橢圓定義以及性質(zhì)

1、關(guān)于橢圓的定義及性質(zhì)第一張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月ABPPPPP|PA|+|PB|=500|AB|=200第二張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a(|F1F2|)的點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個焦點的距離2c叫做橢圓的焦距橢圓的定義和標(biāo)準方程第三張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月求方程的過程:解(1)建系：以F1F2所在的直線為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則有兩焦點坐標(biāo)分別為：F1(-c,0),F2(c,o) (2)設(shè)點p(x,y)是橢圓上一點,如圖：根據(jù)已知有：|PF1|

2、+|PF2| =2a F1P(x,y)yoF2x這個橢圓的一個標(biāo)準方程為：( ab0,a2=b2+c2)第四張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月求方程的過程:解(1)建系：以F1F2所在的直線為y軸，以線段F1F2的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則有兩焦點坐標(biāo)分別為：F1(0 , -c),F2(0,c ) (2)設(shè)點p(x,y)是橢圓上一點,如圖：根據(jù)已知有：|PF1|+|PF2| =2a F1P(x,y)yoF2x這個橢圓的標(biāo)準方程為：( ab0,a2=b2+c2)第五張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月橢圓的標(biāo)準方程分類圖示焦點坐標(biāo)共性F1(-c,0)F2(c, 0)長軸長:2a

3、短軸長:2b焦距: 2c (a2=b2+c2）F1(0,-c)F2(0, c)第六張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月橢圓的幾何性質(zhì):( )1.范圍: |x|a |y|b 橢圓位于直線x=a 和直線y=b所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)2.對稱性： 關(guān)于x軸和y軸對稱， 也關(guān)于原點中心對稱A1F1oF2xA1A2B2B1第七張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月橢圓的幾何性質(zhì):( )F1oF2xA1A2A1B2B13.頂點和長短軸： 長軸：A1A2 短軸：B1B2 頂點： A1(-a ,0) A2(a,0) B1(0,-b) B2(0 ,b) 4.離心率： 第八張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022

4、年6月橢圓的第二定義:已知點M(x,y)到定點F(c,0)的距離和它到定直線 的距離的比為常數(shù) (ac0)，求點M的軌跡方程M(x,y)oFx(這個方程是橢圓的一個標(biāo)準方程，稱這個定點F是橢圓的一個焦點，定直線是橢圓的一條準線，比值叫這個橢圓的離心率)第九張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月M(x,y)oF2x結(jié)論：橢圓有兩條和它的 兩個焦點相對應(yīng)的準線F1第十張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論：橢圓有兩條和它的兩個焦點相對應(yīng)的準線F1yoF2x與F2對應(yīng)的準線方程：與F1對應(yīng)的準線方程：第十一張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：求橢圓4x2+y2=2的準線方程橢

5、圓的焦點在y軸上，且a2=2, b2=0.5,c2=1.5橢圓的兩條準線方程為解：由已知有橢圓的標(biāo)準方程為第十二張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 ex1: 橢圓的一個焦點到相應(yīng)準 線的距離為 ，離心率為 ，則橢圓的短軸長為多少？第十三張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 eg1:橢圓9x2+25y2-225=0上一點到左準線的距離為2.5,則P到右焦點的距離是( )(A) 8 (B) (c) 7.5 (D) 7橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用：第十四張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 eg2:橢圓 的右焦點為F，設(shè)點A ,P是橢圓上一動點，求使 取得最小值時的P的坐標(biāo)，并求出這個最小值

6、第十五張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月問題：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差是定值|PF1|-|PF2|=2a的點P的軌跡是什么？(1)若這個定值為0，它表示什么？(2)若這個定值=|F1F2|，它表示什么？(3)若這個定值|F1F2|，它表示什么？(4)若這個定值非零且|F1F2|不可能，因為在三角形中，兩邊之差小于第三邊F1F2P第十九張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月理想化的問題：一個出租汽車司機想從A地點送一個乘客到達目的地后，然后返回B點的家，已知A、B兩點的距離為20公里假設(shè)司機送客和返回家都是直線行駛，假設(shè)汽車每行駛一公里耗費一元，乘客每乘坐一公里付費二元，

7、請問這個司機怎樣考慮接受乘客的目的地，他才可能至少能收益15元？（假設(shè)不考慮職業(yè)道德）第二十張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月分析：為了把問題簡單化，我們先研究 司機剛好只收益15元的情形AB(目的地)2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15（注意: |PA|-|PB|=1515時呢？第二十二張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點的距離叫做雙曲線的焦距2c。(oa0,則有： 和 有公共的焦點，它們的實軸長和虛軸長正好對換

8、 和 有公共的漸進線，它們的實軸和虛軸正好對換。我們稱它們?yōu)楣曹楇p曲線第三十三張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例4：請判斷以下方程表示什么樣的曲線？并指出它們的焦點在哪個坐標(biāo)軸上。第三十四張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月雙曲線的漸近線方程練習(xí)：例5.求出下列雙曲線的漸近線的方程。 第三十五張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月與雙曲線的漸近線有關(guān)的結(jié)論：(1)求雙曲線 的漸近線方程時，只需將上式右邊的1換成0即可(2)雙曲線 表示任意以 為漸近線的雙曲線系 (k0)第三十六張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月雙曲線的漸近線方程：第三十七張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于

9、2022年6月例：雙曲線的中心在原點，對稱軸是兩坐標(biāo)軸，有一條漸近線方程為2x+3y=0,并且過定點(2 ,2)求這個雙曲線的方程.(2,2)第三十八張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月解法一：如圖,雙曲線的兩條漸近線把坐標(biāo)平面分成四部分，點(2,2)剛好在上部分，故有這條雙曲線的焦點在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準方程為第三十九張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月由雙曲線的標(biāo)準方程為知它的漸近線方程為： 第四十張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月又已知點(2，2)在雙曲線上，則有： 解得：故所求的雙曲線的方程為：第四十一張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月解2：據(jù)題意：雙曲線的漸

10、近線方程為： 即不妨設(shè)所求的雙曲線的方程為：將點(2,2)的坐標(biāo)代入上式：故所求的雙曲線的方程為：第四十二張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：雙曲線 上任一點到它的兩漸近線的距離之積為定值，并求這個定值。 證明：由已知，它的漸近線方程為它們的標(biāo)準方程為 bxay=0設(shè)(x0,y0)是雙曲線上的任意一點，則有：第四十三張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月. p示意：如圖，過點P向兩條漸近線引垂線交兩條漸近線于點M、N，則有： MN第四十四張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月問題：|PM|+|PN|有最值嗎？何時有，是多少？ . pMN第四十五張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2

11、022年6月已知雙曲線 右支上一點P到它的右焦點的距離為10，則P到雙曲線的左準線的距離是多少？. P(x,y)F2F1xyMN第四十六張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月回顧:橢圓的焦點半經(jīng)公式及求法：(2)設(shè)P(x,y)是橢圓 上的任意一點，則|PF1|和|PF2|的值為aey(1)設(shè)P(x,y)是橢圓 上的任意一點，則|PF1|和|PF2|的值為aex第四十七張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月.F1F2.P(x,y)MN分析：如圖，過點P向兩準線引垂線交兩準線于點M、N，根據(jù)雙曲線的第二定義：第四十八張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月.F1F2.P(x,y)MN同理

12、：第四十九張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月同理：當(dāng)焦點在y軸上時：.F1F2.P(x,y)MNxy|PF1|=a+ey|PF2|=a-ey第五十張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月如下圖提示：你能推出焦點在x軸上的雙曲線的焦半經(jīng)公式嗎？. P(x,y)F2F1xyMN第五十一張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月若它的焦點在x軸上，則有|PF1|、|PF2|為exa若它的焦點在y軸上呢？則有|PF1|、|PF2|為eya第五十二張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月雙曲線中三角形PF1F2中的邊和角. P(x,y)F2F1xy正弦定理、余弦定理、和三角形面積公式在圖中的

13、體現(xiàn)及相互間的聯(lián)系。第五十三張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月. P(x,y)F2F1xy第五十四張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月(1)余弦定理：. P(x,y)F2F1xy第五十五張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)正弦定理：. P(x,y)F2F1xy第五十六張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月(3)三角形的面積公式：. P(x,y)F2F1xy第五十七張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月實例1：點P是雙曲線 上的一點，F(xiàn)1、F2是焦點， ,求 的面積. pF1F2xy第五十八張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)到定點

14、的距離和到定直線的距離的比是定值e的點的軌跡是：(1)當(dāng)0e1 時表示一個雙曲線 (3)當(dāng) e=1 時表示什么呢？ 平面內(nèi)到定點的距離等于到定直線的距離的點的軌跡叫拋物線至此，橢圓、雙曲線、拋物線的定義就統(tǒng)一起來了，這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。第五十九張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 平面內(nèi)到定點的距離和它到定直線的距離相等的點的軌跡叫拋物線拋物線的標(biāo)準方程：以后我們約定這個定點到定直線的距離為P.FLK討論：怎樣建立坐標(biāo)系所得方程簡單？第六十張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月建系方式一：以后我們約定這個定點到定直線的距離為P.FLK討論：怎樣建立坐標(biāo)系所得方程簡單？Oxy如圖

15、：以過焦點且垂直于準線的直線為x軸，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系。則F點的坐標(biāo)為 準線的方程為第六十一張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月.FLKOxy設(shè)點M(x,y)是所求的曲線上的任意一點，過點M作MD垂直直線L交L于點D，則有根據(jù)定義有：|MD|=|MF|.M(x,y)D它叫拋物線的一種標(biāo)準方程它的焦點坐標(biāo)和準線方程是？第六十二張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月拋物線的標(biāo)準方程有四種：請分別畫出它們的草圖，并指出它們的焦點坐標(biāo)、準線方程你還記得上式中P的幾何含義嗎？第六十三張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月.FLKOxy焦點的坐標(biāo)為：準線的方程為.M

16、(x,y)D第六十四張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月.FLKOxy焦點的坐標(biāo)為：準線的方程為.M(x,y)D第六十五張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月焦點的坐標(biāo)為：準線的方程為.FLKOxy.M(x,y)D第六十六張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月焦點的坐標(biāo)為：準線的方程為.FLKOxy.M(x,y)D第六十七張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例1:(1)已知拋物線的焦點坐標(biāo)是 F(0,-2),求它的標(biāo)準方程.FLKOxy第六十八張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 (2)已知拋物線的標(biāo)準方程為 y=x2,求它的焦點坐標(biāo)和準線方程.FLKOxy第六十九張

17、，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例2：探照燈的反射鏡的縱截面是拋物線的一部分，燈口的直經(jīng)為60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準方程和焦點的位置。.FOxyAB第七十張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月拋物線的幾何性質(zhì)：(1)范圍：(一)(二)(三)(四)(2)對稱軸及頂點(一)(二)(三)(四)(3)離心率 拋物線的離心率恒為1第七十一張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月拋物線的焦半徑公式:(一)(二)(三)(四)設(shè)M(x,y)是以下拋物線上的任意一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，則焦半經(jīng)EF的長度為：當(dāng)拋物線的方程為y2=2px時,則|MF|=當(dāng)拋物線的方程為y2=-2px時,

18、則|MF|=當(dāng)拋物線的方程為x2=2py時,則|MF|=當(dāng)拋物線的方程為x2=-2py時,則|MF|=第七十二張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例3：過拋物線y2=2px的焦點F任意作一條直線交拋物線于A、B兩點，求證：以A、B為直經(jīng)的圓和這個拋物線的準線相切。.FLKOxyABM第七十三張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月過拋物線y2=2px的焦點F的弦長公式：設(shè)直線AB與拋物線的對稱軸的夾角為，則有.FOxyAB第七十四張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月特殊情形：當(dāng)=90，即AB和對稱軸垂直時：.FOBA|AB|=2|AF|=2p此時稱線段AB為拋物線的通經(jīng)第七十五張

19、，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月x.FOyBA設(shè)直線AB的斜率為k(k0),則直線的點斜式方程為聯(lián)立方程：第七十六張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月x.FOyBA第七十七張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月x.FOyBA還有新的方法：設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2, y2)兩式相減得：第七十八張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月x.FOyBA第七十九張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例4：過拋物線y2=2px的焦點的一條直線與拋物線的兩個交點的橫坐標(biāo)分別是x1、x2,縱坐標(biāo)分別是y1、y2,求證:x.FOyBA分析：當(dāng)直線的斜率不存在時， 當(dāng)直線的斜率存在時。第八十張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例5：PQ是過拋物線的焦點的一條弦，通過點P和拋物線的頂點的直線交準線于點M，求證：直線MQ平行于拋物線的對稱軸x.FOyQPM分析：不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為y2=2px設(shè)點P的坐標(biāo)為(x1,y1),點Q的坐標(biāo)為下面只需證：ym=y2(x2,y2),而且易知點M的橫坐標(biāo)為第八十一張，PPT共八十九頁，創(chuàng)作于