壓桿的穩(wěn)定性分析與設(shè)計(jì)課件

1、第11章壓桿的穩(wěn)定性分析與設(shè)計(jì)7/31/2022111.1 壓桿穩(wěn)定性的概念構(gòu)件的承載能力：強(qiáng)度剛度穩(wěn)定性 工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作。7/31/20222不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡 微小擾動(dòng)就使小球遠(yuǎn)離原來的平衡位置 微小擾動(dòng)使小球離開原來的平衡位置，但擾動(dòng)撤銷后小球回復(fù)到平衡位置7/31/20223穩(wěn)定平衡11.1.1 平衡位置的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性 結(jié)構(gòu)構(gòu)件或機(jī)器零件在壓縮載荷或其他特定載荷作用下發(fā)生變形，最終在某一位置保持平衡，這一位置稱為平衡位置，又稱為平衡構(gòu)形(equilibrium configuration)。 承受軸向壓縮載荷的細(xì)長壓桿，有可能存在兩種平

2、衡構(gòu)形直線的平衡構(gòu)形和彎曲的平衡構(gòu)形。當(dāng)載荷小于一定的數(shù)值時(shí)，微小外界擾動(dòng)使得某一平衡構(gòu)形偏離原來的平衡構(gòu)形，外界擾動(dòng)去除之后，構(gòu)件仍舊能自動(dòng)回復(fù)到初始平衡構(gòu)形，則稱初始的平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的 (stable)。7/31/20224不穩(wěn)定平衡當(dāng)載荷小于一定的數(shù)值時(shí)，微小外界擾動(dòng)使得某一平衡構(gòu)形偏離原來的平衡構(gòu)形，外界擾動(dòng)去除之后，構(gòu)件不能自動(dòng)回復(fù)到初始平衡構(gòu)形，則稱初始的平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的 (unstable)。7/31/202253.壓桿失穩(wěn)：4.壓桿的臨界壓力穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)臨界壓力: Pcr7/31/20226 在任意微小的外界擾動(dòng)下，不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌胶鈽?gòu)形。不穩(wěn)定的

3、細(xì)長壓桿的直線平衡構(gòu)形，在外界的微小擾動(dòng)下，將轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形。這一過程稱為屈曲(buckling)或失穩(wěn)(lost stability)。 通常，屈曲將使構(gòu)件失效，并導(dǎo)致相關(guān)的結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌(collapse)。由于這種失效具有突發(fā)性，常常帶來災(zāi)難性后果。 7/31/202272007年8月2日，美國明尼蘇達(dá)州一座跨越密西西比河的大橋發(fā)生坍塌 7/31/202287/31/2022911.1.2 臨界狀態(tài)與臨界載荷 介于穩(wěn)定平衡構(gòu)形與不穩(wěn)定平衡構(gòu)形之間的平衡構(gòu)形稱為臨界平衡構(gòu)形，或稱為臨界狀態(tài)(critical state)。處于臨界狀態(tài)的平衡構(gòu)形，有時(shí)是穩(wěn)定的，有時(shí)是不穩(wěn)定的，也有時(shí)是中

4、性的。 非線性彈性穩(wěn)定理論已經(jīng)證明了：對(duì)于細(xì)長壓桿，臨界平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。 使桿件處于臨界狀態(tài)的壓縮載荷稱為臨界載荷(critical loading)，用FPcr表示。 7/31/20221011.1.3 三種類型的壓桿的不同臨界狀態(tài) 不是所有受壓桿件都會(huì)發(fā)生屈曲，也不是所有發(fā)生屈曲的壓桿都是彈性的。理論分析與試驗(yàn)結(jié)果都表明：根據(jù)不同的失效形式，受壓桿件可以分為三種類型，它們的臨界狀態(tài)和臨界載荷各不相同。 細(xì)長桿：發(fā)生彈性屈曲，當(dāng)外加載荷FPFPcr時(shí)，不發(fā)出屈曲；當(dāng)FPFPcr時(shí)，發(fā)生彈性屈曲，即當(dāng)載荷去除后，桿仍能由彎形平衡構(gòu)形回復(fù)到初始直線平衡 構(gòu)形。 7/31/202211中長桿：發(fā)

5、生彈塑性屈曲。當(dāng)外加載荷FPFPcr時(shí)，不發(fā)出屈曲；當(dāng)FPFPcr時(shí)，它發(fā)生屈曲，但不再是彈性的，這是因?yàn)閴簵U上某些部分已經(jīng)出現(xiàn)塑性變形，即當(dāng)載荷去除后，桿不能完全由彎形平衡構(gòu)形回復(fù)到初始直線平衡 構(gòu)形。 粗短桿：不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服(yield)。7/31/20221211.2 細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式一、兩端鉸支壓桿的臨界力: 假定壓力已達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)，如圖， 從撓曲線入手，求臨界力。彎矩：撓曲線近似微分方程：PPxPxwPM7/31/202213微分方程的解：確定積分常數(shù)： 臨界力 Pcr 是微彎下的最小壓力，故，只能取n=1 ；且桿將繞慣性矩最小的軸彎曲。7/31/2

6、02214二、此公式的應(yīng)用條件：1.理想壓桿；2.線彈性范圍內(nèi)；3.兩端為球鉸支座。兩端鉸支壓桿臨界力的歐拉公式 壓桿穩(wěn)定7/31/20221511.2.2 其他剛性支承細(xì)長壓桿臨界載荷的 通用公式長度系數(shù)（或約束系數(shù)）。壓桿臨界力歐拉公式的一般形式不同剛性支承條件下的壓桿，由靜力學(xué)平衡方法得到的平衡微分方程和端部的約束條件都可能各不相同，確定臨界載荷的表達(dá)式亦因此而異，但基本分析方法和分析過程卻是相同的。 對(duì)比方法：以兩端鉸支的情況為依據(jù)，將其他約束的壓桿的撓度曲線形狀與兩端鉸支壓桿的撓度曲線形狀比較，來推出不同約束條件下的壓桿臨界應(yīng)力公式。7/31/2022160.5l各種支承約束條件下等

7、截面細(xì)長壓桿臨界力的歐拉公式支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由兩端固定但可沿橫向相對(duì)移動(dòng)失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀PcrABl臨界力Pcr歐拉公式長度系數(shù)=10.7=0.5=2=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC 撓曲線拐點(diǎn)C、D 撓曲線拐點(diǎn)0.5lPcrPcrl2llC 撓曲線拐點(diǎn)7/31/20221711.3 長細(xì)比的概念 三類不同壓桿的判斷11.3.1 長細(xì)比的定義與概念 前面已經(jīng)提到歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。這就要求在臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構(gòu)形時(shí)，其橫截面上的正應(yīng)力小于或等于材料的比例極 限，即 對(duì)于某一壓桿，當(dāng)臨界載荷FPcr尚未算出時(shí)，不能判斷

8、式(11-9)是否滿足；當(dāng)臨界載荷算出后，如果式(11-9)不滿足，則還需采用超過比例極限的臨界載荷計(jì)算公式重新計(jì)算。這些都會(huì)給實(shí)際設(shè)計(jì)帶來不便。 能否在計(jì)算臨界載荷之前，預(yù)先判斷壓桿是發(fā)生彈性屈曲還是發(fā)生超過比例極限的非彈性屈曲，或者不發(fā)生屈曲而只發(fā)生強(qiáng)度失效?為了回答這一問題，需要引進(jìn)長細(xì)比(slenderness ratio)的概念。 7/31/202218細(xì)長比用表示，定義為：其中為反映不同支承影響的長度系數(shù)，l為壓桿長度，i為全面反映壓桿橫截面形狀與尺寸的幾何量。所以細(xì)長比是一個(gè)綜合反映壓桿長度、約束條件、截面尺寸和截面形狀對(duì)壓桿臨界載荷影響的量。7/31/202219(1) 歐拉公

9、式的應(yīng)用范圍是材料變形處于線彈性階段。表明：當(dāng)大于或等于極限值 時(shí)，歐拉公式才是適用的。定義：當(dāng)材料的E、 p給定之后，就可以獨(dú)立計(jì)算出p臨界壓縮應(yīng)力小于材料的比例極限，就發(fā)生了屈曲破壞。當(dāng)壓桿的柔度大于p時(shí)，可用上述歐拉公式計(jì)算，這種桿稱為大柔度桿或細(xì)長桿7/31/202220(2) 如果壓桿的柔度p時(shí)，則壓桿的臨界應(yīng)力公式不能采用歐拉公式計(jì)算。這是屬于壓桿臨界應(yīng)力超出了材料的比例極限的壓桿穩(wěn)定問題。直線公式經(jīng)驗(yàn)公式 把壓桿的臨界應(yīng)力表示為柔度的線性函數(shù)其中a、b是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)測定。7/31/202221的使用范圍：最低限s所對(duì)應(yīng)的臨界應(yīng)力等于材料的壓縮極限應(yīng)力對(duì)于塑性材料(

10、韌性材料)對(duì)于脆性材料定義：把這種壓桿稱為中柔度桿。當(dāng)時(shí)，該類壓桿稱為小柔度桿 這類小柔度壓桿的破壞是由于壓應(yīng)力達(dá)到材料的極限應(yīng)力而引起的破壞，它不是因失穩(wěn)而破壞，而是強(qiáng)度問題，要采用第6章所學(xué)知識(shí)來處理。7/31/20222211.3.2 三類不同壓桿的區(qū)分7/31/20222311.3.3. 三類壓桿的臨界應(yīng)力公式1.大柔度壓桿的臨界應(yīng)力：2、中小柔度桿的臨界應(yīng)力計(jì)算1.直線型經(jīng)驗(yàn)公式PS 時(shí)：S 時(shí)：或7/31/202224臨界應(yīng)力總圖(figures of critical stresses)bass-=sl PPEspl2 =小柔度桿中柔度桿大柔度桿7/31/2022252.拋物線型

11、經(jīng)驗(yàn)公式我國建筑業(yè)常用：Ps 時(shí)：s 時(shí)：7/31/20222611.4 壓桿穩(wěn)定條件及其應(yīng)用 構(gòu)件的強(qiáng)度問題取決于危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力，所以強(qiáng)度條件是從一點(diǎn)的應(yīng)力出發(fā)的。 但是壓桿穩(wěn)定問題，既不存在危險(xiǎn)截面，也不存在危險(xiǎn)點(diǎn)，其危險(xiǎn)標(biāo)志就是失穩(wěn)，要使得壓桿不失穩(wěn)，應(yīng)該使得作用在桿上的壓力F小于壓桿的臨界應(yīng)力Fcr，故壓桿的穩(wěn)定條件是：nst是穩(wěn)定安全系數(shù)，是隨而變化的， 越大，nst也越大。同時(shí)nst一般大于強(qiáng)度安全系數(shù)。nw為壓桿的工作安全系數(shù)。它表示壓桿的臨界載荷Pcr與所受的軸向壓力P的比值應(yīng)不小于它的穩(wěn)定安全系數(shù)nst，以上這種穩(wěn)定計(jì)算方法稱為安全系數(shù)法。7/31/20222711.

12、4.2 安全因數(shù)法與穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則7/31/20222811.4.3 壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)過程7/31/20222911.5 壓桿穩(wěn)定性分析與穩(wěn)定性設(shè)計(jì)示例7/31/2022307/31/2022317/31/202232對(duì)于第一個(gè)問題：對(duì)于(a)，屬于中長桿。而對(duì)于(b)，屬于粗短桿。約等于原來的2倍。約等于原來的1.5倍。7/31/2022337/31/2022347/31/2022357/31/2022367/31/2022377/31/2022387/31/20223911.6 結(jié)論與討論11.6.2 影響壓桿承載能力的因素7/31/20224011.6.3 提高壓桿承載能力的主要途徑： 為

13、了提高承載能力，必須綜合考慮桿長、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影響。1. 盡量減小壓桿桿長 對(duì)于細(xì)長桿，其臨界載荷與桿長平方成反比。因此，減小桿長可以顯著地提高壓桿承載能力，在某些情形下，通過改變結(jié)構(gòu)或增加支點(diǎn)可以達(dá)到減小桿長，從而提高壓桿承載能力的目的。 7/31/2022412. 增強(qiáng)支承的剛性 支承的剛性越大，壓桿長度系數(shù)值越低，臨界載荷越大，例如，將兩端鉸支的細(xì)長桿，變成兩端固定約束的情形，臨界載荷將成數(shù)倍增加。 3. 合理選擇截面形狀 當(dāng)壓桿兩端在各個(gè)方向彎曲平面內(nèi)具有用同的約束條件時(shí)，壓桿將在剛度最小的主軸平面內(nèi)屈曲。這時(shí)如果只增加截面某個(gè)方向的慣性矩(例如只增加矩形截面

14、高度)，并不能提高壓桿的承載能力，最經(jīng)濟(jì)的辦法是將截面設(shè)計(jì)成中空心的， 且使IyIz，從而加大橫截面的慣性矩，并使截面對(duì)各個(gè)方向軸的慣性矩均相同。 因此，對(duì)于一定的橫截面面積，正方形截面或圓截面比矩形截面好；空心正方形或環(huán)形截面比實(shí)心截面好。 當(dāng)壓桿端部在不同的平面內(nèi)具有不同的約束條件時(shí)，應(yīng)采用最大與最小主慣 性短不等的截面(例如矩形截面)，并使主慣性矩較小的平面內(nèi)具有較強(qiáng)剛性的約束，盡量使兩主慣性矩平而內(nèi)壓桿的柔度相互接近。 7/31/2022424. 合理選用材料 在其他條件均相同的條件下，選用彈性模量大的材料，可以提高細(xì)長壓桿的承載能力，例如鋼桿臨界載荷大于銅、鑄鐵或鋁制壓桿的臨界載荷。

15、但是，普通碳家 飼、合金飼以及高強(qiáng)度鋼的彈性模量數(shù)值相差不大。因此，對(duì)于細(xì)長桿，若選用高強(qiáng)度鋼，對(duì)壓桿臨界載荷影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費(fèi)。 但對(duì)于粗短桿或中長桿，其臨界載荷與材料的比例極限或屈服強(qiáng)度有關(guān)，這時(shí)選用高強(qiáng)度鋼會(huì)使臨界載荷有所提高。 7/31/20224311.6.4 穩(wěn)定性計(jì)算中需要注意的幾個(gè)重要問題 1) 正確地進(jìn)行受力分析，準(zhǔn)確地判斷結(jié)構(gòu)中哪些桿件承受壓縮載荷，對(duì)于這些桿件必須按穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)別進(jìn)行穩(wěn)定注計(jì)算或穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。 2) 根據(jù)壓桿端部約束條件及截面的幾何形狀，正確判斷可能在哪一個(gè)平面內(nèi)發(fā)生屈曲，從而確定歐拉公式中的截面慣性矩，或壓桿的柔度。 金屬基體陶瓷涂層7/