高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：第01章 空間向量與立體幾何（A卷基礎(chǔ)卷）（解析版）

1、第一章 空間向量與立體幾何（A卷基礎(chǔ)卷）一選擇題（共8小題）1（2020春和平區(qū)期中）已知空間向量（3，1，3），（1，1），且，則實(shí)數(shù)（）AB3CD6【解答】解：，可設(shè)k，解得k故選：A2（2020春點(diǎn)軍區(qū)校級(jí)月考）在正四面體PABC中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則的值為（）A1B1CD【解答】解：如圖，PABC為正四面體，則APCBPCAPB60，E是棱AB中點(diǎn)，所以，所以（）121，故選：A3（2020春點(diǎn)軍區(qū)校級(jí)月考）設(shè)x，yR，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，4，2），且，則|（）ABC3D4【解答】解：設(shè)x，yR，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，4，2），且，

2、解得x1，y2，（1，1，1）+（1，2，1）（2，1，2），|故選：C4（2019秋焦作期末）在ABC中，D是線段AB上靠近B的三等分點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)，BE與CD交于F點(diǎn)，若，則a，b的值分別為（）ABCD【解答】解：取AD的中點(diǎn)為G，連接GE由已知得GECD，所以DFEG，又因?yàn)镈是GB的中點(diǎn)，所以F是BE的中點(diǎn)，所以a，b故選：A5（2019秋榆樹市期末）若向量，且與的夾角余弦為，則等于（）ABC或D2【解答】解：向量，與的夾角余弦為，cos，解得故選：A6（2020山東）日晷是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間把地球看成一個(gè)球（球心記為O）

3、，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）A20B40C50D90【解答】解：可設(shè)A所在的緯線圈的圓心為O，OO垂直于緯線所在的圓面，由圖可得OHA為晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角，又OAO為40且OAAH，在RtOHA中，OAOH，OHAOAO40，故選：B7（2019秋龍巖期末）如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M是D1D的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC1上的點(diǎn)，且，用表示向量的結(jié)果是（）ABCD【解答】解：M是D1D的中點(diǎn)， 故選：

4、D8（2020茂名二模）已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB則下列命題中正確的有（）平面PAB平面PAE；PBAD；直線CD與PF所成角的余弦值為；直線PD與平面ABC所成的角為45；CD平面PAEABCD【解答】解：PA平面ABC，PAAB，在正六邊形ABCDEF中，ABAE，PAAEA，AB平面PAE，且AB面PAB，平面PAB平面PAE，故成立；AD與PB在平面的射影AB不垂直，不成立；CDAF，直線CD與PF所成角為PFA，在RtPAF中，PA2AF，cosPFA，成立在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，故成立CDAF平面PAF，平面PAF平面P

5、AEPA，直線CD平面PAE也不成立，即不成立故選：B二多選題（共4小題）9（2019秋連云港期末）已知點(diǎn)P是ABC所在的平面外一點(diǎn)，若（2，1，4），（1，2，1），（4，2，0），則（）AAPABBAPBPCBCDAPBC【解答】解；A.22+40，因此正確B.（2，1，4）+（1，2，1）（3，3，3），3+6360，AP與BP不垂直，因此不正確C（4，2，0）（2，1，4）（6，1，4），|，因此正確D假設(shè)k，則，無解，因此假設(shè)不正確，因此AP與BC不可能平行，因此不正確故選：AC10（2019秋南通期末）設(shè)，是空間一個(gè)基底（）A若，則B則，兩兩共面，但，不可能共面C對(duì)空間任一向量，總

6、存在有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使D則，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【解答】解：由，是空間一個(gè)基底，知：在A中，若，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，兩兩共面，但，不可能共面，故B正確；在C中，對(duì)空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使，故C正確；在D中，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D正確故選：BCD11（2019秋建鄴區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果（2，1，4），（4，2，0），（1，2，1）下列結(jié)論正確的有（）AAPABBAPADC是平面ABCD的一個(gè)法向量D【解答】解：對(duì)于A，2（1）+（1）2+（4）（1）0，即APAB，A正確；對(duì)于B，（1）4+22

7、+（1）00，即APAD，B正確；對(duì)于C，由，且，得出是平面ABCD的一個(gè)法向量，C正確；對(duì)于D，由是平面ABCD的法向量，得出，則D錯(cuò)誤故選：ABC12（2019秋菏澤期末）如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)則（）ACDANBBDPCCPB平面ANMDDBD與平面ANMD所在的角為30【解答】解：A顯然錯(cuò)誤；若BDPC，由BDPA，則BD平面PAC，則BDAC，顯然不成立；C、PBAN，又PBNM，可得到C成立；D、連接DN，因?yàn)镻B平面ADMN，所以BDN是BD與平面ADMN所成的角在RtB

8、DN中，所以BD與平面ADMN所成的角為30成立；故選：CD三填空題（共4小題）13（2019秋房山區(qū)期末）設(shè)是直線與平面所成的角，則角的取值范圍是0，【解答】解：是直線與平面所成的角，當(dāng)直線在平面內(nèi)或直線平行于平面時(shí)，取最小值0，當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，取最大值，角的取值范圍是0，故答案為：0，14（2019秋溫州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A（1，2），那么，在空間直角坐標(biāo)系中，B（1，2，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱軸點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，2，3），若點(diǎn)C（1，1，2）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則|BC|【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系中，B（1，2，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱軸點(diǎn)B坐

9、標(biāo)為（1，2，3），若點(diǎn)C（1，1，2）關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則C（1，1，2），|BC|故答案為：（1，2，3），15（2020楊浦區(qū)一模）已知圓錐的底面半徑為lcm，側(cè)面積為2cm2，則母線與底面所成角的大小為【解答】解：由圓錐側(cè)面積公式Srl1l2，解得l2，設(shè)母線與底面所成角為，則cos，故答案為：16（2020春和平區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為2，直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為4【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DD1a，則A（2，0，0

10、），C（0，2，0），D1（0，0，a），故，設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為，則，可取，故，又直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為，解得a4故答案為：4四解答題（共5小題）17（2020長(zhǎng)春四模）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為梯形，ABDC，BAD90，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，且CD2AD2AB4，點(diǎn)F在CD上，且（）求證：EF平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，PAPD且PAPD，求直線PA與平面PBF所成角的正弦值【解答】解：（）證明：取PA的中點(diǎn)，連接DM，EM，在PAB中，ME為一條中位線，則，又由題意有，故，四邊形DFEM為平行四邊形，EFDM，又EF平面PAD，DM平面

11、PAD，EF平面PAD；（）取AD中點(diǎn)N，BC中點(diǎn)H，連接PN，NH，由平面PAD平面ABCD，且PNAD，平面PAD平面ABCDAD，可知PN平面ABCD，又ADNH，故以N為原點(diǎn)，NA，NH，NP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面PBF的一個(gè)法向量為，則，可取，又，故，直線PA與平面PBF所成角的正弦值為18（2020沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD平面ABB1A1，AB2A1B12，AA12，（1）求證：DCAA1；（2）若二面角BCC1D的二面角的余弦值為，求AD的長(zhǎng)【解答】解：（1）取AB中點(diǎn)E，連接

12、B1EAEA1B1，且AEA1B1，所以四邊形AEB1A1為平行四邊形，所以B1EAA12，BE1，所以，則BEB1E，所以AA1AB，又平面ABCD平面ABB1A1，所以AA1平面ABCD，所以DCAA1；（2）由（1）知AA1AD，設(shè)AD2a（a0），建系如圖，則A（0，0，0），B（0，0，2），C（2a，0，2），D（2a，0，0），C1（a，2，1），故，設(shè)平面CC1D的法向量，則，可取，設(shè)平面BCC1的法向量，則，可取，所以，由二面角BCC1D的二面角的余弦值為，得，解得a2，所以AD419（2019秋清遠(yuǎn)期末）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB45，PD

13、平面ABCD，APBD（1）證明：BC平面PDB，（2）若AB，PB與平面APD所成角為45，求點(diǎn)B到平面APC的距離【解答】解：（1）證明：PD平面ABCD，BC在平面ABCD內(nèi)，BD在平面ABCD內(nèi)，PDBC，PDBD，又APBD，APPDP，且AP，PD均在平面APD內(nèi)，BD平面APD，又AD在平面APD內(nèi)，BDAD，又底面ABCD為平行四邊形，BCBD，又PDBDD，且都在平面PBD內(nèi)，BC平面PDB；（2）由（1）知，PB與平面APD所成角即為BPD，故BPD45，又AB，DAB45，AP2+PC2AC2，即APCP，又VPABCVBPAC，即，解得，即點(diǎn)B到平面APC的距離為20（

14、2020安徽模擬）如圖1，四邊形PBCD是等腰梯形，BCPD，PBBCCD2，PD4，A為PD的中點(diǎn)，將ABP沿AB折起，如圖2，點(diǎn)M是棱PD上的點(diǎn)（1）若M為PD的中點(diǎn)，證明：平面PCD平面ABM；（2）若PC，試確定M的位置，使二面角MABD的余弦值等于【解答】解：（1）證明：由題意，ADBC，且ADBC，故四邊形ABCD是平行四邊形，又PBBCCD2，PD4，PBA是正三角形，四邊形ABCD是菱形，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，易知ABC是正三角形，則ABPE，ABEC，又PEECE，AB平面PEC，ABPC，取PC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MNCDAB，即A，B，N，M四點(diǎn)共面，又

15、PBBC2，則BNPC，又ABBNB，PC平面ABM，又PC在平面PCD內(nèi)，平面PCD平面ABM；（2），PEEC，又ABPE且ABEC，則可以EB，EC，AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，易知平面ABD的一個(gè)法向量為，設(shè)平面MAB的一個(gè)法向量為，又，則可取，由題意，解得2，故DM2MP21（2019秋揚(yáng)州期末）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCAAA12，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D為AA1中點(diǎn)（1）求平面ABC與平面B1CD所成銳二面角的大?。唬?）已知點(diǎn)E滿足，當(dāng)異面直線DE與CB1所成角最小時(shí)，求實(shí)數(shù)的值【解答】解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCA，取A1B1的中點(diǎn)O1，連接OO1，則OO1AA1，