數(shù)字電子技術(shù)：第二十一講 氫原子的量子力學(xué)處理、四個(gè)量子數(shù)

1、11.氫原子的定態(tài)薛定諤方程設(shè)原子核相對(duì)靜止，電子在核的庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則U(r) 與 t 無(wú)關(guān)，滿足定態(tài)薛定諤方程：三、氫原子的量子力學(xué)處理2采用球坐標(biāo)：球坐標(biāo)中的定態(tài)薛定諤方程：3ml為常數(shù)。l為常數(shù).分離變量，設(shè)得到三個(gè)獨(dú)立方程：4連帶勒讓德函數(shù)由上述三個(gè)方程得出滿足波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的基本解：拉蓋爾函數(shù)，r 時(shí)趨于零.Rnl可查閱數(shù)學(xué)手冊(cè)，例如：玻爾第一軌道半徑5 由三個(gè)量子數(shù)：n、l、m 決定。綜合得出定態(tài)波函數(shù)：例：n、l、m 取不同值的定態(tài)波函數(shù):玻爾半徑球諧函數(shù)6能量量子化和主量子數(shù)主量子數(shù)電子能量的量子化條件：2.量子化條件和量子數(shù)在求解上述方程時(shí)，要求波函數(shù)滿足一定條件，由此自然

2、得出如下幾個(gè)基本量子化條件和量子數(shù)：軌道角動(dòng)量量子化和角量子數(shù)l角量子數(shù)（副量子數(shù)）.電子軌道角動(dòng)量的量子化條件：7處于同一能級(jí)En 的原子，角動(dòng)量可能有n 種不同的取值。 對(duì)應(yīng)于同一個(gè)主量子數(shù)n，角量子數(shù)l 可取0(n-1)共 n 個(gè)值。電子軌道角動(dòng)量的量子化n 個(gè)不同的穩(wěn)定狀態(tài)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能級(jí)的情況稱(chēng)為能級(jí)的“簡(jiǎn)并”。8量子力學(xué)中通常用小寫(xiě)字母 來(lái)表示 等狀態(tài)。例：對(duì) 角量子數(shù) 可取 和 分別用 和 表示其狀態(tài)。其中：前面的數(shù)字代表主量子數(shù)，后面的字母代表角量子數(shù)；其角動(dòng)量分別為角量子數(shù)角動(dòng)量符號(hào)9討論舊量子論中的軌道角動(dòng)量量子化假設(shè)：玻爾假設(shè)索末菲公式舊量子論的結(jié)果與量子力學(xué)的結(jié)果不同。

3、而且：實(shí)驗(yàn)證明量子力學(xué)結(jié)果是正確的。舊量子論 量子力學(xué) 10空間量子化和磁量子數(shù)空間量子化角動(dòng)量在空間取向不是任意的，只能取某些特定方向。通常以外磁場(chǎng)方向?yàn)閰⒖迹▃軸）,則電子軌道角動(dòng)量的空間量子化條件：磁量子數(shù) 對(duì)一給定的 值， 可取 個(gè)值。即同一個(gè)軌道角動(dòng)量L在空間有 個(gè)可能的取向。11L三種取向L五種取向例：12空間量子化的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1896年塞曼發(fā)現(xiàn)原來(lái)沒(méi)有外磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線在加上強(qiáng)磁場(chǎng)后，分裂成三條譜線：其中之一頻率0不變，另外兩條頻率分別為0+ 和0-。 與磁場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)，這種對(duì)稱(chēng)的譜線分裂稱(chēng)為正常塞曼效應(yīng)。用空間量子化解釋?zhuān)涸谕獯艌?chǎng)中，對(duì)一給定的 n、l，有(2l+1) 個(gè)不同的 m

4、l 值，即有(2l+1)個(gè)不同的量子態(tài)。而每一不同的ml 又產(chǎn)生一個(gè)不同的附加能量E。所以，一個(gè)能級(jí) En 在外磁場(chǎng)中會(huì)分裂成 (2l+1)個(gè)不同的能級(jí)。13例：鋰2p1s 譜線的塞曼效應(yīng):有磁場(chǎng)無(wú)磁場(chǎng)14電子的自旋和自旋磁量子數(shù)1921年，史特恩和蓋拉赫在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)：處于s態(tài)的銀原子的一束射線在非均勻磁場(chǎng)中分裂為兩束。銀原子處于 態(tài)， 這種分裂不能用電子軌道角動(dòng)量的空間量子化來(lái)解釋。此外，譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)也說(shuō)明不能僅用 三個(gè)量子數(shù)描述的態(tài)來(lái)解釋。軌道角動(dòng)量的空間量子化效應(yīng)15即使無(wú)外磁場(chǎng)，一些譜線也是一分為二或三（即由相距極近的二或三條譜線構(gòu)成）。啟示除了軌道磁矩之外，原子內(nèi)還有另外一種也是量

5、子化的磁矩存在。如：鈉原子D線（3p3s）就是由589.0nm（D1）和589.6nm（D2）兩條譜線組成。1925年 ，荷蘭的兩個(gè)學(xué)生烏侖貝克和高斯密特發(fā)表論文提出了電子自旋的假設(shè)。后來(lái)通過(guò)相對(duì)論量子力學(xué)自然地得到了電子具有固有角動(dòng)量的重要結(jié)論。光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)16電子自旋角動(dòng)量S 的大小所以s自旋量子數(shù)。由實(shí)驗(yàn)得知：s 僅有一個(gè)取值：電子不是點(diǎn)電荷，除軌道運(yùn)動(dòng)之外，它還有自旋運(yùn)動(dòng)。即具有固有角動(dòng)量，稱(chēng)之為自旋角動(dòng)量。電子自旋的基本觀點(diǎn)17ms自旋磁量子數(shù)。它只能取如下兩個(gè)值：自旋角動(dòng)量S在外磁場(chǎng)方向的投影按規(guī)則：ms取2s+1=2個(gè)可能值.電子自旋角動(dòng)量在空間取向的量子化18基態(tài) 無(wú)軌道磁矩

6、，但有自旋磁矩，故同樣受到磁場(chǎng)力作用，產(chǎn)生能級(jí)分裂。如：鈉原子D線，對(duì)史特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的解釋對(duì)精細(xì)結(jié)構(gòu)的解釋內(nèi)磁場(chǎng)：由電子的軌道和自旋相互作用（耦合）而產(chǎn)生。 （ 態(tài)）無(wú)此耦合作用，故 態(tài)不分裂。內(nèi)磁場(chǎng)193.歸納四個(gè)量子數(shù)的意義原子核外電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由四個(gè)量子數(shù) 來(lái)決定。 決定電子的能級(jí)En（決定能量的主體部分）。2.角量子數(shù) l（副量子數(shù)）1.主量子數(shù)決定電子繞核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量 L。對(duì)同一個(gè)主量子數(shù) 可取 共 個(gè)可能值，對(duì)應(yīng)于 n 個(gè)不同的量子態(tài)。203.磁量子數(shù)ml決定電子軌道角動(dòng)量在外磁場(chǎng)中的取向。對(duì)一確定的 值， 有 個(gè)可能取值。4.自旋磁量子數(shù)ms 決定電子自旋角動(dòng)量在磁場(chǎng)中的取向。

7、 對(duì)于確定的 值， 可有兩個(gè)取值。 和 均引起原子能級(jí)在磁場(chǎng)中的分裂。21自旋為半整數(shù)，即自旋為1/2、3/2、5/2的粒子稱(chēng)為“費(fèi)米子”。如電子、輕子、核子、超子等。費(fèi)米子服從費(fèi)米狄拉克分布，其分布受泡利不相容原理的制約，波函數(shù)為反對(duì)稱(chēng)函數(shù)。自旋為整數(shù)（包括零在內(nèi)）的粒子稱(chēng)為“玻色子” 。如光子、介子、引力子等。玻色子服從波色愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)分布，不受泡利不相容原理的制約，在玻色子的某一個(gè)能級(jí)上，可以容納無(wú)限個(gè)粒子。其波函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的。費(fèi)米子和波色子22例：設(shè)氫原子處于l =2狀態(tài)，求軌道角動(dòng)量可能的各個(gè)空間取向角（相對(duì)外磁場(chǎng)方向）及其投影值 Lz。解： 234. 概率密度與電子云按量子理論，電子

8、在核周?chē)翁幊霈F(xiàn)是不確定的，只能推出其在某處出現(xiàn)的概率大小。引入電子云的概念來(lái)形象地表示電子在空間按概率分布的規(guī)律。不同的量子態(tài)其概率分布不同。通常所謂的電子“軌道”其實(shí)代表電子出現(xiàn)概率最大的地方。例：基態(tài)電子，求其徑向概率分布。解：其徑向概率密度為24令解出對(duì)應(yīng)極值位置：又如對(duì)量子態(tài)令：徑向概率分布有兩個(gè)極大值。024681012141625峰值位置：從量子力學(xué)觀點(diǎn)看，玻爾軌道就是電子出現(xiàn)的概率最大處. 說(shuō)明：上述只對(duì)同一主量子態(tài) n 中角量子數(shù) l 最大的狀態(tài)而言，若 l 不是最大，則可能有多個(gè)極值，位置也不滿足上述規(guī)律。051015202526對(duì)同一主量子態(tài)n，角量子數(shù)l為最小值時(shí)，極大

9、值個(gè)數(shù)等于主量子數(shù)n，其位置均不滿足峰值位置：051015202527幾種不同量子數(shù)的概率密度角向分布圖d 電子f 電子s電子p電子2728不同量子數(shù)的概率密度角向分布剖面輪廓圖s電子p電子d 電子f 電子29四、原子的殼層結(jié)構(gòu)對(duì)于多電子原子，電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)仍用四個(gè)量子數(shù) 來(lái)描述。 小的 小，分布在離核較近區(qū)域的概率大； 大的 大，分布在離核較遠(yuǎn)區(qū)域的概率較大.所以核外電子的分布可用一殼層結(jié)構(gòu)模型來(lái)表示。電子與核的距離按其能量的大小來(lái)分布：對(duì)于多電子原子，其結(jié)構(gòu)可用殼層結(jié)構(gòu)來(lái)描述。301.泡利不相容原理在一個(gè)原子內(nèi)，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有完全相同的量子態(tài)。也就是說(shuō)任意兩個(gè)電子不可能具有完全相同的四個(gè)量子數(shù) 。2.能量最小原理原子處于正常狀態(tài)時(shí)，每一個(gè)電子都趨向于占取能量最低的能級(jí)。泡利不相容原理決定每一殼層所能容納的電子數(shù)目;能量最小原理決定了電子填入殼層時(shí)對(duì)不同殼層的選擇次序。31各支殼層最多可容納的電子數(shù)：第一殼層只能容納兩個(gè)電子；余下的填第二殼層，第二殼層最多容納8個(gè)電子，2s態(tài)容納2個(gè)，2p態(tài)填6個(gè);余下再填M殼層，3s態(tài)2個(gè)，3p態(tài)6個(gè)，然后先填4s能級(jí)，再填3d 能級(jí)。原子各主殼層最多可容納的電子數(shù)：主量子數(shù)殼層符號(hào)支殼層符號(hào)角量