電磁場與電磁波理論第6章知識題解答

1、第6章習(xí)題解答6.1已知空氣中存在電磁波的電場強(qiáng)度為 E = e E cos n兀x 1081 + 2nv V/m試問：此波是否為均勻平面波？傳播方向是什公?求此波的頻率、波長,相速以及對應(yīng)的磁場強(qiáng)度丑。解：均勻平面波是指在與電磁波傳播方向相垂直的無限大平面上場強(qiáng)幅度、相位和方向均相同的電磁波。電場強(qiáng) 度瞬時式可以寫成復(fù)矢量E = e E0e*。該式的電場幅度為E0，相位和方向均不變，且E e = 0 n E1 e， 此波為均勻平面波。傳播方向?yàn)檠刂?z方向。=6兀x 108波數(shù)k = 2兀木目1束 v 3 x 10 n/s p k由時間相位t 6兀x 1081波的頻率f = 3 x 108

2、Hz,2 n波長人1 m k由于是均勻平面波，因此磁場為一 E e ejkz xZw6.2有一頻率為600 MHz的均勻平面波在無界理想介質(zhì)隹=4, r = 1)中沿+ x方向傳播。已知電場只有V分 ，初相位為零，且t , =10 s時，x = 1m處的電場強(qiáng)度值為800 kV/m。試寫出E和H的瞬時表達(dá) 式。公一I一一 一- 一I J2 -解：根據(jù)題意，角頻率=12兀x 108 ，k =叭，wr =叭 R R = = 8兀，因此E - e E cos(12n x 1081 - 8nx)由t = 10 s , x = 1m處的電場強(qiáng)度值為800)kV/m，可以得到e0 800 kV/mE =

3、e 800cos(12n x 1081 - 8nx) kV/mV根據(jù)電場的瞬時表達(dá)式可以寫出電場的復(fù)矢量為E e 800e-j8n kV/m1 V波阻抗為Zw =、：、 9 =60兀(Q)。因此磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為1 /一豈、一 40H - z (ex E) = e - e - j8 nx kA/mw因此，磁場的瞬時表達(dá)式為吊 -40H = e cos(12兀 x 1081 - 8nx)Z新()6.3在無界理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場強(qiáng)度為E = eE sin0兀x 1081-2nV/mx 0已知介質(zhì)的r 1，試求其，并寫出H的表達(dá)式解：根據(jù)電場的瞬時表達(dá)式可以得到2兀x 108 , k 2兀，而

4、n r電場強(qiáng)度的瞬時式可以寫成復(fù)矢量為E = eE e-2迎W波阻抗為Zwx 0=E=40兀。，則磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為1 , 二、 E 勺 n H =(e x E) = e f e* Z y 40 兀因此磁場為:E ._-、H - e 40 sin(2兀 x 1081 - 2nz)6.4無界自由空間傳播的電磁波，其電場強(qiáng)度復(fù)矢量為E =(e2-e 3)ej(4-kz) V/m寫出磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量以及平均功率密度 解：首先判斷是均勻平面波。該電場幅度為03，相位和方向均不變，且Ee - 0 n E1 e，因此磁場強(qiáng)度復(fù) 矢量可寫成 TOC o 1-5 h z 1 一 三、 1 一 一 1 H z (

5、e x E) 120 e x (e 2 e 3)ej(兀/4-kz)修。(e 2 + e 3)ej(兀/4-kz)w二二 113平均功率流密度為S - Re(E x H*) (e 2 e 3) x (e 2 + e 3) - e W/m2av 2240n *y - z 240兀&5在無界理想介質(zhì)(-1, -5 )中傳播均勻平面波。已知其磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為H - e 0.5e-j2兀(3x+4y) A/mz試求該平面波的傳播方向.電場強(qiáng)度及其坡印廷矢量的平均值，并寫出電磁波的瞬時表達(dá)式。解：由k r k x + k y + k z 2兀(3x + 4 y )k - 6 兀，k = 8 兀，k -

6、0得該電磁波的波數(shù)為電磁波的角頻率為x y zk - k - Jk2 + k2 + k2 =10兀-kv = - = - x 109 Hz巧 5該電磁波在傳播方向上的單位矢量為e - k - e k+e匕+e 土 - e 0.6+e 0.8k k x k y k z k x y而該均勻平面波的磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為0e 0.5x(e 0.6 + e 0.8土eGx+4y) = !(-e 0.4 + e 0.3)e-j2兀(3x+4y)5z xJ5x yS - Re(E x H*)-整(e 0.3 + e 0.4)=埋 e W/m2 av 25 x y5 kE = 2籍 Le 0.4cos t- 2兀

7、(3x + 4y) + e 0.3cost- 2兀(3x + 4y) 6.6下列表達(dá)式中的平面波各是什么極化波？如果是圓或橢圓極化波，判斷是左旋還是右旋？E - e E sin 姊t - kz)+ e E cos t- kz);E - e E sin 姊t- kz)+ e 2E sin 姊t - kz)；E -e E sin ”- kz + 兀 / 4)+ e E cos (t - kz - n/4)；x 0y(4) E =e E sin g kz + n/4)+ e E cos J kz)。x 0y 0解：(1)左旋圓極化波(又稱為順時針旋轉(zhuǎn)的圓極化波)。(2 )線極化波。(3 )線極化波。

8、(4 )左旋橢圓極化波(又稱為順時針旋轉(zhuǎn)的圓極化波)。6.7試證明任意的圓極化波的瞬時坡印廷矢量的值是個常數(shù)證明：設(shè)圓極化波沿著+z方向傳播，其磁場強(qiáng)的的瞬時式為E - e E cos(wr 一 kz + p ) 土 e E sin(wr 一 kz + p ) x 00 y 00對應(yīng)的復(fù)振幅矢量為E (e e 干 e jE )e-jkz+j覽根據(jù)均勻平面波的傳播特性可以得到該圓極化波的磁場強(qiáng)度的復(fù)振幅矢量為二 1 / 二、 1/.、H (e xE)e x(eE 干e jE )ejkz+j%Z乙Zz x 0/ 0(e E 土 e jE )e-jkz+j%Zy 00w對應(yīng)的瞬時值為e E cos(

9、st-kz + 中)=Fe E sin(st-kz +中)Z y 00 x 00w瞬時坡印廷矢量為1E 2S ExH e E2cos2(t-kz + 中)+ e E2sin2(t-kz + 中)e Z z 00 z 00 z Zww由此可見，圓極化波的瞬時坡印廷矢量的值是個常數(shù)。6.8改聚苯乙烯在頻率為1 GHz時損耗角正切tan 5 0.000 3 / 2.54 ,日1 ,試求此時電磁波對聚苯 乙烯的趨膚深度以及電場.磁場之間的相位差。e解：顯然聚苯乙烯在頻率為1 GHz時可以視為一種弱導(dǎo)電媒質(zhì)，即U tanSe tanSe 時tan 5 0.00314822cc5 - L - 318.5

10、ma而此時電場、磁場之間的相位差僅為L arctan - arctan 0.0003 0.00862 咬 26.9銅的電導(dǎo)率b 5.8 x 107 S/m，口 8 1 .試求下列各頻率電磁波在銅內(nèi)傳播的相速、波長,透入深度 及其波阻抗 ：(1) f 1MHz ；(2) f 100 MHz ;(3) f 10 GHz。解：已知 8 ax 10-9 F/m 和 u 4n x 10-7 H/m，那么 bx 1.044 x 10180 36兀0S82nf 8 80f(1)當(dāng)f 1MHz時，色1.044 x 10121，則銅看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)a和相位常數(shù)0分別為8于是有相速：v % - 4.152 x

11、 10-4/f 0.4152 m/sa 0 j 15.132 f 15.132 x 103波長：人-尋4.152 x 10-4 m透入深度：5 a1 6.6x 10-5 m波阻抗:Z 客(1+ j) - 2.61 x 107(1+ j)*f - 2.61 x 10-4(1+ j) 2b 當(dāng)f = 100 MHz時，由=1.044 x 1010 1 ,則銅仍可以看作為良導(dǎo)體，衰減常數(shù)a和相位常數(shù)P分別為a = P = =15.132%： f = 15.132 x 10423-2 n相速：v =- = 4.152x 10-47 = 4.152 m/s波長：X= 4.152x 10-5 m透入深度：

12、8 =a = 6.6 x 10-6 m 波阻抗：W =:蕓(1+ j) = 2.61 x 10 -7(1+ j) .打=2.61 x 10-3(1+ j)當(dāng)f = 10 GHz時，旦=1.044 x 1081，則銅看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)a和相位常數(shù)P分別為 3a = 0 = =15.132* f = 15.132 x 105n相速：七=0 = 4.152x 1。-4f = 41.52m/s波長：X= 2 = 4.152x 10-6 m透入深度：8 =才=6.6x 10-7 m 波阻抗：力=、:翌(1+ j) = 2.61 x 10-7(1+ j/f = 2.61 x 10-2(1+ j) TOC

13、 o 1-5 h z 6.10 海水的 = 4S/m , = 81, 口 = 1，試求頻率為10 kHz ,10 MHz和10 GHz時電磁波的波長、衰減常 數(shù)和波阻抗。解：已知 Q 上x 10-9 F/m和日=4nx 10-7 H/m，那么旦=-I8 x 109。o 36n03 f 9當(dāng)f = 10kHz時，E = I8 x 109 = 8 x 1051，則海水可看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)a和相位常數(shù)0分別為 3 f 99a = 0 =普 = 3.97 x 10-3 v7 = 0.397l 2v =* = 1.5 82 x 103* = 1.5 82 x 105波長p 08 = ! = 2.52

14、m波阻抗 Z =aw相速透入深度-2 n冗=-0 = 15.83 m* (1+ j) = 0.316 n x 10-3(1+ j/f = 0.099(1 + j) 2b當(dāng)f = 10 MHz時，E = 8 x 102 = 88.891，海水也可近似看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)a和相位常數(shù)0分別為 3 9a = 0 = i = 3.97 x 10-3 % f = 12.55-2 n相速v =0 = 1.5 82 x 103 療=5.00 x 106 波長 X =頁=0.500 m透入深度8 =? = 0.080 m 波阻抗 Z =箴(1+ j) = 0.316 n x 10-3(1+ j)打=3.139

15、(1+ j)當(dāng)f = 10GHz時，旦=I8 x 109 = 8 x 10-1 = 0.0891，海水也可近似看作弱導(dǎo)電媒質(zhì)，衰減常數(shù)以和相 3 f 99位常數(shù)0分別為P80 n=rad / m0 = 3 偵 |LX187 = 600n m/sec相速波長G J n 人=m0300透入深度8=1 = 0.012ma波阻抗p b 、 40%(1+J23)=T(1+J06.11平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)(p = =1,b= 0.11 S/m )中,電磁場的頻率f =1 950MHz ,試求：(1)波在0.11瞄質(zhì)內(nèi)的相速和波長；（2）場強(qiáng)經(jīng)過一個波長的衰減量。解：因?yàn)?A 2 nx 108x6 n )x 1

16、0 -9所以于是有相速二 125.3 rad/m 。=目2=131.8 m/secv = = 0.94 x 108 m/s p P波長（2）場強(qiáng)經(jīng)過一個波長的衰減量為20log e_ak= 51.88 dB0.016.12均勻平面波在無界導(dǎo)電媒質(zhì)（四=1, =5,b= 0.01 S/m ）中沿+z方向傳播，電場為y方向。巳知z = 0 處，電場強(qiáng)度的振幅E = 5x 10r-3 V/m，初相位為贏 若電磁波的頻率為1。8田，試求：（1）空間任意 點(diǎn)的E和H的瞬時表達(dá)式；（1）媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流與位移電流之比。解：因?yàn)?= 2nx 108 x(13m)x 10-9/5 = 0.36 ,所以= 0.8

17、3 rad/m目2=4.76 m/sec、=163.5ej4.95 = 1635ej0.086J 必 )E = e 5x 10-3e-0.83z cos(3t-4.76z) y于是，空間任意點(diǎn)的E和H的瞬時值可以表達(dá)成H = -e 3.06x10-5e-0.83z cos(3t 4.76z 0.086)X（2）媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流與位移電流之比為=0.01、= 0.3632n x108 x(1 36n)x 10-9 / 5JcJd6.14試證明電磁波在良導(dǎo)體中傳播時，場強(qiáng)每經(jīng)過一個波長衰減55 dB。證明：在理想導(dǎo)體中a幻P 則場強(qiáng)每經(jīng)過一個波長衰減為L = 20log （e -a入 ）=20log

18、 （e-ax2n/旦）=20log （e-2n ） = -55dB6.16均勻平面波由空氣向理想介質(zhì)（日=1,豐1 ）平面垂直入射。已知分界面上E = 10 V/m，H0 = 0.25 A/m。試求：（1）理想介質(zhì)的 ；（ 2）空氣中的駐波比；（3）入射波,反射波和折射波的電 磁場。r解：利用波阻抗的表達(dá)式Z = 1w=(120n x 0.025)2 = 88.8(2) Zw2 = 40 , Zwi = 120兀，垂直入射的反射系數(shù)為r = Z w2 Z wi = -0.808Z w2 + Z wi因此駐波比為i+1 r ii-_ 1.808 0.192=9.417垂直入射的透射系數(shù)為T =

19、% = 2 x 40 = 0.192Z + Z40 +120兀根據(jù)題意，已知分界面上E0 = 10V/m，即即TE. =E。所以有E. = 52.1 V/m ,H = E / Z . = 0.14A/m。 設(shè)空氣中的傳播常數(shù)為七，則理想介質(zhì)中的傳播常數(shù)k2 = 2，因此，入射波、反射波和透射波分別為E = e 52.1e-jwE = e 42.2e+jk1 乙E = e 10e-jk2z = e 10e-j2*i xr xt xxH = e 0.14e-jk1 z H = e 0.11e+ jk1z H = e 0.25e-jk2z = e 0.25e-j2k1z i yr yt yy6.17

20、頻率為300MHz的均勻平面波由空氣垂直入射到海面。已知海水的 = 81 =1 ,。= 4s/m，且海 面的合成波磁場強(qiáng)度H0 = 5x 10-3A/m試求：海面的合成電場強(qiáng)M ； (2)空氣中的駐波比；(3)海面下 0.1 m處的電場強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度的振幅；單位面積進(jìn)入海水的平均功率。解：因?yàn)榻穷l-W = 6n X108。斜2.96，海水不能看作良導(dǎo)體，所以a =必=9.276 = 58.28 Np/m cP =12.924 = 81.205 rad/m c海水波阻抗Zw =籍書d=孚;F=23.67e g 海水表面的電場強(qiáng)度為E = Z H = 23.67e+j35.67 H = 0.118

21、e+j35.67 V/m空氣中波阻抗為Z = 120兀，則反射系數(shù)r = |1 = 19.23 + 以町-120 兀=-357-76 + 13-80j =0.903前Z + Z19.23 + 13.80j +120 n 396.22 + 13.80j因此空氣駐波比為w w0S = 1+歸=些=19.61-1 r | 0.097海面下0.1 m的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度為E = E e-az = 0.118e+j35.67e-58.28x0.1 = 0.118e+j35.67e-5.828 = 3.474e+j35.67 V/mH = H e-az = 5x 10-3e-58.28x0.1 = 1.4

22、7 x 10-5 A/m0 平均坡印廷矢量為S = 1 Re(E x H*)av 2單位面積進(jìn)入海水內(nèi)的功率等于海表面處的平均坡印廷矢量的大小，即11 . .S = Re EH *= I H |2 Re Z = 2.41x 10-4 W/m2 av 20 020w6.18均勻平面波由空氣垂直入蛔理想介質(zhì)隹=4,日=1）平面上，設(shè)其電場為E =（e 反射波和透射波的電磁場強(qiáng)度復(fù)振幅，并指出它們各是何種極化。者是圓解：根據(jù)已知條件，可求出兩媒質(zhì)的波阻抗分別為Z 1 = 120n, je）E e-脂，試求i 尤 y 0極化或橢圓極化，判斷其旋轉(zhuǎn)方向。Z 2 =120兀 /知=60兀于是有r = Zw

23、2 Z w1 =1Zw2 + Zw132 Z%Z. 2 + Zw13由此可得E = 3(e -je)E0e+jk0乙-(e je)E e-j2k0乙3 x y 00入射波和透射波是右旋圓極化波，反射波是左旋圓極化波。6.19均勻平面波由理想介質(zhì)（氣=1,七=4q = 0 ）垂直入射到理想導(dǎo)體表面。測得距導(dǎo)體表面0.75 m和1.5 m 處的電場為零，且導(dǎo)體表面的合成磁場氣=0.01 A/m，初相位為零試求電磁波的頻率以及理想介質(zhì)中 合成電磁場的復(fù)矢和導(dǎo)體表面的面電流密度復(fù)矢量。解：因?yàn)槠?1.5 0.75 = 0.75 m2v c所以有f=牛=200 MHz導(dǎo)體表面的合成磁場2 E H 0 =

24、 0.01 =w1E = H。乙1 = 0.3ni0 2由此可得E = e j2E sin k x = e j0.6兀 sin V/m1 y i0 1 y3方 _ 2E2nxH = e zcoskx = e 0.01cos- A/mw1J = e X H = e 2Hi0 = e 0.02 A/m6.20試證明均勻平面波由理想介質(zhì)垂直入射到良導(dǎo)體表面時，進(jìn)入到良導(dǎo)體內(nèi)的功率與入射功率之比約為4 R , Zw1，其中 與 =卷是良導(dǎo)體的表面阻抗，Z W1是理想介質(zhì)的波阻抗。證明：對于理想介質(zhì)垂直入射到良導(dǎo)體的透射系數(shù)為F 2 Z T =wZ w2 + Z w1式中Z =Z =w2 w1/2=(1

25、+ j)業(yè)為良導(dǎo)體的波阻抗，Z =2。w1普為理想介質(zhì)的波阻抗。對良導(dǎo)體，存在Z Z，則透射系數(shù)為” 2 ZT =w2Zw1Eiz e水，平均坡印廷矢量為w1-11 | E |2S = ReE x H* =-avi2-w2w1設(shè)入射波電場為E = eE0 ejkz，則磁場H =e透射波的電磁場為e2 Z zw1在良導(dǎo)體表面的平均坡印廷矢量為一 1 二 二S = ReE x H* = e一 tE=e z 0 ejkzw21 , ，* T |2| E0|2 Re-Z-I w2 J土 =1T |2 Z Re上=4 Zw2 |2 - Z -Sw1 Z 2| Z 1 |2w14絲b2叩 Zw1b 42b

26、w12叩 Z4 RZw1單位面積進(jìn)入良導(dǎo)體內(nèi)的功率等于良導(dǎo)體表面的平均坡印廷矢量大小，則進(jìn)入到良導(dǎo)體的功率與入射功率之 比為值值6.21理想導(dǎo)體表面有一層厚度為d的理想介質(zhì)（目=偵=10, b = 0 ）。均勻平面波由空氣垂直入射到理想介質(zhì) 表面。改電磁波的頻率為100 MHz，試求空氣與理想介質(zhì)分界處的反射系數(shù)和折射系數(shù)；d為何值時， 該分界面處的電場強(qiáng)度的振幅值最大？解：第一區(qū)域內(nèi)E = eE e-jk1 (z+d) + E ejk1 (z+d) 1-1i1一 i r1吉- 1H = e zw1E e-ik1 G+d) E ejk1 G+d)i1r1第二區(qū)域內(nèi)E2 = 4 2。-狄2Z+

27、Er2ejk21第三區(qū)域內(nèi)是理想導(dǎo)體，其電磁場為零。于是在第2分界面（z = 0）處E + E = 0 即 而在第1分界面z = d上，應(yīng)滿足的電磁場邊界條件是（E - E ）= （Ei1E + E = Ej d + Eejk2 d1Zw1H 2 = e Z G 學(xué)-昵 z E j z） w2，應(yīng)滿足的電磁場邊界條件是E = Er2i2r1 Zw2.ejk2d E ejk2d )= E = jZ tan k d Z1 E jZ： tan k： d + zT ET =i21 Ei1聯(lián)立解得Z Z ZZw w1w1 oc，將發(fā)生全反射，則反射系數(shù)和透射系數(shù)變成cosO 一， / s 一 sin2

28、OcosO 一（1/ s 一 sin2OcosO 一 jjsin2O 一 1/ s=i*21i = ir .i = i%, i r-sin2 OcosO + “simO -1/ s0.994e-j俘 =e - j380 0.994ej，2cos Or =1 cosO +0.94-h0.117-0.012 _ 0.94- j0.3240.94 + j%0.117 - 0.012 0.94 + j0.3242cos O =.,/ -sin2 O cosO + J1/ s21ii T =1 cos O. +Js / s sin2 O cosO +/ s sin2O*21ii V 21i2cos O1

29、.8791 on=1.89e-j190cosO + jsin2 O. -1/ s0.994ej1906.26頻率為3GHz的線極化平面波由空氣向理想導(dǎo)體表面斜入射，入射角。=兀/4，入射電場在導(dǎo)體表面處 振幅為1 V/m，初相位為零，方向與導(dǎo)體表面平行試寫出入射波、反射波和合成波的電磁場強(qiáng)度的復(fù)矢 ，并求合成波的坡印廷矢量的平均值解：這是一個垂直極化波斜入射到理想導(dǎo)體表面的問題，即r =-1。由k =o /c = 20兀，E = 1，O =兀/4 可以得到11i0 ie -jio 2 兀(x+z )(k z cos0 )e-jkxsin0inz )ejio2nxk sin 0, 6k cos

30、0, 8E = e E ejk1 (Xsin0. +zcos.) = e ej1。 2n(x+z)H = (e cos0 + e sin0 ) e-jk1 (xsin0+z河)=(e + ei x i z i Zx zw1E = e E e-jk (xsin0r + zcos0r) = e ej102兀(xz)H - (e cos0 + e sin 0 工e-jk (xsin0 + z cos0 )-(e + e )e-jio 2兀(xz)r x r z r Zx z 240%wl合成波的電磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量E e Eejk1 (xsin0i + zcos0. ) ejk (xsin0i zco

31、s。1 y iO Le j2E sine j2sin0可2yH 土 (e cos 0 + e sin 0 )ej (x sin0, + z cos0,)jO-(e cos0 + e sin 0 )e-jE sin 0_ z cos0.)1 Z x i z ij j Z x i z ij je Socos 0 cos (k z cos 0 )ejkxsin0, e jSosin 0 sin (k z cos0 )ejkxsin0, x Zi 1 iz Zi 1 i-e 1 20 cos (0；2nz.10% e j j ； sin (0、；&z)e-j 10%合成波的坡印廷矢量的平均值S - 2 Re(E x H*) - esin 2 CZnz )6.27均勻平面波由空氣入射到理想介質(zhì)(p 1,8 4)的表面(xOy平面)已知入射電