《二次函數(shù)》核心知識

1、PAGE PAGE 3二次函數(shù)知識基本概念: 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標(biāo)為（，），對稱軸是直線x=，拋物線是軸對稱圖形，在拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩個點必是對稱點，據(jù)此也可以推出對稱軸。如拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過（3，5）和（1，5），則頂點橫坐標(biāo)為，對稱軸是直線x=函數(shù)值問題1、a0 當(dāng)x時，xy當(dāng)x時，y最小值=當(dāng)x時，xy1、a0 當(dāng)x時， xy當(dāng)x時，y最大值=當(dāng)x時，xy待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式若已知拋物線頂點為（h, k），或已知當(dāng)x=h時，y最大（?。┲?k，則設(shè)函數(shù)解析式為：y=a（xh）2k 頂點式（1）若已知拋物線以原點為頂點（相當(dāng)于頂點為（0，0）

2、，則設(shè)函數(shù)解析式為：y=a x2（2）若已知拋物線以y軸為對稱軸（相當(dāng)于頂點為（0，k），則設(shè)函數(shù)解析式為：y=a x2k（3）若已知拋物線的頂點在x軸上（相當(dāng)于頂點為（h，0），則設(shè)函數(shù)解析式為：y=a（xh）22、若已知拋物線經(jīng)過三個獨立點，則設(shè)函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c 一般式3、凡提及“拋物線與x軸兩交點”， （其中x1，x2表示拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)）則設(shè)函數(shù)解析式為：y=a（xx1）（xx2）交點式，平移問題1.方法一：“上下、左右、加減”，例如：將拋物線y=3x24x+5先向下平移7個單位，再向左平移9個單位，則新的拋物線的解析式為y=3（x9）24（x9）+57，（

3、注意9與7的位置）2.方法二：根據(jù)二次函數(shù)的頂點式來求解，例如：將拋物線y=x24x+5先向下平移7個單位，再向左平移9個單位，求新的拋物線的解析式。做法如下：先將拋物線y=x24x+5化為頂點式y(tǒng)=（x2）21，易知其頂點為（2，1），先向下平移7個單位，再向左平移9個單位后，頂點應(yīng)為（7，6），則新的拋物線的解析式為y=（x7）26。（此法也可以不用先將拋物線y=x24x+5化為頂點式，而是運用頂點坐標(biāo)的公式先求出其頂點，然后根據(jù)平移條件得出新拋物線的頂點坐標(biāo)，最后再寫出新拋物線的解析式）圖象信息 1、（1）a0開口向上；a0開口向下。（2）兩個二次函數(shù)的a值相等或互為相反數(shù)，則對應(yīng)的兩個

4、拋物線的形狀相同。（3）越大，開口越小 2、c為縱截距，決定拋物線與y軸交點的位置，c即為拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo) 3、a、b同號0對稱軸在y軸左側(cè), a、b異號0對稱軸在y軸右側(cè) 總之，“左同右異”，另：b0對稱軸為y軸、b24ac0拋物線與x軸有兩個交點，且兩交點間距離 b24ac0拋物線與x軸只有一個交點 , b24ac0拋物線與x軸沒有交點例如：a0，且拋物線的頂點在x軸上方，則b24ac0（為什么？）六、例1：若拋物線經(jīng)過y=ax2+bx+c經(jīng)過點（3，5）和（2，5），則方程ax2+bx+c-5=0的根為 例2：已知拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a，b，c，2a+b，a

5、+b+c，a-b+c的符號. 解：（1）開口向上a0（2）左同b0（3）與y軸交于負半軸c（4）對稱軸在（1，0）左側(cè)11又a0 b2a2a+b0（5）x=1時，y0。代入得y=a12+b1+c= a+b+c0（6）x=1時，y0。代入得y=a（1）2b（1）c= abc0（2013湖州）如圖，在1010的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點若拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，則以這三個格點為頂點的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點三角形”以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線與網(wǎng)格對角線OB的兩個交點之間的距離為，且這兩個交點與拋物線的頂點是拋物線的內(nèi)接格點三角形的三個頂點，則滿足上述條件且對稱頂點是拋物線的內(nèi)接格點三角形的三個頂點，則滿足上述條件且對稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是（）A16 B15 C14 D13 解：如圖，開口向下，經(jīng)過點（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=-x2+4x，然后向右平移1個單位，向上平移1個單位一次得到一條拋物線，可平移6次，所以，一共有7條拋物線，同理可得開口向上的拋物線也有7條，所以，滿足上述條件且