泰勒公式及其在在計(jì)算方法中的應(yīng)用

1、-. z泰勒公式在計(jì)算方法中的應(yīng)用摘要：泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式,同時(shí)它是求解高等數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具,在此結(jié)合例子簡要討論了泰勒公式在計(jì)算方法中的誤差分析、函數(shù)值估測及近似計(jì)算、數(shù)值積分、常微分方程的數(shù)值解法中的應(yīng)用。通過本文的論述,可知泰勒公式可以使數(shù)值問題的求解簡便.關(guān)鍵詞：泰勒公式;誤差分析;近似計(jì)算;數(shù)值積分1 引言泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式,利用泰勒公式能將一些初等函數(shù)展成冪級(jí)數(shù),進(jìn)展函數(shù)值的計(jì)算;而且函數(shù)的Taylor公式是函數(shù)無窮小的一種精細(xì)分析,也是在無窮小鄰域?qū)⒊竭\(yùn)算轉(zhuǎn)化為整冪運(yùn)算的手段,從而可將無理函數(shù)或超越函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為有理式的極限而求解,有效簡

2、化計(jì)算.泰勒公式作為求解高等數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具,在計(jì)算方法中有重要的應(yīng)用.2泰勒Taylor公式定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的*鄰域具有階導(dǎo)數(shù),則對(duì)該鄰域異于的任意點(diǎn),在與之間至少存在一點(diǎn),使得：(1)其中2公式1稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式,的表達(dá)式2稱為拉格朗日型余項(xiàng).定理2 假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù),則有(3)公式(3)稱為按的冪展開的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式,形如的余項(xiàng)稱為佩亞諾型余項(xiàng).特別地：在泰勒公式(1)中,如果取,則在0與之間,因此可令從而泰勒公式就變成比擬簡單的形式,即所謂帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林Maclaurm公式: 4在公式(3)中,如果取,則得帶

3、有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式：(5)3 泰勒公式的求法1帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的求法只要知道在處n階可導(dǎo)，就存在=帶佩亞諾余項(xiàng)的階泰勒公式。1直接求法：通過求而求得;例如求：等2間接求法：利用的泰勒公式，通過一些運(yùn)算求得。根本根據(jù)：泰勒公式的唯一性。設(shè)在處的階可導(dǎo)，且 () 。()將式相減得：() 令將上式兩邊同除以(),令其余類似可得。方法：四則運(yùn)算，變量替換，逐項(xiàng)積分4 泰勒公式在計(jì)算方法中的應(yīng)用4.1 泰勒公式在誤差估計(jì)中的應(yīng)用在研究學(xué)習(xí)過程中，由于物理問題的數(shù)學(xué)模型化或者可能是由于計(jì)算工作者的疏忽，絕大多數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果都會(huì)有誤差，通過合理的計(jì)算方法就能最大限度的減少誤差，同時(shí)減少計(jì)算

4、的復(fù)雜程度。泰勒公式在誤差估計(jì)中應(yīng)用就顯得十分突出。下面在具體例子過用泰勒公式和matlab進(jìn)展比擬，展示泰勒公式計(jì)算的方便與準(zhǔn)確。例1 設(shè)有，將被積函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，并取前六項(xiàng)得：用代替被積函數(shù)時(shí)再積分所得的近似值：0.544977678571且0.942561300.5，實(shí)際上近似真值時(shí)有4位有效數(shù)字。，曲線如下圖。在編輯窗口輸入如下命令：*=0:0.01:1.5;y1=e*p(*.2);y2=1+*.2+0.5*.4+1/6*.6;plot(*,y1,*,y2);legend(e*p(*.2),1+*.2+0.5*.4+1/6*.6);grid 有限代替無限所產(chǎn)生的誤差圖由圖可知，泰勒

5、公式在泰勒公式在誤差估計(jì)中所產(chǎn)生截?cái)嗾`差非常小。下例通過用泰勒公式求得的數(shù)值與實(shí)際數(shù)值之間的誤差界，可知泰勒公式在誤差計(jì)算中的準(zhǔn)確度較高。例2 估計(jì)近似公式 的絕對(duì)誤差.解 設(shè),則因?yàn)樗詭в欣窭嗜招陀囗?xiàng)的二階麥克勞林公式為：從而：.4.2泰勒公式在函數(shù)值估測及近似計(jì)算中的應(yīng)用泰勒公式是函數(shù)值估計(jì)的一個(gè)重要方法，通過泰勒公式可以將原函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系起來。例3 設(shè)函數(shù)在上存在二階導(dǎo)數(shù),并且當(dāng)時(shí),有,證明：, .證明 對(duì),由泰勒公式, 將在展開為： 將在展開為：兩式相減得從而有所以.有了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，就可用它來進(jìn)展近似計(jì)算，即在展開式有效的區(qū)間上，函數(shù)值可以近似地利用這個(gè)技術(shù)

6、按準(zhǔn)確度要求計(jì)算出來的。例4 求的近似值解 令 ,則所以 從而由公式4 1+故 從而 =誤差4.3 泰勒公式在數(shù)值積分中的應(yīng)用設(shè)為的原函數(shù)，由牛頓萊布尼茲公式知，對(duì)定義在區(qū)間上的定積分，有：但是，并不是區(qū)間上的所有可積函數(shù)的積分值計(jì)算都可由牛頓萊布尼茲公式解決的，有的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，或者有的原函數(shù)十分復(fù)雜難以求出或計(jì)算。如被積函數(shù)、等函數(shù)的積分都無法解決；又或者當(dāng)被積函數(shù)為一組離散的數(shù)據(jù)時(shí)，對(duì)于這種積分更是無能為力了。理論上，定積分是一個(gè)客觀存在確實(shí)定的數(shù)值，要解決的問題就是能否找到其他途徑來解決定積分的近似計(jì)算。利用泰勒公式建立定積分的近似計(jì)算公式，可實(shí)現(xiàn)定積分的近似計(jì)算。解法具體

7、地說，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開成冪級(jí)數(shù)，則把這個(gè)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，用積分后的級(jí)數(shù)就可算出定積分的近似值。例5 計(jì)算定積分的近似值解 因?yàn)?所以 因此=由此式得到 此時(shí)誤差 .4.4 泰勒公式在常微分方程數(shù)值求解中的應(yīng)用 用解析法很難求解的常微分方程,用數(shù)值方法求其特解是一種常見的方法,一般用逐步逼近法來進(jìn)展,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就應(yīng)用泰勒公式求解具有給定和初值的聯(lián)立方程：給出初值我們用如下形式表示一個(gè)和的聯(lián)立方程組： (6)求方程組(6)通過點(diǎn)的特解,其中.我們?cè)O(shè)想用一種逼近計(jì)算求出在以下各點(diǎn)處的近似值,其中為軸上選取的恰當(dāng)步長.現(xiàn)在,設(shè)在處,已求出的近似值,且表為由泰勒公式可

8、知：(7)令,即可得出計(jì)算值的公式(8)其中當(dāng)給定了初值條件時(shí),由方程(8),令,則得出：其中,在取近似值時(shí)的保存項(xiàng)數(shù),取決于步長及所需的準(zhǔn)確度.當(dāng)求出,后,再令,可求出,后面依次類推.取近似值時(shí)所要保存的項(xiàng)數(shù),也可由上同樣處理.為了說明以上方法,下面舉個(gè)簡單例子.例6 求： 的解,其初始條件為,處,.解 首先,我們可選定步長,并依次計(jì)算等處的近似值,由逐次求導(dǎo)得出,因此在處,有;令,則方程組(8)給出=接著在處,有令,由方程3：2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+2.4214 .2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+2.4214這個(gè)過程可以根據(jù)需要不斷地

9、重復(fù)進(jìn)展.例7 證明對(duì)任意參數(shù),以下Runge-Kutta格式是二階的證明 因?yàn)?所以 把在處泰勒展開得：= (9)(10)將 (9)(10)帶入泰勒展開式得求在處的泰勒展開將代入中得將與泰勒展開做比擬得則知上述Runge-Kutta格式是二階的.應(yīng)當(dāng)指出，應(yīng)用該方法從形式上看似簡單，但具體構(gòu)造這種格式往往是相當(dāng)困難的，因?yàn)樗枰忍峁┑母麟A導(dǎo)數(shù)值。當(dāng)階數(shù)提高時(shí)，求導(dǎo)過程可能很復(fù)雜，因此該方法不直接使用，但是可以用它來啟發(fā)思路。致：首先，我要感理工大學(xué)，感數(shù)信學(xué)院對(duì)我四年的培養(yǎng)，讓我學(xué)到了許許多多的知識(shí)，感各位教師在這四年里對(duì)我的關(guān)心與照顧，在此致以我深深的意。本論文從選題到最后定稿成文，王振

10、輝教師一直給予了悉心指導(dǎo)，王教師那種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)，廣博深邃的洞察力，孜孜不倦的開拓精神和敬業(yè)精神令我深受啟迪和教益，謹(jǐn)向我的指導(dǎo)教師王振輝教師致以深深的意。我國古代有句成語叫做“管中窺豹，略見一斑，本文也正是從泰勒公式定理入手，對(duì)泰勒公式在計(jì)算方法中的應(yīng)用進(jìn)展了分析和探討。但是，由于筆者水平有限，在理論的描述、資料的運(yùn)用等方面難免有不當(dāng)、不深，不周之處，有些觀點(diǎn)也尚欠成熟，敬請(qǐng)各位教師批評(píng)指正。 最后，我還要向所有曾經(jīng)幫助過我的同學(xué)和朋友們致敬。你們的鼓勵(lì)和幫助永遠(yuǎn)是我前進(jìn)的動(dòng)力。參 考 文 獻(xiàn)1 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)M.:高等教育, 2001.2 福興.泰勒公式的假設(shè)干應(yīng)用J.師專學(xué)報(bào)

11、, 1997(3):42-45.3 雅琴.泰勒公式應(yīng)用的探討J.*成人高等學(xué)校聯(lián)合報(bào), 2002(10):79-81.4 郭建萍.泰勒公式在數(shù)值法中的應(yīng)用J.華北礦業(yè)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào), 2001(9):35-36.5 慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析M. :華中科技大學(xué), 2006.6 王素芳,榮,永勝等.泰勒公式在計(jì)算及證明中的應(yīng)用J. 工業(yè)高等學(xué)校 學(xué)報(bào),2003(6): 32-34.7 平,石永延.泰勒公式在求解高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用J.*職業(yè)大學(xué)學(xué) 報(bào),2003(12): 64-66.8 王翠霞.泰勒公式在“不定型上的應(yīng)用J.交通大學(xué)學(xué)報(bào),2007(8):23-25.9 丁凡.淺析泰勒公式

12、的應(yīng)用J.數(shù)學(xué)通訊,2003(13):56-58.10 斯瑜.泰勒公式在計(jì)算中的應(yīng)用.理工大學(xué)學(xué)報(bào)J.2005(10):13-16.11 德豐.數(shù)值分析與應(yīng)用M.國防工業(yè)，2007.12 john H. Mathews kurtis D.Fink. 數(shù)值方法M.電子工業(yè)，2002.Taylor Formula and The Application in putational MethodChen Lin LinGrade 2005,Major of Mathematics and Applied Mathematics，Iinstitute of Mathematics and Inform

13、ation Science，Henan Polytechnic UniversityAbstract:Taylor formula is an important formula in advanced mathematics, and it is also animportant tool for solving the problems in advanced mathematics .Here introduced briefly the application of Taylor formula in putational method including error analysis ,estimation of functional value ,appro*imate putation ,numerical integration and numerical method for ordinary differential equat