數(shù)值分析2多項式插值的問題

1、2.2 分段低次插值2.2.3 分段三次Hermite插值2.2.2 分段線性插值2.2.1 多項式插值的問題2.2 分段低次插值學(xué)習(xí)目標(biāo)： 掌握分段低次插值的意義及方法。用插值多項式近似被插函數(shù)時，并不是插值多項式的次數(shù)越多越好。下面是說明這種現(xiàn)象的一個典型例子。當(dāng)n=10時，10次插值多項式以及函數(shù)的圖形如圖2-1。由此可見，在區(qū)間-5，5的兩端的截斷誤差取等距插值節(jié)點構(gòu)造n次Lagrange插值例2.7 給定函數(shù)2.2.1 多項式插值的問題非常大。例如， 而 。這種現(xiàn)象稱Runge 現(xiàn)象。不管n取多大，Runge 現(xiàn)象依然存在。yx-550實線虛線圖2-11因此，對函數(shù)作插值多項式時，必

2、須小心處理，不能認(rèn)為插值節(jié)點取得越多，插值余項就越小。此外，當(dāng)節(jié)點增多時，舍入誤差的影響不能低估。為了克服高次插值的不足，采用分段插值理論將是理論和實際應(yīng)用的一個良好的插值方法。 分段線性插值就是通過相鄰兩個插值點作線性插值來構(gòu)成的。設(shè)已知節(jié)點2.2.2 分段線性插值上的插值函數(shù)值記若函數(shù)滿足條件：（3）在每個小區(qū)間上，是線性多項式。則稱為分段線性插值函數(shù)。分段線性插值函數(shù)的幾何意義是通過n+1個點的折線.在每個小區(qū)間上,的表示式為(2.2.1)上,的表示式為(2.2.2)若用插值基函數(shù)表示,則在整個區(qū)間插值基函數(shù)的形式為(2.2.3)定理2.3 如果記則對任意分段線性插值函數(shù)有余項估計 （2

3、.2.4）其中,當(dāng)時,沒有第一式,當(dāng)時,沒有第二式.顯然,分段線性插值基函數(shù)只在的附近不為零,在其他地方分段線性插值函數(shù)的余項可以通過線性插值多項式的余項來估計.均為零,這種性質(zhì)稱為局部非零性.證明 根據(jù)（2.1.10），在每個小區(qū)間上有 因此，在整個區(qū)間 上有該定理也說明分段線性插值函數(shù) 具有一致收斂性。 例2.8 對平方根表作線性插值，已知 ，步長 。試給出按插值方法求出的 的誤差界，并估計有效數(shù)字的位數(shù)，假定表上給出的函數(shù)值足夠精確。（1）當(dāng) 時，分兩段討論 。解 令 則由（2.2.4）知截斷誤差由于 故 可以具有3位有效數(shù)字。由于 ， 故 可以具有6位有效數(shù)字。（2）當(dāng) 時， 2.2.

4、3 分段三次Hermite插值分段線性插值函數(shù)具有良好的一致收斂性，但它不是光滑的，它在節(jié)點處的左右導(dǎo)數(shù)不相等。為了克服這個缺陷，一個自然的想法是添加一階導(dǎo)數(shù)的插值條件。 設(shè)已給節(jié)點 上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值記 如果函數(shù) 滿足條件： (3)在每個小區(qū)間 上， 是三次多項式。 則稱 為分段三次Hermite插值函數(shù)。 顯然，在每個小區(qū)間 上， 的表示式為（2.1.38）?？梢灾苯佑盟M(jìn)行數(shù)值計算。若用插值基函數(shù)表示，則在整個區(qū)間 上， 的表示式為 插值基函數(shù) 和 的形式分別為(2.2.5)(2.2.6)(2.2.7)其中，當(dāng) i=0時，上述兩個分段函數(shù)沒有第一式，當(dāng)i=n時上述兩個分段函數(shù)沒有第二式。顯然，（2.2.6）和（2.2.7）具有局部非零性質(zhì)，這種性質(zhì)使得（2.2.5）也可寫成分段表示式（2.1.38）的形式。分段三次Hermite插值函數(shù)的余項可以通過前面三次Hermite插值多項式的余項來估計。定理2.4 如果記則對任意分段三次Hermite插值函數(shù) 有余項估計（2.2.8）證明 根據(jù)（2.1.39）