高考數(shù)列壓軸題

1、-. z高考數(shù)列壓軸題一解答題共50小題1數(shù)列an滿足a1=1，a2=+，an=+nN*1求a2，a3，a4，a5的值；2求an與an1之間的關(guān)系式nN*，n2；3求證：1+1+1+3nN*2數(shù)列*n滿足：*1=1，*n=*n+1+ln1+*n+1nN*，證明：當(dāng)nN*時，0*n+1*n；2*n+1*n；*n3數(shù)列an中，a1=，an+1=nN*求證：an+1an；記數(shù)列an的前n項和為Sn，求證：Sn14正項數(shù)列an滿足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=11求a2的值；2證明：對任意實數(shù)nN*，an2an+1；3記數(shù)列an的前n項和為Sn，證明：對任意nN*，2Sn35在數(shù)列an

2、中，nN*1求證：1an+1an2；2求證：；3求證：nsnn+26設(shè)數(shù)列an滿足an+1=an2an+1nN*，Sn為an的前n項和證明：對任意nN*，I當(dāng)0a11時，0an1；II當(dāng)a11時，ana11a1n1；III當(dāng)a1=時，nSnn7數(shù)列an滿足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn為an的前n項和nN*求S1，S2及數(shù)列Sn的通項公式；假設(shè)數(shù)列bn滿足，且bn的前n項和為Tn，求證：當(dāng)n2時，8數(shù)列an滿足a1=1，nN*， 證明：； 證明：9設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sn，a1=，an+1=，其中nN*1證明：an2；2證明：anan+1；3證明：2nSn2n1+n10數(shù)列an的各項

3、均為正數(shù)，且an+1=an+1nN*，an的前n項和是Sn假設(shè)an是遞增數(shù)列，求a1的取值圍；假設(shè)a12，且對任意nN*，都有Snna1n1，證明：Sn2n+111設(shè)an=*n，bn=2，Sn為數(shù)列anbn的前n項和，令fn*=Sn1，*R，aN*假設(shè)*=2，求數(shù)列的前n項和Tn；求證：對nN*，方程fn*=0在*n，1上有且僅有一個根；求證：對pN*，由中*n構(gòu)成的數(shù)列*n滿足0*n*n+p12數(shù)列an，bn，a0=1，n=0，1，2，Tn為數(shù)列bn的前n項和求證：an+1an；13數(shù)列an滿足：a1=，an=an12+an1n2且nN求a2，a3；并證明：2an3；設(shè)數(shù)列an2的前n項和為

4、An，數(shù)列的前n項和為Bn，證明：=an+114數(shù)列an的各項均為非負數(shù)，其前n項和為Sn，且對任意的nN*，都有1假設(shè)a1=1，a505=2017，求a6的最大值；2假設(shè)對任意nN*，都有Sn1，求證：15數(shù)列an中，a1=4，an+1=，nN*，Sn為an的前n項和求證：nN*時，anan+1；求證：nN*時，2Sn2n16數(shù)列an滿足，a1=1，an=1求證：an；2求證：|an+1an|；3求證：|a2nan|17設(shè)數(shù)列an滿足：a1=a，an+1=a0且a1，nN*1證明：當(dāng)n2時，anan+11；2假設(shè)ba2，1，求證：當(dāng)整數(shù)k+1時，ak+1b18設(shè)a3，數(shù)列an中，a1=a，a

5、n+1=，nN*求證：an3，且1；當(dāng)a4時，證明：an3+19數(shù)列an滿足an0，a1=2，且n+1an+12=nan2+annN*證明：an1；證明：+n220數(shù)列an滿足：1求證：；2求證：21數(shù)列an滿足a1=1，且an+12+an2=2an+1an+an+1an1求數(shù)列an的通項公式；2求證：+；3記Sn=+，證明：對于一切n2，都有Sn22+22數(shù)列an滿足a1=1，an+1=，nN*1求證：an1；2求證：|a2nan|23數(shù)列an的前n項和記為Sn，且滿足Sn=2ann，nN*求數(shù)列an的通項公式；證明：+nN*24數(shù)列an滿足：a1=，an+1=+annN*1求證：an+1a

6、n；2求證：a20171；3假設(shè)ak1，求正整數(shù)k的最小值25數(shù)列an滿足：an2anan+1+1=0，a1=21求a2，a3；2證明數(shù)列為遞增數(shù)列； 3求證：126數(shù)列an滿足：a1=1，nN*求證：an1；證明：1+求證：an+1n+127在正項數(shù)列an中，a1=1，且滿足an+1=2annN*求a2，a3；證明an28設(shè)數(shù)列an滿足1證明：；2證明：29數(shù)列an滿足a1=2，an+1=2Sn+n+1nN*，令bn=an+1求證：bn是等比數(shù)列；記數(shù)列nbn的前n項和為Tn，求Tn；求證：+30數(shù)列an中，a1=3，2an+1=an22an+4證明：an+1an；證明：an2+n1；設(shè)數(shù)列

7、的前n項和為Sn，求證：1nSn131數(shù)列an滿足a1=，an+1=，nN*1求a2；2求的通項公式；3設(shè)an的前n項和為Sn，求證：1nSn32數(shù)列an中，a1=1，an=1證明：anan+1；2證明：anan+12n+1；3設(shè)bn=，證明：2bnn233數(shù)列an滿足，1假設(shè)數(shù)列an是常數(shù)列，求m的值；2當(dāng)m1時，求證：anan+1；3求最大的正數(shù)m，使得an4對一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論34數(shù)列an滿足：，p1，1證明：anan+11；2證明：；3證明：35數(shù)列an滿足a1=，an+1an+anan+1=0nN*求數(shù)列an的通項公式；求證：a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an1

8、36數(shù)列an滿足a1=1，an+1=an2+p1假設(shè)數(shù)列an就常數(shù)列，求p的值；2當(dāng)p1時，求證：anan+1；3求最大的正數(shù)p，使得an2對一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論37數(shù)列an滿足a1=a4，nN*1求證：an4；2判斷數(shù)列an的單調(diào)性；3設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，求證：當(dāng)a=6時，38數(shù)列an滿足a1=1，an+1=求證：an+1an；求證：an39數(shù)列an滿足：a1=1，1假設(shè)b=1，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；2假設(shè)b=1，判斷數(shù)列a2n1的單調(diào)性并說明理由；3假設(shè)b=1，求證：40數(shù)列an滿足，n=1，2，3，Sn=b1+b2+bn證明：an1an1n1；n241數(shù)列an滿足a1

9、=1，an+1=，nN*，記S，Tn分別是數(shù)列an，a的前n項和，證明：當(dāng)nN*時，1an+1an；2Tn=2n1；31Sn42數(shù)列an滿足a1=3，an+1=an2+2an，nN*，設(shè)bn=log2an+1I求an的通項公式；II求證：1+nn2；III假設(shè)=bn，求證：2343正項數(shù)列an滿足a1=3，nN*1求證：1an3，nN*；2假設(shè)對于任意的正整數(shù)n，都有成立，求M的最小值；3求證：a1+a2+a3+ann+6，nN*44在數(shù)列an中，nN*1求證：1an+1an2；2求證：；3求證：nsnn+245數(shù)列an中，nN*1求證：；2求證：是等差數(shù)列；3設(shè)，記數(shù)列bn的前n項和為Sn，

10、求證：46無窮數(shù)列an的首項a1=，=nN*證明：0an1； 記bn=，Tn為數(shù)列bn的前n項和，證明：對任意正整數(shù)n，Tn47數(shù)列*n滿足*1=1，*n+1=2+3，求證：I0*n9；II*n*n+1；III48數(shù)列an各項均為正數(shù)，且對任意nN*，滿足an+1=an+can2c0且為常數(shù)假設(shè)a1，2a2，3a3依次成等比數(shù)列，求a1的值用常數(shù)c表示；設(shè)bn=，Sn是數(shù)列bn的前n項和，i求證：； ii求證：SnSn+149設(shè)數(shù)列滿足|an|1，nN*求證：|an|2n1|a1|2nN*假設(shè)|an|n，nN*，證明：|an|2，nN*50數(shù)列an滿足：a1=1，an+1=an+nN*證明：1

11、+；求證：an+1n+1高考數(shù)列壓軸題參考答案與試題解析一解答題共50小題1數(shù)列an滿足a1=1，a2=+，an=+nN*1求a2，a3，a4，a5的值；2求an與an1之間的關(guān)系式nN*，n2；3求證：1+1+1+3nN*【解答】解：1a2=+=2+2=4，a3=+=3+6+6=15，a4=+=4+43+432+4321=64，a5=+=5+20+60+120+120=325；2an=+=n+nn1+nn1n2+n!=n+nn1+n1n2+n1!=n+nan1；3證明：由2可知=，所以1+1+1+=+=+=+1+1+=2+1+=33n2所以n2時不等式成立，而n=1時不等式顯然成立，所以原命

12、題成立2數(shù)列*n滿足：*1=1，*n=*n+1+ln1+*n+1nN*，證明：當(dāng)nN*時，0*n+1*n；2*n+1*n；*n【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：*n0，當(dāng)n=1時，*1=10，成立，假設(shè)當(dāng)n=k時成立，則*k0，則n=k+1時，假設(shè)*k+10，則0*k=*k+1+ln1+*k+10，矛盾，故*n+10，因此*n0，nN*n=*n+1+ln1+*n+1*n+1，因此0*n+1*nnN*，由*n=*n+1+ln1+*n+1得*n*n+14*n+1+2*n=*n+122*n+1+*n+1+2ln1+*n+1，記函數(shù)f*=*22*+*+2ln1+*，*0f*=+ln1+*0，f*在0，+上

13、單調(diào)遞增，f*f0=0，因此*n+122*n+1+*n+1+2ln1+*n+10，故2*n+1*n；*n=*n+1+ln1+*n+1*n+1+*n+1=2*n+1，*n，由2*n+1*n得20，22n1=2n2，*n，綜上所述*n3數(shù)列an中，a1=，an+1=nN*求證：an+1an；記數(shù)列an的前n項和為Sn，求證：Sn1【解答】證明：0，且a1=0，an0，an+1an=an=0an+1an；1an+1=1=，=，則，又an0，4正項數(shù)列an滿足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=11求a2的值；2證明：對任意實數(shù)nN*，an2an+1；3記數(shù)列an的前n項和為Sn，證明：對任

14、意nN*，2Sn3【解答】解：1an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1，即有a12+a1=3a22+2a2=2，解得a2=負的舍去；2證明：an2+an=3a2n+1+2an+1，可得an24a2n+1+an2an+1+a2n+1=0，即有an2an+1an+2an+1+1+a2n+1=0，由于正項數(shù)列an，即有an+2an+1+10，4a2n+10，則有對任意實數(shù)nN*，an2an+1；3由1可得對任意實數(shù)nN*，an2an+1；即為a12a2，可得a2，a3a2，an，前n項和為Sn=a1+a2+an1+=2，又an2+an=3a2n+1+2an+1a2n+1+an+1，即有an

15、an+1an+an+1+10，則anan+1，數(shù)列an遞減，即有Sn=a1+a2+an1+1+=1+=313則有對任意nN*，2Sn35在數(shù)列an中，nN*1求證：1an+1an2；2求證：；3求證：nsnn+2【解答】證明：1先用數(shù)學(xué)歸納法證明1an2n=1時，假設(shè)n=k時成立，即1ak2則n=k+1時，成立由知1an2，nN*恒成立.所以1an+1an2成立2，當(dāng)n3時，而1an2所以由，得，所以3由11an2得snn由2得，6設(shè)數(shù)列an滿足an+1=an2an+1nN*，Sn為an的前n項和證明：對任意nN*，I當(dāng)0a11時，0an1；II當(dāng)a11時，ana11a1n1；III當(dāng)a1=時

16、，nSnn【解答】證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=1時，0an1成立假設(shè)當(dāng)n=kkN*時，0ak1，則當(dāng)n=k+1時，=2+0，1，由知，當(dāng)0a11時，0an1由an+1an=an=an120，知an+1an假設(shè)a11，則an1，nN*，從而=an=anan1，即=ana1，當(dāng)a11時，ana11a1n1當(dāng)時，由，0an1nN*，故Snn，令bn=1annN*，由，bnbn+10，nN*，由，得=b1b2+b2b3+bnbn+1=b1bn+1b1=，nbn2，即，nN*，=，b1+b2+bn+=，即nSn，亦即，當(dāng)時，7數(shù)列an滿足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn為an的前n項和nN*求S1，

17、S2及數(shù)列Sn的通項公式；假設(shè)數(shù)列bn滿足，且bn的前n項和為Tn，求證：當(dāng)n2時，【解答】解：數(shù)列an滿足Sn=2an+1，則Sn=2an+1=2Sn+1Sn，即3Sn=2Sn+1，即數(shù)列Sn為以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，Sn=n1nN*S1=1，S2=；在數(shù)列bn中，Tn為bn的前n項和，則|Tn|=|=而當(dāng)n2時，即8數(shù)列an滿足a1=1，nN*， 證明：； 證明：【解答】 證明：，由得：， 證明：由得：n+1an+2=nan令bn=nan，則bn1bn=n由b1=a1=1，b2=2，易得bn0由得：b1b3b2n1，b2b4b2n，得bn1根據(jù)bnbn+1=n+1得：bn+1n+1

18、，1bnn=一方面：另一方面：由1bnn可知：9設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sn，a1=，an+1=，其中nN*1證明：an2；2證明：anan+1；3證明：2nSn2n1+n【解答】證明：1an+12=2=，由于+2=+10，+2=2+0an+12與an2同號，因此與a12同號，而a12=0，an22an+11=，可得：an+11與an1同號，因此與a11同號，而a11=0，an1又an21an2an+1an=，可得分子0，分母0an+1an0，故anan+13n=1時，S1=，滿足不等式n2時，=，即2an2nSn=1即Sn2n1+另一方面：由II可知：，=從而可得：=2an，2nSn=Sn2

19、n2n綜上可得：2nSn2n1+n10數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且an+1=an+1nN*，an的前n項和是Sn假設(shè)an是遞增數(shù)列，求a1的取值圍；假設(shè)a12，且對任意nN*，都有Snna1n1，證明：Sn2n+1【解答】I解：由a2a101a10，解得0a12，又a3a20，a2，0a2212，解得1a12，由可得：1a12下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)1a12時，nN*，1an2成立1當(dāng)n=1時，1a12成立2假設(shè)當(dāng)n=kN*時，1an2成立則當(dāng)n=k+1時，ak+1=ak+11，2，即n=k+1時，不等式成立綜上12可得：nN*，1an2成立于是an+1an=10，即an+1an，an是遞增數(shù)

20、列，a1的取值圍是1，2II證明：a12，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an2對nN*都成立于是：an+1an=12，即數(shù)列an是遞減數(shù)列在Snna1n1中，令n=2，可得：2a1+1=S22a1，解得a13，因此2a13下證：1當(dāng)時，Snna1n1恒成立事實上，當(dāng)時，由an=a1+ana1a1+2=于是Sn=a1+a2+ana1+n1=na1再證明：2時不合題意事實上，當(dāng)時，設(shè)an=bn+2，可得1由an+1=an+1nN*，可得：bn+1=bn+1，可得=于是數(shù)列bn的前n和Tn3b13故Sn=2n+Tn2n+3=na1+2a1n+3，令a1=+tt0，由可得：Snna1+2a1n+3=na1tn+

21、只要n充分大，可得：Snna1這與Snna1n1恒成立矛盾時不合題意綜上12可得：，于是可得=由可得：故數(shù)列bn的前n項和Tnb11，Sn=2n+Tn2n+111設(shè)an=*n，bn=2，Sn為數(shù)列anbn的前n項和，令fn*=Sn1，*R，aN*假設(shè)*=2，求數(shù)列的前n項和Tn；求證：對nN*，方程fn*=0在*n，1上有且僅有一個根；求證：對pN*，由中*n構(gòu)成的數(shù)列*n滿足0*n*n+p【解答】解：假設(shè)*=2，an=2n，則=2n1n，則Tn=11+32+2n1n，Tn=12+33+2n1n+1，Tn=+22+3+n2n1n+1=+22n1n+1=+1n12n1n+1，Tn=3n22n1n

22、=3；證明：fn*=1+*+*R，nN+，fn*=1+0，故函數(shù)f*在0，+上是增函數(shù)由于f1*1=0，當(dāng)n2時，fn1=+0，即fn10又fn=1+i，=+=n10，根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理，可得存在唯一的*n，1，滿足fn*n=0證明：對于任意pN+，由1中*n構(gòu)成數(shù)列*n，當(dāng)*0時，fn+1*=fn*+fn*，fn+1*nfn*n=fn+1*n+1=0由 fn+1* 在0，+上單調(diào)遞增，可得 *n+1*n，即 *n*n+10，故數(shù)列*n為減數(shù)列，即對任意的 n、pN+，*n*n+p0由于 fn*n=1+*n+=0，fn+p *n+p=1+*n+p+，用減去并移項，利用 0*n+p1，可得

23、*n*n+p=+=綜上可得，對于任意pN+，由1中*n構(gòu)成數(shù)列*n滿足0*n*n+p12數(shù)列an，bn，a0=1，n=0，1，2，Tn為數(shù)列bn的前n項和求證：an+1an；【解答】解：證明：=，所以an+1an法一、記，則，原命題等價于證明；用數(shù)學(xué)歸納法提示：構(gòu)造函數(shù)在1，+單調(diào)遞增，故=+=+=，法二、只需證明，由，故：n=1時，n2，可證：，3由，得=，可得：，疊加可得，所以，13數(shù)列an滿足：a1=，an=an12+an1n2且nN求a2，a3；并證明：2an3；設(shè)數(shù)列an2的前n項和為An，數(shù)列的前n項和為Bn，證明：=an+1【解答】解：Ia2=a12+a1=，a3=a22+a2=

24、證明：an=an12+an1，an+=an12+an1+=an1+2+an1+2，an+an1+2an2+4an3+8a1+=2，an2，又anan1=an120，anan1an2a11，an2an，an=an12+an12a，an2a22222224222242a1=2=3綜上，2an3II證明：an=an12+an1，an12=anan1，An=a12+a22+a32+an2=a2a1+a3a2+an+1an=an+1，an=an12+an1=an1an1+1，=，=，Bn=+=+=14數(shù)列an的各項均為非負數(shù)，其前n項和為Sn，且對任意的nN*，都有1假設(shè)a1=1，a505=2017，求

25、a6的最大值；2假設(shè)對任意nN*，都有Sn1，求證：【解答】解：1由題意知an+1anan+2an+1，設(shè)di=ai+1aii=1，2，504，則d1d2d3d504，且d1+d2+d3+d504=2016，=，所以d1+d2+d520，a6=a1+d1+d2+d5212證明：假設(shè)存在kN*，使得akak+1，則由，得ak+1akak+1ak+2，因此，從an項開場，數(shù)列an嚴格遞增，故a1+a2+anak+ak+1+annk+1ak，對于固定的k，當(dāng)n足夠大時，必有a1+a2+an1，與題設(shè)矛盾，所以an不可能遞增，即只能anan+10令bk=akak+1，kN*，由akak+1ak+1ak

26、+2，得bkbk+1，bk0，故1a1+a2+an=b1+a2+a2+an=b1+2b2+a3+a3+an，=b1+2b2+nbn+nan，所以，綜上，對一切nN*，都有15數(shù)列an中，a1=4，an+1=，nN*，Sn為an的前n項和求證：nN*時，anan+1；求證：nN*時，2Sn2n【解答】證明：In2時，作差：an+1an=，an+1an與anan1同號，由a1=4，可得a2=，可得a2a10，nN*時，anan+1II2=6+an，=an2，即2an+12an+1+2=an2，an+12與an2同號，又a12=20，an2Sn=a1+a2+an4+2n1=2n+2Sn2n2由可得：

27、=，因此an2a12，即an2+2Sn=a1+a2+an2n+22n+綜上可得：nN*時，2Sn2n16數(shù)列an滿足，a1=1，an=1求證：an；2求證：|an+1an|；3求證：|a2nan|【解答】證明：1a1=1，an=a2=，a3=，a4=，猜測：an1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明i當(dāng)n=1時，命題顯然成立；ii假設(shè)n=k時，1成立，則當(dāng)n=k+1時，ak+1=1，即當(dāng)n=k+1時也成立，所以對任意nN*，都有2當(dāng)n=1時，當(dāng)n2時，3當(dāng)n=1時，|a2a1|=；當(dāng)n2時，|a2nan|a2na2n1|+|a2n1a2n2|+|an+1an|17設(shè)數(shù)列an滿足：a1=a，an+1=a0且a1

28、，nN*1證明：當(dāng)n2時，anan+11；2假設(shè)ba2，1，求證：當(dāng)整數(shù)k+1時，ak+1b【解答】證明：1由an+1=知an與a1的符號一樣，而a1=a0，an0，an+1=1，當(dāng)且僅當(dāng)an=1時，an+1=1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：a0且a1，a21，=1，即有a2a31，假設(shè)n=k時，有akak+11，則ak+2=1且=1，即ak+1ak+21即當(dāng)n=k+1時不等式成立，由可得當(dāng)n2時，anan+11；2假設(shè)akb，由1知ak+1akb，假設(shè)akb，0*1以及二項式定理可知1+*n=1+1*+n*nn*，而ak2+1b2+1b+1，且a2a3akb1ak+1=a2，=a2a2k1a2k1=

29、a21+k1，a21+k1，k+1，1+k1+1=，ak+1b18設(shè)a3，數(shù)列an中，a1=a，an+1=，nN*求證：an3，且1；當(dāng)a4時，證明：an3+【解答】證明：Ian+13=3=，=0，與同號，又a3，=a0，0，an+130，即an3n=1時也成立=1綜上可得：an3，且1；當(dāng)a4時，an+13=3=，由I可知：3ana1=a4，3an4設(shè)an3=t0，1=，an3a13，an3+19數(shù)列an滿足an0，a1=2，且n+1an+12=nan2+annN*證明：an1；證明：+n2【解答】證明：由題意得n+1an+12n+1=nan2n+an1，n+1an+1+1an+11=an1

30、nan+n+1，由an0，nN*，n+1an+1+10，nan+n+10，an+11與an1同號，a11=10，an1；由知，故n+1an+12=nan2+ann+1an2，an+1an，1an2，又由題意可得an=n+1an+12nan2，a1=2a22a12，a2=3a322a22，an=n+1an+12nan2，相加可得a1+a2+an=n+1an+1242n，an+12，即an2，n2，2+2+，n2，當(dāng)n=2時，=，當(dāng)n=3時，+，當(dāng)n4時，+2+=1+，從而，原命題得證20數(shù)列an滿足：1求證：；2求證：【解答】證明：1由，所以，因為，所以an+2an+122假設(shè)存在，由1可得當(dāng)n

31、N時，anaN+11，根據(jù)，而an1，所以于是，累加可得*由1可得aN+n10，而當(dāng)時，顯然有，因此有，這顯然與*矛盾，所以21數(shù)列an滿足a1=1，且an+12+an2=2an+1an+an+1an1求數(shù)列an的通項公式；2求證：+；3記Sn=+，證明：對于一切n2，都有Sn22+【解答】解：1a1=1，且an+12+an2=2an+1an+an+1an，可得an+12+an22an+1an2an+1+2an+1=0，即有an+1an22an+1an+1=0，即為an+1an12=0，可得an+1an=1，則an=a1+n1=n，nN*；2證明：由=，n2則+=1+1+=，故原不等式成立；3

32、證明：Sn=+=1+，當(dāng)n=2時，S22=1+2=2=成立；假設(shè)n=k2，都有Sk22+則n=k+1時，Sk+12=Sk+2，Sk+122+=Sk+22+2=Sk22+22=Sk22+，由k1可得0，且Sk22+可得Sk22+0，則Sk+122+恒成立綜上可得，對于一切n2，都有Sn22+22數(shù)列an滿足a1=1，an+1=，nN*1求證：an1；2求證：|a2nan|【解答】證明：1用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，=，成立；假設(shè)當(dāng)n=k時，有成立，則當(dāng)n=k+1時，1，=，當(dāng)n=k+1時，命題也成立由得an12當(dāng)n=1時，|a2a1|=，當(dāng)n2時，=1+=，|an+1an|=|=|anan1|

33、n1|a2a1|=，|a2na2n1|a2na2n1|+|a2n1a2n2|+|an+1an|=n12n1，綜上：|a2nan|23數(shù)列an的前n項和記為Sn，且滿足Sn=2ann，nN*求數(shù)列an的通項公式；證明：+nN*【解答】解：Sn=2annnN+，Sn1=2an1n+1=0n2，兩式相減得：an=2an1+1，變形可得：an+1=2an1+1，又a1=2a11，即a1=1，數(shù)列an+1是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，an+1=22n1=2n，an=2n1由，k=1，2，n，=，由=，k=1，2，n，得=，綜上，+nN*24數(shù)列an滿足：a1=，an+1=+annN*1求證：an+1a

34、n；2求證：a20171；3假設(shè)ak1，求正整數(shù)k的最小值【解答】1證明：an+1an=0，可得an+1ana1=，anan+1an=0，an+1anII證明：由=，=，由=，=，=，累加求和可得：=+，當(dāng)k=2017時，由I可得：=a1a2a2016=+1，a20171III解：由II可得：可得：=a1a2a2016a20171=+2017=1，a20171a2018，又an+1ank的最小值為201825數(shù)列an滿足：an2anan+1+1=0，a1=21求a2，a3；2證明數(shù)列為遞增數(shù)列； 3求證：1【解答】1解：a1=2，a2=222+1=3，同理可得：a3=72證明：，對nN*恒成立

35、，an+1an3證明：故=26數(shù)列an滿足：a1=1，nN*求證：an1；證明：1+求證：an+1n+1【解答】證明：I數(shù)列an滿足：a1=1，nN*，可得：，an+1anan1a1=1；由可得：；，由得：，所以，累加得：，另一方面由ann可得：原式變形為，所以：，累加得27在正項數(shù)列an中，a1=1，且滿足an+1=2annN*求a2，a3；證明an【解答】解：在正項數(shù)列an中，a1=1，且滿足an+1=2annN*，=，=證明：當(dāng)n=1時，由，成立；假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即，f*=2*在0，+上是增函數(shù)，=k+k=k+=k+，k1，2k33=0，即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立根據(jù)知不

36、等式對任何nN*都成立28設(shè)數(shù)列an滿足1證明：；2證明：【解答】此題總分值15分證明：I易知an0，所以an+1an+an，所以 ak+1=ak+ak+，所以所以，當(dāng)n2時，=，所以an1又，所以an1nN*，所以 anan+11nN*8分II當(dāng)n=1時，顯然成立由an1，知，所以，所以，所以，所以，當(dāng)n2時，=，即所以nN* 7分29數(shù)列an滿足a1=2，an+1=2Sn+n+1nN*，令bn=an+1求證：bn是等比數(shù)列；記數(shù)列nbn的前n項和為Tn，求Tn；求證：+【解答】I證明：a1=2，an+1=2Sn+n+1nN*，a2=22+1+1=8n2時，an=2Sn1+n，相減可得：an

37、+1=3an+2，變形為：an+1+1=3an+1，n=1時也成立令bn=an+1，則bn+1=3bnbn是等比數(shù)列，首項為3，公比為3II解：由I可得：bn=3n數(shù)列nbn的前n項和Tn=3+232+333+n3n，3Tn=32+233+n13n+n3n+1，2Tn=3+32+3nn3n+1=n3n+1=3n+1，解得Tn=+III證明：bn=3n=an+1，解得an=3n1由=+=，因此左邊不等式成立又由=，可得+=因此右邊不等式成立綜上可得：+30數(shù)列an中，a1=3，2an+1=an22an+4證明：an+1an；證明：an2+n1；設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，求證：1nSn1【解答】證明

38、：Ian+1an=an=0，an+1an3，an220an+1an0，即an+1an；II2an+14=an22an=anan2=，an2an122an223an32n1a12=n1，an2+n1；2an+12=anan2，=，=+，Sn=+=+=1，an+12n，0n，1nSn=1131數(shù)列an滿足a1=，an+1=，nN*1求a2；2求的通項公式；3設(shè)an的前n項和為Sn，求證：1nSn【解答】1解：a1=，a，nN+a2=2解：a1=，a，nN+=，化為：1=，數(shù)列是等比數(shù)列，首項與公比都為1=，解得=1+3證明：一方面：由2可得：an=Sn+=，因此不等式左邊成立另一方面：an=，Sn

39、+=3n3又n=1，2時也成立，因此不等式右邊成立綜上可得：1nSn32數(shù)列an中，a1=1，an=1證明：anan+1；2證明：anan+12n+1；3設(shè)bn=，證明：2bnn2【解答】證明：1數(shù)列an中，a1=1，an=可得an0，an2=anan+12，可得an+1=an+an，即anan+1；2由1可得anan1an2=anan+12，可得anan+1anan12，n=1時，anan+1=a12+2=3，2n+1=3，則原不等式成立；n2時，anan+13+2n1=2n+1，綜上可得，anan+12n+1；3bn=，要證2bnn2，即證2an，只要證4nan25n，由an+1=an+，

40、可得an+12=an2+4+，且a2=3，an+12an2=4+4，且4+4+=4+=，即有an+12an24，由n=2，3，累加可得an2a224n2，即有an24n+1，4n，5n，故2bnn233數(shù)列an滿足，1假設(shè)數(shù)列an是常數(shù)列，求m的值；2當(dāng)m1時，求證：anan+1；3求最大的正數(shù)m，使得an4對一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論【解答】解：1假設(shè)數(shù)列an是常數(shù)列，則，得顯然，當(dāng)時，有an=1 3分2由條件得，得a2a15分又因為，兩式相減得 7分顯然有an0，所以an+2an+1與an+1an同號，而a2a10，所以an+1an0，從而有anan+19分3因為，10分所以an=a

41、1+a2a1+anan11+n1m2這說明，當(dāng)m2時，an越來越大，顯然不可能滿足an4所以要使得an4對一切整數(shù)n恒成立，只可能m212分下面證明當(dāng)m=2時，an4恒成立用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，a1=1顯然成立假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即ak4，則當(dāng)n=k+1時，成立由上可知an4對一切正整數(shù)n恒成立因此，正數(shù)m的最大值是215分34數(shù)列an滿足：，p1，1證明：anan+11；2證明：；3證明：【解答】證明：1先用數(shù)學(xué)歸納法證明an1當(dāng)n=1時，p1，；假設(shè)當(dāng)n=k時，ak1，則當(dāng)n=k+1時，由可知an1再證anan+1，令f*=*1*ln*，*1，則f*=ln*0，所以f*在1，+上單

42、調(diào)遞減，所以f*f1=0，所以，即anan+12要證，只需證，只需證其中an1，先證，令f*=2*ln*2+1，*1，只需證f*0因為f*=2ln*+22*2*1+22*=0，所以f*在1，+上單調(diào)遞減，所以f*f1=0再證an+1lnan2an+20，令g*=*+1ln*2*+2，*1，只需證g*0，令，*1，則，所以h*在1，+上單調(diào)遞增，所以h*h1=0，從而g*0，所以g*在1，+上單調(diào)遞增，所以g*g1=0，綜上可得3由2知，一方面，由迭代可得，因為ln*1，所以，所以lna1a2an=lna1+lna2+lnan=；另一方面，即，由迭代可得因為，所以，所以=；綜上，35數(shù)列an滿足

43、a1=，an+1an+anan+1=0nN*求數(shù)列an的通項公式；求證：a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an1【解答】解：由可得數(shù)列an各項非零否則，假設(shè)有ak=0結(jié)合akak1+akak1=0ak1=0，繼而ak1=0ak2=0a1=0，與矛盾所以由an+1an+anan+1=0可得 即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 所以所以數(shù)列an的通項公式是nN* 證明一：因為 所以a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an=所以a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an1 證明二：a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an=所以a1+a1a2+a1a2a3+a1a2an136數(shù)列an滿足a1=1，an

44、+1=an2+p1假設(shè)數(shù)列an就常數(shù)列，求p的值；2當(dāng)p1時，求證：anan+1；3求最大的正數(shù)p，使得an2對一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論【解答】解：1假設(shè)數(shù)列an是常數(shù)列，則，；顯然，當(dāng)時，有an=12由條件得得a2a1，又因為，兩式相減得顯然有an0，所以an+2an+1與an+1an同號，而a2a10，所以an+1an0；從而有anan+13因為，所以an=a1+a2a1+anan11+n1p1，這說明，當(dāng)p1時，an越來越大，不滿足an2，所以要使得an2對一切整數(shù)n恒成立，只可能p1，下面證明當(dāng)p=1時，an2恒成立；用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，a1=1顯然成立；假設(shè)當(dāng)n=k

45、時成立，即ak2，則當(dāng)n=k+1時，成立，由上可知對一切正整數(shù)n恒成立，因此，正數(shù)p的最大值是137數(shù)列an滿足a1=a4，nN*1求證：an4；2判斷數(shù)列an的單調(diào)性；3設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，求證：當(dāng)a=6時，【解答】1證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，a1=a4，成立假設(shè)當(dāng)n=k2時，ak4，則ak+1=4n=k+1時也成立綜上可得：nN*，an42解：，nN*=2an8=94129=0，anan+1數(shù)列an單調(diào)遞減3證明：由2可知：數(shù)列an單調(diào)遞減一方面Sna1+4n1=4n+2另一方面：=，an4，Sn4n即Sn4n+當(dāng)a=6時，38數(shù)列an滿足a1=1，an+1=求證：an

46、+1an；求證：an【解答】解：證明：由a1=1，an+1=，得an0，nN，則an+1an=an=0，an+1an；證明：由知0an1，又an+1=，=，即an+1an，anan12an12an1n1a1=，即an由an+1=，則=an+，=an，=a1=1，=a2=，=a3=2=an1n2，累加得=1+2+n2=2n2，而a1=1，3n2=，an綜上得an39數(shù)列an滿足：a1=1，1假設(shè)b=1，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；2假設(shè)b=1，判斷數(shù)列a2n1的單調(diào)性并說明理由；3假設(shè)b=1，求證：【解答】解：1證明：當(dāng)b=1，an+1=+1，an+112=an12+2，即an+112an12=2，a

47、n12an112=2，數(shù)列an12是0為首項、以2為公差的等差數(shù)列；2當(dāng)b=1，an+1=1，數(shù)列a2n1單調(diào)遞減可令an+1an，可得1+an=，可得an，即有ann=2，3，再令f*=1，可得在，1上遞減，可得a2n1單調(diào)遞減3運用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時，a1=1成立；設(shè)n=k時，a1+a3+22k1，當(dāng)n=k+1時，a1+a3+a2k1+a2k+1+=，綜上可得，成立40數(shù)列an滿足，n=1，2，3，Sn=b1+b2+bn證明：an1an1n1；n2【解答】證明：由得：*顯然an0，*式故1an與1an1同號，又，所以1an0，即an13分注意：也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明所以 an1an

48、=2an+1an10，即an1an所以 an1an1n16分*式，由0an1an1an1an+10，從而bn=an1an+10，于是，Sn=b1+b2+bn0，9分由有1an1=21+an1an，所以*11分所以Sn=b1+b2+bn=a0a1+1+a1a2+1+an1an+1=12分=14分n2成立15分41數(shù)列an滿足a1=1，an+1=，nN*，記S，Tn分別是數(shù)列an，a的前n項和，證明：當(dāng)nN*時，1an+1an；2Tn=2n1；31Sn【解答】解：1由a1=1，an+1=，nN*，知an0，故an+1an=an=0，因此an+1an；2由an+1=，取倒數(shù)得：=+an，平方得：=+

49、an2+2，從而2=an2，由2=a12，2=a22，2=an2，累加得2n=a12+a22+an2，即Tn=2n1；3由2知：=an，可得=a1，=a2，=an，由累加得=a1+a2+an=Sn，又因為=a12+a22+an2+2n+12n+2，所以，Sn=an+an1+a1=11；又由，即，得當(dāng)n1時，an=，累加得Sna1+1+=1+1，當(dāng)n=1時，Sn成立因此1Sn42數(shù)列an滿足a1=3，an+1=an2+2an，nN*，設(shè)bn=log2an+1I求an的通項公式；II求證：1+nn2；III假設(shè)=bn，求證：23【解答】解：I由，則，由a1=3，則an0，兩邊取對數(shù)得到，即bn+1

50、=2bn2分又b1=log2a1+1=20，bn是以2為公比的等比數(shù)列即3分又bn=log2an+1，4分2用數(shù)學(xué)歸納法證明：1o當(dāng)n=2時，左邊為=右邊，此時不等式成立； 5分2o假設(shè)當(dāng)n=k2時，不等式成立，則當(dāng)n=k+1時，左邊=6分k+1=右邊當(dāng)n=k+1時，不等式成立綜上可得：對一切nN*，n2，命題成立9分3證明：由得=n，首先，10分其次，當(dāng)n=1時顯然成立所以得證15分43正項數(shù)列an滿足a1=3，nN*1求證：1an3，nN*；2假設(shè)對于任意的正整數(shù)n，都有成立，求M的最小值；3求證：a1+a2+a3+ann+6，nN*【解答】1證明：由正項數(shù)列an滿足a1=3，nN*得+an+2=2an+1，兩式相減得an+2an+1an+2+an+1+1=2an+1an，an0，an+2an+1與an+1an同號+a2=2a1