高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用

1、高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用第一章 階段復(fù)習(xí)課高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用及時(shí)回顧基礎(chǔ)有助于提升學(xué)科綜合素養(yǎng)。本欄目精心梳理單元主干基礎(chǔ)知識(shí)，系統(tǒng)全面、層次清晰，便于快速回顧、高效理解，以達(dá)事半功倍之目的。高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用一、變化率與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)的變化率(1)相關(guān)概念:定 義實(shí) 例作 用平均變化率函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率為簡記作:平均速度;曲線割線的斜率.刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1,x2上變化的快慢.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用定 義實(shí) 例作 用瞬時(shí)變化率函數(shù)y=f(x)在x

2、=x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f(x)從x0到x0+x的平均變化率在x趨近于0時(shí)的極限,即瞬時(shí)速度;曲線的切線的斜率.刻畫函數(shù)值在x0點(diǎn)附近變化的快慢.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用(2)有關(guān)說明:瞬時(shí)變化率是平均變化率的極限.函數(shù)變化率的絕對值的大小說明了函數(shù)增減的快慢.絕對值越大，函數(shù)增減得越快，從圖象上看表現(xiàn)為曲線的陡緩程度，絕對值越大，圖象越陡. 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用2.導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是我們稱其為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或 即高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用3.函數(shù) yf(x) 的導(dǎo)函數(shù)當(dāng)x

3、=x0時(shí),f(x0)是一個(gè)確定的數(shù),當(dāng)x變化時(shí),f(x)是x的一個(gè)函數(shù),我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y,即f(x)=y=高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用【辨析】導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定值，是函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值的極限，不是變量.(2)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：是針對某一區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)x而言的.(3)函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處的函數(shù)值.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用二、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(c)=0，(c為常數(shù)).(2)(x)=x-1(Q

4、*).(3)(sinx)=cosx.(4)(cosx)=-sinx.(5)(ax)=axlna(a0且a1).(6)(ex)=ex.(7)(logax)= (a0且a1).(8)(lnx)=高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用2.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1)法則:f(x)g(x)=f(x)g(x).f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用(2)關(guān)于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí):牢記公式的形式f(x)g(x)f(x)g(x), 避免與f(x)+g(x)=f(x)+g(x)混淆.若c為常數(shù)，則cf(x)=cf(x). 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算

5、及其應(yīng)用3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(1)定義：一般地，對于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù).記作y=f(g(x).(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由y=f(u)和u=g(x)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)y=f(u)g(x)高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用三、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0，則y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用2.討論函數(shù)單調(diào)

6、性應(yīng)注意的問題(1)在利用導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程只能在定義域內(nèi)通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)一般利用使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)來分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(3)如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，那么這些單調(diào)區(qū)間之間不能用“”連接，而只能用“，”或“和”字隔開.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用(4)注意在某一區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件，而不是充要條件(例如，f(x)=x3).(5)如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0，則f(x)為常數(shù)函數(shù).(6)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增

7、減性，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義在研究曲線變化規(guī)律中的一個(gè)應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.(7)若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f(x)=0，在其余的點(diǎn)恒有f(x)0，則f(x)在該區(qū)間上仍為增函數(shù). 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用【辨析】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系如下，以增函數(shù)為例來說明：(1)f(x)0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定,即f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件.(2)f(x)0時(shí)，f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充要條件.(3)f(x)為增函數(shù)的充要條件為f(x)0且f(x)不恒為0. 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)

8、用四、函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)1.可導(dǎo)函數(shù)的極值(1)定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且對x0附近的所有點(diǎn)x都有f(x0)f(x)(或f(x0)f(x)，則稱f(x0)為函數(shù)的一個(gè)極大(小)值,稱x0為極大(小)值點(diǎn).高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用(2)極值中的幾個(gè)注意問題可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是其導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，反之，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn)，所以導(dǎo)數(shù)為0是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其充分條件還需要再添加“該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)”.舉例如下：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是極值點(diǎn)：f(x)=x2,f(0)=0,x=0是極小值點(diǎn);導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不是極值點(diǎn)：f(x)=x3,f(0)=0,x=0不是

9、極值點(diǎn). 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用2.函數(shù)的最大值與最小值(1)設(shè)yf(x)是定義在區(qū)間a ,b上的函數(shù)，yf(x)在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)yf(x)在a ,b上一定有最大值與最小值，但在開區(qū)間內(nèi)不一定有最大值與最小值,如函數(shù)f(x)= 在(0,+)內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值.(2)y=f(x)在區(qū)間a，b上的最值，會(huì)在極值點(diǎn)處或端點(diǎn)處取得.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用【辨析】函數(shù)的極值與最值(1)極值是一個(gè)局部概念：由定義可知，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大還是最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)是最大或是最小.最值是一個(gè)整體概念，

10、函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的最大值或最小值.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用(2)函數(shù)的極值不是惟一的,即一個(gè)函數(shù)在其定義區(qū)間上的極大值或極小值可以不止一個(gè)，函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值均最多各有一個(gè).(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系,即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，函數(shù)的最大值一定不小于它的最小值.(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，函數(shù)的最值點(diǎn)可能在區(qū)間內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處. 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用五、生活中的優(yōu)化問題舉例1.導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：(1)與幾何有關(guān)的最值問題(

11、面積和體積等的最值).(2)與物理學(xué)有關(guān)的最值問題(功和功率等的最值).(3)與利潤及其成本有關(guān)的最值問題.(4)效率最值問題.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用2.解決優(yōu)化問題的一般思路與步驟思路：高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用步驟：(1)審題:閱讀理解文字表達(dá)的題意,分清條件和結(jié)論,找出問題的主要關(guān)系.(2)建模:將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解模:把數(shù)學(xué)問題化為常規(guī)問題,選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.(4)對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評估,定性、定量分析,得出正確的判斷,確定其答案. 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用六、定積分的概念1.曲邊梯

12、形在直角坐標(biāo)系中，由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的圖形稱為曲邊梯形.求由連續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積S的方法：(1)分割.(2)近似代替.(3)求和.(4)取極限.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用2.定積分的概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0 x1x2xi0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f(x)0(或者f(x)0時(shí),y=f(x)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)f(x)0時(shí),y=f(x)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù).高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用【例2】(2012東營模擬)已知函數(shù)f(x)=(ax2-x)l

13、nx- ax2x，(aR).(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f(x)在(e,f(e)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x-xlnx,f(x)=-lnx,所以f(e)=0,f(e)=-1,所以曲線y=f(x)在(e,f(e)處的切線方程為y=-x+e.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+)，f(x)=(2ax-1)lnx+(ax2-x) -ax+1=(2ax-1)lnx,當(dāng)a0時(shí)，2ax-10,在(0,1)上f(x)0,在(1,+)上f(x)0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，+)上單調(diào)遞減；高二數(shù)

14、學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用當(dāng)0a 時(shí)，在(0，1)和( +)上f(x)0,在(1, )上f(x)0,所以f(x)在(0，1)和( +)上單調(diào)遞增，在(1， )上單調(diào)遞減；當(dāng)a= 時(shí)，在(0，+)上f(x)0且僅有f(1)=0,所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；當(dāng)a 時(shí)，在(0, )和(1,+)上f(x)0,在( 1)上f(x)0,所以f(x)在(0, )和(1，+)上單調(diào)遞增，在( 1)上單調(diào)遞減. 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(最值)利用導(dǎo)數(shù)求極值(最值)是高中數(shù)學(xué)最重要的題型之一,也是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(最值)問題

15、的具體步驟為:(1)求函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)求方程f(x)=0的全部實(shí)根;(4)列表,檢查f(x)在方程f(x)=0的根左、右兩側(cè)的值的符號(hào);(5)判斷極值(最值). 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用【例3】(2012江蘇高考)若函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)(1)求a和b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)=f(x)+2，求g(x)的極值點(diǎn)；(3)設(shè)h(x)=f(f(x)-c，其中c-2,2，求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 高二數(shù)學(xué)選

16、修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用【解析】(1)由f(x)=x3+ax2+bx得f(x)=3x2+2ax+b,又因1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以3x2+2ax+b=0的兩個(gè)根為1和-1,由根與系數(shù)的關(guān)系得1+(-1)= a=0,1(-1)= b=-3,所以a0，b3,此時(shí) f(x)=x3-3x.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用(2)由g(x)=f(x)+2得g(x)=x3+ax2+bx+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2).當(dāng)x-2時(shí)(x-1)2(x+2)0(等號(hào)在x=1時(shí)成立)即g(x)0，此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x-2時(shí)(x-1)2(x+2)

17、0即g(x)0，此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.所以x=-2是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn).高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用(3)求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即求f(f(x)=c的實(shí)根個(gè)數(shù),由f3(x)-3f(x)=c得到,當(dāng)c=2時(shí),f(x)=-1或2,f(x)=-1有3個(gè)解,f(x)=2有2個(gè)解,故函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5;當(dāng)c=-2時(shí),同理可得,函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5;當(dāng)-2c2時(shí),f(x)有3個(gè)解,分別是t1(-2,-1),t2(-1,1),t3(1,2),由于f(x)=ti各有3個(gè)解，所以函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9. 高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用四、定積

18、分及其應(yīng)用運(yùn)用定積分的幾何意義計(jì)算平面區(qū)域的面積,首先要畫出已知曲線圍成的區(qū)域,選擇積分函數(shù),確定積分上下限. 定積分的簡單應(yīng)用(1)求曲邊梯形的面積;(2)勻變速運(yùn)動(dòng)的路程公式.做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分,即高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用(3)變力做功公式一物體在變力F(x)(單位:N)的作用下做直線運(yùn)動(dòng),如果物體沿著與F相同的方向,從x=a移動(dòng)到x=b(a0得到x 或x 令f(x)0有 x 因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-, )和( +)；單調(diào)遞減區(qū)間為( ).高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用(

19、2)f(x)=3x2-1，P1(x1, -x1)，f(x1)=3x12-1，因此過點(diǎn)P1的切線方程為： 即由 得x3-x=所以x=x1或x=-2x1，故x2=-2x1，進(jìn)而有用x2代替x1，重復(fù)上面的計(jì)算，可得x3=-2x2和S2=又x2=-2x10，S2= 0，因此有高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用1.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( )(A)(-,2) (B)(0,3)(C)(1,4) (D)(2,+)【解析】選D.f(x)=(x-2)ex.令f(x)0，則x2，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+).高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用2.函數(shù)f(x)= x3-x

20、2+7的極大值是( )(A)7 (B)-7 (C)3 (D)-3【解析】選A.f(x)=x2-2x=x(x-2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(0，2)上為減函數(shù)，在區(qū)間(2，+)上為增函數(shù)，則f(x)極大值=f(0)=7.高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用3.已知a，b為正實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x)=ax3+bx+2x在0,1上的最大值為4，則f(x)在-1,0上的最小值為_.【解析】 f(x)=3ax2+b+2xln20,函數(shù)在區(qū)間-1,1上是增函數(shù)，由題意，f(x)在0，1上的最大值為4，f(1)=a+b+2=4,a+b=2,f(x)在-1,0上的最小值為f(-1)=-a-b+2-1=答案：高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用4.計(jì)算【解析】答案：高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算及其應(yīng)用5.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c(a,b,cR,a0)，(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O(0,0)，P(-1,0)，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a=b=1時(shí)，函數(shù)y=f(x)與直線y=2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)