第七章 方差分析 - 黑龍江農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院(共26頁)

1、第七章 方差分析知識(shí)(zh shi)目標(biāo)： 了解方差分析的概念(ginin)和作用； 掌握(zhngw)方差分析的基本原理和步驟； 掌握單向分組資料的方差分析； 掌握兩向分組和系統(tǒng)分組資料的方差分析。能力目標(biāo)： 學(xué)會(huì)完全隨機(jī)試驗(yàn)資料進(jìn)行方差分析； 學(xué)會(huì)單向分組資料進(jìn)行方差分析； 學(xué)會(huì)兩向分組和系統(tǒng)分組資料進(jìn)行方差分析。對(duì)一個(gè)或兩個(gè)樣本進(jìn)行平均數(shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)，可以采用u測(cè)驗(yàn)或t測(cè)驗(yàn)來測(cè)定它們之間的差異顯著性。而當(dāng)試驗(yàn)的樣本數(shù)k3時(shí)，上述方法已不宜應(yīng)用。其原因是當(dāng)k3時(shí)，就要進(jìn)行k(k-1)/2次測(cè)驗(yàn)比較，不僅工作量大，而且精確度降低。因此，對(duì)多個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)，需要采用一種更加適宜的統(tǒng)計(jì)方法

2、，即方差分析法。方差分析法是科學(xué)研究工作的一個(gè)十分重要的工具。費(fèi)歇爾（Ronald A.Fisher）于1924年在加拿大多倫多舉行的國(guó)際統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)大會(huì)上，作了題為關(guān)于一個(gè)引出若干周知統(tǒng)計(jì)量的誤差函數(shù)的分析的報(bào)告，正式提出了方差分析，也是第一篇出現(xiàn)“方差分析表”的論文。第一節(jié) 方差分析基本原理方差分析（analysis of variance，ANOVA）就是將試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總變異分解為來源于不同因素的相應(yīng)變異，并作出數(shù)量估計(jì)，從而發(fā)現(xiàn)各個(gè)因素在總變異中所占的重要程度。即將試驗(yàn)的總變異方差分解成各變因方差，并以其中誤差方差作為和其他變因方差比較的標(biāo)準(zhǔn)，以推斷其他變因所引起變異量是否真實(shí)的一種統(tǒng)計(jì)分析

3、方法。一、自由度與平方和分解(fnji)方差是平方和除以自由度的商。要將一個(gè)試驗(yàn)資料的總變異分解為各個(gè)變異來源的相應(yīng)變異，首先將總平方和與總自由度分解為各個(gè)變異來源的相應(yīng)部分。因此，平方和與自由度的分解是方差分析的第一步驟。下面以單因素(yn s)完全隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的資料為例說起。假設(shè)(jish)有k個(gè)處理，每個(gè)處理有n個(gè)觀察值，則該試驗(yàn)資料共有nk個(gè)觀察值，其觀察值的組成如表7-1。表7-1中，i代表資料中任一樣本；j代表樣本中任一觀測(cè)值；xij代表任一樣本的任一觀測(cè)值；Tt代表處理總和；代表處理平均數(shù)；T代表全部觀測(cè)值總和；代表總平均數(shù)。表7-1 每處理具n個(gè)觀測(cè)值的k組數(shù)據(jù)的符號(hào)表處理觀察

4、值處理總和Tt處理平均12jn1x11xi2x1jx 1nTt12x21xi2x2jx 2nTt2ixi1xi2xijxinTtikxk1xk2xkjxknTtkT=x在表7-1中，總變異是nk個(gè)觀測(cè)值的變異，故其自由度v=nk-1，而其平方和SST則為： (7-1)（7-1）式中的C稱為矯正數(shù)： (7-2)產(chǎn)生總變異的原因可從兩方面來分析：一是同一處理不同重復(fù)觀測(cè)值的差異是由偶然因素影響造成的，即試驗(yàn)誤差，又稱組內(nèi)變異；二是不同處理之間平均數(shù)的差異主要是由處理的不同效應(yīng)所造成，稱處理間變異，又稱組間變異。因此，總變異可分解為組間變異和組內(nèi)變異兩部分。 組間的差異即k個(gè)的變異，故自由度，而其平

5、方和SSt為： （7-3） 組內(nèi)的變異為各組內(nèi)觀測(cè)(gunc)值與組平均數(shù)的變異，故每組具有自由度v=和平方和，而資料(zlio)共有k組，故組內(nèi)自由度，v=，而組內(nèi)平方和SSe為： （7-4）因此(ync)，得到表7-1類型資料平方和與自由度的分解式為：總平方和=組間(處理間)平方和組內(nèi)(誤差)平方和 （7-5）記作： 總自由度=組間(處理間)自由度組內(nèi)(誤差)自由度即： （7-6）記作： DFT=DFtDFe將以上公式歸納如下：總平方和 總自由度 （7-7）處理平方和 處理自由度 誤差平方和 誤差自由度 求得各變異來源的平方和與自由度后，進(jìn)而求得：總的方差 （7-8）處理間方差 誤差方差

6、例7.1 設(shè)有A、B、C、D、E5個(gè)大豆品種（k=5），其中E為對(duì)照，進(jìn)行大區(qū)比較試驗(yàn)，成熟后分別在5塊地測(cè)產(chǎn)，每塊地隨機(jī)抽取4個(gè)樣點(diǎn)（n=4），每點(diǎn)產(chǎn)量（kg）列于表7-2，試作方差分析。表7-2 大豆品比試驗(yàn)結(jié)果（kg/小區(qū)）品 種取 樣 點(diǎn)Tt1234A232124218922.25B211918187619.00C222322208721.75D192019187619.00E151616176416.00 =SUM(ABOVE) 392=19.61平方和的分解(fnji) 已知，根據(jù)(gnj)公式（7-2）和（7-7）可得=2自由度的分解(fnji)根據(jù)公式（7-6）可得： 總變異自

7、由度 品種間自由度 誤差自由度3計(jì)算各部分方差根據(jù)公式（7-7）可得： 總方差可以不計(jì)算。二、F分布與F測(cè)驗(yàn)1F分布 設(shè)想在一正態(tài)總體N（，2）中隨機(jī)抽取樣本容量為n的樣本k個(gè)，將各樣本觀測(cè)值整理成表7-1的形式。此時(shí)的各處理沒有真實(shí)差異，各處理只是隨機(jī)分的組。因此，由（7-8）式算出的和都是誤差方差的估計(jì)量。以為分母，為分子，求其比值。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把兩個(gè)方差之比值稱為F值。即 F具有兩個(gè)自由度：。F值所具有(jyu)的概率分布稱為F分布(fnb)。F分布(fnb)密度曲線是隨自由度DF1、DF2的變化而變化的一組偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著DF1、DF2的增大逐漸趨于對(duì)稱，如圖7-1所示。比較一下F分布

8、與正態(tài)分布曲線有何不同？F圖7-1 不同自由度下的 F分布曲線（=2，=5）（=8，=20）（=4，=10）f（F）F分布的取值范圍是（0，+），其平均值=1。用表示F分布的概率密度函數(shù)，則其分布函數(shù))為：=P(F)= 因而F分布右尾從到+的概率為：P(F) 附表4，F(xiàn)值表列出的是不同v1和v2下，P(F)=0.05和P(F)=0.01時(shí)的F值，即右尾概率=0.05和=0.01時(shí)的臨界F值，一般記作F0.05，F(xiàn)0.01。如查F值表，當(dāng)v1=3，v2=18時(shí)，F(xiàn)0.05=3.16，F(xiàn)0.01=5.09，表示如以v1=DFt=3，v2=DFe=18在同一正態(tài)總體中連續(xù)抽樣，則所得F值大于3.16

9、的僅為5%，而大于5.09的僅為1%。2F測(cè)驗(yàn) F值表是專門為檢驗(yàn)代表的總體方差是否比代表的總體方差大而設(shè)計(jì)的。若實(shí)際計(jì)算的F值大于，則F值在=0.05的水平上顯著，我們以95%的可靠性（即冒5%的風(fēng)險(xiǎn)）推斷代表的總體方差大于代表的總體方差。這種用F值出現(xiàn)概率的大小推斷兩個(gè)總體方差是否相等的方法稱為F測(cè)驗(yàn)。在方差分析中所進(jìn)行(jnxng)的F測(cè)驗(yàn)?zāi)康脑谟谕茢嗵幚黹g的差異是否存在(cnzi)，檢驗(yàn)?zāi)稠?xiàng)變異因素的效應(yīng)方差是否為零。因此，在計(jì)算F值時(shí)總是以被測(cè)驗(yàn)因素的方差作分子，以誤差方差作分母。應(yīng)當(dāng)注意，分母項(xiàng)的正確選擇(xunz)是由方差分析的模型和各項(xiàng)變異原因的期望均方?jīng)Q定的。實(shí)際進(jìn)行F測(cè)驗(yàn)時(shí)

10、，是將由試驗(yàn)資料所算得的F值與根據(jù)v2=DFt (大均方，即分子均方的自由度)、v2=DFe (小均方，即分母均方的自由度)查附表F值表所得的臨界F值與F0.05、F0.01相比較作出統(tǒng)計(jì)推斷的。若FF0.05，即P0.05，不能否定，統(tǒng)計(jì)學(xué)上把這一測(cè)驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異不顯著，不標(biāo)記符號(hào)；若F0.05FF0.01，即0.01P0.05，否定，接受，統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一測(cè)驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異顯著，在F值的右上方標(biāo)記“*”；若FF0.01，即P0.01，否定H0，接受HA，統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一測(cè)驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異極顯著，在F值的右上方標(biāo)記“*”。對(duì)于例7.1，因?yàn)镕=25.32/1.

11、43=17.71；根據(jù)=DFt=4，=DFe=15查附表F值表，得FF0.01 =4.89，P0.01，表明5個(gè)不同大豆品種對(duì)產(chǎn)量的影響達(dá)到極顯著差異。在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表，見表7-3。表7-3 表7-2資料方差分析表變異來源SSDFs2F F0.05F0.01品種間101.3425.3217.71*3.044.89品種內(nèi)21.5151.43總變異122.819因?yàn)榻?jīng)F測(cè)驗(yàn)差異極顯著，故在F值17.71右上方標(biāo)記“*”。在實(shí)際進(jìn)行方差分析時(shí)，只須計(jì)算出各項(xiàng)平方和與自由度，各項(xiàng)均方的計(jì)算及F檢驗(yàn)可在方差分析表上進(jìn)行。三、多重比較經(jīng)F測(cè)驗(yàn)，差

12、異達(dá)到顯著或極顯著，表明試驗(yàn)的總變異主要來源于處理間的變異，試驗(yàn)中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異，但并不意味著每?jī)蓚€(gè)處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。因而，有必要進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較（multiple comparison）。多重比較的方法比較多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)，現(xiàn)分別介紹如下。1最小顯著(xinzh)差數(shù)法 最小顯著(xinzh)差數(shù)法（least significant diffe

13、rence），又稱LSD法。此方法是多重比較中最基本(jbn)的方法。它是兩個(gè)平均數(shù)相比較在多樣本試驗(yàn)中的應(yīng)用，所以LSD法實(shí)際上屬于t測(cè)驗(yàn)性質(zhì)的，而t測(cè)驗(yàn)只適用于測(cè)驗(yàn)兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本平均數(shù)的差異顯著性。在多個(gè)平均數(shù)時(shí)，任何兩個(gè)平均數(shù)比較會(huì)牽連到其他平均數(shù)，從而降低了顯著水平，容易作出錯(cuò)誤的判斷。所以在應(yīng)用LSD法進(jìn)行多重比較時(shí)，必須在測(cè)驗(yàn)顯著的前提下進(jìn)行，并且各對(duì)被比較的兩個(gè)樣本平均數(shù)在試驗(yàn)前已經(jīng)指定，因而它們是相互獨(dú)立的。利用此法時(shí)，各試驗(yàn)處理一般是與指定的對(duì)照相比較。LSD法的步驟如下：第一步 先計(jì)算樣本平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤= （7-9）第二步 計(jì)算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)。在t測(cè)驗(yàn)中已

14、知在誤差自由度下，查顯著水平為時(shí)的臨界t值，令上式=，移項(xiàng)可得故即等于在誤差自由度下，顯著水平為時(shí)的最小顯著差數(shù)，即LSD 。 （7-10）當(dāng)=0.05和0.01時(shí)，LSD的計(jì)算公式分別是 （7-11） （7-12）任何兩處理平均數(shù)的差數(shù)達(dá)到或超過LSD0.05時(shí)，差異顯著；達(dá)到或超過LSD0.01時(shí)，差異達(dá)到極顯著。由例7.1資料可得（kg）當(dāng)誤差自由度DFe=15時(shí)，查t值表得：， 所以，顯著水平為0.05與0.01的最小顯著差數(shù)為（kg）（kg）第三步 各處理平均數(shù)的比較表7-4中的各個(gè)品種與對(duì)照的的差數(shù)，分別與、比較：小于者不顯著,不標(biāo)記符號(hào)；介于與之間者顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“*”

15、；大于者極顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“*”。表7-4 5個(gè)大豆品種(pnzhng)產(chǎn)量差異比較（LSD法）品種平均數(shù)與對(duì)照的差異A22.256.25*C21.755.75*B19.002.0*D19.002.0*E（CK）16.00比較(bjio)結(jié)果說明B、D品種與對(duì)照差異顯著，其余兩個(gè)品種與對(duì)照差異達(dá)到(d do)極顯著水平。2新復(fù)極差法新復(fù)極差法，又稱最小顯著極差法(shortest significant ranges，SSR)。簡(jiǎn)稱SSR法，目前在農(nóng)業(yè)科學(xué)研究中普遍應(yīng)用。此法的特點(diǎn)是將平均數(shù)按照大小進(jìn)行排序，不同的平均數(shù)之間比較采用不同的顯著標(biāo)準(zhǔn)。如表7-4中由上到下的5個(gè)平均數(shù)是從大

16、到小的次序排列的，兩個(gè)極端平均數(shù)之差（22.25-16.00）=6.25是5個(gè)平均數(shù)的極差（全距），在這個(gè)極差中，又包括（22.25-19.00）、（21.75-16.00）、（22.25-19.00）、（21.75-19.00）、（19.00-16.00）、（22.25-21.75）、（21.75-19.00）、（19.00-19.00）、（19.00-16.00）9個(gè)全距，包括4、3、2個(gè)平均數(shù)的全距，每個(gè)全距是否顯著，可用全距相當(dāng)于平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的倍數(shù)（SSR）來衡量。 （7-13）公式中的R為全距，為樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤本例題如果SSR0.05，說明差異顯著；SSR0.01，說明差異極顯著

17、。將這兩個(gè)不等式轉(zhuǎn)換成以下公式：（7-14）R SSR0.05= LSR0.05 差異顯著R SSR0.01= LSR0.01 差異極顯著公式中的即在a水平上的最小顯著極差。數(shù)值的大小，一方面與誤差方差的自由度有關(guān)(yugun)，另一方面與測(cè)驗(yàn)極差所包括的平均數(shù)個(gè)數(shù)（k）有關(guān)。例如(lr)要測(cè)定表7-4中最大極差（22.25-16.00）=6.25是否顯著(xinzh)，在這個(gè)全距內(nèi)，包括了5個(gè)平均數(shù)的全距。因此應(yīng)根據(jù)，查SSR值表，得SSR0.05=3.31，SSR0.01 = 4.58，將有關(guān)數(shù)值代入（7-14）公式中得：LSR0.05 =3 .310.60 = 1.99LSR0.01 =

18、 4.580.60 = 2.7522.25 16.00 = 6.25LSR0.01，說明這個(gè)極差極顯著。相反，則為不顯著。現(xiàn)將表7-2資料按照SSR法對(duì)平均數(shù)進(jìn)行多重比較。第一步 計(jì)算，第二步 計(jì)算LSR值，因?yàn)?故根據(jù)誤差自由度和顯著水平a由附表5處的在k下的SSR值，將有關(guān)數(shù)值帶入公式（7-14），得到表7-5。表7-5 LSR0.05和LSR0.01計(jì)算表（，）k2345SSR0.053.013.163.253.31LSR0.054.174.374.504.58SSR0.011.811.901.951.99LSR0.012.502.622.702.75第三步 各處理平均數(shù)間的比較將各處理

19、平均數(shù)按大小順序排列成表7-6，根據(jù)各LSR值對(duì)各極差進(jìn)行測(cè)驗(yàn)。在表7-6中，采用的是標(biāo)記字母法。若顯著水平a=0.05，差異顯著性用小寫英文字母表示，可先在最大的平均數(shù)上標(biāo)上字母a，并將該平均數(shù)與以下各個(gè)平均數(shù)相比，凡相差不顯著的（RLSR）都標(biāo)上字母a，直至某一個(gè)與之相差顯著的平均數(shù)則標(biāo)以字母b；再以該標(biāo)有字母b的平均數(shù)為準(zhǔn)，與上方各個(gè)平均數(shù)比，凡是不顯著的一律標(biāo)以b；再以標(biāo)有b的最大平均數(shù)為準(zhǔn)，與以下各未標(biāo)記的平均數(shù)比，凡是不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母b，直至某一個(gè)與之相差顯著的平均數(shù)則標(biāo)以字母c；如此重復(fù)，直到最小的一個(gè)平均數(shù)有了標(biāo)記字母為止。在各平均數(shù)之間，凡是標(biāo)有相同字母的，差異不顯著，凡

20、是標(biāo)有不同字母的表示差異顯著。顯著水平a=0.01時(shí)，用大寫英文字母表示，標(biāo)記方法同上述。表7-6 表7-2資料的多重比較（SSR法）品種平均數(shù)差異顯著性a=0.05a=0.01A22.25aAC21.75aAB19.00 b BD19.00 b BE（CK）16.00 c C在期刊論文中，哪種多重比較的方法用的比較多？多重比較的方法有LSD法和LSR法。其中LSR法又分為兩種，一是SSR法，一是q測(cè)驗(yàn)法。三種方法的差別在于多個(gè)樣本平均數(shù)進(jìn)行比較時(shí)，采用的顯著標(biāo)準(zhǔn)不同。q測(cè)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)最高，SSR法次之，而LSD法最低。因此，對(duì)于試驗(yàn)結(jié)論事關(guān)重大或有嚴(yán)格要求的，宜用q測(cè)驗(yàn)，q測(cè)驗(yàn)可以不經(jīng)過F測(cè)驗(yàn)；一

21、般試驗(yàn)可采用SSR測(cè)驗(yàn)。LSD法僅適用于處理與指定對(duì)照相比較。第二節(jié) 單向(dn xin)分組資料方差分析單向分組資料(zlio)是指觀察值按一個(gè)方向分組的資料，如表7-1和表7-2所示。一、組內(nèi)觀察值數(shù)目(shm)相等的單向分組資料方差分析通常來說，在試驗(yàn)或調(diào)查設(shè)計(jì)時(shí)力求各處理的觀察值數(shù)（即各樣本含量n）相等，以便于統(tǒng)計(jì)分析和提高精確度。因此這類資料最為常見。本章第一節(jié)例7.1 資料的方差分析就是實(shí)例，故不在贅述。應(yīng)用時(shí)，整理資料的格式和符號(hào)見表7-1，方差分析所應(yīng)用的公式則歸納為表7-7。表7-7 組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析所用公式（n相等時(shí)）變因SSDFF標(biāo)準(zhǔn)誤處理間誤差

22、總變異二、組內(nèi)觀察(gunch)值數(shù)目不等的單向(dn xin)分組資料方差分析有k個(gè)處理，每個(gè)處理的觀察(gunch)值的數(shù)目分別是、，則為組內(nèi)觀察值數(shù)目不等資料。在進(jìn)行方差分析時(shí)有關(guān)公式因不同需作相應(yīng)改變。1在分解自由度與平方和時(shí)總變異自由度 （7-15）處理間自由度 誤差自由度 總變異平方和 （7-16） 處理間平方和 誤差平方和 2多重比較由于各處理的重復(fù)次數(shù)不同，可先計(jì)算各ni的平均數(shù)n0。 （7-17）然后有 （7-18） （7-19）例7.2 以A、B、C、D 4種藥劑處理水稻種子，得各處理苗高觀察值（cm），各處理樣點(diǎn)數(shù)不等，調(diào)查資料列于表7-8，試進(jìn)行方差分析。表7-8 不同

23、藥劑處理的水稻苗高（cm）藥劑樣 點(diǎn)1234567A1920222321181714020.007B21232425262714624.336C15161718198517.005D232425249624.004分析(fnx)步驟：1平方和與自由度的分解(fnji) 9 913.14 9 913.14=251.86 2列方差分析表進(jìn)行(jnxng)F測(cè)驗(yàn)方差分析表見表7-9。表7-9 表7-8資料方差分析表變異來源SS DFFF0.05F0.01處理間188.53362.8417.85*3.165.09誤差63.33183.52總變異251.8621F測(cè)驗(yàn)結(jié)果，F(xiàn)F0.01，說明不同藥劑處理

24、的水稻苗高有極顯著差異，應(yīng)進(jìn)一步作多重比較。3多重比較當(dāng)，查附表5得k=2、3、4時(shí)的SSR，將SSR值分別乘以值，得LSR值列于表7-10。差異顯著性測(cè)驗(yàn)的結(jié)果列于表7-11。表7-10 多重比較時(shí)的LSR的計(jì)算k234SSR0.052.973.123.21SSR0.014.074.274.38LSR0.052.492.622.69LSR0.013.413.583.67表7-11 不同藥劑處理(chl)的水稻苗高差異顯著性表（SSR法）處 理苗高平均數(shù)（cm）差異顯著性=0.05=0.01B24.33aAD24.00aAA20.00 b BCC17.00 c C推斷(tudun)：處理B、D

25、之間差異(chy)不顯著，A、C之間差異顯著；B、D與A、C之間差異達(dá)到極顯著。即B、D處理的苗高最高，A、C處理的最矮。三、系統(tǒng)分組資料方差分析系統(tǒng)分組資料就是組內(nèi)（處理內(nèi)）又分為亞組的單向分組資料，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)分組資料。系統(tǒng)分組并不限于組內(nèi)分亞組，在亞組內(nèi)還可以分小組，小組內(nèi)還可以分小亞組，如此循環(huán)分下去。這種試驗(yàn)的設(shè)計(jì)方法稱為巢式設(shè)計(jì)。系統(tǒng)分組資料在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)上是比較常見的。如對(duì)多塊土地取土樣分析，每塊地取若干樣點(diǎn)，而每一樣點(diǎn)又作了數(shù)次分析的資料；或在調(diào)查果樹病害，隨機(jī)調(diào)查若干株，每株取不同部位若干枝條，每個(gè)枝條取若干葉片查其病斑數(shù)的資料；或在溫室里做盆栽試驗(yàn)，每處理若干盆，每盆若干株的資料等

26、，皆為系統(tǒng)分組資料。以下僅討論二級(jí)分組且每組觀察值數(shù)目相等的系統(tǒng)分組資料的方差分析。設(shè)一系統(tǒng)資料共有l(wèi)組，每個(gè)組內(nèi)又分為m個(gè)亞組，每個(gè)亞組內(nèi)有n個(gè)觀察值，則該資料共有l(wèi)mn個(gè)觀察值，其資料類型如表7-12。表7-12 二級(jí)系統(tǒng)分組資料lmn個(gè)觀察值的符號(hào)表（i=1，2，；j=1，2，m；k=1，2，n）組 別12il亞組別12jm觀察值亞組總和組總和T1T2 亞組均數(shù)組均數(shù)系統(tǒng)分組資料的變異(biny)來源分為組間（處理間）、組內(nèi)亞組間和同一亞組內(nèi)各重復(fù)觀察值間（試驗(yàn)誤差）三部分。其自由度與平方和的計(jì)算公式如下：總變異(biny) （7-20） 組間（處理(chl)間）變異 （7-21） 同一

27、組內(nèi)亞組間的變異 （7-22） 亞組內(nèi)的變異 （7-23） 因而可得方差分析表7-13。表7-13 二級(jí)系統(tǒng)分組資料的方差分析表變 異 來 源SSDFF組 間l-1組內(nèi)亞組間l（m-1）亞 組 內(nèi)lm（n-1）總 變 異lmn-1由表7-13可知，要測(cè)驗(yàn)各組（處理）間有無不同效應(yīng)，測(cè)驗(yàn)假設(shè)H0： （7-24）要測(cè)驗(yàn)各亞組間有無不同效應(yīng)，測(cè)驗(yàn)假設(shè) （7-25）在進(jìn)行組（處理）間平均數(shù)多重比較時(shí)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為： （7-26）在進(jìn)行組內(nèi)亞組間平均數(shù)多重比較時(shí)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為： （7-27）例7.3 在溫室(wnsh)內(nèi)以4種培養(yǎng)液（=4）培養(yǎng)(piyng)某植物，每種培養(yǎng)液培養(yǎng)3盆（=3），每盆4株（

28、=4），全試驗(yàn)共有12個(gè)花盆(hu pn)完全隨機(jī)排列，其他管理?xiàng)l件相同，一個(gè)月后測(cè)定株高生長(zhǎng)量（mm），得結(jié)果于表7-14，試作方差分析。表7-14 4種培養(yǎng)液下的株高增長(zhǎng)量培養(yǎng)液盆號(hào)生長(zhǎng)量（）盆內(nèi)總和總和/培養(yǎng)液平均/培養(yǎng)液（）AA150554035180A23535304014049541.3A345404050175BB150455045190B25560505021562552.1B355456555220CC185609085320C26570806528088073.3C370707070280DD160553570220D26085457526577564.6D36565857

29、5290總和T=2 7751平方和與自由度的分解總變異平方和 =172 025.00160 429.6911 595.31培養(yǎng)液間平方和 =167 556.25-160 429.69=7 126.56培養(yǎng)液內(nèi)盆間平方和=(1802+1402+2902)/4+(4952+6252+8802+7752)/3/4 =168 818.75167 556.25=1 262.5盆內(nèi)株間平方和 =172 025.00168 818.75=3 206.25總變異(biny)自由度 =(434)1=47培養(yǎng)液間自由度 DFt=1=41=3培養(yǎng)液內(nèi)盆間自由度 =4(3-1)=8盆內(nèi)株間自由度 =43(4-1)=3

30、6培養(yǎng)液間方差(fn ch) 培養(yǎng)液內(nèi)盆間方差(fn ch) 盆內(nèi)株間方差 2列方差分析表進(jìn)行F測(cè)驗(yàn)表7-15 表7-14資料的方差分析表變 異 來 源SSDFFF0.05F0.01培養(yǎng)液間7 126.5232 375.5215.05*4.077.59培養(yǎng)液內(nèi)盆間1 262.508157.811.772.223.04盆內(nèi)株間3 206.253689.06總變異11 595.3147對(duì)培養(yǎng)液內(nèi)盆間作F測(cè)驗(yàn)，查F值表，當(dāng)v1=8，v2=36時(shí)，F(xiàn)0.05=2.22，F(xiàn)0.0l=3.04，現(xiàn)實(shí)得F=1.77F0.05，故盆間差異不顯著。對(duì)培養(yǎng)液間變異作F測(cè)驗(yàn),查F值表，當(dāng)v1=3，v2=8時(shí)，F(xiàn)0.

31、05=4.07，F(xiàn)0.0l=7.59，現(xiàn)實(shí)得F=15.05F0.01，故否定H0，培養(yǎng)液間差異極顯著。3各培養(yǎng)液平均數(shù)間的比較 平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為：（mm）按v=8查SSR值表得k=2、3、4時(shí)的SSR值，并算得各LSR值于表7-16。由LSR值對(duì)4種培養(yǎng)液植株生長(zhǎng)量進(jìn)行差異顯著性測(cè)驗(yàn)的結(jié)果列于表7-17。表7-16 4種培養(yǎng)液的LSR值（SSR法）k234SSR0.053.263.393.74SSR0.014.745.005.14LSR0.0511.8312.3112.60LSR0.0117.2118.1518.66表7-17 4種培養(yǎng)液植株(zhzh)生長(zhǎng)量（mm）的差異顯著性培 養(yǎng) 液平均生

32、長(zhǎng)量差異顯著性=0.05=0.01CDBA73.364.652.141.3aa b bAAB BC C 推斷(tudun)：4種培養(yǎng)液對(duì)生長(zhǎng)量的效應(yīng)，C與B、A差異極顯著(xinzh)，D與A差異極顯著，D與B差異顯著，其它處理間差異均不顯著。第三節(jié) 兩向分組資料方差分析 兩向分組資料是指試驗(yàn)指標(biāo)同時(shí)受兩個(gè)因素的作用而得到的觀測(cè)值。如選用幾種溫度和幾種培養(yǎng)基培養(yǎng)某種真菌，研究其生長(zhǎng)速度，其每一觀測(cè)值都是某一溫度和某一培養(yǎng)基組合同時(shí)作用的結(jié)果，故屬兩向分組資料，又叫交叉分組。按完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的兩因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)，都是兩向分組資料，其方差分析按各組合內(nèi)有無重復(fù)觀測(cè)值分為兩種不同情況，本節(jié)將予以討論。一、

33、組合內(nèi)無重復(fù)觀測(cè)值的兩向分組資料方差分析 設(shè)有A和B兩個(gè)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，每一處理組合僅有一個(gè)觀測(cè)值，則全試驗(yàn)共有ab個(gè)觀測(cè)值。其資料類型如表7-18。表中TA和分別表示各行(A因素的各個(gè)水平）的總和及平均數(shù)；TB和分別表示各列（B因素的各個(gè)水平）的總和及平均數(shù)；T和表示全部數(shù)據(jù)的總和及平均數(shù)。表7-18 兩向分組資料每處理無重復(fù)觀測(cè)值的數(shù)據(jù)符號(hào)（1，2，a；j =1，2，b）A因素B因素TAB1B2BbA1TA1A2TA2AaTAaTBTB1TB2TBbT 兩向分組資料(zlio)的總變異可分為A因素(yn s)、B因素(yn s)和誤差三部分。其計(jì)算公式如表7-19

34、。 表7-19中F測(cè)驗(yàn)假設(shè)為H0：=0、H0：=0，試驗(yàn)資料如果A、B存在互作，則與誤差混淆，因而無法分析互作，也不能取得合理的試驗(yàn)誤差估計(jì)。只有AB互作不存在時(shí)，才能正確估計(jì)誤差。但在田間進(jìn)行隨機(jī)區(qū)組試驗(yàn)時(shí)，處理可看作A因素，區(qū)組可看作B因素，處理與區(qū)組的互作在理論上又是不應(yīng)存在，可看作誤差。故可按照表中的形式來整理試驗(yàn)數(shù)據(jù)。表7-19 表7-18類型資料方差分析表 變異來源SSDFFA因素B因素誤差()()總變異例7.4 將A1、A2、A3、A4 4種生長(zhǎng)素，并用B1、B2、B3 3種時(shí)間浸漬菜用大豆品種種子，45天后測(cè)得各處理平均單株干物重（g）列于表7-20。試作方差分析。表7-20

35、生長(zhǎng)素處理大豆的試驗(yàn)結(jié)果生長(zhǎng)素（A）浸漬時(shí)間（B）TAB1B2B3A110910299.67A2254113.67A31314144113.67A41212133712.33TB374041T=1189.310.010.3=9.831平方和與自由度的分解 根據(jù)表7-19將各項(xiàng)變異來源的平方和及自由度進(jìn)行分解。2列方差分析表進(jìn)行(jnxng)F測(cè)驗(yàn)(cyn)將以上(yshng)結(jié)果填入表7-21中，并將自由度直接填入該表。表7-21 表7-20資料的方差分析表變異來源SSDFFF0.05F0.01生長(zhǎng)素間177.0359.078.67*4.769.78時(shí)間間2.221.11.475.1410.9

36、2誤差4.560.75總變異183.711對(duì)生長(zhǎng)素間差異作F測(cè)驗(yàn)，查F值表，當(dāng)v1=3，v2=6時(shí)，F(xiàn)0.05=9.78，現(xiàn)實(shí)得F=78.67F0.0l，故否定H0，不同的生長(zhǎng)素間差異極顯著，需作多重比較。對(duì)浸漬時(shí)間間差異作F測(cè)驗(yàn)，查F值表，當(dāng)v1=2，v2=6時(shí)，F(xiàn)0.05=5.14，現(xiàn)實(shí)得F=1.47F0.05，故接受H0，三種浸漬時(shí)間間差異不顯著，不需作多重比較。3生長(zhǎng)素間比較（g）當(dāng)v=6時(shí)，查SSR值表得k=2、3、4時(shí)的SSR值，并算得各LSR值列于表7-22。進(jìn)而進(jìn)行多重比較列于表7-23。表7-22 4種生長(zhǎng)素的LSR值k234SSR0.053.463.583.64SSR0.0

37、15.245.515.65LSR0.051.731.791.82LSR0.012.622.762.83 表7-23 4種生長(zhǎng)素處理的差異顯著性生長(zhǎng)素平均干物重(g/株)差異顯著性=0.05=0.01A3A4A1A213.6712.339.673.67aa b cAA B C 推斷：4種生長(zhǎng)素對(duì)大豆單株平均(pngjn)干物重的效應(yīng)，除A3與A4比較(bjio)差異不顯著外，其余處理間比較有極顯著差異。二、組合(zh)內(nèi)有重復(fù)觀測(cè)值的兩向分組資料方差分析設(shè)試驗(yàn)有A、B兩個(gè)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，共有ab個(gè)處理組合，每一處理有n個(gè)觀測(cè)值，于是資料共有abn個(gè)觀測(cè)值。如果試驗(yàn)按完全

38、隨機(jī)設(shè)計(jì)，則其資料的類型如表7-24。表7-24兩向分組資料每處理有重復(fù)觀測(cè)值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)A因素重復(fù)B因素TAB1B2BbA112A212Aa12T表7-24中符號(hào)(fho)的含義：TA為A因素(yn s)總和。而、分別(fnbi)為A因素各個(gè)水平的總和。為A因素平均數(shù)。而、分別為A因素各個(gè)水平的平均數(shù)。為B因素各個(gè)水平的總和，為B因素平均數(shù)。而、分別為B因素各個(gè)水平的平均數(shù)。為處理組合總和，而、為各個(gè)處理的總和。為處理組合平均數(shù)，而、為各個(gè)處理的平均數(shù)。T為試驗(yàn)資料總和，為試驗(yàn)資料平均數(shù)，為資料內(nèi)任一觀測(cè)值。這類資料在方差分析時(shí)，總變異可分解為A因素、B因素、AB互作及誤差4部分。其各變異來源

39、的平方和與自由度公式見表7-25。表7-25 表7-24類型資料平方和與自由度的分解變異來源SSDFF處理組合ab1A因素B因素AB互作試驗(yàn)誤差總變異在上述測(cè)驗(yàn)中，互作的分析非常重要。通常首先由F=測(cè)驗(yàn)互作的顯著性。如果互作不顯著，則必須進(jìn)而對(duì)A、B效應(yīng)的顯著性作測(cè)驗(yàn)，這時(shí)可以作為F測(cè)驗(yàn)的分母。如果互作是顯著的，則不必再測(cè)驗(yàn)A、B效應(yīng)的顯著性，直接進(jìn)入各處理組合的多重比較，但習(xí)慣上往往仍對(duì)各因素效應(yīng)作測(cè)驗(yàn)。因?yàn)樵诨プ黠@著時(shí)，因素平均效應(yīng)的顯著性在實(shí)際應(yīng)用中的意義并不重要。 例7.5 施用A1、A2、A3 3種肥料于B1、B2、B3 3種土壤，以小麥為指示作物，每處理組合種3盆，得其產(chǎn)量結(jié)果（g

40、）列于表7-26。試作方差分析。1平方和與自由度的分解 根據(jù)表7-25將各項(xiàng)變異來源的自由度填于表7-27。以下計(jì)算各變異來源的平方和，求得將以上(yshng)結(jié)果填入表7-27中。表7-26 3種肥料施于3種土壤的小麥(xiomi)產(chǎn)量（g）（a=3，b=3，n=3，abn=27）肥料種類（A）盆號(hào)（n）土壤種類（B）TAB1（油沙）B2（二合）B3（黏土）A1112.013.013.3214.213.714.0118.213.1312.112.013.938.338.741.2A2112.814.212.0213.813.614.6122.013.6313.713.314.040.341.

41、140.6A3121.419.617.6169.218.8221.218.816.6320.116.417.562.754.851.7142.3134.6133.5T=409.415.715.014.82列方差分析表進(jìn)行(jnxng)F測(cè)驗(yàn)表7-27 表7-26資料的方差分析變異來源SSDFFF0。05F0。01處理組合間202.58825.3327.30*2.513.71肥料間（A）179.45289.7396.8*3.556.01土類間（B）3.9621.982.133.556.01肥料土類（AB）19.1744.795.16*2.934.58試驗(yàn)誤差16.70180.928總變異219.

42、2826由表7-27可知(k zh)，該試驗(yàn)肥類土類的互作和肥類的效應(yīng)(xioyng)間差異都是極顯著的，均需作多重比較，而土類間差異不顯著，故不需作多重比較。3平均數(shù)的比較(bjio)（1）各處理組合平均數(shù)的比較 肥料土類的互作顯著，說明各處理組合的效應(yīng)不是各單因素效應(yīng)的簡(jiǎn)單相加，而是肥類效應(yīng)隨土類而不同（或反之）；所以宜進(jìn)一步比較各處理組合的平均數(shù)。在此用新復(fù)極差測(cè)驗(yàn)法，求得（g）由v=18時(shí)查SSR值表得k=2、3、12時(shí)的SSR值，并算得各LSR值列于表6-28。表7-28 7-26資料各處理組合平均數(shù)的LSR值k23456789SSR0.052.973.123.213.273.323

43、.353.373.39SSR0.014.074.274.384.464.534.594.644.69LSR0.051.651.731.781.811.841.861.871.88LSR0.012.252.372.432.472.512.542.572.59將表7-26的各個(gè)值按式計(jì)算各處理組合的平均數(shù)，列表7-29進(jìn)行比較。表7-29 表7-26資料各處理組合平均數(shù)比較（SSR法）處理組合平均產(chǎn)量差異顯著性=0.05=0.01A3B120.9aAA3B218.3 b BA3B317.2 b BA1B313.7 c CA2B213.7 c CA2B313.5 c CA2B113.4 c CA1B212.9 c CA1B112.8 c C由表7-29可見，A3B1處理組合的產(chǎn)量極顯著地高于其他處理組合；其次為A3B2和A3B3，它們之間并無顯著差異