小波變換理論與方法資料

1、小波變換(binhun)理論與方法共四十二頁(yè)主要(zhyo)內(nèi)容傅里葉變換小波變換小波變換的一些(yxi)應(yīng)用共四十二頁(yè)一 傅里葉變換(binhun) 1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier)發(fā)表的研究熱傳導(dǎo)理論的“熱的力學(xué)分析(fnx)”,提出“每一個(gè)周期函數(shù)都可以表示成三角函數(shù)之和” ，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。 1829年，法國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以嚴(yán)密的方式給出傅里葉級(jí)數(shù)與積分存在條件的完整證明。狄利克雷條件(Dirichlet Conditions)（1 ）在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；（2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)

2、目應(yīng)是有限個(gè)；（3）在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的共四十二頁(yè)若周期信號(hào) 滿足狄利克雷條件，則可展開為傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)(j sh)表達(dá)式：直流分量：余弦分量的幅度：正弦分量的幅度：基波角頻率 ， 為 的周期。共四十二頁(yè)1.1 連續(xù)(linx)傅里葉變換對(duì)于函數(shù)(hnsh)f(t)L1(R),其連續(xù)傅里葉變換為其中i是虛數(shù)單位，是頻率變量。F()的連續(xù)傅里葉逆變換為共四十二頁(yè)1.2 離散(lsn)傅里葉變換對(duì)于實(shí)數(shù)(shsh)或者復(fù)數(shù)離散時(shí)間序列f0, f1, FN-1,若滿足 ，則稱為序列fn離散傅里葉變換，稱為序列fn逆離散傅里葉變換共四十二頁(yè)平穩(wěn)信號(hào)是指分布參數(shù)(cnsh)或者分布律隨時(shí)

3、間不發(fā)生變化的信號(hào)，也就是統(tǒng)計(jì)特性(期望與方差）不隨時(shí)間變化而變化。共四十二頁(yè)共四十二頁(yè)共四十二頁(yè)1.3 短時(shí)傅里葉變換(binhun)為了提取信號(hào)的局部特征,例如變形信號(hào)在某一時(shí)刻的頻率、形變突發(fā)位置(wi zhi)等，1946年Gabor提出了短時(shí)傅里葉變換，即Gabor 變換，也稱加窗傅里葉變換。Gabor變換的基本思想為：取時(shí)間函數(shù) 作為窗口函數(shù)，然后用 通待分析函數(shù)相乘，是時(shí)間延遲，是窗函數(shù)g(t)的中心，窗函數(shù)根據(jù)進(jìn)行時(shí)移，然后再進(jìn)行傅里葉變換：其中 ，窗口函數(shù)g(t)起著時(shí)限作用， 起著頻限作用。該變化具有不變化寬度（由時(shí)間寬度決定）和不變的窗口面積4gg共四十二頁(yè)短時(shí)傅里葉變換

4、(binhun)示意圖共四十二頁(yè)傅里葉變換(binhun)圖短時(shí)傅里葉變換(binhun)圖共四十二頁(yè)二 小波變換(binhun) 小波變換由法國(guó)科學(xué)家MORLET于1980年在進(jìn)行地震數(shù)據(jù)分析時(shí)提出，是強(qiáng)有力的時(shí)頻分析(處理)工具，是在克服傅立葉變換缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的。已成功應(yīng)用于很多領(lǐng)域，如信號(hào)處理、圖像處理、模式識(shí)別等。 小波變換的一個(gè)重要性質(zhì)是它在時(shí)域和頻域均具有很好的局部化特征，它能夠提供(tgng)目標(biāo)信號(hào)各個(gè)頻率子段的頻率信息。這種信息對(duì)于信號(hào)分類是非常有用的。 小波變換一個(gè)信號(hào)為一個(gè)小波系數(shù)，這樣一個(gè)信號(hào)可由小波系數(shù)來(lái)刻畫。共四十二頁(yè) 小波變換是一個(gè)平方可積分函數(shù)f(t)與

5、一個(gè)在時(shí)頻域上均具有良好(lingho)局部性質(zhì)的小波函數(shù)(t)的內(nèi)積： 式中，表示內(nèi)積，a0 ,為尺度因子，b為位移因子，*表示復(fù)數(shù)共軛，a,b(t)稱為小波基函數(shù)。2.1 連續(xù)(linx)小波變換小波函數(shù)時(shí)間頻率窗(t)稱為母小波，(t)必須滿足容許性條件：共四十二頁(yè)部分(b fen)小波波形共四十二頁(yè)小波分類(fn li)的標(biāo)準(zhǔn)支撐長(zhǎng)度：即當(dāng)時(shí)間或頻率趨向于無(wú)窮大時(shí)，它們從一個(gè)有限值收斂到0，長(zhǎng)度越小，對(duì)奇異點(diǎn)的區(qū)分效果越好。對(duì)稱性：對(duì)稱性越好，越能保證信號(hào)不失真（不產(chǎn)生畸變(jbin)），越能提高信號(hào)的重構(gòu)精度。正則性：它在對(duì)信號(hào)或圖像的重構(gòu)獲得較好的平滑效果作用上是非常有用的。共四十

6、二頁(yè)小波運(yùn)算的基本步驟：選擇一個(gè)小波函數(shù)，并將這個(gè)小波與要分析的信號(hào)起始(q sh)點(diǎn)對(duì)齊；計(jì)算在這一時(shí)刻要分析的信號(hào)與小波函數(shù)的逼近程度，即計(jì)算小波變換系數(shù)C，C越大，就意味著此刻信號(hào)與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。共四十二頁(yè)將小波函數(shù)沿時(shí)間軸向右移動(dòng)一個(gè)(y )單位時(shí)間，然后重復(fù)步驟(1)、(2)求出此時(shí)的小波變換系數(shù)C，直到覆蓋完整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度，如圖所示；將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個(gè)(y )單位，然后重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)，如圖所示；對(duì)所有的尺度伸縮重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)、(4)。共四十二頁(yè)連續(xù)(linx)小波變換實(shí)例共四十二頁(yè)2.2 離散(lsn)小波變換在實(shí)際

7、應(yīng)用中，需要對(duì)尺度因子a和位移因子b進(jìn)行離散化處理，可以?。?， m,n為整數(shù)，a0為大于1的常數(shù)，b0為大于0的常數(shù)，a和b的選取與小波(t)的具體形式有關(guān)。離散小波函數(shù)表示為：相應(yīng)的離散小波變換(binhun)可以表示為：當(dāng)a0=2，b0=1時(shí)，離散小波變換稱為二進(jìn)離散小波變換，這樣便于分析，并且適合于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行高效的運(yùn)算。共四十二頁(yè)2.2.1 一階濾波(lb)：近似與細(xì)節(jié)在小波分析中，近似值是大的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號(hào)的低頻分量(fn ling)，而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子計(jì)算的系數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量(fn ling)。實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)的低頻分量(fn ling)往往是最重要的，

8、而高頻分量(fn ling)只起一個(gè)修飾的作用，如 聲音。共四十二頁(yè)共四十二頁(yè)2.2.2多尺度(chd)分解對(duì)信號(hào)的高頻(o pn)分量不再分解，而將信號(hào)的低頻部分繼續(xù)分解.實(shí)際中， 分解的級(jí)數(shù)取決于要分析的信號(hào)數(shù)據(jù)特征及用戶的具體需要，例如長(zhǎng)度為N的信號(hào)，最多能分成log2N層。在實(shí)際中，可以選擇合適的分解層數(shù)。下圖為三層多尺度分解樹結(jié)構(gòu)，原始信號(hào)S的多尺度分解為：S=cA3+Cd3+cD2+Cd1。共四十二頁(yè)共四十二頁(yè)2.2.3小波包分解(fnji)小波分析是將信號(hào)分解為近似與細(xì)節(jié)兩部分，近似部分又可以分解成第二層近似與細(xì)節(jié)，可以這樣重復(fù)下去。對(duì)于(duy)一個(gè)N層分解來(lái)說(shuō)， 有N+1個(gè)分

9、解信號(hào)的途徑。而小波包分析的細(xì)節(jié)與近似部分一樣，也可以分解，對(duì)于N層分解，它產(chǎn)生2N個(gè)不同的途徑。共四十二頁(yè)三 小波變換(binhun)的一些應(yīng)用3.1小波包去噪加噪信號(hào)數(shù)學(xué)模型為f(t)=s(t)+n(t)，s(t)是原信號(hào)，n(t)是隨機(jī)(su j)白噪聲，滿足En(t)=0和Dn(t)=2。設(shè)(t)為小波函數(shù)，n(t)的小波包變換為Wn(j,t)=n(t)j(t)=n(t)的小波包系數(shù)的期望和方差分別為： E(|Wn(j,t)|2)=0 D(|Wn(j,t)|2)=共四十二頁(yè)3.1.1小波包去噪步驟(bzhu) 選擇小波基并確定最佳分解的層次,對(duì)信號(hào) 進(jìn)行小波包分解;對(duì)步驟(1)獲得的小

10、波包樹,選擇一定的嫡標(biāo)準(zhǔn),計(jì)算最優(yōu)樹;估計(jì)閾值,并應(yīng)用該閾值對(duì)最優(yōu)樹的小波包系數(shù)進(jìn)行閾值量化;將經(jīng)量化處理的小波包系數(shù),重構(gòu)回原始信號(hào)。小波包閾值消噪有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：1、如何(rh)估計(jì)閾值；2 如何利用閾值量化小波包系數(shù)。共四十二頁(yè)熵的確定(qudng)熵：用來(lái)(yn li)確定最優(yōu)樹的標(biāo)準(zhǔn)，熵值越小，對(duì)應(yīng)的小波包基越好。1）香農(nóng)熵：約定0log(0)=0，則香農(nóng)熵定義為：2）P范數(shù)熵：若P1，在lp范數(shù)意義上定義E(s)= ,則： E(s)=3)對(duì)數(shù)能量熵 E(si)= ，0log(0)=0,則有 E(s)=4)閾值熵： E(s)= 式中，是閾值，且 0.共四十二頁(yè)閾值(y zh)選擇準(zhǔn)則(

11、1)基于無(wú)偏似然估計(jì)原理的Rigrsure規(guī)則；W為一向量，其元素(yun s)為小波系數(shù)的平方，并按由小到大的順序排列，W=w1,w2,wn，且w1w2wn，再設(shè)一向量R，其元素為：ri= n-2i-(n-i)w+ /n (i=1,2,.,n)以R元素中的最小值rb為風(fēng)險(xiǎn)值，由rb的下標(biāo)變量b求出對(duì)應(yīng)的wb，則閾值T1為： T1=（2）通用閾值T1(sqtwolog準(zhǔn)則) T2=共四十二頁(yè)（3）啟發(fā)式的stein無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值(y zh)T3（Heursure）準(zhǔn)則設(shè)為n個(gè)小波系數(shù)(xsh)的平方和，令= ，= ，則T3=(4)基于極大極小原理的Minimax方法該準(zhǔn)則采用的也是一種固定閾值，

12、它產(chǎn)生一個(gè)最小均方誤差的極值。具體的閾值選取規(guī)則為： T4=共四十二頁(yè)閾值量化函數(shù)(hnsh)的選取閾值量化是應(yīng)用所估計(jì)的閾值T，對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行的處理。目前，閾值量化函數(shù)主要采用兩種方法。一種是硬閾值法，當(dāng)小波系數(shù)大于該閾值時(shí)，保留原值，否則(fuz)置零，其公式為：另一種是軟閾值法，當(dāng)小波包系數(shù)大于該閾值時(shí)，向著減小系數(shù)幅值的方向作一個(gè)收縮，否則置零，其公式為：式中，sgn（）為符號(hào)函數(shù)。共四十二頁(yè)閾值準(zhǔn)則heursuresqtwologrigrsuremininmaxSNR11.006228.714311.006221.9542rmse1.79760.74161.79761.0398共四十

13、二頁(yè)閾值量化函數(shù)硬閾值法軟閾值法SNR13.939128.7143RMSE1.55240.7416共四十二頁(yè)系統(tǒng)性干擾信號(hào)探測(cè)(tnc)共四十二頁(yè)閾值準(zhǔn)則噪聲消除和系統(tǒng)干擾處理小波包閾值消噪SNR43.413528.7143RMSE0.35560.7416共四十二頁(yè)3.2 小波時(shí)頻圖共四十二頁(yè)可將多分辨分析與連續(xù)小波變換(binhun)結(jié)合起來(lái)分析信號(hào)的特征共四十二頁(yè)3.3 識(shí)別(shbi)信號(hào)發(fā)展趨勢(shì)共四十二頁(yè)3.4 無(wú)參回歸估計(jì)隨機(jī)(su j)設(shè)計(jì)模式共四十二頁(yè)固定(gdng)設(shè)計(jì)模式共四十二頁(yè)謝謝(xi xie)聆聽，請(qǐng)各位批評(píng)指正共四十二頁(yè)內(nèi)容摘要小波變換理論與方法。 1829年，法國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以嚴(yán)密的方式給出傅里葉級(jí)數(shù)與積分存在條件的完整證明。i是虛數(shù)單位，是頻率變量。平穩(wěn)信號(hào)是指分布參數(shù)或者分布律隨時(shí)間