不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)解析課件

1、第五章 不可壓縮 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第1頁(yè)，共62頁(yè)。 當(dāng)把流體的流動(dòng)看作是連續(xù)介質(zhì)的流動(dòng)，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。流體的這種性質(zhì)稱(chēng)為連續(xù)性，用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)的就是連續(xù)性方程。首先推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程。 如圖71 微元六面體 5.1 連續(xù)性微分方程 第2頁(yè)，共62頁(yè)。 設(shè)該微元六面體中心點(diǎn)O（x, y, z）上流體質(zhì)點(diǎn)的速度密度為 ，于是和 軸垂直的兩個(gè)平面上的質(zhì)量流量如圖所示。 在 方向上， 時(shí)間通過(guò)EFGH面流入的流體質(zhì)量為： （a） 時(shí)間通過(guò)ABCD面流出的流體質(zhì)量 ：（b） 在 時(shí)間內(nèi)，自垂直于x軸的兩個(gè)面流出、流入的流體質(zhì)量差為：（c1） 第3頁(yè)，共62頁(yè)。同理可得

2、 和 方向 時(shí)間內(nèi)，流出、流入的流體質(zhì)量差為: （c2） （c3） 因此， 時(shí)間內(nèi)，流出、流入整個(gè)六面體的流體質(zhì)量差為（c） 微元六面體內(nèi)由于密度隨時(shí)間的變化而引起的質(zhì)量的變化為： （d） 第4頁(yè)，共62頁(yè)。由質(zhì)量守恒條件：或它適用于理想流體和粘性流體、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)。 在定常流動(dòng)中，由于 對(duì)于不可壓縮流體（ =常數(shù)） 或第5頁(yè)，共62頁(yè)。在其它正交坐標(biāo)系中流場(chǎng)中任一點(diǎn)的連續(xù)性方程和柱坐標(biāo)系中的表示式為 ： 對(duì)于不可壓縮流體 式中 為極徑； 為極角。 球坐標(biāo)系中的表示式為: 式中 為徑矩； 為緯度； 為徑度。 第6頁(yè)，共62頁(yè)。【例】 已知不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)速度 在 ， 兩個(gè)軸方向的分量為

3、 ， 。且在 處，有 。試求 軸方向的速度分量 。 【解】對(duì)不可壓縮流體連續(xù)性方程為：將已知條件代入上式，有 又由已知條件對(duì)任何 ， ，當(dāng) 時(shí)， 。故有 第7頁(yè)，共62頁(yè)。7.2 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析 流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不但象剛體那樣可以有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。 圖7-2 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)速度分量 第8頁(yè)，共62頁(yè)。第9頁(yè)，共62頁(yè)。xDAyyBCx第10頁(yè)，共62頁(yè)。（1）平移運(yùn)動(dòng)：所有偏倒數(shù)為0，如圖7-4（a）所示，矩形ABCD各角點(diǎn)具有相同的速度 。導(dǎo)致矩形ABCD平

4、移x = t, y = t, 其ABCD的形狀不變。（2）線變形運(yùn)動(dòng)：如圖7-4（b）所示，線變形運(yùn)動(dòng)取決于速度分量在它所在方向上的變化率（即線變形速率 和 ），導(dǎo)致矩形ABCD的變形量：圖7-4 流體微團(tuán)的平面運(yùn)動(dòng) 第11頁(yè)，共62頁(yè)。（3）角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：如圖7-4（c）、（d）所示，當(dāng) 當(dāng)矩形ABCD只發(fā)生角變形運(yùn)動(dòng)，如圖7-4（c）所示。 當(dāng)矩形ABCD只發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，形狀不變。 在一般情況下 的同時(shí)，還會(huì)發(fā)生角變形運(yùn)動(dòng)。這兩種運(yùn)動(dòng)由和所決定。亦就是矩形ABCD在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圖7-4 流體微團(tuán)的平面運(yùn)動(dòng) 第12頁(yè)，共62頁(yè)。于是沿z軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量： 同理，沿x，y軸流

5、體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量分別為: 第13頁(yè)，共62頁(yè)。流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度定義為: 其中，流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量及模量為： 第14頁(yè)，共62頁(yè)。流體微團(tuán)沿z軸的角變形速度分量： 同理，可有流體微團(tuán)角變形速度分量及其模量為： 前面在流體微團(tuán)的分析中，已給出O點(diǎn)的速度，與點(diǎn)O相距微小矢徑的點(diǎn)A( )的速度為 :第15頁(yè)，共62頁(yè)。如果在式（7-10）的第一式右端加入兩組等于零的項(xiàng)： 其值不變。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單組合，可將該式寫(xiě)成 ：同理，有： 和第16頁(yè)，共62頁(yè)。將式（7-8），（7-9）代入以上三式，便可將式（7-10）寫(xiě)成 ： 上式表明：各速度分量的第一項(xiàng)是平移速度分量，第二、三、四項(xiàng)分別是由線變形運(yùn)

6、動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起的線速度分量。此關(guān)系也稱(chēng)為海姆霍茲(Helmholtz)速度分解定理，該定理可簡(jiǎn)述為： 在某流場(chǎng)O點(diǎn)鄰近的任意點(diǎn)A上的速度可以分成三個(gè)部分：分別為與O點(diǎn)相同的平移速度（平移運(yùn)動(dòng)）；繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)在A點(diǎn)引起的速度（旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）；由于變形（包括線變形和角變形）在A點(diǎn)引起的速度（變形運(yùn)動(dòng)）。 第17頁(yè)，共62頁(yè)。7.3 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng) 根據(jù)流體微團(tuán)在流動(dòng)中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動(dòng)分為兩類(lèi)：有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)。 數(shù)學(xué)條件： 當(dāng) 當(dāng) 無(wú)旋流動(dòng) 有旋流動(dòng) 通常以 是否等于零作為判別流動(dòng)是否有旋或無(wú)旋的判別條件。 在笛卡兒坐標(biāo)系中： 第18頁(yè)，共62頁(yè)。即當(dāng)流場(chǎng)速度同時(shí)滿足： 時(shí)

7、流動(dòng)無(wú)旋。 需要指出的是，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。 如圖7-5（a），流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場(chǎng)為無(wú)旋流動(dòng)；圖7-5（b）流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)盡管為直線運(yùn)動(dòng)，但流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動(dòng)為有旋流動(dòng)。（a） （b） 圖7-5 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡 第19頁(yè)，共62頁(yè)?！纠?某一流動(dòng)速度場(chǎng)為 ， ，其中 是不為零的常數(shù)，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)。 【解】 由于 所以該流動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)。 第20頁(yè)，共62頁(yè)。7.4 理想流體的旋渦運(yùn)動(dòng) 一、渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度 渦

8、量用來(lái)描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。渦量的定義為： 渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為 ： 在流場(chǎng)的全部或部分存在角速度的場(chǎng)，稱(chēng)為渦量場(chǎng)。如同在速度場(chǎng)中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場(chǎng)中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度的概念。 第21頁(yè)，共62頁(yè)。1渦線:渦線是在給定瞬時(shí)和渦量矢量相切的曲線。如圖7-7所示。 圖7-7 渦線 圖7-8 渦管根據(jù)渦通矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為: 2渦管、渦束：在渦量場(chǎng)中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時(shí)刻過(guò)該曲線每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱(chēng)作渦管。如圖7-8所示。截面無(wú)限小的渦管稱(chēng)為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱(chēng)

9、為渦束，微元渦管中的渦束稱(chēng)為微元渦束或渦絲。第22頁(yè)，共62頁(yè)。3旋渦強(qiáng)度（渦通量） 在渦量場(chǎng)中取一微元面積dA，見(jiàn)圖,其上流體微團(tuán)的渦量為 ， 為dA的外法線方向，定義 為任意微元面積dA上的旋渦強(qiáng)度，也稱(chēng)渦通量。 任意面積A上的旋渦強(qiáng)度為： 第23頁(yè)，共62頁(yè)。二、速度環(huán)量、斯托克斯定理 1速度環(huán)量:在流場(chǎng)的某封閉周線上，如圖7-9（b），流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號(hào) 表示，即: 速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負(fù)與速度的方向和線積分的繞行方向有關(guān)。對(duì)非定常流動(dòng)，速度環(huán)量是一個(gè)瞬時(shí)的概念，應(yīng)根據(jù)同一瞬時(shí)曲線上各點(diǎn)的速度計(jì)算。 圖7-9 微元有向線段 第24頁(yè)，共62頁(yè)。 2

10、斯托克斯（Stokes）定理:在渦量場(chǎng)中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過(guò)該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即: 這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來(lái)，給出了通過(guò)速度環(huán)量計(jì)算旋渦強(qiáng)度的方法。 【例】 一二維渦量場(chǎng)，在一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑 的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量 。若流體微團(tuán)在半徑 處的速度分量 為常數(shù)，它的值是多少？ 【解】由斯托克斯定理得 ：第25頁(yè)，共62頁(yè)。7.5 無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)的假定 一 速度勢(shì)函數(shù)第26頁(yè)，共62頁(yè)。證明： 無(wú)旋條件是速度有勢(shì)的充要條件。無(wú)旋必然有勢(shì)，有勢(shì)必須無(wú)旋。所以無(wú)旋流場(chǎng)又稱(chēng)為有勢(shì)流場(chǎng)。速度勢(shì)的存在與流體是否可壓縮、流動(dòng)是否定常無(wú)關(guān)。 結(jié)論： 在笛卡兒坐標(biāo)系

11、中： 驗(yàn)證是否滿足：即：第27頁(yè)，共62頁(yè)。第28頁(yè)，共62頁(yè)。拉普拉斯（Laplace）方程 式中 為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故速度勢(shì)是調(diào)和函數(shù)。 第29頁(yè)，共62頁(yè)。二 流函數(shù)平面不可壓縮流體流函數(shù)的基本性質(zhì)：流函數(shù) 等流函數(shù)線為流線；當(dāng) 常數(shù)時(shí)，流線方程 即：第30頁(yè)，共62頁(yè)。 不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋的還是無(wú)旋的流動(dòng)，只要是不可壓縮流體的平面流動(dòng)，就存在流函數(shù)。 第31頁(yè)，共62頁(yè)?？挛骼杪–auchyRiemen）條件 平面流中流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)互為共軛函數(shù)勢(shì)函數(shù)是常數(shù)的線和流函數(shù)是常數(shù)的線正交垂直。在平面上它們構(gòu)成處處正交的網(wǎng)絡(luò)，稱(chēng)為流網(wǎng) 三

12、速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系 第32頁(yè)，共62頁(yè)。第33頁(yè)，共62頁(yè)。7.6基本流動(dòng)的流場(chǎng)一、均勻等速流二、點(diǎn)源和點(diǎn)匯 三、點(diǎn)渦第34頁(yè)，共62頁(yè)。一 均勻等速流 流速的大小和方向沿流線不變的流動(dòng)為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱(chēng)均勻等速流。 第35頁(yè)，共62頁(yè)。圖7-10 均勻等速流 第36頁(yè)，共62頁(yè)。二 點(diǎn)源和點(diǎn)匯 無(wú)限大平面上，流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向外流出的流動(dòng)，稱(chēng)為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為源點(diǎn)；如果流體沿徑向均勻的流向一點(diǎn)，稱(chēng)為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為匯點(diǎn)。不論是點(diǎn)源還是點(diǎn)匯，流場(chǎng)中只有徑向速度，即圖7-11 源流和匯流 (a)(b)第37頁(yè)，共62頁(yè)。第38頁(yè)，共62頁(yè)。三 點(diǎn)渦圖7-12 點(diǎn)

13、渦 第39頁(yè)，共62頁(yè)。第40頁(yè)，共62頁(yè)。第41頁(yè)，共62頁(yè)。勢(shì)流疊加原理不可壓縮平面無(wú)旋流動(dòng):勢(shì)函數(shù)方程為：流函數(shù)方程為： 都是線性方程，線性方程的特點(diǎn)是解的可疊加性。這樣，對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的流動(dòng)過(guò)程，我們就可以把它分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單流動(dòng)過(guò)程的疊加，而這些簡(jiǎn)單流動(dòng)過(guò)程的解是已知的，它們的解的疊加就是復(fù)雜流動(dòng)過(guò)程的解。第42頁(yè)，共62頁(yè)。5.1不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程一、微元體的受力分析和運(yùn)動(dòng)微分方程的推導(dǎo) 在流場(chǎng)中取微小平行六面體微元，由于粘性的存在，每個(gè)面上任意點(diǎn)的表面力可以分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。 第43頁(yè)，共62頁(yè)。作用在微元體上的表面力 第44頁(yè)，共62頁(yè)。 把作用于控制體上x(chóng)方

14、向的力疊加起來(lái)，得到作用在微元體上的表面力在x方向的分量為： 作用于微元體個(gè)面上的x軸方向的表面力 第45頁(yè)，共62頁(yè)。作用于微元體個(gè)面上的Y、Z軸方向的表面力 同理，表面力在y方向的分量為：表面力在z方向的分量為： 第46頁(yè)，共62頁(yè)。作用在微元體上的質(zhì)量力 用fx，fy，fz表示單位質(zhì)量流體上所受的質(zhì)量力沿x，y，z軸方向的分量，則六面體流體微元在x方向的質(zhì)量力為：根據(jù)牛頓第二定律，可寫(xiě)出沿x方向的運(yùn)動(dòng)微分方程：這里 ：是流體微團(tuán)的x方向的加速度。第47頁(yè)，共62頁(yè)。同理可得沿y、z軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程 于是有： 這就是微分形式的運(yùn)動(dòng)方程。 第48頁(yè)，共62頁(yè)。二、本構(gòu)方程本構(gòu)方程是確立應(yīng)

15、力和應(yīng)變率之間關(guān)系的方程式。斯托克斯通過(guò)將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到了粘性流體的任意流動(dòng)中，建立了牛頓流體的本構(gòu)方程： 上式也稱(chēng)為廣義牛頓摩擦定律 第49頁(yè)，共62頁(yè)。沿x方向的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)為：化簡(jiǎn)為 ：第50頁(yè)，共62頁(yè)。三、納維斯托克斯方程（簡(jiǎn)稱(chēng)NS方程）于是有 上式稱(chēng)納維斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的又一種形式。第51頁(yè)，共62頁(yè)。對(duì)于不可壓流體，其連續(xù)方程為：對(duì)于不可壓縮粘性流體，粘性體膨脹應(yīng)力為零，其運(yùn)動(dòng)方程為： 第52頁(yè)，共62頁(yè)。 并考慮到拉普拉斯算子： 不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程還可寫(xiě)為： 第53頁(yè)，共62頁(yè)。矢量形式為：如果質(zhì)量力只有重力作用

16、，用 代表重力加速度，不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程的矢量形式為： 第54頁(yè)，共62頁(yè)。對(duì)理想流動(dòng)，認(rèn)為流體無(wú)粘性， ，這時(shí)運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為歐拉方程： 或矢量形式： 第55頁(yè)，共62頁(yè)。 當(dāng)流體靜止不動(dòng)時(shí)， ，則運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為： 第56頁(yè)，共62頁(yè)。對(duì)不可壓流體：方程個(gè)數(shù)： n4 （連續(xù)方程N(yùn)S方程）未知數(shù)： m4 （V，p） 所以方程組封閉。 在流動(dòng)解解出的基礎(chǔ)上，再利用能量方程求解溫度場(chǎng)。 四、方程組的封閉性第57頁(yè)，共62頁(yè)。1 初始條件 ： 給定初始時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài)參數(shù)及溫度場(chǎng) （V，p，T ， ）2 邊界條件： a 無(wú)窮遠(yuǎn)處條件：無(wú)窮遠(yuǎn)處的流場(chǎng)認(rèn)為是未受擾動(dòng)的均勻狀態(tài)。 b 固壁處：V流V固，T流T固 c 兩種液體的分界面處條件：V1V2，T1T2，p1p2 d 液體與大氣的分界面：p液Pa五、定解條