集合與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)點(diǎn)歸納

1、知識(shí)點(diǎn)典型例題集合與簡(jiǎn)易邏輯集 合.兀素與集合的關(guān)系：用W或后表示；.集合中元素具有確定性、無序性、互異性.集合的分類：按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無限集； 按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如 數(shù)集y|y=x2，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn) 集(x, y)|y=x2表示開口向上，以 y軸為對(duì)稱軸的拋物線；.集合的表示法：列舉法：用來表示有限集或具有 顯著規(guī)律的無限集， 如N+=0 ,1, 2, 3,;描述法字母表示法：常用數(shù)集的符號(hào)： 自然數(shù)集N;正整數(shù)集N或N+； 整數(shù)集Z;有理數(shù)集 Q實(shí)數(shù)集R;例1下列關(guān)系式中正確的是()(A) GJ%(B)0W%(C)0 =(D)0 J 6例2，x+y -3解集為.12x-3

2、y =1例 3設(shè) A = 4,2a1,a2, B =9,a 5,1 a， 已知A0|B=9，求實(shí)數(shù)a的值.子 集集合與集合的關(guān)系：用弓，= 表示;A是B的子集記為AJB;A 是B的真子集記為A日B。任何一個(gè)集合是它本身的子集， 記為A三A ;空集是任何集合 的子集，記為小工A；空集是任 何非空集合的真子集；如果AJB,同時(shí)B A,那 么 A = B ;如果 aB, BEC, 那么AC ,n個(gè)元素的子集有 2n個(gè)；n個(gè)元素的真子集有 2n -1 個(gè)；n個(gè)元素的非空真子集有2n2個(gè).例 4設(shè) M =x x2 +x + 2 = 0，xW r , a=lg(lg10),則a與M的關(guān)系是()(A) a=

3、M (B)M ua(C) a Y M (D)M =a例 5 集合 A= x|x=3k-2, kCZ, B= y|y=3n+1 , n Z , S= y|y=6m+1, mC Z之間的關(guān)()(A)S u B u A(B)S=B u A(C)S u B=A(D)S Y B=A例6用適當(dāng)?shù)姆?hào)值、正、二、在、)填空：兀Q;3.14 Q; R-U R+R;x|x=2k+1, kC Z_ x|x=2k 1, kC Z。例 7 已知全集 U= 2, 4, 1-a, A= 2, a2a + 2 ,如果eU A =-仆，那么a的值為.交、 并、 補(bǔ).交集 AA B=x|xC A 且 xC B; 并集 A U

4、B= x|x A ,或 x C B; 補(bǔ)集 CuA= x|x C U ,且 x 角A , 集合U表示全集.集合運(yùn)算中常用結(jié)論： A J Bu Ar)B=A ;A2 Bu AUB = B癱(aLb) =(u A)ri(ZB);期(AB) =(uA)U(?uB) card (A U B) =card (A)十 card (B) -card (Ap B)例 8 設(shè)集合 A=x|xC Z 且-10 x0)的解集是x|xax o公式法：|f(x)| g(x) f (x)Ag(x)由(x)-g(x)，| f (x) g(x)= 一g(x) f (x) 0(a 0)或ax + bx + c 0)的求解原理：

5、利用二次函數(shù)的圖象通過二次函數(shù)與二次不等式的聯(lián)系從而推證出任何一元二次不等式的解A00 = 0 0)的 圖象y = ax2 + bx+c2 2y = ax + bx + c u2y = ax + bx + c u一元二次方 程21 1-ax 4bx+c=0(a0勺根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1 0(a0的解集(x x x2):J * b、i xx0ll 2a JRax2 +bx+c 0)的解集x|x( xx200注:分式、高次不等式的解法：標(biāo)根法14.不等式x2 ax b0的解集是 伺2 x 3，則a=，b=.分式不等式 T2x+1.等 式.解不等式:|x-3|-|x+1| x +1.x2 -

6、3x+2一 、一一21 . .已知萬程2（k+1） x +4kx+3k-2=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，求實(shí)數(shù) k的取值范圍.命 題.命題分類：真命題與假命題，簡(jiǎn) 單命題與復(fù)合命題；.復(fù)合命題的形式：p且q, p或q,非p；（“或”、“且”、“非”這些詞叫做 邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的 命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題和邏 輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。）“ p且q”形式復(fù)合命題當(dāng) P與 q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假 即當(dāng)q、p為真時(shí)，p且q為真； 當(dāng)p、q中什-個(gè)為假時(shí)， p且q 為假。“ p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與 q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真 即當(dāng)p、q均為假時(shí)，p或q為假；

7、 當(dāng)p、q中后,個(gè)為真時(shí)，p或q 為真；“非p”形式復(fù)合命題的真假與 p的真假相反即當(dāng)p為真時(shí)，非p 為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真。例21寫出命題：若x + y = 5則x = 3且y = 2的逆 命題含命題逆否命題，并判斷它們的真假。例22:若a+b#5,則a#2或b#3”是命題.（填真、假）例23命題若ab-0,則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為。例24:用反證法證明：已知 X、yCR, x+y2,求 證x、y中至少有一個(gè)不小于 1。命3.四種命題：記若q則p”為原命例25已知c0.設(shè)P：函數(shù)y = cx在R上單調(diào)遞充 分 條 件 與 必 要 條 件減.Q：不等式x+|x2c|1的解集為

8、R,如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求 c的取值范圍.題，則否命題為 若非p則非q”，逆命題為 若q則p ；逆否命題為若非q則非p 其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即u 。一個(gè)命題的否命題為真， 它的逆 命題一定為真.（否命題已逆命 題.）一個(gè)命題為真，則它的逆 否命題一定為真.（原命題u 逆 否命題.）4.反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。 會(huì)用反證法證明一些代數(shù)命題。充分條件與必要條件.定義：當(dāng)若p則q”是真命題 時(shí)，p是q的充分條件，q是p的 必要條件；當(dāng) 若p則q”的逆命題 為真時(shí)，q是p的充分條件，p是 q的必要條件；當(dāng)若p則q，若 q則p”均為真時(shí)，稱p是q的充要 條件；.在判斷充分條件及必要

9、條件時(shí)， 首先要分清哪個(gè)命題是條件， 哪個(gè) 命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種 情況說明：充分不必要條件，必要 不充分條件，充分且必要條件，既 不充分又不必要條件。從集合角度 看，若記滿足條件p的所有對(duì)象組 成集合A,滿足條件q的所有對(duì)象 組成集合q,則當(dāng)A=B時(shí)，p 是q的充分條件；B三A時(shí)，p是 q的充分條件：A=B時(shí)，p是q的 充要條件；注：當(dāng)p和q互為充要時(shí)，體現(xiàn) 了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。小范圍推出大范圍；大范圍推不 出小范圍.答案見下一頁例 26: XA 5 X 5或X 2.（填口，？ u ）例27：條件甲：X0 1且y# 2；條件乙：x+ y# 3,則乙是甲的 條件.例 28 a w曷

10、cos c 豐 cos（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件初29已知p：方程x2+ax+b=0有且僅有整數(shù)解，q： a,b是整數(shù)，則p是q的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題(第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯)答案例1選A;例2填(2, 1)注:方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.例 3 解: AnB=9,，9W A.若 221=9,則2 = 5,此時(shí)人=乂,9,25, B=9,0r4, A|B=9,Y，與已知矛盾，舍去.若a2 =9 ，則 a = 3當(dāng)a = 3 時(shí)，A =”,5,9 ,B =2,

11、2,9.B中有兩個(gè)元素均為 2,與集合中元素的互異性矛盾，應(yīng)舍去.當(dāng)a = 3時(shí)，A = M,7,9 ,B = 9,8,4,符合題意.綜上所述，a = 3.點(diǎn)評(píng)本題考查集合元素基本特征 一確定性、互異性、無序性，切入點(diǎn)是分類討論思想，由于集 合中元素用字母表示，檢驗(yàn)必不可少。例4c例5c例6+u ,u ,也可以這樣寫：解：原不等式等價(jià)于x ： -1_(x_3) (x 1) ： 1或尸wx3 或/之3，解的：_(x_3) _(x+1)11(x 3)- (x + 1) 1解集為 八的解集為x|x- .方法2:數(shù)形結(jié)合：從形的方面考慮，不等式|x-3|-|x+1|1表示數(shù)軸上到 3和-1兩點(diǎn)的距離之

12、差小14dd-1O1于1的點(diǎn).例 19 答：x|x 0 或 1x.2例7填2例8c例90例 10 解：= M=y|y=x2+1, xCR=yy1, N=y| y=x+1 , xC R=y|y R /. MA N=M=y|y 1 注：在集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。M、N均為數(shù)集，不能誤認(rèn)為是點(diǎn)集，從而解方程組。其次要化簡(jiǎn)集合。實(shí)際上，從函數(shù)角度看，本題中的M, N分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。一般地，集合 y|y=f(x), xC A應(yīng)看成是函數(shù)y=f(x)的值域，通過求函數(shù) 值域化簡(jiǎn)集合。此集合與集合 (x, y) |y=x2+1, xCR是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集

13、，表示拋物線 y=x2+1上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無關(guān)，例如 y|y 1= x|x 1。例11填0注：點(diǎn)集與數(shù)集的交集是*.例20解：要原方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，必須2(k- 1);0：.：,0 x+x20_2k _1或2 k1實(shí)數(shù)k的取值范圍是k|-2k-1一 3”k+1#0k2 +k-204kJ-02(k+1)T 2、或一 k1.3k#_1 -2k10k-fck-1例12埴0 ,R例 13 解：= Cu A = 1 , 2, 6, 7, 8 ,Cu B = 1 , 2, 3, 5, 6,(CuA) A (GU B) = 1 , 2, 6 ,(Cu A) U (Cu

14、 B) = 1 , 2, 3, 5, 6, 7, 8, 丁 A U B = 3,4,5,7, 8,A AB = 4,Cu (A U B) = 1,2,6 ,C u (APB) = 1,2,3,5,6,7,8 例 14 a =5,b - -6 ;例15原不等式的解集是&，x 3例21解：逆命題：若 x = 3且y = 2則x + y = 5 (真)否命題：若 x + y # 5則x# 3且2 (真)逆否命題：若 x# 3或y#2則x + y=5 (假)例22答:真 解：逆否：a = 2且b = 3,則a+b = 5,成立，所以此命題為真.例23答:若a、b都不為0,則abwo例24解：假設(shè)x1且

15、y1 ,由不等式同向相加的性質(zhì) x+y2矛盾,假設(shè)不成立x、y中至少有一個(gè)不小于 1例 16 4x w R| -32 或 x0或，4x_32或x 0) 一樣: |4x-3|2x+1 = 4x-32x+1或 4x-32 或 x2 或 x；.例18分析：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值.方法1:零點(diǎn)分段討論法(利用絕對(duì)值的代數(shù)定義)當(dāng) x -1 時(shí)，x -3 0,x +1 0-(x -3) +(x +1) 1 41 二 x W e1. . 1 一當(dāng)-K x 3時(shí)，-(x -3) (x +1) , x |- x 3時(shí)，(x3) (x+1) 1= -43綜上原不等式的解集為x|x -2例25解：函數(shù)y = cx在R上

16、單調(diào)遞減 U 0 c1的解集為Ru 函數(shù)y=x+|x-2c|在R上恒大于1.一.2x - 2c. x 2c.* x + | x - 2 c |=二 函數(shù) y = x+ | x - 2c |在R上的取小值為2 c.2c,x ： 2c,1 ,二不等式|x + x 2c A 1的解集為Ru 2c1u c.如果P正確，且Q不正確，11 -則0 5n x 5x 2 .例27答既不充分也不必要解:若x + y =3,則x = 1或y = 2 是假命題，其逆命題也不成立.逆否命題：若x=1或y=2,則x+y3”是假命題，否命題也不成立.故x+ y#3是x#1或y#2的既不充分也不必要條件.例28選B例29選

17、A1、當(dāng)別人說你“有缺陷”時(shí)，你就“瘋狂地戰(zhàn)勝它”吧!瘋狂就是：Practice while others are complaining.當(dāng)別人抱怨時(shí)你練習(xí)。Believe while others are doubting.當(dāng)別人疑惑時(shí)你堅(jiān)信?！睆囊粋€(gè)人的“反彈爆發(fā)力”上，我最佩服乒乓球雙料冠軍鄧亞萍。她因?yàn)樯砀咧挥?米5,曾經(jīng)被省隊(duì)和國(guó)家隊(duì)都拒絕過，她父親就對(duì)她說： “你個(gè) 子矮，就必須把球打得快，這樣才有進(jìn)攻性；你個(gè)子矮，別人跑一步，你就要跑兩步， 所以你一定要跑得快?！币?yàn)樗朔€(gè)子矮的弱點(diǎn)，所以在訓(xùn)練時(shí)，她比任何人都要付出多兩倍的努力， 每天要換幾次衣服，晚上趁別人睡下時(shí)，還要再

18、悄悄躲進(jìn)訓(xùn)練房苦練到暈倒為止。鄧亞萍說：“我打球打贏了還不一定能進(jìn)國(guó)家隊(duì)， 更別說輸了。所以我打球很兇狠， 那是逼出來的?！奔偃缒愀杏X自己有某方面缺陷弱點(diǎn)時(shí)， 你就瘋狂地戰(zhàn)勝它吧，像鄧亞萍一樣，當(dāng)別 人休息時(shí)一一你練習(xí)；當(dāng)別人疑惑時(shí)一一你堅(jiān)信；當(dāng)別人放棄時(shí)一一你堅(jiān)持苦練 短處，把短處變得更快、把短處變得更狠，從而把短處變成長(zhǎng)處！鄧亞萍說：“我不比別人聰明，但我能管住自己。我從小就形成了一旦設(shè)定目標(biāo)，就絕不輕易放棄的習(xí)慣。也許，這就是我能贏得成功的原因。”當(dāng)你看到這里時(shí)，也請(qǐng)怒吼一聲：“我要管住自己的軟弱！ 一旦設(shè)定目標(biāo)一一就絕 不放棄! (Never Give Up) ”成功就是堅(jiān)持!文檔附件

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