新高一下學(xué)期暑假作業(yè)14個(gè)專題解析版

1、第01練 空間向量及其運(yùn)算、空間向量基本定理【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一 向量的概念與向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量【向量的幾何表示】用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如、，字母表示，用小寫字母、，表示有向向量的長度為模，表示為|、|，單位向量表示長度為一個(gè)單位的向量；長度為0的向量為零向量【向量的?！康拇笮?，也就是的長度（或稱模），記作|【零向

2、量】長度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長度為0，方向不確定【單位向量】長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）【相等向量】長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性知識(shí)點(diǎn)二 平行向量（共線）1、平行向量： 方向相同或相反的非零向量如果，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直線平行或重合），則可即位，任一組平行向量都可移動(dòng)到同一條直線上，因此平行向量又叫共線向量，任一向量都與它自身是平行向量，并且規(guī)定，零向量與任一向量平行2、共線向量： 如果幾個(gè)向量用同一個(gè)起點(diǎn)的有向線段表示后，這些有向線段在同一條直線上，這樣的一組向量稱為共線向量零向量與任一向量共線說明

3、：（1）向量有兩個(gè)要素：大小和方向（2）向量與向量共線的充要條件是：向量a與向量b的方向相同或相反，或者有一個(gè)是零向量 共線向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量知識(shí)點(diǎn)三 兩向量的和或差的模的最值【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】 向量的雖然有大小和方向，但也還是可以進(jìn)行加減就像速度是可以加減的一樣，向量相加減之后還是向量當(dāng)兩個(gè)向量相加時(shí)，有|+|+|，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同時(shí)取得到等號(hào)；也有|+|，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)取得到等號(hào) 另外還有|+|，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)取得到等號(hào)；|，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同時(shí)取得到等號(hào)知識(shí)點(diǎn)四 向量數(shù)乘和線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】（1）實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的大小為|

4、，其方向與的正負(fù)有關(guān)若|0，當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向相反當(dāng)0時(shí)，與平行對(duì)于非零向量a、b，當(dāng)0時(shí)，有 （2）向量數(shù)乘運(yùn)算的法則1；（1）；（）（）（）；（+）+；（+）+一般地，+叫做，的一個(gè)線性組合（其中，、均為系數(shù)）如果+，則稱可以用，線性表示1（2022鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得”是“共線”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的判定定理，即可求解【解答】解：存在實(shí)數(shù)，使得，則共線，故充分性成立，共線，當(dāng)為零向量時(shí)，不一定成立，故必要性不成立，故“存在實(shí)數(shù)，使得”是“共線”的

5、充分而不必要條件故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的判定定理，屬于基礎(chǔ)題2（2022江西模擬）已知向量，且，則AB1CD2【分析】由已知條件結(jié)合向量模的求法可得，再代入坐標(biāo)運(yùn)算即可求解【解答】解：由題意可得，即，可得，又，即有，解得，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量模的求法，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題3（2022洛陽模擬）已知向量，則“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的平行公式，即可求解【解答】解：當(dāng)時(shí)，故充分性成立，向量，則，解得，或，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的平行

6、公式，屬于基礎(chǔ)題4（2022遼寧模擬）已知點(diǎn)為的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則為A2BCD【分析】由已知可得，然后根據(jù)向量模的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解【解答】解：由已知可得，所以，所以，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的概念以及模的運(yùn)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題5（2022烏魯木齊模擬）若平面向量與方向相同，且，則ABCD【分析】根據(jù)題意可設(shè)，且，再根據(jù)模長公式列方程求出即可【解答】解：因?yàn)榕c方向相同，可設(shè)，且，又因?yàn)?，所以，解得，所以故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的共線定理與數(shù)量積運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題6（2022榆林二模）已知，則A2B4CD【分析】由，兩邊平方可得，再由向量展開代入求解即可【

7、解答】解：由題意，可得，即，又，代入可得，解得，所以，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的線性運(yùn)算和模的求法，是基礎(chǔ)題7（2021浙江模擬）已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為AB2CD3【分析】由可知，所以的終點(diǎn)的軌跡是以的終點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，的最大值是圓心與的終點(diǎn)之間的距離加上半徑，即為，再將其化成，的模和夾角可解得【解答】解：設(shè)與的夾角，由可知，所以的終點(diǎn)的軌跡是以的終點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，的最大值是圓心與的終點(diǎn)之間的距離加上半徑，即為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算、向量模、向量和差幾何意義，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題8（2022呂梁一模）在中，為的中點(diǎn)，與交于，則ABC

8、D【分析】由，結(jié)合點(diǎn)、三點(diǎn)共線求解即可【解答】解：由中，為的中點(diǎn)，與交于，則，由點(diǎn)、三點(diǎn)共線，則，解得，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三點(diǎn)共線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題9（2021新鄉(xiāng)二模）在中為邊的中點(diǎn)，則ABCD【分析】由于為邊的中點(diǎn)，可得，結(jié)合已知即可求解向量，的關(guān)系式【解答】解：因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，則故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題二填空題（共6小題）10（2022呼和浩特一模）已知菱形的邊長為3，點(diǎn)，分別在邊，上，且滿足，則3【分析】根據(jù)題意，有菱形的性質(zhì)可得，由數(shù)乘向量的性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則有，即可得答案【解答

9、】解：根據(jù)題意，菱形的邊長為2，則，必有，又由，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，則，而，則，故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，涉及向量加法的定義，屬于基礎(chǔ)題11（2022惠農(nóng)區(qū)校級(jí)三模）設(shè)，是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則【分析】向量與的方向相反，直接列出關(guān)系式，根據(jù)向量相等，求出的值【解答】解：向量與的方向相反，可得，得，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查相等向量與相反向量，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題12（2021貴溪市校級(jí)模擬）若向量，則向量與向量共線對(duì)（判斷對(duì)錯(cuò)）【分析】根據(jù)平面向量的共線定理，判斷即可【解答】解：向量，根據(jù)平面向量的共線定理知，向量與向量共線故答案

10、為：對(duì)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的共線定理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題13（2021蕪湖模擬）已知，是單位向量，則【分析】由得，兩邊平方得值，可求得值【解答】解：由得，是單位向量，得，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量和差、數(shù)量積、模的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14（2022重慶模擬）點(diǎn)在內(nèi)部，滿足，則【分析】分別延長至，至，至，使，結(jié)合題意得出是的重心，再計(jì)算與的面積比【解答】解：根據(jù)題意，分別延長至，至，至，使，如圖所示：由，得，所以點(diǎn)是的重心，所以，設(shè)，則，所以故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積計(jì)算問題，也考查了三角形重心的性質(zhì)以及平面向量在幾何中的應(yīng)用問題，是中檔題15（2022長安區(qū)校

11、級(jí)三模）在中，是邊上的中點(diǎn)，則的值為【分析】把和代入要求的式子化簡(jiǎn)可得結(jié)果【解答】解：，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求向量的模的方法，把要求的式子化為，是解題的關(guān)鍵16（2020濱州三模）已知是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)A2B3C4D5【分析】根據(jù)條件可以得出，并設(shè)，這樣即可得出，三點(diǎn)共線，畫出圖形，并得到，從而解出的值【解答】解：如圖，令，則：，三點(diǎn)共線；與共線反向，；解得故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算，三點(diǎn)共線的充要條件：，且，共線向量基本定理，三角形的面積公式17（2017寶雞三模）已知點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)

12、，且，則的最大值為A5B6C7D8【分析】由題意畫出圖形，把用向量與表示，再利用向量模的運(yùn)算性質(zhì)求得的最大值【解答】解：由，得，即，為外接圓的直徑，如圖所示；設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與共線時(shí)，取得最大值7；故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問題，也考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題，是中檔題18（2020天津）如圖，在四邊形中，且，則實(shí)數(shù)的值為，若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為【分析】以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的平行和向量的數(shù)量積即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，再設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積可得關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值【

13、解答】解：以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，解得，設(shè)，則，其中，當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，故答案為：，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了向量的共線和向量的數(shù)量積，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題19（上海）已知平面向量、滿足，且，2，則的最大值是【分析】分別以所在的直線為，軸建立直角坐標(biāo)系，分類討論：當(dāng)，設(shè)，則，則，有的最大值，其幾何意義是圓上點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的最大值；其他情況同理，然后求出各種情況的最大值進(jìn)行比較即可【解答】解：分別以所在的直線為，軸建立直角坐標(biāo)系，當(dāng)，則，設(shè)，則，的最大值，其幾何意義是圓上點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的最大值為；且，則，的最大值，其幾何意義是圓上點(diǎn)與定點(diǎn)

14、的距離的最大值為，則，設(shè)，則的最大值，其幾何意義是在圓上取點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的最大值為，故的最大值為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的模的求解，解題的關(guān)鍵是圓的性質(zhì)的應(yīng)用：在圓外取一點(diǎn)，使得其到圓上點(diǎn)的距離的最大值：為該圓的半徑，為該點(diǎn)與圓心的距離）20（2019廣元模擬）在中，設(shè)點(diǎn)，滿足，若，則ABCD2【分析】如圖所示，由，可得又，可得，展開利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出【解答】解：如圖所示，又，在中，解得故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量三角形法則及其應(yīng)用、向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題21（2013浙江模擬）已知中，點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且，則的取值

15、范圍是，【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系設(shè)，由，可得由向量的平行四邊形法則可得：，可得，利用數(shù)量積的性質(zhì)可得，可得，即又，可得，于是，進(jìn)而得出【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系設(shè)，即若，那么、三點(diǎn)共線，即為和交點(diǎn)，此時(shí)，矛盾，舍去又，即（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)）綜上可知：故答案為：，【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了向量的平行四邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題第02練 平面向量的數(shù)量積【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的含義與物理意義【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、向量的夾角概念： 對(duì)于兩個(gè)非零向量，如果以O(shè)為起點(diǎn)，作，那么射線OA，OB的夾角叫做向量與向量的夾角，其中02、

16、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量，的夾角為，那么我們把|cos叫做與的數(shù)量積，記做即：|cos規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：0注意： 表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由cos決定； 符號(hào)“”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“”代替；在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0（2）投影：在上的投影是一個(gè)數(shù)量|cos，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若（x1，y1），（x2，y2），則x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度|與在的方向上的投影|cos的積知識(shí)點(diǎn)二 平面向

17、量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為，則：（1）|cos；（2）0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時(shí)，|；當(dāng)，方向相反時(shí)，|；特別地：|2或|（用于計(jì)算向量的模）（4）cos（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（）（）（）；（3）分配律：（）（）【平面向量數(shù)量積的運(yùn)算】平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為（）222+2（）（+）22（）（），從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣知識(shí)點(diǎn)三 數(shù)量積

18、表示兩個(gè)向量的夾角【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量與不平行時(shí)，那么它們就會(huì)有一個(gè)夾角，并且還有這樣的公式：cos通過這公式，我們就可以求出兩向量之間的夾角了知識(shí)點(diǎn)四 向量的投影【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、兩個(gè)向量的數(shù)量積及其性質(zhì)：（1）|cos，；（2）0（，為非零向量）；（3）|22，|2、向量的投影：|cosR，稱為向量在方向上的投影 1已知，且，則在上的投影向量為ABCD【分析】由先求出，先表示出在上的投影，再結(jié)合投影向量概念即可求解【解答】解：因?yàn)椋裕?，又因?yàn)?，設(shè)的夾角為，所以在上的投影為：，所以在上的投影向量為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題

19、考查平面向量的意義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題2已知，且與夾角，則在上的投影為A1BCD【分析】利用在上的投影為，即可得出答案【解答】解：，所以，所以在上的投影為，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積，向量的投影，屬于基礎(chǔ)題3已知向量，則在上的投影向量為ABCD【分析】可求在上的投影，然后即可得出在上的投影向量【解答】解：向量，則在上的投影為：，在上的投影向量為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了投影和投影向量的定義及求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題4已知為的外心，若，則ABCD【分析】過圓心作于點(diǎn)，而，由此容易得解【解答】解：如圖，過圓心作于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考

20、查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題5已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則AB8CD16【分析】由題意可知，是的外心，利用數(shù)量積投影意義即可得到結(jié)果【解答】解：設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，是邊，的中垂線，是的外心，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積投影意義，屬于中檔題6若，且，則的值為AB1CD【分析】直接根據(jù)數(shù)量積定義，向量垂直即可求解【解答】解：，且，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)量積定義，向量垂直，屬基礎(chǔ)題7設(shè)為單位向量，當(dāng)，的夾角為時(shí)，在上的投影向量為ABCD【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合投影向量的概念求解即可【解答】解：由題意可知：，則在上的投影向量為，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了投影向量

21、的概念，屬基礎(chǔ)題8如圖，在等腰梯形中，則ABCD【分析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出，的坐標(biāo)，再由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即可得解【解答】解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，遇到規(guī)則圖形，一般建立坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算可簡(jiǎn)化試題難度，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題9在中，分別是邊上的三等分點(diǎn)，則的值是A6BC8D【分析】作圖，根據(jù)向量三角形法用表示出，結(jié)合已知條件得答案【解答】解：如圖，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題10在中，則A

22、BCD15【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量的夾角求解即可【解答】解：在中，則，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量的夾角，屬基礎(chǔ)題11若向量，滿足，則與的夾角為ABCD【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量夾角的運(yùn)算求解即可【解答】解：已知向量，滿足，則，即，設(shè)與的夾角為，則，又，則與的夾角為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量夾角的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題二多選題（共2小題）12已知向量，的夾角為，且，則和在方向上的投影的數(shù)量分別等于A4B2C1D【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積計(jì)算模長，根據(jù)投影的定義計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)值【解答】解：向量，的夾角為，所以；所以，

23、所以；所以在方向上的投影的數(shù)量為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積計(jì)算問題，也考查了投影的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題13在中，邊上的中線，則下列說法正確的有ABCD的最大值為【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用判斷、的結(jié)論【解答】解：在中，邊上的中線，對(duì)于，由余弦定理知，化簡(jiǎn)得，即，故正確；對(duì)于，故錯(cuò)誤；對(duì)于：在中，由余弦定理知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；由可知，由選項(xiàng)可知，則，解得：，故，故錯(cuò)誤；對(duì)于，所以的最大值為，故正確；故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和

24、數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題三填空題（共2小題）14已知向量，方向相反，且，則在方向上的數(shù)量投影為 【分析】根據(jù)投影的定義，應(yīng)用公式在方向上的數(shù)量投影為，求解即可【解答】解：向量，方向相反，且，根據(jù)投影的定義可得：在方向上的數(shù)量投影為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用解答關(guān)鍵在于要求熟練應(yīng)用公式，是基礎(chǔ)題15已知向量，滿足，與的夾角為，則【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)即可求解【解答】解：由題意可得，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題16如圖，是圓的弦，已知，則2【分析】如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為可得，再利用數(shù)量積運(yùn)算

25、性質(zhì)即可得出【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的垂經(jīng)定理、向量垂直與數(shù)量積直角的關(guān)系、向量的三角形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題17在中，則在方向上的投影為【分析】先根據(jù)正弦定理求出邊的長度，再由題意得出向量與的夾角為，利用投影的定義即可求解【解答】解：在中，由正弦定理得：，又根據(jù)題意：向量與的夾角為，向量與的夾角為，則在方向上的投影為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用18已知三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系所在平面內(nèi)，點(diǎn)、分別在、軸正半軸上滑動(dòng)，則的最大值為 【分析】建系，利用坐標(biāo)法通過向量數(shù)量積構(gòu)建函數(shù)模型

26、，根據(jù)函數(shù)思想求解【解答】解：在中，如圖以直線為新的橫軸軸，以直線為新的縱軸軸建立新的直角坐標(biāo)系，則，中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)為，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，又圓方程為，令，的最大值為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積，坐標(biāo)法，函數(shù)思想，屬中檔題19已知平面向量滿足，設(shè)，若，則的取值范圍為 ，【分析】設(shè)，結(jié)合題意可得，從而化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得，根據(jù)向量三角不等式可求解【解答】解：設(shè)，則，故，即，又，即，故答案為：，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量運(yùn)算的綜合應(yīng)用及向量三角不等式的應(yīng)用，屬于中檔題20已知向量滿足為非零的實(shí)數(shù)），設(shè)向量的夾角為，有下列四個(gè)命題其中正確的命題有 （填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）存在，使得；不存

27、在，使得；當(dāng)變化時(shí)，的最大值為1；當(dāng)變化時(shí)，的最小值為【分析】將兩邊平方，再由，解關(guān)于的方程，即可；由，解之即可；先由平面向量夾角公式求得，再令，觀察方程是否有解，可進(jìn)行排除；不妨取，根據(jù)方程有解，推出的最小值不可能為【解答】解：因?yàn)?，所以，若存在，使得，則，解得或1，因?yàn)闉榉橇愠?shù)，所以，即正確；若，則，解得，即錯(cuò)誤；由知，所以，若，則，解得，與為非零實(shí)數(shù)相矛盾，即錯(cuò)誤；取，則，化簡(jiǎn)得，該方程有解，即存在實(shí)數(shù)使得，故錯(cuò)誤故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的綜合，熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題21在平面內(nèi)，定點(diǎn)，滿足，且，則；平

28、面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最大值是 【分析】利用向量線性運(yùn)算法則和數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算出，進(jìn)而根據(jù)，平方后計(jì)算出，從而求出；然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，表達(dá)出和，利用三角函數(shù)有界性求出最大值【解答】解：因?yàn)椋?，兩邊平方得：，即，解得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?；可得到是等邊三角形，且邊長為，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直為軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以設(shè)，由可得：是線段的中點(diǎn)，則，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為故答案為：，【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題22在梯形中，與相交于點(diǎn)若，則；若，為線段延長線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 【分析】易知，且四邊形為菱形，

29、根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，將表示成以，為基底的向量運(yùn)算，即可得解；設(shè)，由，可求得，再將表示成以，為基底的向量運(yùn)算，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)，得解【解答】解：由題意知，且四邊形為菱形，所以，所以；設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，為故答案為：；【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，熟練掌握平面向量的線性和數(shù)量積的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題23如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長程序：正方形上連著等腰直角三角形，等腰直角三角形上再連接正方形，如此繼續(xù)，正方形的邊長為1，為正方形上的任一點(diǎn)，則的最大值為 【分析】設(shè)，將上式展開，根據(jù)向量點(diǎn)積的運(yùn)算公

30、式得到原式等于，進(jìn)而得到最終結(jié)果【解答】解：設(shè)，由圖形得到：，展開得到，向量和向量夾角等于和的夾角等于，向量和向量夾角等于和的夾角等于，當(dāng)時(shí)取得最大值為：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題第03練 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、向量的夾角概念： 對(duì)于兩個(gè)非零向量，如果以O(shè)為起點(diǎn)，作，那么射線OA，OB的夾角叫做向量與向量的夾角，其中02、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量，的夾角為，那么我們把|cos叫做與的數(shù)量積，記做即：|cos規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)

31、量積為0，即：0注意： 表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由cos決定； 符號(hào)“”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“”代替；在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0（2）投影：在上的投影是一個(gè)數(shù)量|cos，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若（x1，y1），（x2，y2），則x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度|與在的方向上的投影|cos的積知識(shí)點(diǎn)二 平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容： 如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1、

32、2，使2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一知識(shí)點(diǎn)三 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、平面向量的正交分解： 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2、平面向量的坐標(biāo)表示：若、為平面直角坐標(biāo)系中與x軸、y軸同向的單位向量，則對(duì)于平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得x+y，使得x+y，我們把（x，y）稱為的坐標(biāo)表達(dá)式為x+y（x，y）知識(shí)點(diǎn)四 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】 平面向量除了可以用有向線段表示外，還可

33、以用坐標(biāo)表示，一般表示為（x，y），意思為以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以（x，y）為終點(diǎn)的向量，它的模為d若（m，n），則+（x+m，y+n），則（xm，yn）；（xm，ny），（x，y）【典型例題分析】例：已知平面向量滿足：，且，則向量的坐標(biāo)為（4，2）或（4，2）解：根據(jù)題意，設(shè)（x，y），若，有0，則x+2y0，若，x2+y220，聯(lián)立，可得，解可得或，則（4，2）或（4，2）；故答案為（4，2）或（4，2） 這個(gè)題就是考察了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，具體的可以先設(shè)（x，y），根據(jù)題意，由，可得x+2y0，由，可得x2+y220，聯(lián)立兩式，解可得x、y的值，即可得的坐標(biāo)這也是常用的一種方法知識(shí)點(diǎn)五 平面向量共線

34、（平行）的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：設(shè)（x1，y1），（x2，y2），則（）x1y2x2y10一選擇題（共12小題）1已知點(diǎn)，向量，則向量ABCD【分析】根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)可求出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)即可求出向量的坐標(biāo)【解答】解：故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)的方法，向量減法的幾何意義，向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2已知向量，則等于ABCD【分析】由題意，利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，計(jì)算可得結(jié)果【解答】解：向量，則，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題3已知向量，若，則實(shí)數(shù)A1BCD【分析】利用向量平行的等價(jià)

35、條件得，從而求得【解答】解：，解得；故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4已知向量，且，那么實(shí)數(shù)的值是ABCD1【分析】由題意，利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，得出結(jié)論【解答】解：向量，且，故實(shí)數(shù)，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5已知向量，若，則ABCD【分析】由題意，利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，列方程求出即可【解答】解：向量， 4，若，則，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題6已知，若，則等于A4BCD2【分析】利用平行向量的坐標(biāo)關(guān)系求解【解答】解：，且，解得，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬

36、于基礎(chǔ)題7已知向量、滿足，則A1B3C5D7【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用模長公式求解即可【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題8已知，滿足，則ABCD【分析】由已知求得，再由，展開后代入數(shù)量積求解【解答】解：由，得，解得故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量模的求法，是基礎(chǔ)題9平面向量與的夾角為，則等于ABC4D12【分析】可求出，然后根據(jù)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出答案【解答】解：，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量長度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10已知向量，且與的夾角，則ABCD【分析】根據(jù)

37、題意，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得，進(jìn)而計(jì)算可得答案【解答】解：根據(jù)題意，向量，則，則有，故，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題11在中，角，所對(duì)的邊分別為，是內(nèi)切圓的圓心，若，則的值為ABCD【分析】建系，根據(jù)坐標(biāo)法，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想即可求解【解答】解：如圖，內(nèi)切圓的圓心在邊高線上（也是邊上的中線），以直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)等面積算法可得：，解得，故內(nèi)心為，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想，坐標(biāo)法，屬基礎(chǔ)題12在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則ABCD【分析】

38、由平面向量的線性運(yùn)算逐步表示即可得解【解答】解：由題可知利用平面向量的線性運(yùn)算，則所以，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的基本定理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題二填空題（共6小題）13已知，則的取值范圍是 ，【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量，進(jìn)一步利用向量的模和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換及正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：由于；所以；所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；故的取值范圍是，故答案為：，【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題14已知向量，則5【分析】可求出向量的坐標(biāo)，然后即可

39、得出的值【解答】解：，故答案為：5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，向量長度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15已知，是兩個(gè)單位向量，設(shè)，且滿足，若，則2【分析】根據(jù)題意作出草圖，利用平面幾何的性質(zhì)，可證，再根據(jù)，可得，再利用，可得的夾角，再根據(jù)，再利用數(shù)量公式即可求出【解答】解：根據(jù)題意作出草圖，令，由平行四邊形法則，得，即，即，平行四邊形為菱形，設(shè)，即向量的夾角為，即，即，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算，考查向量運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題16已知平面向量，若與反向共線，則實(shí)數(shù)的值為 1【分析】根據(jù)與反向共線，設(shè)，然后得出，再求出的值即可【解答】解：與反向共

40、線，設(shè)，且，解得故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題17已知向量，若，則實(shí)數(shù)【分析】由已知可得，的坐標(biāo)，再由數(shù)量積為0列式求得實(shí)數(shù)的值【解答】解：，若，則，即，解得故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題18已知，若、，則點(diǎn)坐標(biāo)為 【分析】設(shè)處點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量，根據(jù)向量相等列方程組求出、的值即可【解答】解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，、，所以，即，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題19已知平面向量滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為ABC，D【分析】根據(jù)條件，可

41、知若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)共線，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可【解答】解：如圖，設(shè)則，故，因?yàn)?，其中，則若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)共線，即在直線上，所以當(dāng)時(shí)，最小為1，無最大值，故的取值范圍為，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的應(yīng)用，主要考查了三點(diǎn)共線與向量之間的關(guān)系，考查了邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化化歸能力與數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，屬于中檔題20已知平面向量，與不共線），滿足，設(shè)，則的取值范圍為ABC，D，【分析】根據(jù)題干可設(shè)，由，可知向量與的終點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓周上，畫出圖像后根據(jù)圓的對(duì)稱性即可進(jìn)行求解【解答】解：設(shè)，設(shè)，故，在以為圓心，以1為半徑的圓上，即，即，如圖由圓的對(duì)稱性可知中點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，

42、當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圖2中位置時(shí)，此時(shí)取最大值2，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圖3中位置時(shí)，此時(shí)取得最小值，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示，以及圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題21在中，若點(diǎn)為邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為ABCD【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)算求出結(jié)果【解答】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：由于，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為故的坐標(biāo)為，由于，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面直角坐標(biāo)系，向量的模和坐標(biāo)之間的關(guān)

43、系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型22如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線分別交直線，于點(diǎn)，若，則的最小值是ABCD【分析】，把，代入上式，再根據(jù)三點(diǎn)、共線求得與的關(guān)系，然后把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，可解決此題【解答】解：，由，得，代入上式得，又因?yàn)?、三點(diǎn)共線，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量線性運(yùn)算及基本不等式應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題二填空題（共2小題）23已知平面向量，且，若平面向量滿足，則的最大值【分析】首先對(duì)兩式，平方相加，然后利用三角不等式得，基本不等式得，從而求出的最大值【解答】解：由，得，兩式相

44、加得，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)等號(hào)成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)與反向，時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的模，基本不等式、三角不等式的應(yīng)用，是中檔題24已知夾角為的向量，滿足，若，則的最小值為【分析】借助坐標(biāo)法解決【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與軸同向，過點(diǎn)作，則，設(shè)，則，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心、1為半徑的圓由圖可知，點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)且斜率為的直線，直線方程為，所以，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的模，借助直線與圓的位置關(guān)系來解決問題，綜合性較強(qiáng)，屬于難題25已知是單位向量，向量，滿足，且，設(shè)，當(dāng)時(shí)，則【分析】由可得，結(jié)合化簡(jiǎn)得，再結(jié)合得，從而可得

45、到；同理可得，聯(lián)立解方程，結(jié)合方程的解，檢驗(yàn)是否成立，從而解出，的值，代入求即可【解答】解：，即，即，又，即，即，即，聯(lián)立解得，或，當(dāng)時(shí)，不成立，故不成立；當(dāng)時(shí)，成立，故成立；故，；故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，難點(diǎn)在于化簡(jiǎn)運(yùn)算，屬于難題26已知正方形的邊長為2，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，若，其中，則的最大值為 【分析】建立直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，找到相應(yīng)向量的坐標(biāo)，通過點(diǎn)坐標(biāo)得到，最后利用三角函數(shù)的最值即可求解【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，在以為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)，則，則，的最大值為：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角函

46、數(shù)的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題27已知，若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，【分析】根據(jù)，可得，于是方程化為：時(shí)，方程化為：時(shí)，方程化為：結(jié)合圖象即可得出【解答】解：，方程化為：時(shí)，方程化為：時(shí)，方程化為：時(shí)，方程化為：令，結(jié)合圖象可得：時(shí)，直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程化為：，或，解得，或關(guān)于的方程有三個(gè)不相等實(shí)根，或，且，解得或，實(shí)數(shù)的取值范圍為，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線定理、函數(shù)圖象與性質(zhì)、不等式的解法、分類討論方法，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題第04練 正弦定理【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一 正弦定理【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

47、1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2R （ R是ABC外接圓半徑）a2b2+c22bccosA，b2a2+c22accosB，c2a2+b22abcosC變形形式a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sinA，sinB，sinC；a：b：csinA：sinB：sinC；asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA，cosB，cosC解決三角形的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況 A為銳角A為鈍角或

48、直角圖形關(guān)系式absinAbsinAababab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，absinA，無解當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，ab，無解2、三角形常用面積公式1Saha（ha表示邊a上的高）；2SabsinCacsinBbcsinA3Sr（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）【正余弦定理的應(yīng)用】1、解直角三角形的基本元素2、判斷三角形的形狀3、解決與面積有關(guān)的問題4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決一選擇題（共8小題）1在中，“”是“是

49、銳角三角形”的A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件【分析】利用正弦定理、余弦定理即可判斷出，進(jìn)而判斷出結(jié)論【解答】解：在中，為銳角，但是不一定是銳角三角形，反之成立在中，是是銳角三角形的必要不充分條件，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充要條件的判定方法、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知，則ABCD【分析】利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，得解【解答】解：由正弦定理及，知，因?yàn)椋?，即，又，所以故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形中正弦定理的應(yīng)用，熟練掌握邊化角的思想，同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)

50、算求解能力，屬于基礎(chǔ)題3在中，角、的對(duì)邊分別是、，若，則等于ABC或D或【分析】利用正弦定理求得，再根據(jù)的取值范圍和“大邊對(duì)大角”，即可得解【解答】解：由正弦定理知，所以，因?yàn)?，且，所以，且，所以或故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理是解題的關(guān)鍵，注意多解問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題4在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是，若，則ABC2D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解【解答】解：由正弦定理可得，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5在中，已知，則角ABCD或【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解【解答】解：，即，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理，屬

51、于基礎(chǔ)題6在中，若，則ABCD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解【解答】解：，則故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理，屬于基礎(chǔ)題7在中，則ABCD【分析】由已知利用正弦定理即可求解【解答】解：在中，則由正弦定理，可得故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8在中，已知，則角為AB或150C或D【分析】根據(jù)正弦定理，即可得解【解答】解：由正弦定理知，所以，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理是解題的關(guān)鍵，注意多解問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題二多選題（共5小題）9在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，則下列結(jié)論正確的有A若，則B若，則

52、一定為等腰三角形C若，則一定為直角三角形D若，則一定為銳角三角形【分析】選項(xiàng)中，結(jié)合“大角對(duì)大邊”與正弦定理，可判斷；選項(xiàng)中，利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角公式，可判斷；選項(xiàng)中，利用余弦定理化角為邊，再結(jié)合勾股定理，可判斷；選項(xiàng)中，由余弦定理可得角為銳角，但角，不確定【解答】解：選項(xiàng)中，由，可得，根據(jù)正弦定理得，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)中，結(jié)合正弦定理及，知，所以，所以或，即或，所以為等腰或直角三角形，即選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)中，由余弦定理及，知，化簡(jiǎn)得，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)中，由余弦定理知，所以角為銳角，但角，不確定，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形形狀的判斷，熟練掌握正弦定理，余弦定理，二倍角

53、公式是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題10中，角、所對(duì)的邊為，下列敘述正確的是A若，則B若，則有兩個(gè)解C若，則是等腰三角形D若，則【分析】選項(xiàng)，結(jié)合正弦定理與“大邊對(duì)大角”，可判斷；選項(xiàng)，由，知有兩個(gè)解；選項(xiàng)，利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角公式，得解；選項(xiàng)，利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)運(yùn)算，可得，然后根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，得解【解答】解：選項(xiàng)，由正弦定理知，因?yàn)?，所以，所以，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，所以有兩個(gè)解，即選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，由正弦定理及，知，即，所以或，所以或，故為等腰或直角三角形，即選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)，由正弦定理及知，又，所以，因?yàn)?，所以，?/p>

54、，所以，即選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，二倍角公式，兩角和的正弦公式等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題11若的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是A角一定為銳角BCD【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：由于，利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換：，即：，整理得：，所以；利用正弦定理：，利用余弦定理：，由于，故，整理得，故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題12在中，下列命題錯(cuò)

55、誤的是A若，則B若，則一定為等腰三角形C若，則一定為等腰三角形D若三角形的三邊滿足，則該三角形的最大角為鈍角【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理以及三角函數(shù)恒等變換即可逐項(xiàng)求解【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，由正弦定理結(jié)合大角對(duì)大邊得：，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，由于，又， 是三角形的內(nèi)角，所以，或，即或，因此 可能為等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，若中，可得，不是等腰三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，可得為銳角，無法判斷三角形的最大角為鈍角，故選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形及其三角恒等變換等知識(shí)，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題13在中，角，所對(duì)的邊分別為，且，若有二解

56、，則的值可以是A1BCD【分析】由題意畫出圖形，可得，求出的范圍，結(jié)合選項(xiàng)得答案【解答】解：如圖，要使有二解，則，即，得的值可以是故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的解法，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題三填空題（共3小題）14在中，角，所對(duì)的邊分別為，且滿足，則角【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果【解答】解：由于，整理得：，利用正弦定理：；由于，所以，整理得，由于，所以故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題15中，則的周長是 【分析】用正弦定理及兩角和公式計(jì)算即可【解答】解：根據(jù)題意可

57、知，由正弦定理得：，解得，解得：，的周長故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理及兩角和公式，熟練運(yùn)用正弦定理及兩角和公式是解決本題的關(guān)鍵16已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且，點(diǎn)是的重心，且，則的面積為 【分析】由正弦定理可得，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理及和角正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，由三角形的重心性質(zhì)可知，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)可求，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解【解答】解：，由正弦定理可得，即，是的重心，解可得，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，向量的數(shù)量積的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔試題一選擇題（共2小題）17秦九韶是我國南宋數(shù)學(xué)家，其

58、著作數(shù)書九章中的大衍求一術(shù)，三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn)，秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，三斜求積術(shù)即已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中，是的內(nèi)角，的對(duì)邊已知中，則面積的最大值為ABCD【分析】由正弦定理可得，代入已知等式，結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得，再代入中，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解【解答】解：由正弦定理及，知，所以，即，所以，故，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，兩角和的正弦公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題18已知中，角，的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為ABCD【分析

59、】利用正弦定理邊化角，可得，再次角化邊可得，關(guān)系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值【解答】解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，即，所以，則，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，從而得到三角形三邊之間滿足的等量關(guān)系，將等量關(guān)系代入余弦定理，則可利用基本不等式求得最值二填空題（共3小題）19設(shè)內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，點(diǎn)在邊上，是的平分線，則的面積的最小值為 ，的最小值為 【分析】由，利用正弦定理化邊為角，進(jìn)一步可得，求得，過點(diǎn)作，交于，得為正三角形，設(shè)，得，寫出三角形面積，利用基本不等式求最值；，利用

60、基本不等式求的最小值【解答】解：由，得，而，可得過點(diǎn)作，交于，得為正三角形，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立的面積的最小值為；由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立的最小值為故答案為：；【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的解法，考查正弦定理與基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題20南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積把以上文字寫成公式，即（其中為三角形的面積，為三角形的三邊）在斜中，分別為內(nèi)角，所對(duì)的邊，若，且則此面積的最大值為 【分析】由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合已知三