高考物理專題復(fù)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)、萬(wàn)有引力重要模型

1、2008年高考物理專題復(fù)習(xí)曲線運(yùn)動(dòng)、萬(wàn)有引力重要模型第一講基本知識(shí)介紹一、曲線運(yùn)動(dòng)1、概念、性質(zhì)2、參量特征二、曲線運(yùn)動(dòng)的研究方法一一運(yùn)動(dòng)的分解與合成1、法則與對(duì)象2、兩種分解的思路a、固定坐標(biāo)分解（適用于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)）建立坐標(biāo)的一般模式一一沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐標(biāo)；提高思想一一根 據(jù)解題需要建直角坐標(biāo)或非直角坐標(biāo)。b、自然坐標(biāo)分解（適用于變加速曲線運(yùn)動(dòng)）基本常識(shí)：在考查點(diǎn)沿軌跡建立切向、法向n坐標(biāo)，所有運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量均沿這兩個(gè)方向 分解。動(dòng)力學(xué)方程,Z J = ma T2 v m -P一 其中a ,改變速度的大小（速率），an改變速度的方向。且an 乙 Fn =man”,其中p表

2、示軌跡在考查點(diǎn)的曲率半徑。定量解題一般只涉及法向動(dòng)力學(xué)方程。三、兩種典型的曲線運(yùn)動(dòng)1、拋體運(yùn)動(dòng)（類拋體運(yùn)動(dòng)）關(guān)于拋體運(yùn)動(dòng)的分析，和新課教材“平跑運(yùn)動(dòng)”的分析基本相同。在坐標(biāo)的選擇方面， 有靈活處理的余地。2、圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理：運(yùn)動(dòng)學(xué)參量v、n、a、f、T之間的關(guān)系，向心力的尋求于合成；臨界問(wèn)題的理解。變速圓周運(yùn)動(dòng)：使用自然坐標(biāo)分析法，一般只考查法向方程。四、萬(wàn)有引力定律1、定律內(nèi)容2、條件a、基本條件b、拓展條件：球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）外部空間的拓展；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展“剝皮法則”分割與矢量疊加c-不規(guī)則物體間的萬(wàn)有引力計(jì)算 五、開普勒三定律天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式與

3、近似模式的差距，近似處理的依據(jù)。六、宇宙速度、天體運(yùn)動(dòng)1、第一宇宙速度的常規(guī)求法2、從能量角度求第二、第三宇宙速度萬(wàn)有引力勢(shì)能Ep= Gm町r3、解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式時(shí)，應(yīng)了解橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)第二講重要模型與專題一、小船渡河物理情形：在寬度為d的河中，水流速度V2恒定。岸邊有一艘小船，保持相對(duì)河水恒定的 速率Vi渡河，但船頭的方向可以選擇。試求小船渡河的最短時(shí)間和最小位移。模型分析：小船渡河的實(shí)際運(yùn)動(dòng) （相對(duì)河岸的運(yùn)動(dòng)） 由船相對(duì)水流速度 Vi和水相對(duì)河岸的速度V2合成?？梢栽O(shè)船頭與河岸上游夾角為0 （即Vi的方向），速度矢量合成如圖1（學(xué)生活動(dòng)）用余弦定理可求 V合的大小v合=Jv； +V2

4、-2v1V2 cos日（學(xué)生活動(dòng)）用正弦定理可求 V合的方向。令V合與河岸下游夾角為“，則v1 sin ra = arcsin1Vl v2 -2Vl v2 cos 二1、求渡河的時(shí)間與最短時(shí)間由于合運(yùn)動(dòng)合分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，故渡河時(shí)間既可以根據(jù)合運(yùn)動(dòng)求，也可以根據(jù)分運(yùn)動(dòng)去 求。針對(duì)這一思想，有以下兩種解 法S臺(tái) 解法一：t = 口其中V合可用正弦定理表達(dá),V合故有t =d/sin 二vi sin【 v1 sin 二 sin ;解法二：tSid/sin 二Vi_ dv1 sin 二此外，結(jié)合靜力學(xué)正交分解的思 想，我們也可以建立沿河岸合垂直 河岸的坐標(biāo)x、v,然后先將vi分解 （V2無(wú)需分解），再

5、合成，如圖2所 示。而且不難看出，合運(yùn)動(dòng)在x、y方向的分量vx和Vy與vi在X、y方向的分量vix、viy以及v2具有以下關(guān)系vy = viyvx = v2 - vix由于合運(yùn)動(dòng)沿y方向的分量Sy = d ,故有Sydd解法二：t = 一 = =vy viy vi sint（。）函數(shù)既已得出，我們不難得出結(jié)論當(dāng)。=90時(shí)，渡河時(shí)間的最小值tmin =dvi（從“解法三”我們最容易理解t為什么與v2無(wú)關(guān)，故tmin也與丫2無(wú)關(guān)。這個(gè)結(jié)論是意味深長(zhǎng)的。）2、求渡河的位移和最小位移在上面的討論中，小船的位移事實(shí)上已經(jīng)得出，即.22dd d % v1V2 - 2V1V2con 二S 合=sin 二 v

6、1 .v1 sin 二sin 二1v合但S合（。）函數(shù)比較復(fù)雜，尋求 S合的極小值并非易事。因此，我們可以從其它方面作一 些努力。將S合沿x、y方向分解成Sx和Sy ,因?yàn)镾y三d ,要S合極小，只要Sx極小就行了。而 Sx （ 0 ）函數(shù)可以這樣求一一解法一：Sx = vxt =(V2 - Vlx)=(V2 - VICOS 0 )V1 sin 1Vv為求極值，令cos。= p ,則sin。= Ji -p2 ,再將上式兩邊平方、整理，得到V2（SX +d2）p2 2ViV2d2p+d2V2 -S2V2 =0這是一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，要 p有解，須滿足A0 ,即4V12V2d、4V2 （Sj

7、 +d2）（d、2 S：v2）整理得 sXv2 d2（V2 -v2）Vi所以，Sxmin= 7v2 -vf ，代入Sx （ 0 ）函數(shù)可知，此時(shí)COS0=匕取后，Smin= Sxmin Sy = dVi此過(guò)程仍然比較繁復(fù)，且數(shù)學(xué)味太濃。結(jié)論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：當(dāng) 時(shí)，SminVd ,這顯然與事實(shí)不符。（造成這個(gè)局面的原因是：在以上的運(yùn)算過(guò)程中，方程兩邊的平方和開方過(guò)程中必然出現(xiàn)了增根或遺根的現(xiàn)象）所以，此法給人一種玄乎的感覺(jué)。解法二：純物理解一一矢量三角形的動(dòng)態(tài)分析從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下游河岸的夾角越大，亦即V合矢量與下游河岸的夾角越大（但不得大于90 ）

8、。我們可以通過(guò)Vi與V2合成V合矢量圖探討V合與下游河岸夾角的最大可能。先進(jìn)行平行四邊形到三角形的變換，如圖 3所示。當(dāng)。變化時(shí)，v合矢量的大小和方向隨之變化，具體情況如圖4所示。從圖4不難看出，只有當(dāng) V合和虛線半圓周相切時(shí)，V合與V2 （下游）的夾角才會(huì)最大。此vi時(shí)，V合，Vi , VI、V2和V合構(gòu)成一個(gè)直角二角形，& max = arcsin 一V2有了 “ max的值，結(jié)合圖1可以求出：S合min = -2- dVi最后解決V2VV1時(shí)結(jié)果不切實(shí)際的問(wèn)題。從圖4可以看出，當(dāng)v2VV1時(shí)，v合不可能和虛線半圓周相切（或a max = arcsin 1無(wú)解），結(jié)合實(shí)際情況，a max取

9、90V2V2即：V2VV1 時(shí)，S 合 min = d ,此時(shí)，0 = arccos Vi TOC o 1-5 h z 人HV1,V2結(jié)論：右 Vi V V2 , 0 = arccos時(shí)，S 合 min = dV2Vi若 V2Vi ,S 合 min = d.V2 g0 = arccos 時(shí),Vi、滑輪小船物理情形:如圖5所示，岸邊的汽車用一根不可伸長(zhǎng)的輕繩通過(guò)定滑輪牽引水中的小船,設(shè)小船始終不離開水面，且繩足夠長(zhǎng)，求汽車速度Vi和小船速度V2的大小關(guān)系。模型分析：由于繩不 可伸長(zhǎng)，滑輪右邊繩子縮 短的速率即是汽車速度 的大小Vi ,考查繩與船 相連的端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，Vi 和V2必有一個(gè)運(yùn)動(dòng)的合

10、成與分解的問(wèn)題。（學(xué)生活動(dòng)）如果 V1恒定不變，V2會(huì)恒定嗎？若恒定，說(shuō)明理由；若變化，定性判斷變化趨勢(shì)。結(jié)合學(xué)生的想法，介紹極限外推的思想：當(dāng)船離岸無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，繩與水的夾角趨于零，V2一VI。當(dāng)船比較靠岸時(shí)，可作圖比較船的移動(dòng)距離、繩子的縮短長(zhǎng)度，得到V2Vi。故“船速增大”才是正確結(jié)論。故只能引入瞬時(shí)方位角 。，看必和V2的瞬時(shí)關(guān)系。（學(xué)生活動(dòng)）V1和V2定量關(guān)系若何？是否可以考慮用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的知識(shí)解答?針對(duì)如圖6所本的兩種典型方案，初步評(píng)說(shuō)甲圖中 V2 = Vicos。,船越靠岸，。越大,V2越小，和前面的定性結(jié)論沖突，必然是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的根源分析：和試驗(yàn)修訂本教材中“飛機(jī)起飛”的運(yùn)

11、動(dòng)分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。仔細(xì)比較這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的差別， 并聯(lián) 系“小船渡河”的運(yùn)動(dòng)合成等事 例，總結(jié)出這樣的規(guī)律一一合運(yùn)動(dòng)是顯性的、軌跡實(shí)在的運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)是隱性的、 需要 分析而具有人為特征（無(wú)唯一 性）的運(yùn)動(dòng)。解法一：在圖 6 （乙）中， 當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后，不難得出：船的沿 水面運(yùn)動(dòng)是V2合運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動(dòng) Vi和隨繩子的轉(zhuǎn)動(dòng) V轉(zhuǎn)，從而肯定乙方案是正確的。即：V2 = Vi / cos 0解法二：微元法。從考查位置開始取一個(gè)極短過(guò)程，將繩的運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)在圖7 （甲）中標(biāo)本出來(lái)，取 AD = ACAB是繩的初 識(shí)位置，AC 是繩的末位 置，在AB上得D點(diǎn)，

12、并連 接CD。顯然, 圖中BC是船的位移大小，DB是繩子的縮短長(zhǎng)度。由于過(guò)程極短，等腰三角形ACD的頂角/ A-0,則底角/ACD-90 , 4CDB趨于直角三角形。 將此三角放大成圖 7 （乙），得出：S2 = Si / cos0 。鑒于過(guò)程極短，繩的縮短運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)都可以認(rèn)為是勻速的，即：S2 = V2 t , Si = vi t 。所以：V2 = Vi / COS 0三、斜拋運(yùn)動(dòng)的最大射程物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為V0 ,方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。模型分析：斜拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)分析和平拋運(yùn)動(dòng)完全相同。設(shè)初速度方向與水平面夾 。角，建

13、立水平、豎直的 x、y軸，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參量沿 x、y分解。 針對(duì)拋出到落回原高度的過(guò)程0 = Sy = V0y t + （ t2 2Sx = V0 x t2解以上兩式易得：Sx = 0-sin2 0g結(jié)論：當(dāng)拋射角0 = 45。時(shí)，最大射程Sxmax =也g（學(xué)生活動(dòng)）若V0、。確定，試用兩種方法求小球到達(dá)的最大高度。運(yùn)動(dòng)學(xué)求解一一考查豎直分運(yùn)動(dòng)即可；能量求解一一注意小球在最高點(diǎn)應(yīng)具備的速度V0X ,然后對(duì)拋出到最高點(diǎn)的過(guò)程用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒。結(jié)論:V2 sin2 62g四、物體脫離圓弧的討論物理情形：如圖8所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定，另一端系一小球。當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí), 給球一個(gè)Vo = 2

14、vgT的水平初速，試求所能到達(dá)的最大高度。模型分析：用自然坐標(biāo)分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的典型事例。 能量關(guān)系的運(yùn)用，也是對(duì)常規(guī)知識(shí)的復(fù)習(xí)。（學(xué)生活動(dòng)）小球能否形成的往復(fù)的擺動(dòng)？小球能否到達(dá)圓弧的最高點(diǎn) C ?Vo通過(guò)能量關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，得出：小球運(yùn)動(dòng)超過(guò)B點(diǎn)、但不能到達(dá)C點(diǎn)（vc *；3匚），即小球必然在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧。（學(xué)生活動(dòng)）小球會(huì)不會(huì)在 BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧后作自由落體運(yùn)動(dòng)?盡管對(duì)于本問(wèn)題，能量分析是可行的（ BC之間不可能出現(xiàn)動(dòng)能為零的點(diǎn)，則小球脫離圓弧的初速度Vd不可能為零），但用動(dòng)力學(xué)的工具分析，是本模型的重點(diǎn)在BC階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖9所

15、示。沿軌跡的切向、法向分別建、n坐標(biāo)，然后將重力 G沿、n分解為Gt和Gn分量，T為繩子張 力。法向動(dòng)力學(xué)方程為2T + Gnv2 Fn = man = m r由于T0 , Gn0 ,故VW0 。（學(xué)生活動(dòng)：若換一個(gè) V0值，在AB階段，v = 0是可能出現(xiàn)的；若將繩子換成輕桿，在BC階段v = 0也是可能出現(xiàn)的。）圖9下面先解脫離點(diǎn)的具體位置。設(shè)脫離點(diǎn)為D,對(duì)應(yīng)方位角為0 ,如圖8所示。由于在 D點(diǎn)之后繩子就要彎曲，則此時(shí)繩子的張力 T為零，而此時(shí)仍然在作圓周運(yùn) 動(dòng)，故動(dòng)力學(xué)方程仍滿足2vGn = Gsin 0 = mr、1.2)+ 2m Vd在再針對(duì)A-D過(guò)程，小球機(jī)械能守恒，即（選 A所

16、在的平面為參考平面）|mv2+ 0 = mg ( L + Lsin 0代入Vo值解、兩式得：0 = arcsin-,（同時(shí)得到：vd = j2gL ）小球脫離D點(diǎn)后將以Vd為初速度作斜向上拋運(yùn)動(dòng)。它所能到達(dá)的最高點(diǎn)（相對(duì)A）可以用兩種方法求得。解法一：運(yùn)動(dòng)學(xué)途徑。(Vd cos)2vD (1 -sin2 1)先求小球斜拋的取大晨j度，hm =2g2g代入0和Vd的值得：hm = L27小球相對(duì)A的總局度：Hm = L + Lsin 0 + hm =50L27解法二：能量途徑小球在斜拋的最高點(diǎn)仍具有 Vd的水平分量，即VDsing gL 。對(duì)A一最高點(diǎn)的過(guò)程用機(jī)械能守恒定律（設(shè) A所在的平面為參

17、考平面）1mv0 + 0 =21,-m (vD sin 0)22+ mg HmR/2的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為 和被挖除后剩下的部分構(gòu)成一個(gè)，但仍然是一個(gè)均質(zhì)容易得到：Hm = L 27 五、萬(wàn)有引力的計(jì)算物理情形：如圖9所示，半徑 為R的均質(zhì)球質(zhì)量為 M ,球心在 O點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè) 半徑為R/2的球形空腔（球心在 O）。在O、O的連線上距離O 點(diǎn)為d的地方放有一個(gè)很小的、 質(zhì)量為m的物體，試求這兩個(gè)物 體之間的萬(wàn)有引力。模型分析：無(wú)論是“基本條件” 還是“拓展條件”，本模型都很難 直接符合，因此必須使用一些特 殊的處理方法。本模型除了照應(yīng) 萬(wàn)有引力的拓展條件之外，著重介紹“填補(bǔ)法”

18、的應(yīng)用?？涨焕铿F(xiàn)在雖然空無(wú)一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為 +M/8 , 一個(gè)的質(zhì)量為M/8 。然后，前者正好填補(bǔ)空腔完整的均質(zhì)球A ;注意后者，雖然是一個(gè)比較特殊的物體（質(zhì)量為負(fù)值） 的球體，命名為B。既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬(wàn)有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢(shì)來(lái)計(jì)算了。只是有一點(diǎn)需要說(shuō)明，B物的質(zhì)量既然負(fù)值，它和 m之間的萬(wàn)前“引力”在方向上不再表現(xiàn)為吸引，而應(yīng)為排斥一一成了 “萬(wàn)有斥力” 了。具體過(guò)程如下MmFAm = G 2dM mFr _ G 8FBm - GqR R彳d 2 1Mm8(d - 今2最后，兩物之間的萬(wàn)有引力F = FAm + FBm =

19、G md需要指出的是，在一部分同學(xué)的心目中，可能還會(huì)存在另Mm-GR 28（d-萬(wàn)）2一種解題思路，那就是先通過(guò)力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補(bǔ)法”、負(fù)質(zhì)量物體的重力反向等），它將在O、O的連線上距離 O點(diǎn)左側(cè)R/14處，然后“一步到位”地求被挖除物與m的萬(wàn)有引力M mF = G（d /然而，這種求法違背了萬(wàn)有引力定律適用的條件，是一種錯(cuò)誤的思路。六、天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算物理情形：地球和太陽(yáng)的質(zhì)量分別為m和M ,地球繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，軌道的半長(zhǎng)軸為a ,半短軸為b ,如圖11所示。試求地球在橢圓頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，以及軌跡在A、C兩點(diǎn)的曲率半徑。模型分析：求解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式，常常要用到開普勒定律（定量）、機(jī)械能守恒（萬(wàn)有引力勢(shì)能）、橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)等等，相對(duì)高考要求有很大的不同。c.地球軌道的離心率很小（其值一 = 0.0167 ,其中ca為半焦距），這是我們常常能將它近似為圓的原因。為了方便說(shuō)明問(wèn)題，在圖11中，我們將離心率夸大了。針對(duì)地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能守恒-mVA + 2