晶體對稱元素

1、關(guān)于晶體的對稱元素第一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月一、對稱的概念是宇宙間的普遍現(xiàn)象。 是自然科學(xué)最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密碼。 對稱是指物體或圖形中相同部分作有規(guī)律的重復(fù)。對于晶體外形而言，就是晶面與晶面、晶棱與晶棱、角頂與角頂?shù)挠幸?guī)律重復(fù)。 第二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、晶體的對稱1. 由于晶體都具有格子狀構(gòu)造，而格子狀構(gòu)造就是質(zhì)點在三維空間周期重復(fù)的體現(xiàn)，因此，所以的晶體都是對稱的。2. 晶體的對稱受格子構(gòu)造規(guī)律的限制。即只有符合格子構(gòu)造規(guī)律的對稱才能在晶體上出現(xiàn)，因此，晶體對稱又是有限的。3. 晶體的對稱既然取決于格子構(gòu)造，因此晶體的對稱不僅

2、體現(xiàn)在外形上，也體現(xiàn)在物理性質(zhì)上（光學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)性質(zhì)）。4. 是晶體的基本性質(zhì)之一。5. 是晶體科學(xué)分類的依據(jù)。第三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、晶體的對稱操作和對稱要素 在對晶體的對稱研究中，為使晶體上相同部分作有規(guī)律重復(fù)，必須借助一定的幾何要素（點、線、面）進(jìn)行一定的操作（如反映、旋轉(zhuǎn)、反伸等）才能實現(xiàn)，這些操作稱為對稱操作(symmetry operation)，在操作中所借助的幾何要素，稱為對稱要素(symmetry element)。對稱面(symmetry plane)對稱軸(symmetry axis) 對稱中心(center of symmetry) 倒

3、轉(zhuǎn)軸(rotoinversion axis)第四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 對稱面（P） 對稱面是一個假想的平面，亦稱鏡面。與之相應(yīng)的對稱操作是此平面的反映。由這個平面將圖形平分后成互為鏡像的兩個相等部分，分別相當(dāng)于物體本身和它的像。對稱面必通過晶體的中心。m 對稱面 非對稱面第五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月對稱操作：對于此平面的反映標(biāo)志：兩部分上對應(yīng)點的連線是否與 對稱面垂直等距 垂直并平分晶面 垂直晶棱并通過它的中心 包含晶棱可能出現(xiàn)的位置：數(shù)目：0 P 9第六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月對稱軸（Ln）定義：通過晶體幾何中心的一根假 想的直線 對

4、稱操作：是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn) 特征：當(dāng)圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度后，可使相 同部分重復(fù)（圖形復(fù)原） 重復(fù)時所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱基轉(zhuǎn)角()旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)稱為軸次(n) n=360 第七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二次對稱軸(two-fold rotation) (L2)= 360/2 =180A Symmetrical Pattern66180 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternMotifElementOperationthe symbol for a two-fold rotationfirst operat

5、ion stepsecond operation step第八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三次對稱軸(Three-fold rotation) (L3)= 360/3 =120666step 1step 2step 3A Symmetrical Pattern120 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternOperationthe symbol for a three-fold rotation第九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月6666666666666662-fold3-fold4-fold6-fol

6、d其他的對稱軸(沒有5-fold 和 6-fold 的) 第十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 A. 過一對平行晶面的中心 B. 過一對晶棱的中心 C. 相對兩角頂?shù)倪B線 D. 角頂、晶面中心和棱中點任意兩個的連線 數(shù)目0 L2 60 L3 40 L4 30 L6 1對稱軸可能出現(xiàn)的位置為第十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：位于晶體幾何中心的一個假想的點 對稱操作：是對此點的反伸 特點：如果通過此點作任意直線，則在此直線上距對稱中心等距離的兩端上必定可以找到對應(yīng)點 識別標(biāo)志： 兩兩成對 對對平行 同形等大 方向相反 對稱中心（C）所有晶面第十二張，PPT共四十九頁，

7、創(chuàng)作于2022年6月旋轉(zhuǎn)反伸軸（Lin）定義：一根過晶體幾何中心假想的直線對稱操作：圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)和對此直線上的一個點反伸 的復(fù)合操作第十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi6=L3+PLi4第十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月值得指出的是，除Li4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，其間關(guān)系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P但一般我們在寫晶體的對稱要素時，保留Li4 和Li6，而其他旋轉(zhuǎn)反伸軸就用簡單對稱要素代替。這是因為Li4 不能被代替

8、， Li6在晶體對稱分類中有特殊意義。但是，在晶體模型上找Li4往往是比較困難的，因為容易誤認(rèn)為L2。我們不能用L2代替Li4 ，就像我們不能用L2代替L4一樣。 因為L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶體模型上找對稱要素，一定要找出最高的。第十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由于晶體是具有格子構(gòu)造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點格子狀的分布特點決定了晶體的對稱軸只有n = 1，2，3，4，6這五種，不可能出現(xiàn)n = 5， n 6的情況。為什么呢？1、直觀形象的理解：垂直五次及高于六次的對稱軸的平面結(jié)構(gòu)不能構(gòu)成面網(wǎng)，且不能毫無間隙地鋪滿整個

9、空間, 即不能成為晶體結(jié)構(gòu)。晶體對稱定律第十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2.晶體對稱定律數(shù)學(xué)證明方法：內(nèi)容：只能出現(xiàn)軸次(n)為一次、二次、三次、四次和六次的對稱軸，而不可能存在五次及高于六次的對稱軸。軸次 n 的確定: n = 360/aa + 2a cosa = ma cosa = (m-1)/2 -2 m - 1 2由于平行行列的結(jié)點間距相等，m只能取整數(shù)m = 3, 2, 1, 0, -1 a = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1, 6, 4, 3, 2（但是，在準(zhǔn)晶體中可以有5、8、10、12次軸）第十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1、

10、至少有一端通過晶棱中點的對稱軸只能是幾次對 稱軸？2、一對正六邊形的平行晶面之中點的連線，可能是 幾次對稱軸的方位？3、在只有一個高次軸的晶體中，能否有與高次軸斜 交的P或L2存在？為什么？思考題第十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月四、對稱要素的組合 對稱要素組合不是任意的，必須符合對稱要素的組合定律； 當(dāng)對稱要素共存時，也可導(dǎo)出新的對稱要素。第二十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月對稱要素組合定理：定理1：如果有一個L2垂直于Ln，則必有n個L2垂直于Ln ，LnL2LnnL2 (任意兩個相鄰的L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半)。例如: L4L2L44L2 , L3L2L33

11、L2逆定理： 如果兩個相鄰的L2相交，在交點上垂直兩個L2方向必會產(chǎn)生一個Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩個L2夾角的兩倍。并導(dǎo)出其他n個在垂直Ln平面內(nèi)的L2。思考: 兩個L2相交30,交點處并垂直L2所在平面會產(chǎn)生什么對稱軸?第二十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2：如果一個對稱面P垂直于偶次對稱軸Ln(偶)，交點必為對稱中心： Ln (偶) P LnPC 。如L4PL4PC 逆定理：如果有一個偶次對稱軸Ln (偶)與對稱中心C共存，則過C且垂直于該對稱軸必有一對稱面P，即 Ln (偶) C LnPC ?；?，如果有一個對稱面P與對稱中心C

12、共存，則過C且垂直于P必有一個Ln (偶) ，即P C Ln (偶) PC這一定理說明了L2、P、C三者中任兩個可以產(chǎn)生第三者。因為偶次軸包含L2 。第二十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理3：如果有一個對稱面P包含對稱軸Ln，則必有n個P同時包含Ln，即LnP/ LnnP/（相鄰的兩個P的夾角為Ln基轉(zhuǎn)角的一半）；如L3 P/ L33P/逆定理：兩個對稱面P相交，其交線必為一對稱軸Ln，其基轉(zhuǎn)角為相鄰兩對稱面夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他n個包含Ln的P。 （定理3與定理1類似）思考:兩個對稱面相交60,交線處會產(chǎn)生什么對稱軸?第二十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理4：

13、如果有一個二次軸L2垂直于旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin，或有一個對稱面P包含Lin，當(dāng)n為奇數(shù)時，必有n個L2垂直Lin或n個P包含Lin：當(dāng)n為偶數(shù)時，必有和n/2個L2垂直Lin或n/2個P包含Lin； Lin L2 Lin nL2 或Lin P/ Lin nP/（n為奇數(shù)） Lin L2 Lin n/2L2 或Lin P/ Linn/2 P/ （n為偶數(shù)） 第二十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理5 如果兩個對稱軸Ln和Lm以角斜交時，圍繞Ln必有n個共點且對稱分布的Lm；同時，圍繞Lm必有m個共點且對稱分布的Ln：Ln Lm=nLmmLn。 且任二相鄰的Ln與Lm之間的交角均等于。補(bǔ)

14、充第二十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月有了對稱要素組合定理，我們就可以判斷一個晶體上的對稱要素組合形式的正確與否。 請大家根據(jù)上述對稱要素組合定理判斷下列對稱要素組合形式是否正確： 1、L43P 2、L22P 3、L32L2 4、3L2 5、L3PC 6、L6PC 怎么樣？你的成績?nèi)绾危?應(yīng)該為 L44P ，根據(jù)組合定理3， 4個P包含L4 根據(jù)組合定理3， 2個P包含L2 應(yīng)該為 L33L2 ，根據(jù)組合定理1， 3個L2垂直L3 其中一個L2 直立，另外兩個L2垂直這個直立的L2 應(yīng)該為 L33P ，因為L3不是偶次軸，所以不能產(chǎn)生C P垂直L6，L6是偶次軸，所以產(chǎn)生C對稱要

15、素組合測試第二十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月五、32個對稱型（點群）及其推導(dǎo) 各種晶體的對稱程度有很大的差別，主要表現(xiàn)在它們所具有的對稱要素的種類、軸次和數(shù)目上。 晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的對稱型 或 點群。一般來說，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對稱要素時稱對稱型，強(qiáng)調(diào)對稱操作時稱點群。 經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明對稱型只有32種。我們將屬于同一對稱型的所有晶體，歸為一類，稱為晶類。晶類也只有32個。 在32個晶類中，按它們所屬的對稱型特點劃分為七個晶系。 再按高次對稱軸的有無和高次對稱軸的數(shù)目，將七個晶系并為三個晶族。第二十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 對稱型的書寫順

16、序一般是首先寫從高到低不同軸次的對稱軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸，其次寫對稱面，最后寫對稱心。但在等軸晶系中，不論一個對稱型中有無大于3次的對稱軸，3次對稱軸L3應(yīng)當(dāng)始終放在第2位。第二十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 請同學(xué)們自己分析一下課本第34頁“圖4-14 常見對稱型中對稱要素在晶體上的空間配置”各個圖的對稱型如第三十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月A類對稱型（高次軸不多于一個）的推導(dǎo)：A類對稱型共有27種，根據(jù)對稱要素對其推導(dǎo)1）對稱軸Ln單獨存在（原始式對稱型 ），可能的對

17、稱型為L1；L2；L3；L4；L6 。2）對稱軸與對稱軸的組合（軸式對稱型） 。在這里我們只考慮Ln與垂直它的L2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對稱要素組合規(guī)律LnL2 LnnL2 ，可能的對稱型為：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2與Ln斜交有可能出現(xiàn)多于一個的高次軸，這時就不屬于A類對稱型了。第三十三張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月3）對稱軸Ln與垂直它的對稱面P的組合（中心式對稱型） ?？紤]到組合規(guī)律Ln(偶)PLn(偶)PC，則可能的對稱型為L2PC；L4PC；L6PC。4）對稱軸Ln與包含它的對稱面的組合（平面式對稱型 ）。根據(jù)組合規(guī)

18、律Ln PLnnP，可能的對稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。 第三十四張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月？5）對稱軸Ln與垂直它的對稱面以及包含它的對稱面的組合（軸面式對稱型 ）。垂直Ln的P與包含Ln的P的交線必為垂直Ln的L2，即LnPP=LnPPL2 =LnnL2(n+1)P(C)（C只在有偶次軸垂直P的情況下產(chǎn)生)，可能的對稱型為：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。 第三十五張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨存在（倒轉(zhuǎn)原始式

19、對稱型）。可能的對稱型為：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li6=L3P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的L2（或包含它的P）的組合（倒轉(zhuǎn)軸面式對稱型 ）。根據(jù)組合規(guī)律，當(dāng)n為奇數(shù)時LinnL2nP，可能的對稱型為：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；當(dāng)n為偶數(shù)時 Lin(n/2)L2 (n /2)P ，可能的對稱型為：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。 第三十六張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例：如果晶體中有一個L4，同時又有一個L2垂直于它和一個對稱面垂直它，則L4 L2 L44L2（組合定律1），L

20、4 PL4PC（組合定律2），因為垂直L4的P 與L2是包含關(guān)系，所以：L2 PL22P（組合定律3），這兩個P中，有一個是垂直L4包含L2的，而另一個是包含 L4垂直L2，這個包含L4 的P以及垂直L4的P與L4組合（根據(jù)推導(dǎo)5）： LnPP=LnPPL2 =LnnL2(n+1)PC，最后產(chǎn)生對稱型L44L25PC，金紅石就是這種對稱型。第三十七張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月7個組合類型中共導(dǎo)出35個對稱型，其中重復(fù)的有8個，故實際導(dǎo)出的A類對稱型共27種。 。請同學(xué)們將表中空格的內(nèi)容填上，空格中的內(nèi)容與表中其他內(nèi)容是重復(fù)的。LnLnnL2LnCLnPCLnnPLnnL2 (n+

21、1)P(C)LinLin nL2 nPLin n/2L2 n/2PL1Li1 = CL23L2L2PCL22P3L2 3PCLi2 = PL3L33L2L33PLi3 =L3 CL3 3L2 3PCL4L44L2L4PCL44PL44L2 5PCLi4Li4 2L22PL6L66L2L6PCL66PL66L2 7PCLi6=L3 PLi6 3L2 3P= L3 3L2 4P第三十八張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月還有5個是B類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導(dǎo)。此外還有3L44L36L29PC，3L24L33PC，3Li44L36P第三十九張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月

22、對稱型符號 習(xí)慣符號 按一定的順序表示出晶體所有對稱要素的符號 mLnmPC(n-對稱軸軸次，從高到低排列，m-對稱 軸或?qū)Τ擅娴臄?shù)目）國際符號（反映對稱要素及其在空間的取向）第四十張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 n單獨一個對稱軸Ln 單獨一個Lin N/m Ln垂直它的P的組合 N22或N2 Ln和垂直它的L2的組合（N1時，1省略） Nmm Ln和包含它的P的組合（N1時，1省略， N=2時，特寫為mm2） N2m Lin和包含它的P以及垂直它的L2的組合 N/mmm Ln和包含它的P以及垂直它的P的組合 X3Y或X3第二位上為3者表示4L3說明第四十一張，PPT共四十九頁，創(chuàng)作于2022年6月六、晶體的對稱分類32晶類高、中、低級晶族7大晶系屬于同一對稱型的晶體高次軸的有無及多少軸次的高低及數(shù)