概率和統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

1、關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第一張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 一 隨機(jī)變量與分布函數(shù)1、隨機(jī)試驗(yàn)滿足條件:（1）可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但事先能明確所有的結(jié)果；（3）試驗(yàn)前不能預(yù)知哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)稱為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。用 E 表示。2、樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E 所有可能的結(jié)果組成的集合稱為樣本空間記為 =e試驗(yàn)的每個(gè)可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。3、隨機(jī)事件滿足某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合（為 的子集）,常用大寫(xiě)字母A、B、C表示，組成隨機(jī)事件的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生稱為隨機(jī)事件發(fā)生。第二張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2例1：E1隨機(jī)試驗(yàn)：拋一枚硬幣，觀察正面、反面了出現(xiàn)的情況。

2、 樣本空間 1：H，T； E：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。 2：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT； E：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。 3：0，1，2，3； E：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 4：1，2，3，4，5，6； E：記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到的呼喚次數(shù)。 5：0，l，2，3，； E：在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命。 6：tt0； E：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。 7：(x，y) T0 xyT1，這里x示最低溫度，y表示最高溫度，并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于To，也不會(huì)大于T1。第三張，PPT共九十八

3、頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值nA n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成n(A)。4 概率對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A (除必然事件和不可能事件外)來(lái)說(shuō)，它在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。我們希望知道的是事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性。用一個(gè)數(shù)P(A)來(lái)表示該事件發(fā)生的可能性大小，這個(gè)數(shù)P(A)就稱為隨機(jī)事件A的概率。我們希望找到一個(gè)數(shù)來(lái)表示P(A)。嚴(yán)格定義應(yīng)用公理化三條件非負(fù)性、歸一性和可列可加性。頻率當(dāng)n足夠大時(shí)， n(A )P(A)第四張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月4 5、隨機(jī)變量隨機(jī)變量是定義在樣

4、本空間記上的一個(gè)單值函數(shù)，用來(lái)表示隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的變量。常用大寫(xiě)字母X、Y表示，隨機(jī)變量的取值具有隨機(jī)性，隨機(jī)變量的取值有一定的概率（按一定的概率取某個(gè)值 ）。樣本空間上可以定義多個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量分為離散和連續(xù)隨機(jī)變量。用擲硬幣10次來(lái)說(shuō)明上述概念擲硬幣為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)， =正面，反面為樣本空間.正面朝上的次數(shù)可以定義為隨機(jī)變量。6次正面朝上一個(gè)隨機(jī)事件A。在所有的實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)6次朝上事件的頻率為A 的概率也可以將硬幣朝向作為隨機(jī)變量X：正面朝上X=1，否則X=0第五張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5概率的重要性質(zhì)第六張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6概率的重要性質(zhì)第七張，P

5、PT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月76、條件概率 在事件A 發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率稱為條件概率，記為滿足可列可加性：設(shè)B1 ，B2 ， 兩兩互不相容的事件，即對(duì)于ij, BiBj= , i,j=1,2, ,則有第八張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8B1BnAB1AB2ABn全概率公式ABayes公式 全概率公式與Bayes 公式B2第九張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月9 6 一維隨機(jī)變量分布函數(shù) 對(duì)于離散的 隨機(jī)變量X, x1，x2，xk是X的所有取值，則X的概率分布列（也稱概率分布）為：設(shè) X為隨機(jī)變量, 則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x稱為X 的分布函數(shù)，對(duì)離散型隨機(jī)變量，采

6、用累加的方法求其分布函數(shù)，有公式：Xx1x2xkpp(x1)p(xk)第十張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月10 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)公式：非負(fù)可積函數(shù) 是它的概率密度函數(shù)右圖幾何意義，F(xiàn)(x)為陰影部分的面積yyxF ( x )x第十一張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月11分布函數(shù)的性質(zhì) F ( x ) 單調(diào)不減，即 且 F ( x ) 右連續(xù)，即第十二張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月12 7 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)( X , Y ) 為二維隨機(jī)變量, ( x , y )為任一對(duì)實(shí)數(shù)，稱函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量( X ,Y ) 的分布函數(shù)，也稱為X和Y的聯(lián)合分

7、布函數(shù)，對(duì)離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)公式：對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)公式：定義函數(shù)：為X關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)，同理第十三張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月13對(duì)離散型隨機(jī)變量，稱對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度為：8、條件概率函數(shù)關(guān)于X的邊緣分布律為為變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布，也稱變量(X,Y)的聯(lián)合分布律同樣關(guān)于Y的的邊緣分布律對(duì)離散型隨機(jī)變量(X,Y)，稱為在 X = xi 的條件下,Y 的條件分布律第十四張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月14對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，在X = x的條件下Y 的條件概率密度為在Y = y的條件下X的條件概率密度

8、在Y = y的條件下X的條件分布函數(shù)在X = x的條件下Y 的條件分布函數(shù)第十五張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月159、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 設(shè)( X , Y ) 為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x , y ，有則稱隨機(jī)變量 X 和Y 是相互獨(dú)立的X 和Y 是相互獨(dú)立隨機(jī)變量與下列條件等價(jià)對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)變量，X 和Y 是相互獨(dú)立與下列條件等價(jià)如果二維隨機(jī)變量( X , Y ) 相互獨(dú)立，則有的第十六張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月16 二 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1. 一維隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望公式：對(duì)離散型隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望公式：其中2.一維隨機(jī)變量方差隨機(jī)

9、變量 X 的方差為Var(X)=D (X ) = E X - E(X)2稱為均方差與標(biāo)準(zhǔn)差第十七張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月17對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，其方差公式：對(duì)離散型隨機(jī)變量，其方差公式：有公式第十八張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月18設(shè)( X , Y ) 為二維隨機(jī)變量，對(duì)離散型隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為：3 二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征：對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為：離散和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差為：第十九張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月19數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)：如果X 和Y 是相互獨(dú)立隨機(jī)變量，則有對(duì)于n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，有第二十張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022

10、年6月20隨機(jī)變量X和 Y 的協(xié)方差為：4 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：離散和連續(xù)型隨機(jī)變量的協(xié)方差表達(dá)式為：協(xié)方差性質(zhì)a,b為任意常數(shù)如果X 和Y 是相互獨(dú)立，則第二十一張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月21為X和 Y 的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)：即存在常數(shù)a 和b， a0，使得P(Y = aX + b)=1無(wú)量綱 的量相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)2）若則X和Y 不相關(guān)(線性)1）3）若則X和Y完全線性相關(guān)，既（X,Y）的協(xié)方差矩陣為：第二十二張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月225. 偏度與峰度 X 的 k 階原點(diǎn)矩 X 的 k 階中心矩偏度（Skewness） 公式如下 峰度（Kurtosis）公式如下

11、 偏度衡量X圍繞均值是否對(duì)稱，峰度衡量凸起或平坦程度S0表示右偏（右拖尾）， S3，凸起大于正態(tài)分布，K x) =P ( X2性質(zhì)2：的點(diǎn) 為F分布的上分位點(diǎn).F 分布的分位點(diǎn)。設(shè) 稱F分布的上分位點(diǎn)圖形如右圖.可以通過(guò)查表得到第三十六張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月36 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,將我們研究的問(wèn)題所涉及的對(duì)象的全體稱為總體,而把總體中的每個(gè)成員稱為個(gè)體. 例如:我們想要研究一家工廠的某種產(chǎn)品的廢品率.這種產(chǎn)品的全體就是我們的總體,而每件產(chǎn)品則是個(gè)體.從總體中抽取的一部分個(gè)體，稱為總體的一個(gè)樣本；樣本中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本的容量。X1,X2, ,Xn 稱為從總體X得到的容量為n的隨機(jī)

12、樣本，簡(jiǎn)稱樣本。一次具體的抽取記錄 x1, x2, , xn是隨機(jī)變量，X1, X2, ,Xn的一個(gè)觀察值,成為樣本值定義：來(lái)自總體X的樣本X1,X2, ,Xn的函數(shù)g (X1, X2, , Xn) ，若是連續(xù)的且不含任何未知參數(shù)，則稱為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量四、樣本與抽樣總體、個(gè)體、樣本、樣本容量、樣本值第三十七張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月37統(tǒng)計(jì)量1、常用的統(tǒng)計(jì)量設(shè)X1,X2, ,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本， x1, x2, xn 是這一樣本的觀測(cè)值，定義（1）樣本均值(2)樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差第三十八張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月38常用的統(tǒng)計(jì)量(3)樣本 k 階原點(diǎn)矩(4)

13、樣本 k 階中心矩并稱他們相應(yīng)的觀測(cè)值 k=1,2,仍分別為: 樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本 k 階原點(diǎn)矩、樣本 k 階中心矩. 第三十九張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月392、常用統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)設(shè)X1,X2, ,Xn是來(lái)自總體X的容量為n一個(gè)樣本，若 X 有期望 EX= 和方差var(X) =DX = 2,如果樣本的二階矩存在，則有2）1）第四十張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月403、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布2）前面證明的性質(zhì)1 EX= ，var(X) =DX = 2,可得， （1）和（3）證明比較復(fù)雜，（見(jiàn)浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)P172,通過(guò)做正交變化

14、降階)第四十一張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月413、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布證明：由性質(zhì)2 ，由性質(zhì)3根據(jù)t分布的定義第四十二張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月42兩個(gè)正態(tài)總體樣本的抽樣分布的相互獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.設(shè)與分別是來(lái)自正態(tài)總體與設(shè)分別是兩個(gè)樣本的均值是兩個(gè)樣本的方差則有當(dāng)時(shí)定理3第四十三張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月43參數(shù)估計(jì)總體分布的未知參數(shù)的估計(jì)總體分布的參數(shù)往往是未知的,需要通過(guò)樣本來(lái)估計(jì).通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)總體的參數(shù),稱為參數(shù)估計(jì),它是統(tǒng)計(jì)推斷的一種重要形式.參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的一般提法X1, X2 , , Xn要依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù) 作出估計(jì)

15、，或估計(jì)的某個(gè)已知函數(shù) 。這類(lèi)問(wèn)題稱為參數(shù)估計(jì)。設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù)為 F(x, )其中 為未知參數(shù)( 可以是向量)現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本第四十四張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月44點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)法 用樣本炬替代總體炬 極大似然法 最小二乘法第四十五張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月45估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)（1）無(wú)偏性（2）有效性（3）一致性第四十六張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)總體分布未知時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 在本講中，我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的另一類(lèi)重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題. 這就是根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確.這

16、類(lèi)問(wèn)題稱作假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 .五、假設(shè)檢驗(yàn)總體均值, 均值差的檢驗(yàn)總體方差, 方差比的檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)符號(hào)檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)總體分布已知，檢驗(yàn)關(guān)于未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)1.假設(shè)檢驗(yàn)的原理第四十七張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月47 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤P拒絕H0|H0為真= ,P接受H0|H0不真= . 犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率:顯著性水平 為犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率.H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類(lèi)錯(cuò)誤正確正確第二類(lèi)錯(cuò)誤通?？刂品傅谝活?lèi)錯(cuò)誤的概率.一般事先選定一個(gè)數(shù),(01),要求犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率., 為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平，通常只討論犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率第四十八張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2

17、022年6月481.假設(shè)檢驗(yàn)的步驟（1）提出二擇一的假設(shè)H0（往往與試驗(yàn)?zāi)康南喾矗┡cH1(往往是欲得到的結(jié)論）；（2）給定顯著水平（小概率 ）；（3）在H0成立下，收集數(shù)據(jù)，尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如正態(tài),t,F），由統(tǒng)計(jì)量的分布，可計(jì)算各種取值的概率；（4）找出小概率發(fā)生的臨界值；給出拒絕域形式（5）將樣本值和H0代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行計(jì)算；（6）將計(jì)算結(jié)果與臨界值比較，若大于臨界值，小概率事件發(fā)生，根據(jù)小概率原理，在一次試驗(yàn)中小概率事件是不會(huì)發(fā)生的?，F(xiàn)在，居然發(fā)生了。錯(cuò)在哪里？（7）原來(lái)是假設(shè)H0錯(cuò)了，因?yàn)橐磺卸际窃贖0成立下推證的。于是拒絕H0。否則，不拒絕H0。第四十九張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于

18、2022年6月49假設(shè)檢驗(yàn) (三部曲) 其中雙邊檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)確定拒絕域 . 計(jì)算,并作出相應(yīng)判斷.右邊檢驗(yàn) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立假設(shè) 與 . 在 為真時(shí),選擇合適統(tǒng)計(jì)量V ,由稱為顯著水平為臨界值第五十張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月502.正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)一、單個(gè)正態(tài)總體N(,2)均值的檢驗(yàn)H0 : 0 ； H1 : 01）關(guān)于 的檢驗(yàn)設(shè)X1,X2, ,Xn為來(lái)自總體N(,2)的樣本.求:對(duì)以上假設(shè)的顯著性水平=的假設(shè)檢驗(yàn).在方差2已知的情況當(dāng)原假設(shè) H0: 0 為真時(shí)統(tǒng)計(jì)量 第五十一張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月51給定小概率，查表得：U 檢驗(yàn)法若小概率發(fā)生，拒絕原假設(shè)

19、 H0: 0 ，所以原假設(shè)的拒絕域?yàn)橛?jì)算 當(dāng)拒絕假設(shè) H0: 0，接受H0: 0，第五十二張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月52 0 0 0 0 0U 檢驗(yàn)法 (2 已知)原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域右則檢驗(yàn)左則檢驗(yàn)第五十三張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月532.正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)當(dāng)方差2未知時(shí)當(dāng)假設(shè) H0: 0 為真時(shí)由樣本方差S2代替2，根據(jù)抽樣分布性質(zhì)有給定小概率，查表得： ，當(dāng)小概率發(fā)生，拒絕原假設(shè) H0: 0 ，接受假設(shè)H1既時(shí)第五十四張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月54T 檢驗(yàn)法 (2 未知)T 檢驗(yàn)法 0 0 0 0

20、0原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域第五十五張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月55算例 某種元件的壽命X(以小時(shí)計(jì))服從正態(tài)分布T沒(méi)有落在拒絕域中，顧接受假設(shè) H0，認(rèn)為平均壽命不大于225小時(shí)根據(jù)樣本計(jì)算和查表得：解 按題意需檢驗(yàn) H0: 0225, H1: 0 225取0.05，現(xiàn)n16, 已知 由表知均未知，現(xiàn)測(cè)得16只元件的壽命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 文師傅有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時(shí)） 第五十六張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于202

21、2年6月562）關(guān)于方差2 的檢驗(yàn)設(shè)X1,X2, ,Xn為來(lái)自總體N(,2)的樣本.求以下假設(shè)顯著性水平的假設(shè)檢驗(yàn).當(dāng)原假設(shè) 為真時(shí)檢驗(yàn)利用樣本方差是2的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)得給定，當(dāng)出現(xiàn)時(shí)拒絕假設(shè)，為方便起見(jiàn)，取假設(shè) 的拒絕域?yàn)榈谖迨邚?，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月57 2 02 2 02 2 02 2 02 2 02 2= 02 2 02原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域( 未知)( 未知情況下 2 的檢驗(yàn))第五十九張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月59一、兩個(gè)正態(tài)總體N(,2) 的參數(shù)檢驗(yàn)設(shè) X N ( 1 1 2 ), Y N ( 2 2 2

22、) ，兩樣本 X , Y 相互獨(dú)立, 樣本 (X1, X2 , Xn ), ( Y1, Y2 , Ym ) 樣本值 ( x1, x2 , xn ), ( y1, y2 , ym )顯著性水平 H0 : 1 2 ； H1 : 2檢驗(yàn)假設(shè)當(dāng)H0: 1= 2為真時(shí) 拒絕域?yàn)?第六十張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月601 2 = ( 12，22 已知)(1) 關(guān)于均值差 1 2 的檢驗(yàn)1 2 1 2 1 2 1 2 原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域第六十一張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月611 2 = 1 2 1 2 1 2 1 2 其中12, 22

23、未知12 = 22原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域第六十二張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月62 12 = 22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 22(2) 關(guān)于方差比 12 / 22 的檢驗(yàn)1, 2 均未知原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時(shí)的分布拒絕域第六十三張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月63參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)利用給定樣本觀察值，算出參數(shù)的估計(jì)值。但用點(diǎn)估計(jì)的方法得到的估計(jì)值不一定是參數(shù)的真值，即使與真值相等也無(wú)法肯定這種相等（因?yàn)榭傮w參數(shù)本身是未知的），也就是說(shuō)，由點(diǎn)估計(jì)得到的參數(shù)估計(jì)值沒(méi)有給出它與真值之

24、間的可靠程度(精度)，在實(shí)際應(yīng)用中往往還需要知道參數(shù)的估計(jì)值落在其真值附近的一個(gè)范圍。為此我們要求由樣本構(gòu)造一個(gè)以較大的概率包含真實(shí)參數(shù)的一個(gè)范圍或區(qū)間，這種帶有概率的區(qū)間稱為置信區(qū)間，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)置信區(qū)間對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法稱為區(qū)間估計(jì)。 六、區(qū)間估計(jì)第六十四張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月641、置信區(qū)間定義：滿足設(shè) 是 一個(gè)待估參數(shù)，給定 若由樣本X1,X2,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間 是 的置信度（置信概率,置信水平）為 的雙側(cè)置信區(qū)間.分別稱為置信下限和置信上限. 作區(qū)間估計(jì), 就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本置信上下限置信區(qū)間是以統(tǒng)計(jì)量為端點(diǎn)的隨機(jī)區(qū)間，希望 區(qū)間 包

25、含參數(shù)真值 的概率達(dá)到指定的要求.第六十五張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月652. 估計(jì)的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間長(zhǎng)度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1. 要求 以很大的可能被包含在區(qū)間 內(nèi)，就是說(shuō)，概率 要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠. 可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.處理可靠性與精度的原則求參數(shù)置信區(qū)間先再保證可靠性提高精度第六十六張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月662、置信區(qū)間的求法方差 2已知, 的置信水平(度)為1-置信區(qū)間為：(1) 一個(gè)正態(tài)總體 XN ( 2) 的情形由由確定解得到（1）式第六十七張，PPT共九十八

26、頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月67(2)方差 2未知 , 的置信區(qū)間 由確定故 的置信區(qū)間為第六十八張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月68(3)當(dāng)已知時(shí), 方差 2 的置信區(qū)間取統(tǒng)計(jì)量 ，得 2 的置信度為 置信區(qū)間為 由概率公式(3)第六十九張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月69隨機(jī)向量的數(shù)字特征 一、數(shù)學(xué)期望1、定義 是有隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)矩陣，定義X的數(shù)學(xué)期望為第七十張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月70特別當(dāng)時(shí) ，便可得到隨機(jī)向量 的數(shù)學(xué)期望為第七十一張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月71 2、性質(zhì) 1） 設(shè)為常數(shù)，則 ； 2）設(shè) 分別為常數(shù)矩陣，則 3）設(shè)

27、為n個(gè)同階矩陣，則第七十二張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月72 二、協(xié)方差矩陣 1、定義：設(shè) 和 分別為 維和 維隨機(jī)向量，則其協(xié)方差矩陣為第七十三張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月73的(自)協(xié)方差矩陣第七十四張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月742、性質(zhì) 1）若 和 相互獨(dú)立。則第七十五張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月75 若 的分量相互獨(dú)立, 則(自)協(xié)方差矩陣，除主對(duì)角線上的元素外均為零，即2）隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣是非負(fù)定矩陣。 證：設(shè)為任意與X有相同維數(shù)的常數(shù)向量，則第七十六張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月76 3）設(shè)A是常數(shù)矩陣，b為

28、常數(shù)向量，則Var(AX+b)=AVar(X)A ； 4、若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)分別是p和q維隨機(jī)向量，A和B為常數(shù)矩陣，則 第七十七張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月77 5、若(k1,k2,，kp)是n個(gè)不全為零的常數(shù)， (x1,x2,，xp ) 是相互獨(dú)立的p維隨機(jī)向量，則 6、設(shè) 是n維隨機(jī)向量，記 A為nn維常數(shù)矩陣，則 表示為矩陣的跡，其定義為矩陣主對(duì)角線元素之和第七十八張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月78 三、相關(guān)系數(shù)矩陣 若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)分別是p和q維隨機(jī)向量，則其相關(guān)系數(shù)矩陣為第七十九張，PPT共

29、九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月79 均值 (mean) 即序列的平均值,用序列數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。 中位數(shù) (median) 即從小到大排列的序列的中間值。是對(duì)序列分布中心的一個(gè)粗略估計(jì)。 最大最小值 (max and min) 序列中的最大最小值。 標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation) 標(biāo)準(zhǔn)差衡量序列的離散程度。計(jì)算公式如下N 是樣本中觀測(cè)值的個(gè)數(shù)， 是樣本均值。 第八十張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月80 偏度（Skewness） 衡量序列分布圍繞其均值的非對(duì)稱性。計(jì)算公式如下 是變量方差的有偏估計(jì)。如果序列的分布是對(duì)稱的，S值為0；正的S值意味著序列分布有長(zhǎng)的右

30、拖尾，負(fù)的S值意味著序列分布有長(zhǎng)的左拖尾。例1.1中X的偏度為0，說(shuō)明X的分布是對(duì)稱的；而例1.3中GDP增長(zhǎng)率的偏度是0.78，說(shuō)明GDP增長(zhǎng)率的分布是不對(duì)稱的。第八十一張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月81 峰度（Kurtosis） 度量序列分布的凸起或平坦程度，計(jì)算公式如下 分布的凸起程度大于 正態(tài)分布；如果K值小于3，序列分布相對(duì)于正態(tài)分布是平坦的。例1.1中X的峰度為2.5，說(shuō)明X的分布相對(duì)于正態(tài)分布是平坦的；而例1.3中GDP增長(zhǎng)率的峰度為2.14 ，說(shuō)明GDP增長(zhǎng)率的分布相對(duì)于正態(tài)分布也是平坦的。意義同S中 ，正態(tài)分布的 K 值為3。如果 K 值大于3，第八十二張，PPT

31、共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月821.2 均值、中位數(shù)、方差的假設(shè)檢驗(yàn) 這部分是對(duì)序列均值、中位數(shù)、方差的假設(shè)檢驗(yàn)。在序列對(duì)象菜單選擇View/tests for descriptive stats/simple hypothesis tests，就會(huì)出現(xiàn)下面的序列分布檢驗(yàn)對(duì)話框： 第八十三張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月831. 均值檢驗(yàn) 如果不指定序列 x 的標(biāo)準(zhǔn)差，EViews將在 t 統(tǒng)計(jì)量中使用該標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 s 。 是 x 的樣本估計(jì)值，N是x的觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。在原假設(shè)下，如果x服從正態(tài)分布，t 統(tǒng)計(jì)量是自由度為N-1的t分布。 原假設(shè)是序列 x 的期望值 m ，備選假

32、設(shè)是 m ，即 第八十四張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月84 如果給定x的標(biāo)準(zhǔn)差，EViews計(jì)算t 統(tǒng)計(jì)量： 是指定的x的標(biāo)準(zhǔn)差。 要進(jìn)行均值檢驗(yàn)，在Mean內(nèi)輸入 值。如果已知標(biāo)準(zhǔn)差，想要計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，在右邊的框內(nèi)輸入標(biāo)準(zhǔn)差值?？梢暂斎肴魏螖?shù)或標(biāo)準(zhǔn)EViews表達(dá)式，下頁(yè)我們給出檢驗(yàn)的輸出結(jié)果。 第八十五張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月85 這是檢驗(yàn)例1.7中GDP增長(zhǎng)率的均值，檢驗(yàn)H0：X=10%，H1：X10%。表中的Probability值是P值（邊際顯著水平）。在雙邊假設(shè)下，如果這個(gè)值小于檢驗(yàn)的顯著水平，如0.05則拒絕原假設(shè)。這里我們不能拒絕原假設(shè)。第八十六張

33、，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月862. 方差檢驗(yàn) 檢驗(yàn)的原假設(shè)為序列 x 的方差等于 2，備選假設(shè)為雙邊的，x 的方差不等于 2 ，即 EViews計(jì)算2統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式如下 N為觀測(cè)值的個(gè)數(shù)， 為x的樣本均值。在原假設(shè)下，如果x服從正態(tài)分布， 2 統(tǒng)計(jì)量是服從自由度為N-1的 2分布。 要進(jìn)行方差檢驗(yàn)，在Variance處填入在原假設(shè)下的方差值?？梢蕴钊肴魏握龜?shù)或表達(dá)式。 第八十七張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月873. 中位數(shù)檢驗(yàn) 原假設(shè)為序列x的中位數(shù)等于m，備選假設(shè)為雙邊假設(shè)，x的中位數(shù)不等于m，即 EViews提供了三個(gè)以排序?yàn)榛A(chǔ)的無(wú)參數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。方法的主要

34、參考來(lái)自于Conover（1980）和Sheskin（1997）。 進(jìn)行中位數(shù)檢驗(yàn)，在Median右邊的框內(nèi)輸入中位數(shù)的值，可以輸入任何數(shù)字表達(dá)式。 第八十八張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月881.3 分布函數(shù) EViews提供了幾種對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析的方法。在1.1 我們已列出了幾種圖來(lái)描述序列分布特征。在本節(jié)，列出了幾種散點(diǎn)圖且允許我們可以用有參數(shù)或無(wú)參數(shù)過(guò)程來(lái)做擬合曲線圖。 這些圖包含著復(fù)雜計(jì)算和大量的特殊操作，對(duì)某些完全技術(shù)性的介紹，不必掌握所有細(xì)節(jié)。EViews中設(shè)置的缺省值除了對(duì)極特殊的分析外，對(duì)一般分析而言是足夠用的。直接點(diǎn)擊ok鍵接受缺省設(shè)置，就可以輕松的展現(xiàn)出每個(gè)圖。 第八十九張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月891.3.1 序列分布圖 本節(jié)列出了三種描述序列經(jīng)驗(yàn)分布特征的圖。 1. CDFSurvivorQuantile圖 這個(gè)圖描繪出帶有加或減兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤差帶的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)，殘存函數(shù)和分位數(shù)函數(shù)。在序列菜單中或組菜單中選擇View /Distribution/ CDFSurvivorQuantile時(shí) ( 組菜單的Multiple Graphs中)，就會(huì)出現(xiàn)下面的對(duì)話框：第九十張，PPT共九十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月90 其中，Cumulative Distribution(累積分布)操作用來(lái)描繪序列的經(jīng)驗(yàn)累積函數(shù)（CDF）。CDF是序