可靠度基本理論2.1.1 隨機變量的定義 描述隨機事件的變量,隨機事件如:拋硬幣, 材料強度等; 隨機變量分離散隨機變量和連續(xù)隨機變量。2.1.2 描述隨機變量的基本函數(shù)1. 概率函數(shù)離散隨機變量對隨機變量進行描述的函數(shù)有:概率函數(shù),概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。離散隨機變量 取一個特定值 （實數(shù)）的概率。2. 1 隨機變量2.

2、概率分布函數(shù)離散隨機變量和連續(xù)隨機變量隨機變量 小于特定值 （實數(shù)）的概率，即 小于 的概率函數(shù)的和。3. 概率密度函數(shù)連續(xù)隨機變量2. 1 隨機變量2.1.3 描述隨機變量的基本參數(shù)1. 均值（期望)均值、方差（均方差），矩，變異系數(shù)等2. 方差,3. 矩原點矩：2. 1 隨機變量中心矩：4 二階原點矩和二階中心矩的關系5 均方差(標準差)6 變異系數(shù)2. 1 隨機變量2.1.4 常用隨機變量1. 均勻隨機變量2. 1 隨機變量主要用于隨機抽樣2. 正態(tài)隨機變量PDF:CDF:一般正態(tài)隨機變量：2. 1 隨機變量主要用于描述恒荷載標準正態(tài)隨機變量PDF:CDF:由標準正態(tài)隨機變量可以得到任意

3、正態(tài)隨機變量，2. 1 隨機變量3 對數(shù)正態(tài)隨機變量如果 是正態(tài)隨機變量,則 是對數(shù)正態(tài)隨機變量, 2. 1 隨機變量主要用于描述抗力 4 極值隨機變量極值型隨機變量用來描述極端事件。如： 為一年的風速序列，則 就可以用極值型隨機變量了描述。CDF:PDF:仍是極值隨機變量。，2. 1 隨機變量主要用于描述活荷載5 泊松隨機變量設 為時間0t內事件發(fā)生的次數(shù)， 為事件的平均發(fā)生率，則時間0t內事件發(fā)生 的概率為平均事件間隔（平均重現(xiàn)期）：泊松隨機變量描述地震、臺風的發(fā)生。2. 1 隨機變量泊松隨機變量常用來描述某個時間段內隨機事件的發(fā)生次數(shù)。假設：1）各個事件的發(fā)生是相互獨立的；2）不能同時發(fā)

4、生兩次或兩次以上的事件。第 2 章 概率論基礎與結構可靠度基本理論2. 2 隨機向量2.2.1 隨機向量基本概念隨機向量是一組隨機變量的集合2. 隨機向量的描述函數(shù)1.隨機向量的定義聯(lián)合概率分布函數(shù)聯(lián)合概率函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)2. 2 隨機向量3. 隨機變量的相關性和 的協(xié)方差函數(shù)表達變量之間的線性相關程度； 表示完全線性相關。邊緣概率密度函數(shù)協(xié)方差函數(shù)線性相關系數(shù)2. 2 隨機向量協(xié)方差矩陣相關系數(shù)矩陣2. 2 隨機向量 C和 均為對稱矩陣; 如果變量間為兩兩不相關, 則協(xié)方差矩陣和相關系數(shù)矩陣的特點2. 2 隨機向量2.2.2 隨機變量函數(shù)的統(tǒng)計參數(shù)1. 隨機變量的線性函數(shù) 令Y為隨機變量

5、 的線性函數(shù):式中 是常系數(shù)。隨機變量函數(shù)的均值和方差2. 2 隨機向量如果隨機變量相互獨立時當 2. 2 隨機向量2. 隨機變量的非線性函數(shù) 令Y為隨機變量 的非線性函數(shù):隨機變量函數(shù)的均值和方差2. 2 隨機向量 對函數(shù)Y在均值點 泰勒級數(shù)展開，保留線性項：如果隨機變量相互獨立時當 2. 2 隨機向量2.2.3 中心極限定理1. 中心極限定理的內容 如果一個隨機變量的隨機性是由大量的相互獨立的隨機因素的影響，并且每一個因素都是微小的，則隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布。2. 2 隨機向量2. 中心極限定理的數(shù)學描述3. 中心極限定理的應用 用于確定抗力隨機變量的概率分布。 令Y是n個相互獨立

6、隨機變量序列 的和，單個隨機變量都不主要影響其和的大小，則當n趨向于無限大時隨機變量Y 服從或近似服從正態(tài)分布，也即是：2. 3 結構可靠度的定義第 2 章 概率論基礎與結構可靠度基本理論2.3 結構可靠度的定義 結構在規(guī)定的時間，在規(guī)定的條件，完成預定功能的能力。結構的可靠性，包括結構的安全性、適用性和耐久性。1. 規(guī)定時間2.3.1 結構的可靠性設計使用年限- 設計規(guī)定的結構或結構構件不需進行大修即可按其預期目的使用的時期。- 即房屋結構在正常設計、正常施工、正常使用和正常 維護下所應達到的使用年限，如達不到這個年限則意 味著在設計、施工、使用與維修的某一環(huán)節(jié)上出現(xiàn)了 非正常情況，應查找原

7、因。2.3 結構可靠度的定義 GB500682001規(guī)定：結構設計使用年限分類類別設計使用年限（年）示 例15臨時性結構225易于替換的結構構件350普通房屋和構筑物4100紀念性建筑和特別重要的建筑結構 設計基準期問題：設計基準期是否等于設計使用期？ - 確定結構荷載大小規(guī)定的一個時間標準。 - 建筑結構的設計基準期一般為30、50年2.3 結構可靠度的定義2. 規(guī)定條件正常設計正常施工正常使用不考慮人為錯誤3. 預定功能極限承載能力要求結構適用性要求在正常使用時具有良好的工作性能；結構整體承載能力要求遭受及其偶然的作用時，能保持必要的整體穩(wěn)定性偶然作用如地震、龍卷風、爆炸（煤氣或恐怖襲擊）

8、、火災等結構的耐久性要求在正常維護下具有足夠的耐久性。能承受正常施工和使用期間可能出現(xiàn)的各種作用。2.3 結構可靠度的定義 “極限狀態(tài)”分類2.3.2 極限狀態(tài)、極限狀態(tài)方程 “極限狀態(tài)”定義 結構的極限狀態(tài) 結構失效的臨界狀態(tài) 整個結構或結構的一部分超過某一特定狀態(tài)(達到極限承載力；失穩(wěn)；變形、裂縫寬度超過某一規(guī)定限制等)就不能滿足設計規(guī)定的某一功能要求，此特定狀態(tài)稱為該功能的極限狀態(tài)。 (1)承載能力極限狀態(tài) (2)正常使用極限狀態(tài)2.3 結構可靠度的基本理論1. 結構承載力極限狀態(tài)的定義2.3.3 結構的承載力極限狀態(tài)結構或結構構件達到最大承載力或不適于繼續(xù)承載的變形。 承載能力極限狀態(tài)

9、標志（1）整個結構或結構的一部分作為剛體失去平衡（2）結構構件或連接因超過材料強度而破壞(包括疲勞壞)， 或因過度變形而不適于繼續(xù)承載（3）結構轉變?yōu)闄C動機構（5）地基喪失承載力而破壞（4）結構或結構構件喪失穩(wěn)定性2.3 結構可靠度的定義（1）影響正常使用或外觀的變形2. 正常使用極限狀態(tài) 結構或結構構件達到正常使用或耐久性的某項規(guī)定限值。 正常使用極限狀態(tài)標志（2）影響正常使用或耐久性的局部破壞(包括裂縫)（3）影響正常使用的振動（4）影響正常使用的其它特定狀態(tài)（例：滲漏、腐蝕、 凍害等) 保證結構或構件的適用性、耐久性。2.3 結構可靠度的定義安全狀態(tài)極限狀態(tài)失效狀態(tài)2.3.4 極限狀態(tài)方

10、程（功能函數(shù)）基本變量: 作用效應S、結構抗力R - 隨機變量 結構的功能函數(shù) 結構的極限狀態(tài)方程 SRZ=R-S= 0Z0可靠區(qū) Z0 失效區(qū)01. 多變量情況極限狀態(tài)方程與極限狀態(tài)相對應對于某一極限狀態(tài)，可以有不同的極限狀態(tài)方程不同的極限狀態(tài)對應不同的極限方程Z 為安全余量 極限狀態(tài)方程的特點2.3 結構可靠度的定義2. 多變量情況一般情況下，結構的隨機變量：重力荷載、樓面活荷載、風荷載；材料強度、截面尺寸等。功能函數(shù):這些變量構成一個向量極限狀態(tài)方程:安全狀態(tài)極限狀態(tài)失效狀態(tài)2.3 結構可靠度的定義2.3 結構可靠度的定義 2.3.5 結構可靠度1. 結構的可靠度定義功能函數(shù)： 是與結構

11、可靠度計算有關的隨機變量 Z 是隨機變量，假定其概率密度函數(shù)為則結構的安全概率為 結構在規(guī)定的時間，在規(guī)定的條件，完成預定功能的概率結構的可靠度。則結構的失效概率為2.3 結構可靠度的定義結構可靠指標的定義：3. 結構可靠指標2. 安全概率 和失效概率 的關系:式中 為正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。第 2 章 概率論基礎與結構可靠度基本理論2.4 結構的失效概率2.4 結構的失效概率 2.4.1 兩變量的失效概率1. 基本假定2. 概率積分方法(1) S 表示構件總的荷載效應，其PDF和CDF：,(2) R 表示構件的抗力，其PDF和CDF：,(3) R 和 S 是統(tǒng)計獨立的，則有：失效域:失效域安全

12、域 極限狀態(tài)方程 功能函數(shù)2.4 結構的失效概率失效概率結構的失效概率與隨機變量R和S的概率密度干涉面積密切相關，因此這種積分法又叫概率干涉法。干涉面積2.4 結構的失效概率首先對 s 積分, 在對 r 積分 首先對 r 積分, 在對 s 積分2.4 結構的失效概率3. 概率干涉法物理意義考慮荷載效應在微小空間 的出現(xiàn)概率構件抗力r比荷載效應s小的概率:由于 R 和 S 是統(tǒng)計獨立的，則上述兩個事件同時同時出現(xiàn)概率概率干涉法的物理意義：荷載效應出現(xiàn)事件與構件抗力比荷載效應小事件的積。2.4 結構的失效概率注意失效概率與干涉面積有如下關系:失效概率與干涉面積密切相關，干涉面積越大失效概率越大，反

13、之則失效概率越小。2.4 結構的失效概率假定荷載效應S( )和抗力R ( )都服從正態(tài)分布功能函數(shù)Z( )服從正態(tài)分布失效概率 為:令 , 則有 2.4 結構的失效概率 2.4 結構的失效概率例 2.1結構構件截面強度的功能函數(shù)為其中 R 表示結構構件的屈服極限， S 表示結構構件截面的應力，它們之間相互獨立。R 服從正態(tài)分布，分布參數(shù)：S 服從指數(shù)分布，分布參數(shù)：計算構件截面的失效概率。2.4 結構的失效概率 計算過程:令, 則2.4 結構的失效概率 帶入 , , , 的數(shù)值，則可計算得到結構構件截面的失效概率為 :直接積分法計算過程非困難，在實際應用中難度非常大。2.4 結構的失效概率 2

14、.4.2 多變量情況失效概率1. 功能函數(shù)為n維隨機向量假定隨機向量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為2. 計算公式為結構的失效域2.4 結構的失效概率3. 計算方法概率干涉法精確的解析法:近似的解析法一次二階矩法高次高階矩法蒙特卡羅 法(MCS)超拉丁抽樣方法重要抽樣方法數(shù)值積分方法解析法隨機模擬法均值一次二階矩法JC法二次二階矩法二次四階矩法2.5 結構可靠指標第 2 章 概率論基礎與結構可靠度基本理論2.5 結構可靠指標 2.5.1 R 和S 為獨立正態(tài)分布1. 功能函數(shù)2. 計算公式 由于 R 和S 是正態(tài)隨機變量，所以Z 也是正態(tài)隨機變量，則有是獨立的正態(tài)隨機變量2.5 結構可靠指標失效概率 為

15、:令 , 則有2.5 結構可靠指標令 , 則有 。 為結構可靠指標.可靠指標越大，結構的失效概率越小，結構的保證率越大，也即結構的可靠性越高2.5 結構可靠指標3.4010-64.51.3510-33.06.6810-21.53.1710-54.06.2110-32.51.5910-11.02.8710-75.02.3310-43.52.2810-22.0可靠指標 與失效概率 之間的關系 10-1 1.2810-2 2.3310-3 3.0910-4 3.7110-5 4.2610-6 4.7510-7 5.1910-8 5.6210-9 5.992.5 結構可靠指標 2.5.2 R和 S 為

16、獨立對數(shù)正態(tài)分布2. 可靠指標的計算過程1. 功能函數(shù)其中 是相互獨立的對數(shù)正態(tài)分布隨機變量2.5 結構可靠指標2.5 結構可靠指標例 2.2 解:計算該構件的可靠指標和失效概率。 假定結構構件的功能函數(shù)為 ，其中S 和R 是相互獨立的正態(tài)隨機變量，它們的概率特征參數(shù)如下：2.5 結構可靠指標 解:例 2.3計算該構件的可靠指標和實效概率。 假定結構構件的功能函數(shù)為 ，其中S 和R 是相互獨立的對數(shù)正態(tài)隨機變量，它們的概率特征參數(shù)如下：2.5 結構可靠指標利用近似計算公式兩種方法的計算誤差:2.5 可靠指標的幾何意義 2.5.3 可靠指標的幾何意義1. 功能函數(shù)標準化隨機變量 R 和 S ，也

17、即是假定 是獨立的正態(tài)隨機變量，即2.5 可靠指標的幾何意義失效域安全域2.5 可靠指標的幾何意義 可靠指標是指在標準化空間中，坐標原點到極限狀態(tài)方程表示的直線的最短距離。2.5 可靠指標的幾何意義失效域安全域 2.5.4 設計驗算點 定義：在標準化空間中，坐標原點到極限狀態(tài)方程表示直線的垂足。2.5 可靠指標的幾何意義2.6 可靠指標與安全系數(shù)的關系 第 2 章 結構可靠度的基本理論2.6 可靠指標與安全系數(shù)的關系 2.6.1 安全系數(shù) 根據(jù)傳統(tǒng)的結構設計原則，結構的安全系數(shù)定義為抗力均值與荷載效應均值的比值，也即是： 傳統(tǒng)的設計表達式為傳統(tǒng)設計原則的不足K 通過工程經(jīng)驗確定K 僅僅與荷載和抗力的均值有關，無法反應結構失效事件的概率，也即是沒有概率意