問(wèn)題的解決在于反思

1、PAGE PAGE 6問(wèn)題的解決在于反思張國(guó)蓉（2014年區(qū)三等獎(jiǎng)）反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，通過(guò)反思才能使學(xué)生的實(shí)現(xiàn)世界數(shù)字化，沒(méi)有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平.實(shí)際上，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反思，是提高學(xué)習(xí)效率、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的行之有效的方法，教師可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的反思能力. 反思是學(xué)生思維過(guò)程中的對(duì)一個(gè)問(wèn)題的思維結(jié)果進(jìn)行科學(xué)慎重的批判性的回顧、分析和檢查. 杜威認(rèn)為：反思活動(dòng)是一種以產(chǎn)生思維活動(dòng)的懷疑、猶豫、困惑、心靈困難的狀態(tài)，和一種為了發(fā)現(xiàn)解決這種懷疑，消除這種困惑而進(jìn)行探究的行為.在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生解題后的反思，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的做題習(xí)慣

2、，克服學(xué)生解題粗心的現(xiàn)象，提高學(xué)習(xí)效率.在解題結(jié)束后，要引導(dǎo)學(xué)生審視題設(shè)條件和解題過(guò)程，檢查是否充分利用了已知條件，解題過(guò)程是否嚴(yán)密，方法是否恰當(dāng)，有無(wú)其他解法.這些解法中蘊(yùn)涵著哪些思想方法.1、反思條件的隱蔽性有些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，一部分條件比較明顯，而另一部分條件比較隱蔽，他需要我們?cè)诮忸}過(guò)程中仔細(xì)分析，合情推理才能發(fā)現(xiàn).用一些具有隱含條件的問(wèn)題作典型，引導(dǎo)學(xué)生剖析，反思錯(cuò)解原因，可以培養(yǎng)學(xué)生審題的好習(xí)慣.提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性.例1 先化簡(jiǎn)，再選你喜歡的一個(gè)數(shù)字代入求值.解：原式= = =當(dāng)時(shí)，=8（學(xué)生一般選擇簡(jiǎn)單的數(shù)代入計(jì)算，如：-2、-1、0、1、2等）引導(dǎo)學(xué)生反思：此題是分式的化簡(jiǎn)，

3、對(duì)于題中的是不是可以取任何值？通過(guò)反思學(xué)生發(fā)現(xiàn)：根據(jù)分式中分母不能為0這一要求，題中的不能取2，-2，0三個(gè)數(shù).ORSORSORSORS例2 函數(shù)（其中R表示圓的半徑，S表示圓的面積）圖象是（ ）此題學(xué)生會(huì)出現(xiàn)選A的錯(cuò)誤.引導(dǎo)學(xué)生反思：此題中的自變量和因變量能為負(fù)數(shù)嗎？學(xué)生頓悟：題中的R與S分別表示圓的半徑和面積，不能為負(fù)數(shù).例3.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和6，則三角形的周長(zhǎng)是 .學(xué)生容易被表面現(xiàn)象迷惑，3可以是腰長(zhǎng)，6也可以是腰長(zhǎng)，所以答案有兩個(gè)：12或15引導(dǎo)學(xué)生反思：3，3，6能構(gòu)成三角形嗎？學(xué)生頓悟：不符和三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊.答案只有一個(gè)：15上面的三道題，雖然題中

4、沒(méi)有明確的寫(xiě)出：不能取2，-2，0以及R，S都要大于0等要求，但這些要求隱含在題中，所以引導(dǎo)學(xué)生挖掘題中的隱含條件是必要的.2、反思問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性解題結(jié)束時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生反思，我的解題過(guò)程完整嗎？符合題目的要求嗎？還有其他的情況嗎？例4 平面上有三個(gè)點(diǎn)，過(guò)其中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)畫(huà)一條直線，問(wèn)一共可以畫(huà)多少條直線？學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤：3條.引導(dǎo)學(xué)生反思：題中有沒(méi)有要求三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上？通過(guò)反思：有兩種情況：ABCABC圖1 圖2 三個(gè)點(diǎn)都在一條直線上圖（1）；三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上圖（2），所以答案是1條或3條.例5 已知，求k的值.此題學(xué)生很容易上手，三個(gè)式子相加，得，則k=2.引導(dǎo)學(xué)生反思：由等式得到等

5、式k=2的依據(jù)是什么？學(xué)生回答：兩邊都除以.再次引導(dǎo)學(xué)生反思：應(yīng)滿足什么條件？學(xué)生回答：0進(jìn)一步引導(dǎo)：能不能等于0？學(xué)生豁然開(kāi)朗：分兩種情況（1）當(dāng)0時(shí)，k=2；（2）當(dāng)=0時(shí)，可得k=1.所以k=2或k=1.3、反思問(wèn)題的多解性一題多解，不僅能收到事半功倍的教學(xué)效果，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的洞察力和思維的變通性、獨(dú)創(chuàng)性，促進(jìn)知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例6 如圖3，ABC是一塊銳角三角形余料,邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？ABCDPNQME圖3拿到此題，學(xué)生大部分用平行線

6、分線段成比例，得PNBC=AEAD，PN=x即x120=(80 x)80解得x=48毫米.教師引導(dǎo)學(xué)生反思：還有其他的方法嗎？通過(guò)面積能不能解決呢？學(xué)生通過(guò)反思：由題意可知APNABC，根據(jù)相似三角形面積比的性質(zhì)得到解法二：SAPNSABC=，即，AEAD=PNBC.(以下同上) 解法三：設(shè)正方形PQMN的邊長(zhǎng)為x毫米，根據(jù)SAPN+ S梯形PBCN= SABC可得，解得，毫米。4、反思問(wèn)題的可逆性解完一道數(shù)學(xué)題，要對(duì)問(wèn)題的條件和結(jié)論進(jìn)行反思，對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整、變化，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的識(shí)別能力和知識(shí)的遷移能力，不斷提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，使他們從會(huì)解一道題到會(huì)解一類題.FABCDE圖4FAB

7、CDEM圖5 例7 已知，正方形ABCD中（圖4），E、F分別為CD、BC上的點(diǎn)，EAF=45。求證：EF=DE+BF分析：要證一條線段等于兩條線段之和，通常采用“割補(bǔ)法”，但此題，在EF上切割一部分等于DE（或BF），證余下部分等于BF（或DE）不太容易，因而考慮旋轉(zhuǎn)法，即延長(zhǎng)CB到M，使BM=DE（圖5），實(shí)際是將ADE饒點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到ABM，構(gòu)造ABMADE，從而可證AEFAMF，進(jìn)而證得EF=FM=FB+BM=FB+DE。變換1 將原結(jié)論“EF=DE+BF”與題設(shè)“EAF=45”對(duì)換，命題成立嗎？如果成立，請(qǐng)你證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。變換2將題設(shè)“EAF=45”改為“AE平

8、分DAF”，探求AF與DE、BF之和的關(guān)系（圖6）FABCDE圖6FABCDEM圖7此題仍采用旋轉(zhuǎn)法，將ADE饒點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到ABM位置（圖7），構(gòu)造ABMADE，為證FAM=M提供條件，從而得到 FA=FM=FB+BM=FB+DE。 變換3 將題設(shè)“EAF=45”改為“AF=DE+BF”，結(jié)論改為求證：AE平分DAF”。 此題證法同上。 通過(guò)上述對(duì)原題的三種變換，將正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的概念等多個(gè)知識(shí)融為一體，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的效率，培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。5、反思問(wèn)題的統(tǒng)一性 解題結(jié)束后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行總結(jié)，揭示問(wèn)題的思想

9、背景提煉出解決問(wèn)題的一般方法，讓學(xué)生體會(huì)雖然做了許多題，其實(shí)就是做了一類題.例8. 題1如圖（8）： 如圖樓梯的寬度是4米，高度是3米，現(xiàn)在要在樓梯上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度要多長(zhǎng)？此題學(xué)生要是不慎重，會(huì)出現(xiàn)地毯的長(zhǎng)度是5米的錯(cuò)誤.引導(dǎo)學(xué)生：通過(guò)平移的方法，得到地毯的長(zhǎng)度是3+4=7米3245圖8圖9圖10圖11圖1220302030=600圖13題2：如圖（9），是某零件的示意圖，則零件的周長(zhǎng)是多少？題3：如圖（10）在寬21米，長(zhǎng)為31米的長(zhǎng)方形空地上，要修兩條互相垂直且寬度為1米的道路.剩下的部分全部鋪草坪，則需要買草皮多少？ 這三道題都可以通過(guò)平移的方法解決，對(duì)應(yīng)的圖形分別是圖11、12、

10、13.A B C D E F圖14A B C D E F圖15P例9 題1：在圖（14）中共有幾條線段？此題是數(shù)線段問(wèn)題，在解題時(shí)要有一定的順序，不能亂七八糟：以點(diǎn)A為一個(gè)端點(diǎn)的線段有AB、AC、AD、AE、AF；以點(diǎn)B為一個(gè)端點(diǎn)的線段有：BC、BD、BE、BF；以點(diǎn)C為一個(gè)端點(diǎn)的線段有：CD、CE、CF；以點(diǎn)D為一個(gè)端點(diǎn)的線段有：DE、DF；以點(diǎn)E為一個(gè)端點(diǎn)的線段有：EF；所以一共有：5+4+3+2+1=15題2：圖（15）中，共有多少個(gè)三角形？題3：某次開(kāi)會(huì)共有n個(gè)人參加，若這n個(gè)人，每?jī)蓚€(gè)人都握一次手，則一共可以握幾次手？題2和題3其本質(zhì)是數(shù)線段問(wèn)題，題3中可以把n個(gè)人看成n個(gè)點(diǎn)，結(jié)果是：(n-1)+（n-2）+1例8和例9是引導(dǎo)學(xué)生反思當(dāng)一個(gè)問(wèn)題解決之后,要能觀察出，雖然某些 問(wèn)題的背景不一樣，但實(shí)質(zhì)是一樣的，善于總結(jié)出一組問(wèn)題、一類問(wèn)題的解決辦法.通過(guò)這樣的反思，即幫助學(xué)生鞏固新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，又培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.總之