新高考數(shù)學(xué)二輪專題《圓錐曲線》第11講 阿基米德三角形問(wèn)題(解析版)_第1頁(yè)
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1、第11講 阿基米德三角形問(wèn)題一、解答題 1設(shè)定點(diǎn)F(0,1),動(dòng)點(diǎn)E滿足:以EF為直徑的圓與x軸相切.(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程;(2)設(shè)A,B是曲線C上的兩點(diǎn),若曲線C在A,B處的切線互相垂直,求證:A,F(xiàn),B三點(diǎn)共線.【答案】(1)x24y;(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),由E到x軸的距離等于即可求解.(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在A,B處切線的斜率,從而可得x2,再求出的斜率,證出 kAFkAB,即證.【詳解】(1)設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則EF中點(diǎn)為圓心,設(shè)為E,則E點(diǎn)坐標(biāo)為.E到x軸的距離等于,即,化簡(jiǎn)得x24y.點(diǎn)E的軌跡C的方程為x2

2、4y.(2)證明:由(1)知,曲線C是以F為焦點(diǎn)的拋物線,其方程可化為yx2,設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,曲線方程為yx2,yx,曲線在A,B處切線的斜率分別為k1x1,k2x2,k1k21,x1x21,x2,A,B兩點(diǎn)連線的斜率為kABx1,A,F(xiàn)兩點(diǎn)連線的斜率為kAFx1kAB,A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查了三點(diǎn)共線,可以證明直線的斜率相等,解題的關(guān)鍵是根據(jù)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出x2,考查了計(jì)算求解能力.2如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),直線AF,BF分別與拋物線交于點(diǎn)M,N ()求的值;()記直線MN的斜率為,直線AB的斜率為證明:為定值【答案】

3、(1),;(2)【解析】試題分析:()依題意,設(shè)直線AB的方程為x=my+2(m0),與拋物線方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理即可求得y1y2;()設(shè)M(xM,yM),N(xN,yN),設(shè)直線AF:y=y1x11(x1)與y2=4x聯(lián)立,得y14y2+(1x1)yy1=0,由韋達(dá)定理得,y1yM=4yM=4y1,同理,yN=4y2,進(jìn)而可得的比值,化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果為定制試題解析:證明:()依題意,設(shè)直線AB的方程為x=my+2(m0)將其代入,消去x,整理得y24my8=0從而y1y2=8()AF:y=y1x11(x1)與y2=4x聯(lián)立,得y14y2+(1x1)yy1=0由韋達(dá)

4、定理得,y1yM=4yM=4y1,同理,yN=4y2k1k2=4yM+yN4y1+y2=y1+y2yM+yN=y1y24=2(定值)考點(diǎn):1拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì);2直線與拋物線的性質(zhì)3已知拋物線C:x22py(p0),直線l交C于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)與原點(diǎn)不重合,點(diǎn)M(1,2)為線段AB的中點(diǎn)(1)若直線l的斜率為1,求拋物線C的方程;(2)分別過(guò)A,B兩點(diǎn)作拋物線C的切線,若兩條切線交于點(diǎn)S,證明點(diǎn)S在一條定直線上【答案】(1)x22y(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)設(shè)直線的方程為,代入拋物線方程,消去,設(shè),運(yùn)用韋達(dá)定理,以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得,即可得到所求拋物線方程;(2)求得的導(dǎo)數(shù),可得拋

5、物線在,處的切線的斜率,由點(diǎn)斜式方程和點(diǎn),滿足拋物線方程,可得在,處的切線方程,聯(lián)立兩切線方程,相加,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可得到所求點(diǎn)所在的定直線方程【詳解】解:(1)設(shè)直線的方程為,代入拋物線,可得,設(shè),則,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),可得,即,則拋物線的方程為;(2)證明:設(shè),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),可得,由的導(dǎo)數(shù)為,可得拋物線在處的切線斜率為,切線方程為,由,可得,同理可得,可得,即為,即可得交點(diǎn)在一條定直線上【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì),考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中檔題4已知拋物線C:x22py(p0),F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)以F為圓心,p為半徑作圓,與拋物線C在第一象限交點(diǎn)的橫

6、坐標(biāo)為2(1)求拋物線C的方程;(2)直線ykx+1與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,設(shè)切線l1,l2的交點(diǎn)為P,求證:PAB為直角三角形【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)由題意可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入拋物線方程,即可求出p的值;(2)設(shè),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到A,B兩點(diǎn)處的切線斜率分別為,聯(lián)立直線與拋物線方程,利用韋達(dá)定理得到k1k21,從而得到PAB為直角三角形【詳解】(1)記拋物線C與圓F在第一象限的交點(diǎn)為M,由圓F與拋物線C的準(zhǔn)線相切,且M到拋物線C準(zhǔn)線的距離等于圓F的半徑,所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入拋物線方程得:,所以,所以拋物線的方程為.(2

7、)設(shè),由,可得y,則,所以A,B兩點(diǎn)處的切線斜率分別為,由,得,所以,所以,所以,即為直角三角形【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目,通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解,此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)解,能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等5已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線分別交拋物線于兩點(diǎn)(1)若以為直徑的圓的方程為,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的切線,證明:的交點(diǎn)在定直線上【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義可求

8、圓心到準(zhǔn)線的距離為,從而可求拋物線的方程(2)設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求出兩點(diǎn)處的切線方程,從而可求的交點(diǎn)的坐標(biāo),再聯(lián)立直線和拋物線的方程可得,從而可得的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值,故的交點(diǎn)在定直線上【詳解】(1)設(shè)中點(diǎn)為,到準(zhǔn)線的距離為,到準(zhǔn)線的距離為,到準(zhǔn)線的距離為,則且.由拋物線的定義可知,所以,由梯形中位線可得,所以,可得,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明:設(shè),由,得,則,所以直線的方程為,直線的方程為,聯(lián)立得,解得,即直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn),由題可知直線的斜率存在,故可設(shè)直線方程為,代入拋物線中,得,所以,故,所以的交點(diǎn)在定直線上【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題要注意利用定義轉(zhuǎn)化為到

9、準(zhǔn)線的距離問(wèn)題,對(duì)于焦點(diǎn)在軸上的拋物線的切線問(wèn)題,可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求切線方程,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算6已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸上方,且到定點(diǎn)距離比到軸的距離大.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),點(diǎn),分別異于原點(diǎn),在曲線的,兩點(diǎn)處的切線分別為,且與交于點(diǎn),求證:在定直線上.【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)設(shè),由到定點(diǎn)距離比到軸的距離大,可得,化簡(jiǎn)可得點(diǎn)的軌跡的方程;(2)由題意可知,直線的斜率存在且不為,設(shè)直線的方程為與聯(lián)立,設(shè),可得,的值,又,所以,可得切線的方程,同理可得切線的方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),可得其在定直線上.【詳解】解:(1)設(shè),則有,化簡(jiǎn)得,故軌跡的方程為.(2)由題

10、意可知,直線的斜率存在且不為,設(shè)直線的方程為與聯(lián)立得,設(shè),則,又,所以,所以切線的方程為,即,同理切線的方程為聯(lián)立得,.兩式消去得,當(dāng)時(shí),所以交點(diǎn)的軌跡為直線,去掉點(diǎn).因而交點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡方程的求法,直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí),考查學(xué)生的綜合計(jì)算能力,屬于難題.7已知圓C:x2y22x2y10和拋物線E:y22px(p0),圓心C到拋物線焦點(diǎn)F的距離為(1)求拋物線E的方程;(2)不過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l交拋物線E于A,B兩點(diǎn),且滿足OAOB求證直線l過(guò)定點(diǎn);設(shè)點(diǎn)M為圓C上任意一動(dòng)點(diǎn),求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線l的距離最大時(shí)直線l的方程【答案】(1)y212x;(2)證明見(jiàn)解析;13

11、xy1560【分析】(1) 根據(jù)題意圓心到拋物線焦點(diǎn)距離,利用兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算可得結(jié)果(2)設(shè)直線方程,聯(lián)立拋物線,結(jié)合條件求得兩根之和與兩根之積,解得得到定點(diǎn),再得出點(diǎn)到線距離最大時(shí)的直線方程【詳解】(1)圓C:x2y22x2y10,可得圓心C(1,1),半徑r1,拋物線E:y22px(p0)的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,圓心C到拋物線焦點(diǎn)F的距離為,即有解得p6,即拋物線方程為y212x.(2)證明:設(shè)直線l的方程為xmyt,A(x1,y1),B(x2,y2),則 整理得:y212my12t0,所以y1y212m,y1y212t由于OAOB則x1x2y1y20即(m21)y1y2mt(y1y2)

12、t20整理得t212t0,由于t0,解得t12故直線的方程為xmy12,直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(12,0)當(dāng)CPl且動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)PC的延長(zhǎng)線時(shí),動(dòng)點(diǎn)M到動(dòng)直線l的距離取得最大值 ,則此時(shí)直線l的方程為:,即13xy1560【點(diǎn)睛】本題在解答直線與拋物線位置關(guān)系時(shí)需設(shè)出直線方程,這里給出形式的直線方程,方便計(jì)算,根據(jù)題目意思解得直線恒過(guò)定點(diǎn),再結(jié)合題意,求得當(dāng)與直線垂直時(shí)的直線方程即可.8已知拋物線的焦點(diǎn)為,是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,過(guò),兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為.(1)若直線與,軸分別交于點(diǎn),且的面積為,求的值;(2)記的面積為,求的最小值,并指出最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)2;(2)有

13、最小值4,此時(shí).【分析】(1)先求出以點(diǎn)為切點(diǎn)的拋物線的切線方程,得出,利用面積求出點(diǎn)的縱坐標(biāo),然后求出(2)先分別寫(xiě)出直線PA,PB方程,利用都過(guò)點(diǎn)P寫(xiě)出直線,代入拋物線方程利用弦長(zhǎng)公式求出,及點(diǎn)到直線的距離,寫(xiě)出表達(dá)式及最值【詳解】(1)設(shè),則,拋物線方程寫(xiě)成,則以點(diǎn)為切點(diǎn)的拋物線的切線的方程為:,又,即, ,故 ,從而. (2)由(1)知,即:,同理,由直線,都過(guò)點(diǎn),即,則點(diǎn),的坐標(biāo)都滿足方程,即直線的方程為:,又由直線過(guò)點(diǎn), 聯(lián)立得, ,點(diǎn)到直線的距離, , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值4,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能

14、力,屬于中檔題9已知以動(dòng)點(diǎn)為圓心的與直線:相切,與定圓:相外切.()求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;()過(guò)曲線上位于軸兩側(cè)的點(diǎn)、(不與軸垂直)分別作直線的垂線,垂足記為、,直線交軸于點(diǎn),記、的面積分別為、,且,證明:直線過(guò)定點(diǎn).【答案】();()詳見(jiàn)解析.【分析】()根據(jù)題意,點(diǎn)到直線的距離與到的距離相等,由拋物線的定義可得解;()設(shè)、,用坐標(biāo)表示、,利用韋達(dá)定理,代入即得解.【詳解】()設(shè),半徑為,則,所以點(diǎn)到直線的距離與到的距離相等,故點(diǎn)的軌跡方程為.()設(shè),則、設(shè)直線:()代入中得,、又直線恒過(guò)【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10已知點(diǎn)

15、是拋物線的頂點(diǎn),是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.(1)判斷點(diǎn)是否在直線上?說(shuō)明理由;(2)設(shè)點(diǎn)是的外接圓的圓心,點(diǎn)到軸的距離為,點(diǎn),求的最大值.【答案】(1)不在,證明見(jiàn)詳解;(2)【分析】(1)假設(shè)直線方程,并于拋物線方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理,計(jì)算,可得,然后驗(yàn)證可得結(jié)果.(2)分別計(jì)算線段中垂線的方程,然后聯(lián)立,根據(jù)(1)的條件可得點(diǎn)的軌跡方程,然后可得焦點(diǎn),結(jié)合拋物線定義可得,計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)直線方程,根據(jù)題意可知直線斜率一定存在,則則由所以將代入上式化簡(jiǎn)可得,所以則直線方程為,所以直線過(guò)定點(diǎn),所以可知點(diǎn)不在直線上.(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為線段的中點(diǎn)為則直線的斜率為,直線的斜率為可知線段的中

16、垂線的方程為由,所以上式化簡(jiǎn)為即線段的中垂線的方程為同理可得:線段的中垂線的方程為則由(1)可知:所以即,所以點(diǎn)軌跡方程為焦點(diǎn)為,所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),有最大所以【點(diǎn)睛】本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用,第(1)問(wèn)中難點(diǎn)在于計(jì)算處,第(2)問(wèn)中關(guān)鍵在于得到點(diǎn)的軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理,屬難題.11已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.(1)判斷點(diǎn)是否在直線上?說(shuō)明理由;(2)設(shè)點(diǎn)是的外接圓的圓心,求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)點(diǎn)在直線上,理由見(jiàn)解析(2)【分析】(1)由拋物線的方程可得頂點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)直線的方程,與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,求出數(shù)量積,再由

17、題意可得直線恒過(guò),即得在直線上;(2)設(shè),的坐標(biāo),可得直線,的斜率及線段,的中點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出線段,的中垂線的方程,兩個(gè)方程聯(lián)立求出外接圓的圓心的坐標(biāo),由(1)可得的橫縱坐標(biāo)關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式,消參數(shù)可得的軌跡方程【詳解】(1) 點(diǎn)在直線上.理由如下,由題意, 拋物線的頂點(diǎn)為因?yàn)橹本€與拋物線有2個(gè)交點(diǎn),所以設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立得到,其中,所以,因?yàn)樗?,所以,解得,?jīng)檢驗(yàn),滿足,所以直線AB的方程為,恒過(guò)定點(diǎn).(2)因?yàn)辄c(diǎn)是的外接圓的圓心,所以點(diǎn)是三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為為,因?yàn)椋O(shè),所以,所以線段的中垂線的方程為:,因?yàn)樵趻佄锞€上,所以,的中垂線的方程為:,即

18、,同理可得線段的中垂線的方程為:,聯(lián)立兩個(gè)方程,解得,由(1)可得,所以,即點(diǎn),所以,即點(diǎn)的軌跡方程為:【點(diǎn)睛】本題考查求直線恒過(guò)定點(diǎn)的方程及直三角形外接圓的性質(zhì),和直線與橢圓的綜合應(yīng)用,屬于難題12拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)且垂直于軸的直線交拋物線于兩點(diǎn),為原點(diǎn),的面積為2.(1)求拋物線的方程.(2)為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線,切點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為,是否存在實(shí)數(shù),使點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),垂足恒為定點(diǎn)?若不存在,說(shuō)明理由;若存在,求出的值,并求定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1);(2)存在這樣的,當(dāng)時(shí),坐標(biāo)為.【分析】(1)先根據(jù)拋物線的性質(zhì),結(jié)合題中條件,得到,由三角形面積列出方程求出,

19、即可得出拋物線方程;(2)先設(shè),直線的方程為,根據(jù)直線與拋物線相切,得到,進(jìn)而推出的方程為,根據(jù),得到方程,由兩直線方程,即可求出,確定出結(jié)果.【詳解】(1)由題意得,點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為,由,解得,則,由,解得,故拋物線的方程為.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),垂足恒為定點(diǎn),設(shè),直線的方程為,將拋物線方程變形為,則,所以,所以的方程為.因?yàn)椋灾本€的方程為.把代入的方程得.同理可得構(gòu)造直線方程為,易知兩點(diǎn)均在該直線上,所以直線的方程為.故恒過(guò)點(diǎn).因?yàn)椋钥稍O(shè)方程為,化簡(jiǎn)得所以恒過(guò)點(diǎn).當(dāng),即時(shí),與均恒過(guò),故存在這樣的,當(dāng)時(shí),坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵在于用分別表示出

20、直線和的方程;根據(jù)題中條件,先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),以及直線的方程,由直線與拋物線相切,得出直線方程,推出的方程,進(jìn)而確定的方程,即可求解.13已知拋物線:的焦點(diǎn)為,平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn),交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)()若在線段上,是的中點(diǎn),證明;()若的面積是的面積的兩倍,求中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】()見(jiàn)解析;()【分析】設(shè)的方程為()由在線段上,又;()設(shè)與軸的交點(diǎn)為(舍去),設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為當(dāng)與軸不垂直時(shí)當(dāng)與軸垂直時(shí)與重合所求軌跡方程為【詳解】由題設(shè),設(shè),則,且記過(guò)兩點(diǎn)的直線為,則的方程為 ()由于在線段上,故,記的斜率為的斜率為,則,所以 ()設(shè)與軸的交點(diǎn)為,則,由題設(shè)可得,所以(舍去),設(shè)滿足

21、條件的的中點(diǎn)為當(dāng)與軸不垂直時(shí),由可得而,所以當(dāng)與軸垂直時(shí),與重合,所以,所求軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了1.拋物線定義與幾何性質(zhì);2.直線與拋物線位置關(guān)系;3.軌跡求法14如圖,設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|1.()求p的值;()若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B,過(guò)B與x軸平行的直線和過(guò)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N,AN與x軸交于點(diǎn)M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】()p=2;()(,0)(2,+).【解析】試題分析:本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.試題解析:()由題意可得

22、,拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x=1的距離,由拋物線的定義得p2=1,即p=2.()由()得,拋物線的方程為y2=4x,F(1,0),可設(shè)A(t2,2t),t0,t1.因?yàn)锳F不垂直于y軸,可設(shè)直線AF: x=sy+1,(s0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y24sy4=0,故y1y2=4,所以,B(1t2,2t).又直線AB的斜率為2tt21,故直線FN的斜率為t212t.從而得直線FN:y=t212t(x1),直線BN:y=2t.所以N(t2+3t21,2t).設(shè)M(m,0),由A,M,N三點(diǎn)共線得2tt2m=2t+2tt2t2+3t21,于是m=2t2t21.所以m0或

23、m2.經(jīng)檢驗(yàn),m0或m2滿足題意.綜上,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(,0)(2,+).【考點(diǎn)】拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系.【思路點(diǎn)睛】()當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí),一般會(huì)想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離解答本題時(shí)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,進(jìn)而可得點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離;()通過(guò)聯(lián)立方程組可得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo),再利用,三點(diǎn)共線可得m用含有t的式子表示,進(jìn)而可得的橫坐標(biāo)的取值范圍.15如圖,已知點(diǎn)是軸左側(cè)(不含軸)一點(diǎn),拋物線上存在不同的兩點(diǎn)、,滿足、的中點(diǎn)均在拋物線上.(1)求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;(2)設(shè)中點(diǎn)為,且,證明:;(3)若是曲線()上的動(dòng)點(diǎn),求

24、面積的最小值.【答案】(1)2;(2)證明見(jiàn)解析;(3).【分析】(1)直接利用拋物線定義得到答案.(2)設(shè),根據(jù)中點(diǎn)在拋物線上得到,同理得到是二次方程的兩不等實(shí)根,計(jì)算得到答案.(3)設(shè),代換得到計(jì)算得到答案.【詳解】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x1,所以,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.(2)設(shè),則中點(diǎn)為,由中點(diǎn)在拋物線上可得,化簡(jiǎn)得,顯然,且對(duì)也有,所以是二次方程的兩不等實(shí)根,所以,.(3),由(1)可得,此時(shí)在半橢圓上,所以,所以,即的面積的最小值是.【點(diǎn)睛】本題考查了面積的最值問(wèn)題,證明坐標(biāo)關(guān)系,綜合性強(qiáng),計(jì)算量大,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.16設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng),過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).(1)求APB的重心G的軌跡方程.(2)證明PFA=PFB【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問(wèn)題解:(1)設(shè)切點(diǎn),坐標(biāo)分別為和,切線的方程為:;切線的方程為:;由于既在又在上,所以解得,所以的重心的坐標(biāo)

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