數(shù)學(xué)分析-第二章數(shù)列極限的定義、性質(zhì)

1、2022/8/11第二章 極限與連續(xù)一、數(shù)列的極限及性質(zhì)、存在準(zhǔn)則二、函數(shù)的極限三、函數(shù)的連續(xù)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2022/8/12“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一概念的引入播放(一)、數(shù)列極限的定義和性質(zhì)2022/8/13正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積2022/8/14戰(zhàn)國(guó)時(shí)代莊周:莊子天下篇中“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！?體現(xiàn)中國(guó)古代就有極限的思想方法。2022/8/15二、數(shù)列的極限1.數(shù)列的概念2022/8/16特殊的數(shù)列2022/8/17播放2.數(shù)列極限的定義2022/8/18問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?

2、如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:2022/8/192022/8/110如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.2022/8/111幾何解釋:其中2022/8/112 具有任意性和穩(wěn)定性的雙重意義。 的任意性刻劃了xn與A無(wú)限接近，同時(shí) 又具有相對(duì)穩(wěn)定性，一經(jīng)取定，它就確定了，這樣用靜態(tài)的形式|xnA|N表明了比N大的各項(xiàng)：xN+1，xN+2,.都滿足|xnA|0，這樣的N是否存在。3.一般地，N與任意給定的有關(guān)， 取得越小，相應(yīng)地N就越大，如果N存在，這樣地N不唯一。2022/8/114幾何解釋:2022/8/115例1證所以,2022/8/116例2證所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同

3、一常數(shù).小結(jié):用定義證明數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.2022/8/117例3證2022/8/118極限為0的數(shù)列稱為無(wú)窮小量 .定義例如： 注意：不能把無(wú)窮小量理解為很小的量。2022/8/119例4證2022/8/120例5 證明： 應(yīng)用二項(xiàng)式公式， 2022/8/121例5證法二2022/8/122證明令應(yīng)用二項(xiàng)式定理即得到于是，取當(dāng)時(shí)，成立例 6求證：2022/8/123例 7 證： 2022/8/124用定義證明 xn= a，就是證明對(duì) 0，N存在.證明的過(guò)程就是尋找 N 的過(guò)程.證明的方法是從分析 |xna| (n) ,解出 N適合不等式。由于N 不唯

4、一，故可把 |xna| 適當(dāng)放大，得到一個(gè)新的不等式，再找 N。2022/8/125定理11. 保序性：二、數(shù)列極限的性質(zhì)：注：定理1的逆命題不成立，如與2022/8/126證上兩式同時(shí)成立,2022/8/127證明:(反證法)推論1(保序性)2022/8/128推論2(保號(hào)性)2022/8/129推論3(保號(hào)性)2022/8/130由定義,故收斂數(shù)列的極限必唯一證：定理2 收斂數(shù)列的極限必唯一.2、唯一性2022/8/131有界數(shù)列，否則，稱之為無(wú)界數(shù)列. 定義則稱之為.3、有界性2022/8/132證：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.定理4 收斂數(shù)列必有界.例如，

5、有界，但發(fā)散2022/8/133例2.證明下列極限2022/8/134例3證明極限2022/8/1351、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”劉徽概念的引入2022/8/1361、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”劉徽概念的引入2022/8/137“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽概念的引入2022/8/138“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽概念的引入2022/8/139“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以

6、至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽概念的引入2022/8/140“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽概念的引入2022/8/141“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽概念的引入2022/8/142“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽概念的引入2022/8/143“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽概念的引入2022/8/1442.數(shù)列極限的定義2022/8/1452.數(shù)列極限的定義2022/8/1462.數(shù)列極限的定義2022/8/1472.數(shù)列極限的定義2022/8/1482.數(shù)列極限的定義2022/8/1492.數(shù)列極限的定義2022/8/1502.數(shù)列極限的定義2022/8/1512.數(shù)列