新教材高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)暑假作業(yè)第03練《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》（解析版）

1、第03練 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、向量的夾角概念： 對(duì)于兩個(gè)非零向量，如果以O(shè)為起點(diǎn)，作，那么射線OA，OB的夾角叫做向量與向量的夾角，其中02、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量，的夾角為，那么我們把|cos叫做與的數(shù)量積，記做即：|cos規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：0注意： 表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由cos決定； 符號(hào)“”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“”代替；在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0（2）投影：在上的投影是一個(gè)數(shù)量|cos，它可以為正，可以

2、為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若（x1，y1），（x2，y2），則x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長(zhǎng)：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長(zhǎng)度|與在的方向上的投影|cos的積知識(shí)點(diǎn)二 平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容： 如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底3、說(shuō)明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一知識(shí)點(diǎn)三 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)

3、點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量的正交分解： 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2、平面向量的坐標(biāo)表示：若、為平面直角坐標(biāo)系中與x軸、y軸同向的單位向量，則對(duì)于平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得x+y，使得x+y，我們把（x，y）稱為的坐標(biāo)表達(dá)式為x+y（x，y）知識(shí)點(diǎn)四 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】 平面向量除了可以用有向線段表示外，還可以用坐標(biāo)表示，一般表示為（x，y），意思為以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以（x，y）為終點(diǎn)的向量，它的模為d若（m，n），則+（x+m，y+n），則（xm，yn）；（xm，ny），（x，y）【典型例題分析】例：已知平面向量滿足：，且，則向量的坐標(biāo)為

4、（4，2）或（4，2）解：根據(jù)題意，設(shè)（x，y），若，有0，則x+2y0，若，x2+y220，聯(lián)立，可得，解可得或，則（4，2）或（4，2）；故答案為（4，2）或（4，2） 這個(gè)題就是考察了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，具體的可以先設(shè)（x，y），根據(jù)題意，由，可得x+2y0，由，可得x2+y220，聯(lián)立兩式，解可得x、y的值，即可得的坐標(biāo)這也是常用的一種方法知識(shí)點(diǎn)五 平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：設(shè)（x1，y1），（x2，y2），則（）x1y2x2y10一選擇題（共12小題）1已知點(diǎn)，向量，則向量ABCD【分析】根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)可求出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)即可求出

5、向量的坐標(biāo)【解答】解：故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)的方法，向量減法的幾何意義，向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2已知向量，則等于ABCD【分析】由題意，利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，計(jì)算可得結(jié)果【解答】解：向量，則，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題3已知向量，若，則實(shí)數(shù)A1BCD【分析】利用向量平行的等價(jià)條件得，從而求得【解答】解：，解得；故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4已知向量，且，那么實(shí)數(shù)的值是ABCD1【分析】由題意，利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，得出結(jié)論【解答】解：向量，且，故實(shí)數(shù)，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要

6、考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5已知向量，若，則ABCD【分析】由題意，利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，列方程求出即可【解答】解：向量， 4，若，則，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題6已知，若，則等于A4BCD2【分析】利用平行向量的坐標(biāo)關(guān)系求解【解答】解：，且，解得，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題7已知向量、滿足，則A1B3C5D7【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用模長(zhǎng)公式求解即可【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題8已知，滿足，則ABCD【分析】由已

7、知求得，再由，展開(kāi)后代入數(shù)量積求解【解答】解：由，得，解得故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量模的求法，是基礎(chǔ)題9平面向量與的夾角為，則等于ABC4D12【分析】可求出，然后根據(jù)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出答案【解答】解：，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量長(zhǎng)度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10已知向量，且與的夾角，則ABCD【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得，進(jìn)而計(jì)算可得答案【解答】解：根據(jù)題意，向量，則，則有，故，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題11在中，角，所對(duì)的邊分別為，是內(nèi)切圓的圓心，若，則的值為ABCD【分析】建

8、系，根據(jù)坐標(biāo)法，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想即可求解【解答】解：如圖，內(nèi)切圓的圓心在邊高線上（也是邊上的中線），以直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)等面積算法可得：，解得，故內(nèi)心為，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想，坐標(biāo)法，屬基礎(chǔ)題12在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則ABCD【分析】由平面向量的線性運(yùn)算逐步表示即可得解【解答】解：由題可知利用平面向量的線性運(yùn)算，則所以，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的基本定理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題二填空題（共6小題）13已知，則的取值范圍是 ，【分析】直接利用向量的坐

9、標(biāo)運(yùn)算求出向量，進(jìn)一步利用向量的模和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換及正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：由于；所以；所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；故的取值范圍是，故答案為：，【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題14已知向量，則5【分析】可求出向量的坐標(biāo)，然后即可得出的值【解答】解：，故答案為：5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，向量長(zhǎng)度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15已知，是兩個(gè)單位向量，設(shè)，且滿足，若，則2【分析】根據(jù)題意作出草圖，利用平面幾何的性質(zhì)，可證，再根據(jù)，可得，再利用

10、，可得的夾角，再根據(jù)，再利用數(shù)量公式即可求出【解答】解：根據(jù)題意作出草圖，令，由平行四邊形法則，得，即，即，平行四邊形為菱形，設(shè)，即向量的夾角為，即，即，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算，考查向量運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題16已知平面向量，若與反向共線，則實(shí)數(shù)的值為 1【分析】根據(jù)與反向共線，設(shè)，然后得出，再求出的值即可【解答】解：與反向共線，設(shè)，且，解得故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題17已知向量，若，則實(shí)數(shù)【分析】由已知可得，的坐標(biāo)，再由數(shù)量積為0列式求得實(shí)數(shù)的值【解答】解：，若，則，即，解得故答案為：

11、【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題18已知，若、，則點(diǎn)坐標(biāo)為 【分析】設(shè)處點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量，根據(jù)向量相等列方程組求出、的值即可【解答】解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，、，所以，即，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題19已知平面向量滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為ABC，D【分析】根據(jù)條件，可知若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)共線，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可【解答】解：如圖，設(shè)則，故，因?yàn)?，其中，則若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)共線，即在直線上，所以當(dāng)時(shí)，最小為1，無(wú)最大值，故的取值范圍為，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的應(yīng)用，主要考查了三點(diǎn)共線與

12、向量之間的關(guān)系，考查了邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化化歸能力與數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，屬于中檔題20已知平面向量，與不共線），滿足，設(shè)，則的取值范圍為ABC，D，【分析】根據(jù)題干可設(shè)，由，可知向量與的終點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓周上，畫出圖像后根據(jù)圓的對(duì)稱性即可進(jìn)行求解【解答】解：設(shè)，設(shè)，故，在以為圓心，以1為半徑的圓上，即，即，如圖由圓的對(duì)稱性可知中點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圖2中位置時(shí)，此時(shí)取最大值2，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圖3中位置時(shí)，此時(shí)取得最小值，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示，以及圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題21在中，若點(diǎn)為邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為ABCD【分析】首先建立平面直角

13、坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)算求出結(jié)果【解答】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：由于，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為故的坐標(biāo)為，由于，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面直角坐標(biāo)系，向量的模和坐標(biāo)之間的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型22如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于點(diǎn)，若，則的最小值是ABCD【分析】，把，代入上式，再根據(jù)三點(diǎn)、共線求得與的關(guān)系，然后把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，可解決

14、此題【解答】解：，由，得，代入上式得，又因?yàn)?、三點(diǎn)共線，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量線性運(yùn)算及基本不等式應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題二填空題（共2小題）23已知平面向量，且，若平面向量滿足，則的最大值【分析】首先對(duì)兩式，平方相加，然后利用三角不等式得，基本不等式得，從而求出的最大值【解答】解：由，得，兩式相加得，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)等號(hào)成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)與反向，時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的模，基本不等式、三角不等式的應(yīng)用，是中檔題24已知夾角為的向量，滿足，若，則的最小值

15、為【分析】借助坐標(biāo)法解決【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與軸同向，過(guò)點(diǎn)作，則，設(shè)，則，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心、1為半徑的圓由圖可知，點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，直線方程為，所以，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的模，借助直線與圓的位置關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，屬于難題25已知是單位向量，向量，滿足，且，設(shè)，當(dāng)時(shí)，則【分析】由可得，結(jié)合化簡(jiǎn)得，再結(jié)合得，從而可得到；同理可得，聯(lián)立解方程，結(jié)合方程的解，檢驗(yàn)是否成立，從而解出，的值，代入求即可【解答】解：，即，即，又，即，即，即，聯(lián)立解得，或，當(dāng)時(shí)，不成立，故不成立；當(dāng)時(shí)，成立，故成立；故，；故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，難點(diǎn)在于化簡(jiǎn)運(yùn)算，屬于難題26已知正方形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，若，其中，則的最大值為 【分析】建立直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，找到相應(yīng)向量的坐標(biāo)，通過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)得到，最后利用三角函數(shù)的最值即可求解【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，在以為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)，則，則，的最大值為：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角函數(shù)的最值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想