高級微觀經(jīng)濟學(xué)06：理性生產(chǎn)者

1、高級微觀經(jīng)濟學(xué)第六章理性生產(chǎn)者前面三章研究了消費者行為理論，從本章開始我們研究生產(chǎn)者行為，討論生產(chǎn)最優(yōu)化問 題。理性生產(chǎn)者是利潤最大化的追求者，這是研究生產(chǎn)者行為的基本前提。為了揭示生產(chǎn)活動的規(guī)律，我們將從收益與成本兩方面進行分析。同消費者行為理論一樣， 我們要分析生產(chǎn)者是如何依據(jù)價格進行決策的。 本章的討論將按照單一產(chǎn)品的生產(chǎn)和多種產(chǎn)品的生產(chǎn)兩種情形分別 進行。第一節(jié)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)者也叫做廠商、企業(yè)、或公司，生產(chǎn)者從事的經(jīng)濟活動稱為生產(chǎn)活動。任何生產(chǎn)活動都表現(xiàn)為投入一定數(shù)量的若干種商品，生產(chǎn)出一定數(shù)量的產(chǎn)品， 并把產(chǎn)品提供給市場進行銷售，以產(chǎn)品的全部售出為終結(jié)。這種以投入為開端，以售完產(chǎn)品為終

2、結(jié)的整個過程，稱為生產(chǎn)過程。 企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)水平、人員素質(zhì)、組織水平及企業(yè)家才能等，都在生產(chǎn)過程中得到完 全反映。為了揭示生產(chǎn)活動的規(guī)律，我們首先研究單一產(chǎn)品生產(chǎn)的情形。一、生產(chǎn)要素產(chǎn)品不會無中生有。企業(yè)要組織生產(chǎn)，就必須投入一定的人力、物力和財力。我們把組織生產(chǎn)所必需的一切人力、物力和財力，稱為生產(chǎn)要素。人力方面的生產(chǎn)要素表現(xiàn)為投入的各 種勞動與智慧，包括體力勞動和腦力勞動、熟練勞動和非熟練勞動、簡單勞動和復(fù)雜勞動等。 物力方面表現(xiàn)為投入的各種自然資源與資本品，自然資源包括原材料、土地、礦藏、海藏等， 資本品包括生產(chǎn)者擁有的廠房、設(shè)備、知識、才能等。財力方面表現(xiàn)為生產(chǎn)者擁有的貨幣資本、資金來

3、源及籌集資金手段（如貸款與發(fā)行證券）的有效程度等。所有這些生產(chǎn)要素可概括 為四類：資源、資本、勞動、企業(yè)家才能。資源是生產(chǎn)所必需的一切可以開發(fā)利用的自然資源，包括土地、海域、空間、礦藏、海 藏、宇宙資源（如太陽能）等。資源具有原始性與初等性，是商品轉(zhuǎn)化的起點。資本是生產(chǎn)者具備生產(chǎn)經(jīng)營條件與能力的憑證，包括一切物質(zhì)資本、貨幣資本和技術(shù)資 本。物質(zhì)資本也叫做 資本品，貨幣資本也叫做 資金，資本品與資金之間可以互相轉(zhuǎn)換。技術(shù)資本也簡稱為 技術(shù)，指生產(chǎn)所需的一切科學(xué)技術(shù)。勞動是生產(chǎn)所需的一切體力與智力的消耗，包括體力、腦力、技術(shù)、非技術(shù)、熟練、非 熟練、簡單、復(fù)雜勞動等等。任何生產(chǎn)都離不開勞動，而且勞

4、動的質(zhì)量對生產(chǎn)起著關(guān)鍵性的作 用。決定勞動質(zhì)量好壞的內(nèi)在因素是勞動者的素質(zhì)，因此，提高企業(yè)內(nèi)部的勞動者的科學(xué)文化水平，讓勞動者掌握先進的科學(xué)技術(shù)知識，對于企業(yè)來講是十分重要的。企業(yè)家才能 是指企業(yè)家經(jīng)營企業(yè)的組織能力、管理能力及創(chuàng)造能力，是企業(yè)的智慧資本。 智慧資本不同于物質(zhì)資本、貨幣資本和技術(shù)資本，它是無價之寶，具有特殊重要性。企業(yè)在組織生產(chǎn)的過程中，有些生產(chǎn)要素的投入量是可變的，這部分生產(chǎn)要素稱為可變要素。而另一部分要素的投入量不可變，稱為固定要素或不可變要素。例如，短期內(nèi)投入的土地面、廠房、大型機器設(shè)備都無法改變，而投入的原材料、電力、勞動等消耗品的數(shù)量都是可 改變的。 一般清況下，不變

5、要素在生產(chǎn)過程結(jié)束時仍然存在，只不過會有磨損。而可變要素 在生產(chǎn)結(jié)束后不再存在，已轉(zhuǎn)化成了產(chǎn)品。不變要素可以作為企業(yè)生產(chǎn)技術(shù)與生產(chǎn)條件來看待，算作企業(yè)生產(chǎn)技術(shù)的一部分，這樣 一來，投入的生產(chǎn)要素中就只剩下可變要素部分了。如果作長期考慮，一切生產(chǎn)要素都是可變的。企業(yè)要擴大生產(chǎn)規(guī)模，就必須擴大土地使用面積，擴建廠房，更新設(shè)備等，于是固定資產(chǎn) 也成為可變資產(chǎn)，一切生產(chǎn)要素都可變，甚至技術(shù)水平也要變化。二、生產(chǎn)函數(shù)在企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)水平已定的情況下，企業(yè)投入一定數(shù)量的若干生產(chǎn)要素，產(chǎn)出一定數(shù) 量的產(chǎn)品。這樣，在產(chǎn)品產(chǎn)量與各種生產(chǎn)要素數(shù)量組合之間就產(chǎn)生了一種對應(yīng)關(guān)系，稱之為(簡單)生產(chǎn)函數(shù)，它由企業(yè)的生產(chǎn)

6、技術(shù)水平所確定，是企業(yè)技術(shù)的反映。(一)生產(chǎn)函數(shù)的性質(zhì)經(jīng)濟學(xué)關(guān)心的是可變生產(chǎn)要素對產(chǎn)品產(chǎn)量的影響，而不可變的生產(chǎn)要素作為企業(yè)生產(chǎn)技 術(shù)條件的一部分來對待， 企業(yè)家才能及生產(chǎn)技術(shù)水平與條件都視為固定的。這樣一來，所考慮的投入要素都是可變的，從而可把長期與短期綜合在一起統(tǒng)一研究。企業(yè)投入一定數(shù)量的各種，生產(chǎn)要素，可得到一定數(shù)量的產(chǎn)品。設(shè)可變生產(chǎn)要素總共有種，于是生產(chǎn)要素空間為 R各種生產(chǎn)要素數(shù)量組合變化范圍是要素空間的正象限部分R：=xW R，：x20稱為要素空間或投入集合。投入集合中的商品向量稱為投入向量 或投入方案。用f(x)表示投入向量為X =(X1，X2，X f)時能夠生產(chǎn)的最大產(chǎn)量。這種

7、最大產(chǎn)量與投入方案之間的對應(yīng)關(guān)系f就是企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)，它由企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)水平所確定，隨生產(chǎn)技術(shù)的改變而改變。生產(chǎn)函數(shù)一般具有單調(diào)性，即投入較多時，產(chǎn)量也較多，至少不會減少。用嚴(yán)格的語言 表達(dá)，即對于任何兩種投入方案x和y,只要x y ,就有f (x) 0 ;(3)連續(xù)性：f在投入集合 R5XxRxS中連續(xù)；(4)光滑性：f在投入集合內(nèi)部 R=xW Rrf：x0連續(xù)可微，且在各點處的各個一階偏導(dǎo) 數(shù)不會同時都為零。(二)生產(chǎn)要素的貢獻(xiàn)，利用生產(chǎn)函數(shù)f，可以衡量投入方案 x = (x1,x2，xf)W R：處各種生產(chǎn)要素h對生產(chǎn)的貢獻(xiàn)大小。注意，要素 h的邊際產(chǎn)出為 (x)。要素h對生產(chǎn)的貢獻(xiàn) 可

8、用下式來表達(dá)(h =1,2,)/、 Xhf；(x)二 h(x)二f(x)這個式子有以下兩方面的意義。其一是說，按照當(dāng)前的邊際產(chǎn)出計算，投入xh個單位的要素h所產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)量為xh fh(x),這個產(chǎn)量在總產(chǎn)量 f(x)中所占的比例為oth(x),而總產(chǎn)量f (x)是全部要素的產(chǎn)出。 所以，要素h對生產(chǎn)的貢獻(xiàn)就是要素 h的產(chǎn)出占全部要素的產(chǎn)出的比例。其二是說，o(h (x)是投入方案x處產(chǎn)量的變化巾I度與要素h的投入使用量的變化幅度之比，因而是產(chǎn)量對要素 h的投入量的彈性。oth(x)越大，說明要素h對產(chǎn)出的影響越大。尤其 是當(dāng)h(x) 1時，要素h的投入量的較小幅度增加就會引起產(chǎn)量的大幅度增加

9、；而當(dāng)o(h(x) 1時，把各種要素的投入量增加一倍便可使產(chǎn)量增加多于一倍，因而生產(chǎn)還大有潛力可挖，值得再增加各種要素的投入量以增加產(chǎn)量；當(dāng)總貢獻(xiàn)ot(x)1時，如果把各種要素的投入量增加一倍，增加的產(chǎn)量不如原來的產(chǎn)量大，說明生產(chǎn)的潛力已到盡頭，不值得 再增加投入；當(dāng)o(x)=1時，各種要素的投入量增加一倍時產(chǎn)量也將增加一倍，因而產(chǎn)量與生 產(chǎn)規(guī)模同比例擴大。讀者需要注意的是，這里所談的生產(chǎn)要素貢獻(xiàn)，是指當(dāng)前的貢獻(xiàn)，不涉及生產(chǎn)要素原來 的貢獻(xiàn)，因而是一種邊際貢獻(xiàn)。我們把要素h的貢獻(xiàn)oth(x)與要素k的貢獻(xiàn)otk(x)之間的比值，稱為投入方案x處要素h對要素k的貢獻(xiàn)系數(shù)，記作Rhk(x),即 工

10、 h (x)Rhk(x)= (h,k=1,2,) :k(x)它表示為了獲得產(chǎn)量f(x),要素k貢獻(xiàn)一份力量時要求要素h的貢獻(xiàn)量，即要素 h的貢獻(xiàn)是要素k的貢獻(xiàn)的Rhk(x)倍。只有要素h按照這個倍數(shù)與要素 k同時發(fā)揮作用，產(chǎn)量 f(x)才能 生產(chǎn)出來。所以，貢獻(xiàn)系數(shù)表示了生產(chǎn)中要素h對要素k的配合性。事實上，如果生產(chǎn)一種產(chǎn)品需要多種生產(chǎn)要素的話，那么缺少其中任何一種要素是不成的。貢獻(xiàn)系數(shù)正反映了這一事實。(二)有效投入同一產(chǎn)量可以在生產(chǎn)要素的不同組合下得到，也就是說，同一產(chǎn)量可以按照兩種不同的投入方案組織生產(chǎn)。這就需要對投入進行有效性分析。投入方案的有效性，就是指在保持產(chǎn)量不減少的情況下所投入

11、使用的各種生產(chǎn)要素數(shù)量達(dá)到最小。對此，我們可以給出嚴(yán)格的定義：投入方案x w R京為是有效的，是指沒有投入方案y亡R1能夠?t足y x且f (y)之f (x)。有效 投入方案也可簡稱為 有效投入。用EI表示有效投入的全體，稱為生產(chǎn)者的有效投入?yún)^(qū)。有效投入?yún)^(qū)的邊界稱為 脊線或脊面。在前面關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)的假設(shè)中，沒有假定生產(chǎn)函數(shù)的單調(diào)性，盡管我們已經(jīng)指出生產(chǎn)函數(shù)在一般情況下具有單調(diào)性。為什么不直接假定生產(chǎn)函數(shù)的單調(diào)性呢？其原因主要是因為我們可以證明:命題1.生產(chǎn)函數(shù)f在有效投入?yún)^(qū)EI中是單調(diào)增加的,即對任何x, ywEI ,只要xy,就有 f (x) f (y) o事實上，當(dāng)x,ywEI且xy時，由

12、于y是有效投入方案，f (x)之f (y)就不可能成立，可 見只有 f (x):二 f (y)。有了命題1所述的關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)單調(diào)性的事實，我們立即可知：命題2.在假設(shè)PF下，生產(chǎn)函數(shù)f在有效投入?yún)^(qū)內(nèi)各點處的各個一階偏導(dǎo)數(shù)均非負(fù)。事實上，對于任何 x EI , x0 , ixh 0, ix =(0，0,Axh,0,，0) , x +Ax 之0 ,我們 有x+Axx,從而f (x十至) f (x)(因為x是有效投入)。這就告訴我們下面的不等式成立：fh(x) = lim - , xh :。一f (x ：二x) f(x)的,0 (h =1,2,)于是，命題2得到證明。命題2說明，在投入為有效的，情況

13、下產(chǎn)量呈現(xiàn)出(隨要素投入量的增加而)遞增至少不下降的變化趨勢。有效投入也可用等產(chǎn)量曲線來刻畫 (如圖6-1所示)。所謂等產(chǎn)量曲線(面)，是指要素空 間R:中產(chǎn)出相同的各種不可投入向量所組成的集合。產(chǎn)量為Q的等產(chǎn)量曲線(面)，用L(Q)表示，是集合L(Q)=xW R，f(x)=Q。與x等產(chǎn)量的等產(chǎn)量曲線是集合 L(f (x),也稱為通過 投入點x的等產(chǎn)量曲線，簡記為 Lf(x)。我們有如下的結(jié)論：，命題3.設(shè)企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)f非負(fù)、連續(xù)，且f(0)=0。xWR+,即x為任一投入向量。 則x是有效投入當(dāng)且僅當(dāng)沒有 yWLf(x)能夠滿足yx。實際上，若x是有效投入，則顯然沒有yWLf(x)滿足yx。

14、反之，蘆Lf (x)中沒有一種方案 y能夠滿足yx。假如x不是有效投入方案，那么就存 在著zR:滿足z x且f (z) 2 f (x)。由于Lf (x)中沒有一種方案 y能夠滿足y f(x)f(0)o 現(xiàn)在， 從f的連續(xù)性可知，存在實數(shù) tq0,1)使彳導(dǎo)f(tz) = f(x)。顯然，tzx且tzw Lf (x)。這與前 提條件“ Lf(x)中沒有一種方案y能夠滿足yx相矛盾?？梢?，x必然是有效投入方案。命題3得證。脊線(面)與等產(chǎn)量曲線(面)L(Q)的交點稱為 脊點。顯然，脊線是脊點隨產(chǎn)量變化而移動 所形成的曲線(曲面)。如圖6-1所示，兩條脊線分別是由脊點 A和B隨產(chǎn)量移動形成的軌跡，

15、有效投入?yún)^(qū)就是兩條脊線所夾的范圍。X2脊線圖6-1等產(chǎn)量曲線，脊線，有效投入?yún)^(qū)B有效投入?yún)^(qū)第二節(jié)等產(chǎn)量曲線分析要素空間R立質(zhì)上是一張等產(chǎn)量曲線圖，每種投入方案都在一條（張）等產(chǎn)量曲線（面）上,不同的等產(chǎn)量曲線互不相交。這樣，我們可用等產(chǎn)量曲線生產(chǎn)要素的投入使用情況進行分析。設(shè)企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為 f ,同上一節(jié)一樣，L（Q）表示產(chǎn)量為Q的等產(chǎn)量曲線（面）。、替代與互補（一）要素之間的替代性與互補性不同投入組合之所以能在同一等產(chǎn)量曲線上，是因為投入要素之間具有一定的替代性與互補性。替代性使得一種投入要素可用另一種投入要素來代替，互補性則要求要素之間必須按照一定的比例配合投入使用，因而要素之間具有比例

16、特點。有些要素之間既具有一定程度的互相替代性，又具有一定范圍的投入比例要求。利用等 產(chǎn)量曲線我們可看出，兩種要素之間的替代范圍與比例要求范圍由這兩種要素的等產(chǎn)量曲線上 的兩個脊點所劃定。脊點所夾的范圍是可替代的范圍，超出該范圍就不能再有替代，這同時也說出了兩種要素之間的配合比例變化范圍。對于兩種投入要素而言，當(dāng)兩條脊線分別與兩條坐標(biāo)軸重合時，這兩種要素就是可完全 相互替代的，因而也就無特殊的投入比例要求。當(dāng)兩條脊線重合時，要素之間完全無可替代性， 而是必須要按固定不變的比例來組織投入使用。當(dāng)兩條脊線既不重合，又不分別都與坐標(biāo)軸重合時，這兩種要素之間就不但具有一定程度的替代性，也具有一定范圍的比

17、例變化要求。由此可見，脊線所夾的范圍，即生產(chǎn)要素的有效投入?yún)^(qū)，刻畫了要素之間的替代性與比例性。（二）邊際替代率當(dāng)兩種投入要素可以相互替代時，我們把一種要素的投入量減少（增加）一單位，為了保持產(chǎn)量不變，所需增加（減少）的另一用要素的投入量， 稱為這兩種要素之間的 邊際替代率。準(zhǔn) 確地說，在投入方案 x =（x, x, x） w R：處，要素h對要素k的邊際替代率，用 M hk （x）表示，定 義為：在除了要素h和k以外的其他要素投入都不變的情況下，要素h的投入量減少（增加）一單位時，為了保持產(chǎn)量水平不變， 所需增加（減少）的要素k的投入量。為了準(zhǔn)確計算邊際替代 率M hk （x）,設(shè)要素h的投入

18、量的微小減少量為 dxh ,要素k的投入量的微小增加量為 dxk ,其他要素投入量未變，產(chǎn)量也沒有變化。于是，下面的全微分等式成立：dQ =df (x) = fhdxh 一 fkdxk =0即也 =fho注意，也就是要素h的投入減少一單位時要素 k的投入的增加量，即 dxhfk(x)dxh是在x處的要素h對要素k的邊際替代率Mhk(x)。于是，我們得到：M hk (x)=dxkf；(x)dxhfk(x)根據(jù)上一節(jié)中的命題 負(fù)的。另外，有效 脊線2,在投入有效區(qū)內(nèi)的各點處任何兩種要素之間的邊際替代率都是非M hk(x);此二汽 xhfh(x)/f(x)二巴上心 Rhk(x) fk (x)xh x

19、kfk(x)/ f (x) xh ： k(x) xh上式中，xk/xh表示要素h投入一單位時，要素k的相應(yīng)投入量。Rhk(x)表示為了配合投入的 一單位要素k ,需要要素h作出的貢獻(xiàn)。這樣，乘積 (xk/xh)Rhk (即邊際替代率)表達(dá)了一單 位要素h所等同的要素k的貢獻(xiàn)，即從貢獻(xiàn)上講，一單位要素h所等同的要素k的數(shù)量。(三)技術(shù)系數(shù)技術(shù)系數(shù)是指企業(yè)生產(chǎn)一單位商品所需投入的各種生產(chǎn)要素的配合比例。當(dāng)生產(chǎn)要素可以相互替代時，技術(shù)系數(shù)就是可變的。 當(dāng)生產(chǎn)要素不能相互替代時，技術(shù)系數(shù)就不可變。因此,技術(shù)系數(shù)可以是固定的、部分可變的、或者完全可變的。固定技術(shù)系數(shù)是指技術(shù)系數(shù)根本不能變動。此時，生產(chǎn)要

20、素之間完全不能相互替代，等 產(chǎn)量曲線圖中脊線重合，并且一般情況下重合為直線，因而有效投入?yún)^(qū)就是該直線所表示的集 合(如圖6-2(a)所示)。完全可變技術(shù)系數(shù)是指技術(shù)系數(shù)可以任意變動。此時，等產(chǎn)量曲線圖中脊線分別與坐標(biāo)軸重合，要素之間可以完全相互替代(如圖6-2(b)所示)。部分可變技術(shù)系數(shù) 是指技術(shù)系數(shù)既不是完全可變，又不是固定不變，而是可以在一定范 圍內(nèi)變化。此時，等產(chǎn)量曲線圖中脊線既不重合，也不分別與坐標(biāo)軸重合，在脊線所夾的范圍內(nèi)要素之間可以相互替代 (如圖6-2(c)所示)。x2x2x2脊線脊線他條件不變的情況下要素 h投入一個單位時所要求的要素 k的投入量，即一 xkThk(x)=可以

21、看出，邊際替代率Mhk(x)、技術(shù)系數(shù)Thk(x)與貢獻(xiàn)系數(shù)Rhk(x)三者之間的關(guān)系如下Mhk (x) =Thk(x) Rhk (x)二、替代彈性及其對偶為了進一步分析技術(shù)系數(shù)的變化情況，我們再引入替代彈性與貢獻(xiàn)彈性的概念。這兩種 彈性之間具有一定的對偶性，即可以相互確定。(一)替代彈性替代彈性 是指技術(shù)系數(shù)的變化幅度與邊際替代率的變化幅度之比，反映技術(shù)系數(shù)對邊際 替代率變化的敏感程度。替代彈性可用公式嚴(yán)格表示如下。在投入方案x處，要素h對要素k的替代彈性等于比值 EShk(x):dThk(x) Thk(x)dlnThk(x)dM hk (x) Mhk(x) dlnMhk(x)EShk (x

22、)二我們來看一下替代彈性的大小情況。正常情況下，要素之間的邊際替代率是遞減的，即等產(chǎn)量曲線凸向元點，因而替代彈性非負(fù)(即技術(shù)系數(shù)與邊際替代率同向變動)。.無替代彈性：EShk(x)=0此時，不論要素h對要素k的邊際替代率如何變化，技術(shù)系數(shù)總是不變的，因此這兩種要 素不能相互替代，必須按照固定的比例投入使用，等產(chǎn)量曲線由兩條具有共同起點的分別平行于坐標(biāo)軸的射線所構(gòu)成。即等產(chǎn)量曲線強性彎曲，折成 90c夾角(如圖6-3(a)所示)。.弱替代彈性：0EShk(x)1此時，技術(shù)系數(shù)的變化幅度不如邊際替代率的變化幅度大，因而技術(shù)系數(shù)對邊際替代率變化的反應(yīng)不很敏感，等產(chǎn)量曲線的彎曲程度較大(如圖6-3(b

23、) 11所示)。.強替代彈性：1EShk(x)0,都有f(tx)=t、(x)。其中的這個數(shù) a叫做齊次函數(shù)f的階數(shù)。歐拉定號(EuIer).如果生函數(shù)f :Rt R是a階齊次函數(shù)并且可微，則對于任何投入向量 xR：+,都有久 f (x) =；3xh fh(x)。證明：設(shè)xWR二十任意給出。既然f(tx)=t/(x)對一切實數(shù)t0都成立，那么在此式兩 邊對t求導(dǎo)數(shù)就可得到：d f (tx) =d t： f (x) ；=.t：f (x) dtdt、一 d任意，一f(tx)= fh(tx)xh。于是，ataJLf(x)fh(tx)xh 對一切 t0成立，當(dāng)然對dth 4hjzt =L也就成立。令t=

24、L,即可得到Ct f(x)=xhfh(x)。歐拉定理得證。h 1歐拉定理說明，對于 a階齊次生產(chǎn)函數(shù)來說，a就是任何投入方案下全部生產(chǎn)要素的總貢獻(xiàn)，即全部要素的總貢獻(xiàn) ct(x)恒為常數(shù)a 。例L. L eontief 生產(chǎn)函數(shù)L eontief 生產(chǎn)函數(shù)是一種固定技術(shù)系數(shù)生產(chǎn)函數(shù)。設(shè)所有生產(chǎn)要素都必須按照固定的比 例投入使用，這個固定比例為aL :a2 :：a廣于是，生產(chǎn)一單位產(chǎn)品所必需的投入向量是a =(a1，a2,，a。0。生產(chǎn)函數(shù)f : R：t R便可寫成：xL x2xif (x) = f(x1，x2，x()=min一，一，3l a2a這就是L由ntief生產(chǎn)函數(shù)的形式，顯然這種形式的

25、生產(chǎn)函數(shù)具有下面一些性質(zhì)：(L) f是嚴(yán)格單調(diào)的，即對一切x, yWR 若xxy ,則f(x) 0,者B有f(tx) = tf(x)；(3)生產(chǎn)要素之間不能相互替代；(4)等產(chǎn)量曲線是如圖6-2(a)所示的夾角為90 ：的折線(兩種要素情形)。例2. Cobb Douglas生產(chǎn)函數(shù)Cobb Douglas生產(chǎn)函數(shù)的形式是：f (x) =f(xi,x2, ,x )=A xhh =AxLLx22x：(x R )h=L其中A3,o(2,，口綃B是正的常數(shù)，A稱為技術(shù)進步系數(shù)。記a =o(L +a2 +af?？梢钥闯觯?L) f是口階齊次函數(shù)；h是要素h的貢獻(xiàn)，即 4 =%(x)=xhfh(x)/f

26、 (x) , 口是全部要素的總貢獻(xiàn)；f是單調(diào)的，即對一切 x, yWR工 若x My ,則f (x) M f (y);f是內(nèi)部強單調(diào)的，即對一切 x, yR：上若xy,則f(x)0O于是，上式告訴我們：當(dāng)MPh(x) APh(x)時，APh(x)處于上升階段；當(dāng)MPh(x) APh(x)時，APh(x)處于下降階段；當(dāng) APh(x)達(dá)到最大時，MPh(x) = APh(x)。其實，邊際產(chǎn)量曲線通過平均產(chǎn)量曲線的最高點這一事實也具有客觀必然性。一般來說，在生產(chǎn)的初級階段邊際產(chǎn)量較大，而且會不斷增加，即邊際產(chǎn)量遞增，因而邊際產(chǎn)量高于平均產(chǎn)量。當(dāng)生產(chǎn)進入第二階段以后，邊際產(chǎn)量下降。如果這個時候繼續(xù)不

27、斷地增加要素h的投入量，那么邊際產(chǎn)量將會進一步下降，直至下降為零。如果還不停止追加要素h的使用量，就要出現(xiàn)負(fù)的邊際產(chǎn)出， 使生產(chǎn)進入邊際產(chǎn)出為負(fù)的無效生產(chǎn)階段(第三階段)。由此可見，邊際產(chǎn)量曲線的形狀呈現(xiàn)倒U型。既然高于平均產(chǎn)量的邊際產(chǎn)量要把平均產(chǎn)量拉升，低于平均產(chǎn)量的邊際產(chǎn)量則把平均產(chǎn)量拉降，因此平均產(chǎn)量曲線也呈現(xiàn)倒U型，而且邊際產(chǎn)量曲線必然通過平均產(chǎn)量曲線的最高點，即在平均產(chǎn)量曲線的最高點處，cAPh (x)/dxh =0 ,從而 MPh(x) =APh(x)。.邊際收益遞減規(guī)律上述關(guān)于邊際產(chǎn)量與平均產(chǎn)量的關(guān)系也告訴我們，在既定生產(chǎn)技術(shù)條件下，任何生產(chǎn)要 素的產(chǎn)出能力都是有限的，也就是說，

28、每種投入要素帶給生產(chǎn)者的平均產(chǎn)量都是有限的，不會因為投入量很大就使平均產(chǎn)量無限增大。于是，平均產(chǎn)量曲線必然有最高點。在平均產(chǎn)量曲線到達(dá)最高點之前，邊際產(chǎn)量大于平均產(chǎn)量；到達(dá)最高點時，二者相等；過了最高點之后，邊際 產(chǎn)量小于平均產(chǎn)量。我們看到，邊際產(chǎn)量雖在開始時刻呈現(xiàn)增加趨勢，但在投入增加到一定程度后，邊際產(chǎn)量必然要隨投入的增加而減少，這就是邊際收益遞減規(guī)律。準(zhǔn)確地說，在其他要素的投入情況保持不變的情況下，一種要素的邊際產(chǎn)量將隨它的總投入量的增加而減少，即生產(chǎn)函數(shù)f的二階偏導(dǎo)數(shù)fh“(x) f(x)當(dāng)RS(x) f (x)時，稱企業(yè)的當(dāng)前生產(chǎn)規(guī)模 x處于規(guī)模報酬遞增階段。 這時，如把規(guī)模擴 大一

29、倍，則所增加的產(chǎn)量高于原來規(guī)模的產(chǎn)量，說明擴大規(guī)模會給企業(yè)帶來好處，企業(yè)處于規(guī)模經(jīng)濟階段。一般來說，在企業(yè)發(fā)展的初期階段，生產(chǎn)規(guī)模較小，企業(yè)家才能和各種生產(chǎn)要素的潛力還未得到充分發(fā)揮，因而擴大規(guī)模是有效益的，即規(guī)模報酬遞增。(2)規(guī)模報酬不變階段：RS(x)=f(x)當(dāng)RS(x) =f (x)時，稱企業(yè)的當(dāng)前生產(chǎn)規(guī)模 x處于規(guī)模報酬不變階段。 這時，如把規(guī)模擴 大一倍，則所增加的產(chǎn)量等于原來規(guī)模的產(chǎn)量， 說明擴大規(guī)模不會給企業(yè)帶來什么壞處。 一般 來講，在企業(yè)發(fā)展的中期階段， 各種固定資產(chǎn)投資都有了較大的增長， 生產(chǎn)規(guī)模到達(dá)了一個相當(dāng)?shù)乃?，各種生產(chǎn)要素的潛力得到了極大發(fā)揮，因而擴大規(guī)模所增加

30、的效益同原規(guī)模下的生產(chǎn)效益相同，規(guī)模報酬不變。(3)規(guī)模報酬遞減階段：RS(x) 1時，規(guī)模報酬遞增；當(dāng)ot(x) =1時，規(guī)模報酬不變；當(dāng) ot(x) 0,要素的價格體系為 p=(p1, p2，pf)0 ,生產(chǎn)函數(shù)Q= f(x)滿足假設(shè)PF, 并假定產(chǎn)品價格q和要素價格體系 p為既定。當(dāng)投入向量為x時，生產(chǎn)者的生產(chǎn)性支出(即支付給生產(chǎn)要素的報酬)為px,稱為生產(chǎn)者 的成本。qf(x)便是生產(chǎn)者售出全部產(chǎn)品后所得到的毛收入，稱為生產(chǎn)者的 總收入或總產(chǎn)值。顯然，總收入qf(x)是實物報酬f(x)的貨幣形態(tài)。今后，將用“收入” 一詞來指毛收入或總 收入，而不再帶“毛”或“總”字。從總收入中扣除成本

31、之后，剩余部分就是生產(chǎn)者的凈收入，即利潤，記作n ,即二一二(x)=q f (x) - px =q f(x) T： pix1P2x2，-px生產(chǎn)者以實現(xiàn)利潤最大化為目標(biāo)，因而利潤函數(shù)n(x)是生產(chǎn)者的目標(biāo)函數(shù)，他要使 n(x)的值盡可能地增大。利潤最大化問題，就是指生產(chǎn)者選擇合適的投入方案x使n (x)達(dá)到最大值。當(dāng)一種投入方案x是n(x)的最大值點時，就稱 x是利潤最大化投入(方案或向量)。命題1(利潤最大化投入的有效性),利潤最大的投入方案必然是有效投入方案。事實上，設(shè)x是利潤最大化投入方案。假如x不是有效投入方案，那么就存在著另外一種投入方案z使得z x且f (z)之f (x),從而q

32、f (z)之q f (x)且pz px ,結(jié)果 二(z): q f (z) - pzqf (x) _ px =二(x)這與x是利潤最大化投入方案相矛盾?？梢?，x必然是有效投入。命題 1得證。二、利潤最大化的邊際分析設(shè)x是利潤最大化投入方案， 即x是利潤函數(shù)n(x)的最大值點。假定所考慮的這種生產(chǎn) 要素都是生產(chǎn)必需要素， 缺一不可。也就是說，只要其中有一種要素的投入量為零， 產(chǎn)出必然 也為零。這樣，利潤最大化投入方案 x必在投入集合的內(nèi)部，即 x0o根據(jù)最大值的一階條件，利潤函數(shù)在x處的各個一階偏導(dǎo)數(shù)都為零：二h(x) =-x- =qfh(x) - ph =0 (h =1,2,) 二 xh即ph

33、 =qfh(x) (h =1, ,)此式稱為利潤最大化 邊際等式 或邊際方程，它告訴我們：上止4 =)=烏名=。這pp2p q就說明：(1)在利潤最大化投入方案處，把一單位貨幣不論用于增加哪種要素的投入量，所獲得的產(chǎn)品增加量都是一樣的，它就是生產(chǎn)者的單位貨幣收入所售出的產(chǎn)品量。邊際等式還告訴我們，L=_吆二=q。這說明：f；(x)f式x)f /(x) “(2)在利潤最大的投入方案處，產(chǎn)品的價格就是企業(yè)最后增加的那一單位產(chǎn)出所耗費的 成本。這就是競爭性廠商的產(chǎn)品定價原則。最后還是從邊際等式可知：fh (x)phMhk(x)h h (h,k=1,2;,)fk(x)Pk這說明：(3)在利潤最大的投入

34、方案處，任何兩種投入要素之間的邊際替代率都等于它們相應(yīng)的價格比。三、利潤最大化的規(guī)模效益與盈虧情況在利潤最大的投入方案 x 0 $處，既然ph =q fh(x) (h =1,2,，勺，我們有要素h的規(guī)模效益0fh (x) =xhfh (x) =-p心L =要素h的報酬f (x) q f (x) 總收入規(guī)模效益:(x) = hhfh(x)= =成本f (x) q f (x) 總收入即在利潤最大化投入方案處，一種要素的規(guī)模效益是該要素的報酬占總收入的比例。企 業(yè)的規(guī)模效益是企業(yè)生產(chǎn)的成本與總收入之比。利潤最大化并不意味著企業(yè)一定能夠盈利，而是說，當(dāng)盈利時利潤最大，當(dāng)虧損時虧損最小。從實現(xiàn)利潤最大化

35、時企業(yè)的規(guī)模效益同成本與產(chǎn)值的關(guān)系，可得如下的盈虧分析結(jié)論:命題2(利潤最大化的盈虧).在利潤最大化的情況下，(1)如果企業(yè)的規(guī)模報酬遞增(即規(guī)模效益大于1),那么企業(yè)生產(chǎn)處于虧損狀態(tài)；(2)如果企業(yè)的規(guī)模報酬不變(即規(guī)模效益等于1),那么企業(yè)生產(chǎn)處于不盈不虧損狀態(tài)(3)如果企業(yè)的規(guī)模報酬遞減(即規(guī)模效益小于1),那么企業(yè)生產(chǎn)處于盈利狀態(tài)。既然不論在短期還是長期內(nèi)，企業(yè)都以利潤最大化為行動目標(biāo)，因此我們可以假定企業(yè) 總是處于利潤最大化狀態(tài)。這樣從長期來看，在規(guī)模報酬遞增階段，企業(yè)生產(chǎn)處于虧損狀態(tài)， 但這個時候企業(yè)存在著規(guī)模經(jīng)濟，如能擴大生產(chǎn)規(guī)模，則各種生產(chǎn)要素的潛力會得到充分發(fā)揮，從而使企業(yè)利

36、用擴大規(guī)模的辦法扭虧為盈，進入規(guī)模報酬不變或遞減的階段。因此，企業(yè)扭虧為盈的出路是：首先，企業(yè)要以利潤最大化為目標(biāo)。如果不是，就要想方設(shè)法改變企業(yè)的行為 (比如采取股份制或私有化等各種手段 )，使企業(yè)以實現(xiàn)利潤最大化為行為目標(biāo)。然后，看企業(yè)是否存在著規(guī)模經(jīng)濟。如果存在著規(guī)模經(jīng)濟，就要擴大生產(chǎn)規(guī)模使企業(yè)得到規(guī)模經(jīng)濟方面的全 部好處，最終使企業(yè)達(dá)到不存在規(guī)模經(jīng)濟的狀態(tài)。企業(yè)只有追求利潤最大化并同時獲得擴大生產(chǎn)規(guī)模所能得到的全部好處，才能擺脫虧損的困境而進入盈利狀態(tài)。第六節(jié)成本理論我們已經(jīng)從收益方面對企業(yè)的生產(chǎn)活動進行了充分的分析。本節(jié)再從成本方面研究生產(chǎn) 活動，討論成本的概念、成本的確定、產(chǎn)出與成

37、本的對偶以及生產(chǎn)擴展等問題。一、成本的一般概念成本是企業(yè)支付給生產(chǎn)要素的報酬，也即生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所耗費的支出。各種生產(chǎn)要 素的報酬支付方式與時間不盡相同，有些生產(chǎn)要素在購買時就要支付報酬，或者要按契約按期支付報酬，這類要素報酬是可見的， 并一般要求用貨幣來支付，稱之為貨幣成本。由于它的可見性，故又稱為 顯性成本 或可見成本，也就是會計學(xué)中的 會計成本。另有一部分生產(chǎn)要素的報酬不需立即支付，也沒有合同約定必須支付，但它們確實在生 產(chǎn)中發(fā)揮著作用，應(yīng)該得到報酬。這類生產(chǎn)要素有企業(yè)家才能、企業(yè)自有土地、自由廠房、自 由機器設(shè)備等，它們的報酬不計入會計賬目，因而是看不見的，稱為隱性成本。生產(chǎn)要素的報

38、酬，還應(yīng)該從機會成本的角度來考慮。生產(chǎn)要素具有多用途性，既可用于這種產(chǎn)品的生產(chǎn)，又可用于另一種產(chǎn)品的生產(chǎn)。例如，一畝土地即可用于生產(chǎn)糧食，也可用于擴建工廠，還可用建筑住房。假如用于生產(chǎn)糧食，可得到 1000元利潤；用于擴建工廠，可得 到5000元利潤；用于建造住房，可得到10000元利潤。那么，當(dāng)生產(chǎn)者用這一畝土地來進行糧食生產(chǎn)時，他就以放棄建造住房的 10000元利潤收入為代價。所放棄的這10000元利潤收入, 稱為這一畝地用于生產(chǎn)糧食的機會成本。具體地講，生產(chǎn)要素的 機會成本，是指生產(chǎn)要素用于這種用途時所放棄的在其它用途中的最高收入。從機會成本角度考慮生產(chǎn)要素的投入使用問 題，可促使要素用

39、于最佳途徑，促使資源達(dá)到最優(yōu)配置。今后，我們假定生產(chǎn)者就是按照機會成本來考慮生產(chǎn)要素的報酬的。夕這個前題下，企 業(yè)決定用種生產(chǎn)要素生產(chǎn)某種產(chǎn)品，生產(chǎn)函數(shù)為Q = f (x)(xW R$。企業(yè)的成本主要由顯性成本和隱性成本構(gòu)成，我們更關(guān)心顯性成本的變化。對于顯性成本，按照生產(chǎn)要素在所考慮的時期內(nèi)是否可變，可分為可變成本和固定成本。可變成本(Variable Cost) 是所考慮時期內(nèi)隨產(chǎn)量變化而變化的那部分生產(chǎn)要素的報酬，比如 原材料、燃料、電力、勞動等費用支出。因此，可變成本是一切可變要素的報酬。固定成本(FixedCost)是所考慮時期內(nèi)不隨產(chǎn)量變化而變化的那部分生產(chǎn)要素的報酬，比如廠房、大

40、型機器設(shè) 備、耐用儀器等不變要素的費用支出。因此，固定成本是短期內(nèi)支付給一切固定要素的報酬。注意，長期內(nèi)一切生產(chǎn)要素都是可變的，因此長期內(nèi)只有可變成本，而固定成本僅存在于短期之內(nèi)?？勺兂杀九c固定成本之和稱為總成本(Total Cost),它是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需的成本總額。用TC表示總成本， VC表示可變成本， FC表示固定成本，則 TC =VC+FC。從統(tǒng)計角度分析總成本的構(gòu)成，則有平均成本和邊際成本概念。平均成本(Average Cost)是平均生產(chǎn)一單位產(chǎn)品所需的成本額，用 AC表示。在產(chǎn)量為Q 時，AC =AC(Q) =TC/Q。短期內(nèi)，平均成本由平均可變成本AVC和平均固定成本 AF

41、C構(gòu)成：AC=AVC+AFC ,其中AVC=VC/Q, AFC=FC/Q。長期內(nèi)，成本沒有固定與可變 之分，一切成本都是可變的，因此 TC = AC, AV = AVC (即平均成本只有平均可變成本 )。邊際成本(Marginal Cost) 是指增加一單位產(chǎn)量時所需增加的成本費用，用 MC表示。如 果在產(chǎn)量水平 Q上又增加了 AQ個單位的產(chǎn)品，引起總成本TC增加ATC ,那么產(chǎn)量水平 Q上TC dTC的邊際成本就z： MC =MC(Q) = lim =TC (Q) Qm0 ：QdQ不論短期還是長期，邊際成本都等于邊際可變成本：ddVC(Q)MC(Q) =一(VC(Q) FC) =(-) =V

42、C (Q)dQdQ初級微觀經(jīng)濟學(xué)介紹說：邊際成本曲線通過平均成本曲線的最低點；由于邊際報酬遞減， 隨著產(chǎn)量的增加，每增加一單位產(chǎn)出所需增加的要素投入量越來越多，因而邊際成本遞增。 準(zhǔn)確地說，邊際成本遞減規(guī)律是指當(dāng)產(chǎn)量增加到一定程度之后，若要繼續(xù)增加產(chǎn)量，那么增加單位產(chǎn)量所增加的成本將越來越大。二、成本函數(shù)成本函數(shù)是成本與產(chǎn)量之間的對應(yīng)關(guān)系，反映成本隨產(chǎn)量變化而變化的規(guī)律。由于固定 成本不隨產(chǎn)量的變化而變化，因此成本隨產(chǎn)量變化而變化的規(guī)律主要體現(xiàn)在可變成本隨產(chǎn)量變 化而變化的情況之上：TC =TC(Q) =VC(Q) +FC。由于FC固定不變，因此我們關(guān)心的是VC的變化情況。(一)成本函數(shù)的確定

43、,設(shè)企業(yè)組織生產(chǎn)所需的一切生產(chǎn)要素共有種，生產(chǎn)函數(shù)為f : R：t R,并且f滿足假設(shè)PF。設(shè)生產(chǎn)要素的價格向量為p=(pP2,，pf)0。按照這個價格體系，投入方案x =(x1 ,x2，x 的費用支出為px ,它就是投入x的成本。要素空間R時成本相同的投入方案的全體，稱為等成本線(面)。如果區(qū)分可變要素和不變成本，那么成本 px就由可變成本和固定成本兩部分構(gòu)成。目前情況下，我們要作一般性考 慮，因而暫且不區(qū)分可變成本和固定成本，或者說也可以視所考慮的 種生產(chǎn)要素全都為可變要素。從生產(chǎn)函數(shù)Q = f(x)出發(fā)，利用產(chǎn)出與成本的對偶關(guān)系，可以確定要素價格體系p下的成本函數(shù)C =TC =C(p,Q

44、),具體做法如下。1.產(chǎn)量既定時的成本對于既定的產(chǎn)量Q,從等產(chǎn)量曲線可知，生產(chǎn) Q個單位的產(chǎn)品可以有許多種不同的投入 方案，生產(chǎn)者自然要在產(chǎn)量為 Q的等產(chǎn)量曲線L(Q)上選擇成本最小的投入方案，這就是產(chǎn)量既定時的成本最小化問題。對于既定的要素價格體系p和產(chǎn)量水平Q,我們把等產(chǎn)量曲線L(Q)上成本最小的投入方案的成本，稱為生者的 (總)成本，記作C = C(p,Q),即C(p,Q) =min px: (x R ) (f (x) =Q) = min px: x L(Q)(1)成本最小化投入當(dāng)一個產(chǎn)量為 Q的投入向量 x*wR：滿足px*=C(p,Q) 時，稱這個向量x*為既定產(chǎn)量Q下的成本最小化投

45、入向量(方 案)。從幾何上看，既定產(chǎn)量Q下成本最小化投入向量 x*是等 產(chǎn)量曲線L(Q)與等成本線px = px*的切點(如圖6-5所示)。 這條等成本線所代表的成本就是產(chǎn)量為Q時生產(chǎn)者的成本C(p,Q)。成本最小化投入向量x*類似于消費理論中的?？怂剐枨螅杀竞瘮?shù)C(p,Q)則類似于消費理論中的消費支出函數(shù)命題1.成本最小化投入方案必然是有效投入方案 。 證明：設(shè)x*是既定產(chǎn)量Q下的成本最小化投入向量。e(p,U)o根據(jù)本章第一節(jié)命題 3,要證明x*是有效投入，只需證明等產(chǎn)量曲線L(Q)上沒有一點z能夠滿足zx*。用反證法，假定存在z w L(Q)滿足z x*。既然p 0 ,我們有pz 0O

46、結(jié)合假設(shè)PF可知Vf(x*) 0,從而成本最小化 拉格朗日乘數(shù)虱0。既然 Z0 , p 0且 p = ZVf(x*),我們得到：Vf (x*) 0,即 fh(x*) 0(h=1,2,，。命題2.成本最小化投入方案處任何兩種要素之間的邊際替代率都等于相應(yīng)的價格比。這是因為 M hk (x*) =fh(x*)/fj(x*) =Zfh(x*)/(兒fj(x*)=用/力卜(h,k=1,2,/)。由此可 見，成本最小化投入方案下要素之間的相互替代使得要素的投入使用達(dá)到了最經(jīng)濟的程度。2.成本既定時的產(chǎn)量成本函數(shù)C( p,Q)揭示了產(chǎn)量同生產(chǎn)這一產(chǎn)量所需的最小成本之間的關(guān)系。但這里有一個x2問題必須加以說

47、明，即按照最小成本所組織的當(dāng)前產(chǎn)量的生產(chǎn)是否是這個成本下的最大產(chǎn)量的 生產(chǎn)？這就是既定成本下的產(chǎn)量最大化問題。圖6-6顯示了產(chǎn)量最大化問題的解法。在既定白成本C下，生產(chǎn)者要使產(chǎn)量達(dá)到最大，這等價于要求生產(chǎn)函數(shù)f (x)在約L(Q)束條件px=C下達(dá)到最大值?？捎美窭嗜粘藬?shù)法解之， 其結(jié) 果依然是：在等產(chǎn)量曲線 L(Q)與等成本線px=C的切點處， f(x)取得最大值。顯然，既定成本下的產(chǎn)量最大化問題，與消費理論中的效 用最大化問題是類似的。在要素價格體系p和既定成本C下，產(chǎn)量最大化投入方案 x*類似于馬歇爾需求向量，因此完全可 以用類似于馬歇爾需求分析方法證明，產(chǎn)量最大化投入方案與成本最 即

48、產(chǎn)量最大化時實現(xiàn)了成本最小化，成本最小化時也實現(xiàn)了產(chǎn)量最大化。這樣，按照既定產(chǎn)量下的最小成本組織的生產(chǎn)，必然實現(xiàn)了這一成本下的產(chǎn)量最大化。這就是說，成本函數(shù)C(p,Q)具有產(chǎn)量最大化的意義：在要素價格體系p下，如果C是既定產(chǎn)量Q下的最小成本，即C =C(p,Q),則Q也是既定成本C下的最大產(chǎn)量；反之，如果Q是既定成本C下的最大產(chǎn)量，則 C=C(p,Q),即C也是既定產(chǎn)量 Q下的最小成本。(二)生產(chǎn)擴展上面關(guān)于確定成本函數(shù)的討論說明，要素空間中等產(chǎn)量曲線與等成本線的切點相當(dāng)重要,它既是既定產(chǎn)量下的成本最小化投入方案，又是既定成本下的 產(chǎn)量最大化投入方案。企業(yè)在這些切點上組織安排生產(chǎn)活動才 是最優(yōu)

49、的選擇，企業(yè)的生產(chǎn)應(yīng)該沿著這些切點運動的軌跡進行 擴展。鑒于此，我們把等產(chǎn)量曲線與等成本線的切點所構(gòu)成的p下的生產(chǎn)擴展線，并用EP(p) EP(p)可由下述方程組確定：(h =12 ,)集合，稱為企業(yè)在要素價格體系 表示(如圖6-7所示)。明顯地，ph =*Jh(x) f (x) =Q此方程組稱為生產(chǎn)擴展方程。在既定價格體系p下，從生產(chǎn)擴展方程可確定出任何產(chǎn)量水平Q上的投入方案 x=x(p,Q)。生產(chǎn)擴展線EP(p)便是點x(p,Q)隨Q變化而移動生成的軌跡，即EP(p)=x(p,Q): Q_0=x R : (R)( p = f (x)容易證明：C(p,f(x) = px對一切xEP(p)成立

50、。1.成本最小化拉格朗日乘數(shù)的意義設(shè)xEP(p) , Q = f (x)。于是，存在實數(shù) 人使得p = AVf(x)。顯然，這個實數(shù)K就是產(chǎn) 量Q下的成本最小化拉格朗日乘數(shù)。利用生產(chǎn)擴展線，我們可以給出成本最小化拉格朗日乘 數(shù)Z的一個經(jīng)濟解釋。假設(shè)產(chǎn)量水平Q發(fā)生了一個微小變動 dQ ,引起成本C=C(p,Q)發(fā)生了微小變化dC,即 dC =C(p,Q +dQ) C(p,Q)。由于生產(chǎn)要在擴展線 EP(p)上進行，因此可取x的一個微小變 動 dx =(d x1, dx2，d xf)使得 x +dx w EP( p)且 Q +dQ = f (x + dx)。這樣，我們有：C( p,Q dQ) =

51、C( p, f (x dx) = p(x dx) = px pdx = C (p, f (x) pdx = C( p, Q) pdx 這說明 dC =C(p,Q+dQ) C(p,Q) = pdx。ph .1.1.1 一注思，dQ = f (x - dx) - f (x) = fhdxh = 、 dxh = - % p hdxh = pdx = - dC h 1h 4 h4所以， 百口 二.FQ dQ這說明，生產(chǎn)擴展線上任一點處的成本最小化拉格朗日乘數(shù)都是相應(yīng)產(chǎn)量下的邊際成本，即成 本最小化拉格朗日乘數(shù)就是邊際成本3.成本最小化投入方案的確定設(shè)x* =x(p*, Q*),即x*是要素價格體系 p

52、*下產(chǎn)量水平Q*上的成本最小化投入方案。于是，f(x*)=Q*, p*x* =C(p*, Q*)。對于任何的要素價格體系p ,由于C(p,Q*)是按照價格體系 p組織產(chǎn)量Q*的生產(chǎn)時發(fā)生的最小成本，而按照投入方案x*生產(chǎn)的產(chǎn)量也是 Q* ,因此C(p,Q*)Epx*。令g(p) =C(p,Q*) - px*則g(p)W0對一切p0成立，并且g( p*) =C( p*, Q*) - p*x* =0。這說明p*是函數(shù)g(p)的 最大值點，從而g( p)在點p*處的一階偏導(dǎo)數(shù)必為零：gh(p*)g(p)p hp R*fC(p,Q*)二 ph*-xhp -p*jC (p*, Q*)二 ph* _-xh

53、 = 0(h-1,2,)即Ch(p*, Q*), 0可*); xh (h =1,2,)二 ph由此可見，成本最小化投入向量正是由成本函數(shù)對各種要素價格的偏導(dǎo)數(shù)來給出的。這個結(jié)論是重要的，它的經(jīng)濟學(xué)直觀意義是：我們正處在一個成本最小化點上，這時要素h的價格ph開始增加。要素價格增加的直接效應(yīng)，是這種要素的支出增加；但同時也存在著一種間 接效應(yīng)，即我們要改變生廣要素的投入組合。然而從Ch(p*, Q*) =xh可知，當(dāng)要素h的價格增加一個單位時，在成本最小化點上(不論是否改變要素投入組合)生產(chǎn)原產(chǎn)量Q*的成本(都必然)也同時增加xh個單位?？梢姡捎诋a(chǎn)量不變且成本的增加量又不會減少，即使改變生產(chǎn)

54、要素的投入組合，也不會產(chǎn)生額外的利潤。(三)成本函數(shù)的性質(zhì)現(xiàn)在，我們對成本函數(shù) C(p,Q)的特點作一些分析。性質(zhì)1.成本函數(shù)C(p,Q)是產(chǎn)量Q的遞增函數(shù)，即cC(p,Q)/cQ0 o事實上，根據(jù)成本最小化拉格朗日乘數(shù)九的意義可知，?. = cC(p,Q)/cQ ,而且p0保證了九0 ,因此成本函數(shù) C( p,Q)是產(chǎn)量Q的遞增函數(shù)。性質(zhì)2.成本函數(shù)C(p,Q)是要素價格體系 p的一階齊次函數(shù)，即對任何實數(shù)tA0,都成立：C(tp,Q) =tC(p,Q)。事實上，C(tp,Q) =min(tpx:xW L(Q)=tminpx: xe L(Q)=tC(p,Q)。性質(zhì)3.成本函數(shù)C(p,Q)是要

55、素價格p的凹函數(shù)，即在既定產(chǎn)量Q下，對于任何價格向量 p，和 p“以及任何實數(shù) t0,1,都有 C(tpr+(1 -t)pw,Q)tC(p：Q) +(1 t)C(p“,Q)。實際上，若記p =tp十(1 t)p并設(shè)x是價格p和產(chǎn)量Q下的成本最小化投入方案， 則有 f (x) =Q 且 C( p,Q) = px =t p x + (1 -t) p Fx 0 注意，C( p,Q) p1rx且 C(p* Q) 4 p*x。 于是，C(tp (1 -t)p ,Q)=C(p,Q)=tp x (1 -t)p x _tC(p ,Q) (1 -t)C(p ,Q)。性質(zhì)4.如果生產(chǎn)函數(shù)f(x)是凹函數(shù)(即邊際報

56、酬遞減)，那么成本函數(shù) C(p,Q)是產(chǎn)量Q 的凸函數(shù)(即邊際成本遞增)。證明：在既定的要素價格體系 p下，對于任何產(chǎn)量水平 Q1和Q2及任何實數(shù)t W 0,1,設(shè)x 是產(chǎn)量Q1下的成本最小化投入方案，x是產(chǎn)量Q2下的成本最小化投入方案，并令 x=tx+(1 t)x “及 Q = f (x)。則 Q1 =f(x), Q2 = f(x“)，并且 f (x)之tf (x) + (1 t)f (x“)， 即 Q 之tQ1 +(1t)Q2。注意，C(p,Q1) = px且 C(p,Q2)=px,因此 px = tpx十(1 t) px, = tC(p,Q1) (1 -t)C(p,Q2)o既然 Q2tQ

57、 +(1-阿,根據(jù)性質(zhì) 1, C(p,Q)之C(p,tQ +(1t)Qz)。但 px之C(p,Q), 因而 tC(p,Q1)+(1 t)C(p,Q2) = px 豈 C(p,Q)之 C(p,tQ +(1-t)Q2)o 這就證明了 C(p,Q)是 產(chǎn)量Q的凸函數(shù)。性質(zhì)5.成本函數(shù)C(p,Q)是要素價格p和產(chǎn)量水平Q的連續(xù)函數(shù)。進而，如果生產(chǎn)函數(shù) f (x)強擬凹，則成本函數(shù) C ( p,Q)是p和Q的連續(xù)可微函數(shù)。這是因為，成本最小化投入方案x(p,Q)類似于?？怂剐枨螅？怂剐枨蟮葍r于馬歇爾需求。我們已經(jīng)證明了馬歇爾需求的連續(xù)性和可微性，因而可以證明?？怂剐枨蟮倪B續(xù)性和可微性。再用完全類似的

58、方法，可以證明x(p,Q)是p和Q的連續(xù)映射，從而成本函數(shù)C(p,Q) = px(p,Q)是p和Q的連續(xù)函數(shù)；進一步，如果生產(chǎn)函數(shù)f(x)強擬凹，那么還可以類似地證明x(p,Q)是連續(xù)可微的映射，從而 C(p,Q) = px(p,Q)是p和Q的連續(xù)可微函數(shù)。注意，如果生產(chǎn)函數(shù) f是可微的凹函數(shù)，那么 f必是強擬凹的。因此，在邊際報酬遞減 規(guī)律的作用下，成本函數(shù)的可微性及成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的凸性都是必然。三、成本函數(shù)與規(guī)模報酬最后，我們來考察成本與規(guī)模報酬變化之間的關(guān)系。由于現(xiàn)在考察的變量是產(chǎn)量，因此 我們假定要素價格不變。這樣，可把成本函數(shù)C(p,Q)簡單地寫成C(Q),而省去價格向量 p。企業(yè)

59、按照生產(chǎn)擴展線組織安排生產(chǎn)，企業(yè)的規(guī)模效益(即規(guī)模彈性)應(yīng)該是生產(chǎn)擴展線上的規(guī)模效益(x)。設(shè)x w EP( p) , Q = f (x),九=九(p,Q) = HQ)是相應(yīng)的成本最小化拉格朗 日乘數(shù)。從對 K的經(jīng)濟解釋可知，“=C(p,Q)/Q=dC(Q)/dQ=C(Q)=MC(Q)。我們有： “ hmxhfh(x) Xdxhphpx C(Q) C(Q) Q AC(Q)-(x)=f (x) f(x) Q MC(Q)Q MC(Q) MC(Q)因此，按照生產(chǎn)擴展線安排生產(chǎn)，企業(yè)的規(guī)模效益等于相應(yīng)的平均成本與邊際成本之比。h、e . MC(Q) -AC(Q) MC(Q) AC(Q) MC(Q)h再

60、注意，AC (Q)=W必)=皿 1 - 一巴 ！= W(1u(x)。我們得QQ 0 ,都有AC (Q) =0 ,這就說明平均成本 AC(Q)恒為常數(shù)。反之，如果平均成本 AC(Q)恒 為常數(shù)，則AC(Q)三0,從而對任何xwEP(p),都有o(x)=1,即生產(chǎn)擴展線上的規(guī)模報酬 總是不變的。由此可知，生產(chǎn)擴展線上的規(guī)模報酬不變之假設(shè)同成本函數(shù)具有形式C( p,Q) = c(p)Q是相互等價的。1命題5.如果生產(chǎn)函數(shù)f(x)是k階齊次函數(shù)，那么成本函數(shù)具有形式C(p,Q)=c(p)Q.0證明：令x =x(p,Q)為成本最小化投入向量，則 o(x) =AC(Q)/MC(Q)。既然f是k階 齊次函數(shù)