高一數(shù)學(xué)必修2第一章空間幾何體知識點(diǎn)

1、 / 10第一章 空間幾何體空間幾何體的結(jié)構(gòu)多面體與旋轉(zhuǎn)體：（ 1）由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面.相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn) .（ 2）由一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直 線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸 .棱柱：（ 1）有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面 所圍成的幾何體叫做棱柱 .棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面（簡稱底） ，其余各面叫做棱柱的側(cè) 面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的

2、頂點(diǎn) .（2）側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否則斜棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。（ 3）棱柱的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等 .按側(cè)棱與底面的關(guān)系分為直 棱柱和斜棱柱。（ 4）底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體；底面為 矩形的直平行六面體叫長方體；底面為正方形的長方體叫正四棱柱；棱長都相等的正四棱柱叫正方體。（ 5）棱柱的性質(zhì)：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行 且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。棱錐：（ 1）有一個面是多邊形， 其余各面都是有一公共點(diǎn)的三角形，由這些面所

3、圍成的幾何體叫做棱錐.棱錐中，這個多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點(diǎn)的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做 棱錐的頂點(diǎn)，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱 .（ 2）底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是正多邊形的中心的棱錐叫正棱柱。正棱柱頂點(diǎn)與底面中心的 連線段叫正棱錐的高；正棱錐側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫正棱錐的斜高。（ 3）棱錐的分類：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等.（ 4）棱錐的性質(zhì)：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到 截面距離與高的比的平方 .（ 5）正棱錐的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。正棱錐的

4、高，斜高和斜 高在底面上的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高， 側(cè)棱， 側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形。正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等。正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等。圓柱與圓錐：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱；以直角三角形的2 / 10一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸 ,其余兩邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.在圓柱中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn) 到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線 .棱臺與圓臺：（ 1）用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面

5、和底面之間的部分叫做棱臺；用一個平行于圓錐底面 的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺 .（ 2）棱臺的性質(zhì)：兩底面所在平面互相平行；兩底面是對應(yīng)邊互相平行的相似多邊形；側(cè)面是梯形；側(cè) 棱的延長線相交于一點(diǎn) .（ 3）圓臺的性質(zhì)：兩底面是兩個半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；任意兩條母線的延長線交于一點(diǎn)； 母線長都相等 .（ 4）棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體 .球：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫球體，簡稱球.在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑 .簡單組合體：由簡單幾何體（如柱、錐、臺、球等）組合而成的幾何體叫簡單組合體 .

6、【常見題型】1如下四個命題：棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個共同的 公共點(diǎn)；多面體至少有四個面；棱臺的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn).其中正確的命題有（ D ）個A1 個B2 個C3 個D4個 2圓錐底面半徑為 cm，高為 2 cm ，其中有一個內(nèi)接正方體，求這個內(nèi)接正方體的棱長解】分析： 畫出軸截面圖，設(shè)正方體的棱長為x，利用相似列關(guān)系求解過圓錐的頂點(diǎn) S和正方體底面的一條對角線 CD 作圓錐的截面， 得圓錐 的軸截面 SEF，正方體對角面 CDD1C1，如圖所示 .設(shè)正方體棱長為 x，則 CC1=x，C1D1 2x .作 SO EF 于 O，則 SO 2 ，OE

7、=1，ECC1 EOS ，CC1SOEECO ，即 2( 2/2)x1即內(nèi)接正方體棱長為2cm / 10空間幾何體的三視圖和直觀圖中心投影與平行投影： TOC o 1-5 h z （ 1）光由一點(diǎn)向外散射形成的投影稱為中心投影.（ 2）在一束平行光線照射下形成的投影，稱為平行投影.（ 3）平行投影按照投射方向是否正對著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種.柱、錐、臺、球的三視圖：（ 1）三視圖的定義： 正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖：光線從幾何體 的左面向右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖幾何體的 正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾

8、何體的三視圖（ 2）三視圖的幾何作用： 正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視 圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位 置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度 .直觀圖： “直觀圖 ”最常用的畫法是斜二測畫法，由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖，其實(shí)質(zhì)就是在坐標(biāo) 系中確定點(diǎn)的位置的畫法 . 基本步驟如下：（1） 建系：在已知圖形中取互相垂直的 x 軸和 y 軸，得到直角坐標(biāo)系 xoy ，直觀圖中畫成斜坐標(biāo)系 xoy ， 兩軸夾角為 45 .（2）平行不變：已知圖形中平行于x軸或 y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x或y

9、軸的線段 .（3）長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于y 軸的線段，長度為原來的一半 .“視圖 ”是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖 . 光線自物體的前面向后投影所得的投影圖 成為 “正視圖 ”，自左向右投影所得的投影圖稱為 “側(cè)視圖 ”，自上向下投影所得的圖形稱為 “俯視圖 ”. 用這 三種視圖即可刻劃空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，稱為“三視圖 ”.畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)（和右側(cè)） 、正 上方三個不同的方向看幾何體，畫出所得到的三個平面圖形，并發(fā)揮空間想象能力 . 在繪制三視圖時，分 界線和可見輪廓線都用

10、實(shí)線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點(diǎn)： “長對正 ”， “高平齊 ”， “寬相等 ”空間幾何體的三視圖與直觀圖有密切聯(lián)系 . 三視圖從細(xì)節(jié)上刻畫了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，根據(jù)三視圖可以 得到一個精確的空間幾何體，得到廣泛應(yīng)用（零件圖紙、建筑圖紙） . 直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫， 根據(jù)直觀圖的結(jié)構(gòu)想象實(shí)物的形象常見題型】1如圖，圖（ 1）是常見的六角螺帽，試畫出它的三視圖.【解】分析： 畫三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個正前 方，從三個不同的角度進(jìn)行觀察 . 在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓 線 都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分用虛線表示出來 . 圖（ 1）為

11、圓柱和正 六棱柱的組合體 . 從三個方向觀察，得到三個平面圖形，繪制的三視圖 如下圖所示 .2畫棱長為 4cm 的正方體的直觀圖 .【解】分析： 按照斜二測畫法的步驟畫正方體的直觀圖，先畫下底面，再畫 棱，再畫上底面 .（ 1）畫法：如圖，按如下步驟完成 .第一步，在已知的直角三角形 ABC中取直角邊 CB所在的直線為 x軸，與 BC 垂直的直線為 y 軸，畫出對應(yīng)的 x 軸和 y 軸，使 xO y 45o. 第二步，在 x 軸上取 OC BC，過 C作 y 軸的平行線，取1CA CA.2第三步，連接 AO ，即得到該直角三角形的直觀圖 .2）畫法：如圖，按如下步驟完成 第一步，作水平放置的正

12、方形的直觀圖 ABCD ，使 BAD 45o, AB 4cm, AD 2cm.第二步，過 A 作 z軸，使 BAz 90o. 分別過點(diǎn) B,C,D作z 軸的平行線，在 z軸及這組平行線上分別截 取 AA BB CC DD 4cm.第三步，連接 AB,BC,CD,DA ，所得圖形就是正方體的直觀圖 .空間幾何體的表面積與體積 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積圓柱：側(cè)面展開圖是矩形，長是圓柱底面圓周 長，寬是圓柱的 高（母線）， S 圓柱側(cè) =2 rl ，2S圓柱表 =2 r（r l） ，其中為 r 圓柱底面半徑， l為母線長； V圓柱 Sh r2h.圓錐： 側(cè)面展開圖為一個扇形，半徑是

13、圓錐的母線，弧長等于圓錐底面周長，側(cè)面展開圖扇形中心角為 r 0 1l 360 ，S圓錐側(cè) = rl ， S圓錐表 = r（r l） ，其中為 r 圓錐底面半徑， l 為母線長 .V錐 3Sh S 為底面 l3面積， h 為高）圓臺： 側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，側(cè)面展開圖扇環(huán)中心角為 Rl r3600 ，S圓臺側(cè)= (rR)l ，S圓臺表=(r2rl RlR2).V臺31(SSSS)h(S，S11分別上、下底面積， h 為高) V圓臺(SSS S)h (r2 rR R2)h (r、R 分別為圓臺上底、33下底半徑)當(dāng)臺體的上底面逐漸擴(kuò)展到與下底面全等時，

14、它就成了柱體因而體積會有以下的關(guān)系：V錐 1Sgh3S 0V臺 1(S SS S)hS SV柱 Sgh .常見題型】1已知圓臺的上下底面半徑分別是2， 5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長解】設(shè)圓臺的母線長為l，則，圓臺的上底面面積為 S上4 ，圓臺的上底面面積為4柱、錐、臺的表面積與體積的計算公式的關(guān)系表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式棱柱S全S側(cè)2S底，其中S側(cè)l側(cè)棱長 gc直截面周長圓柱S全 2 r 2 2 rh ( r ：底面半徑， h：高)棱錐S全S側(cè)S底圓錐S全r 2 rl ( r ：底面半徑， l：母線長)棱臺S全S側(cè)S上底S下底圓臺S全(r2 r2 rl rl ) (

15、r ：下底半徑， r ：上底半徑， l：母線長)體積公式體積公式棱柱V S底gh高圓柱2V r2h棱臺V 1(S SS S)h3棱錐1V 3 S底gh高圓錐12V r2h3圓臺1 2 2V(r 2 r r r 2)h35柱、椎、臺之間，可以看成一個臺體進(jìn)行變化，當(dāng)臺體的上底面逐漸收縮為一個點(diǎn)時，它就成了錐體；S下52 25 ，所以圓臺的底面面積為 S S上 S下 29 .又圓臺的側(cè)面積 S側(cè)(2 5)l 7 l ，于是7 l 29 ，即 l 為所求 .72一個長方體的相交于一個頂點(diǎn)的三個面的面積分別是2， 3， 6，則長方體的體積是【解】解析：長方體的長寬高分別為 a,b,c ，求出 a, b

16、, c的值，再求體積 .設(shè)長方體的長寬高分別為 a,b, c ，則 ab 2,ac 3,bc 6 ，三式相乘得 (abc)2 36. 所以，長方體的體積為 61.3.2 球的體積和表面積43 / 101. 球的體積是對球體所占空間大小的度量， 它是球半徑的函數(shù)， 設(shè)球的半徑為 R ，則球的體積 V球R3球32. 球的表面積是對球的表面大小的度量，它也是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為 R ，則球的表面積為S球面 4 R2 ，它是球的大圓面積的 4 倍3. 用一個平面去截球，所得到的截面是一個圓 .【常見題型】1如圖，正四棱錐 P ABCD底面的四個頂點(diǎn) A,B,C,D在球 O的同一個大圓上，點(diǎn)16在

17、球面上，如果 VP ABCD ，則球 O 的表面積是3A. 4 B. 8 C. 12 D. 16解】 如圖，正四棱錐 P ABCD底面的四個頂點(diǎn) A,B,C,D在球 O的同一個大圓上，點(diǎn)PP 在球面上， PO與平面 ABCD 垂直，是棱錐的高， PO=R，SABCD 2R2，VP ABCD 16，所以 1 2R2 R 16，解得 R=2， 3 3 3則球 O 的表面積是 16 ，選 D.2半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為體積【解】分析： 作出軸截面，利用勾股定理求解 .6 ，求球的表面積和作軸截面如圖所示，CC6 ， AC2 6 2 3 ，設(shè)球半徑為R，則

18、R2 OC2 CC 2( 6) 2 ( 3)2 9 R 3 ， S球4 R2 36 ， V球4 R3 36 3練習(xí)題DCDOCARB一、選擇題1 有一個幾何體的三視圖如下圖所示，這個幾何體應(yīng)是一個 ( )棱臺棱柱D棱長都是 1的三棱錐的表面積為長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長分別是3,4,5 ，它的 8個頂點(diǎn)都在同一球面上，這個球的表面積是 ( )25B 50125D 都不對4 正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（） / 10A 3:1 B 3:2C 2: 3 D 3:35 一個正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長為2cm ，則球的表面積是（2 8 cm22 12 cm2 16 cm22 20 cm26

19、 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為 3 ，圓臺的側(cè)面積為84 ，則圓臺較小底面的半徑為（ ）8 在棱長為 1 的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方形，則截去下的幾何體的體積是（ ）5D4C7B2A已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則 V1:V2A10A111:3B 1:1如果兩個球的體積之比為 8:27, 那么兩個球的表面積之比為 （ ） 8: 27B 2:3有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位C 2:1 D3:1C 4:9 D 2:9cm ），則該幾何體表面積及體積為：224 cm2， 36cmBcm24 cm2， 1215

20、 cm2 ，12 cm212正方體的全面積為4cm3；二、填空題以上都不正確18cm2，則它的體積是（）112B 8cm3； Ccm3； D 3 3cm3。7213 若三個球的表面積之比是 1:2:3 ，則它們的體積之比是 / 1014 已知一個長方體共一頂點(diǎn)的三個面的面積分別是 2 、 3 、 6 ，這個長方體的對角長是 ；若長方體的共頂點(diǎn)的三個側(cè)面面積分別為 3,5,15 ，則它的體積為 15 Rt ABC中， AB 3,BC 4,AC 5 ，將三角形繞直角邊 AB 旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為等體積的球和正方體 ,它們的表面積的大小關(guān)系是 S 球 _ S 正方體圖（ 1）為長方體積木塊堆

21、成的幾何體的三視圖，此幾何體共由 塊木塊堆成 ;圖（ 2）中的三視圖表示的實(shí)物為 若圓錐的表面積為 a 平方米，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面的直徑為球的半徑擴(kuò)大為原來的 2 倍,它的體積擴(kuò)大為原來的 倍一個直徑為 32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面升高9厘米則此球的半徑為 厘米已知棱臺的上下底面面積分別為4、 16，高為 3, 則該棱臺的體積為 三、解答題將圓心角為 1200 ，面積為 3 的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積有一個正四棱臺形狀的油槽，可以裝油190L ，假如它的兩底面邊長分別等于 60cm和 40cm ，求它的深度為多少 cm

22、？已知圓臺的上下底面半徑分別是2,5 ,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長25 如圖，在四邊形 ABCD中， DAB 900， ADC 1350， AB 5，CD 2 2， AD 2，求四邊 形 ABCD 繞 AD 旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積1A從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但是大小不一樣，可以判斷是棱臺2A因?yàn)樗膫€面是全等的正三角形，則S表面積 4S底面積 4 3 343B長方體的對角線是球的直徑，、選擇題參考答案5 2,2R 5 2,R522,S4 R250l4 D 正方體的棱長是內(nèi)切球的直徑，正方體的對角線是外接球的直徑，設(shè)棱長是 a2r內(nèi)切球， r內(nèi)切球2r外接球， r外接球3a,r ：2 ,r內(nèi)切球r外接球1：35 B 正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球?yàn)檎襟w的外接球，則 2 3 2R ，R 3,S 4 R2 126AS側(cè)面積(r 3r)l84 ,r77A幾何體是圓臺上加了個圓錐，分別由直角梯形和直角三角形旋轉(zhuǎn)而得1111 1 58DV正方體8V三棱錐183222 2 69DV1 :V21(Sh):(1Sh)33:110CV1 :V28: 27,r1 :r22:3,S1:S24:9